广东省深圳市宝安区2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市宝安区2024届高三上学期期末数学试题一､选择题1.复数的实部与虚部之和是（）A.7 B.13 C.21 D.27【答案】B【解析】因为，所以复数的实部与虚部之和是，故选：B.2.已知集合，则的元素个数是（）A.0 B.1 C.2 D.无数【答案】C【解析】联立整理得.由，得原方程组有两组解，即中有2个元素，故选：C.3.某单位有职工500人，其中男性职工有320人，为了解所有职工的身体健康情况，按性别采用分层抽样的方法抽取100人进行调查，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多（）A.28 B.36 C.52 D.64【答案】A【解析】由题意可知抽取到的男性职工人数为，女性职工人数为，则抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多.故选：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，则，即，即，解得得，则不能推出，能推出，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知函数在内有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数.因为在内有零点，所以，解得.故选：A6.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点在该抛物线上，点在轴上，若，则（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】设,，由，根据抛物线定义可得，故，，过，分别作轴的垂线，过作轴的垂线，垂足为，明显，所以.故选：D7.若函数的最大值是，则常数的值可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，其中，所以，所以，对于A选项，当，，故A错误；对于B选项，当，，故B正确；对于C选项，当，，故C错误；对于D选项，当，，故D错误，故选：B.8.已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，为上的一点，且，过点作球的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为，因为，所以.由勾股定理，得，由题意得，所以，解得，此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则，所以只需球心到所求截面的距离最大即可，而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大，即，所以.故选：C二､多选题9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若，则是等比数列B.若是等比数列，则C.若，则是等比数列D.若是等比数列，且，则【答案】BCD【解析】当时，满足，但不是等比数列，则A错误由等比数列的性质可知，则B正确.由，得，则，当时，，则，从而可知是等比数列，则C正确.由，得.由等比数列的性质可知，，即，解得，再代入结合C选项可知此时为等比数列，则D正确.故选：BCD.10.直线与圆，则（）A.圆的半径为2B.直线过定点C.直线与圆一定有公共点D.圆的圆心到直线的距离的最大值是3【答案】BCD【解析】对于A项，将圆化为标准方程可得，，所以圆的圆心坐标为，半径为3.故A项错误；对于B项，直线可化为，由可得，，所以直线过定点，故B项正确；对于C项，因为点在圆上，直线过定点，所以，直线与圆一定有公共点故C项正确；对于D项，设，当时，点到直线的距离最大，所以，圆的圆心到直线的距离的最大值是，故D项正确.故选：BCD.11.若直线与曲线相切，则的取值可能为（）A.1 B.2 C.3 D.6【答案】BCD【解析】设切点为，因为，所以.又因为切点在直线上，所以，解得，所以，令，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又当.故的取值范围为.故选：BCD.12.正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，为棱上的动点，则（）A.平面平面B.点到平面的距离为C.与所成角的余弦值的取值范围为D.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为【答案】ACD【解析】对于A，取的中点，连接，，易知也是的中点，在中，因为，为的中点，所以，在中，因为，为的中点，所以，又因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以平面平面，A正确．对于B，设点到平面的距离为，易知，，取中点为，连接，因为，则，因底面，且面，则，又因为平面，且，所以平面，且，因为，所以，解得，B错误．对于C，取的中点，连接，易知．以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.，设，，，，设与所成的角为，则．令（），则，当即时，；当，即时，，根据对勾函数在上单调递减可知；当，即时，同理根据对勾函数在上单调递减可知．综上，与所成角的余弦值的取值范围为，C正确．对于D，由A选项中的结论知平面，．又因为球面的半径为，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线（圆的一部分）的半径为．如图，，，所以，解得，由圆与正方形的对称性知，所以球面与侧面的交线长为，D正确．故选：ACD.三､填空题13.已知单位向量满足，则__________.【答案】【解析】因为，所以，所以，则，故.故答案为：14.函数是奇函数，则__________.【答案】1【解析】因为，所以，因为是奇函数，所以，即，所以，解得，则.故答案为：115.为了检查学生的身体素质情况，从田径类3项，球类2项，武术类2项共7项项目中随机抽取3项进行测试，则恰好抽到两类项目的概率是__________.【答案】【解析】从这7项项目中随机抽取3项的情况有种，抽取的3项属同一类的情况有种，抽取的3项包含三类的情况有种，则符合条件的情况有种，所以所求概率为.故答案为：16.已知椭圆的左焦点为，直线与交于，两点，若，则的离心率是__________.【答案】【解析】设，因为，所以，所以.联立整理得，则，，从而，整理得，故，故答案为：.四､解答题17.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）因为，所以，所以，所以，则或（舍去）.因为，所以.（2）因为的面积为，所以，则.由余弦定理可得，则，即，解得.故的周长为.18.在等差数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设数列的公差为，则，解得，.故.（2）由（1）可得，则，故.19.已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：男生女生只喜欢羽毛球0.30.3只喜欢乒乓球0.250.2既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球0.30.15（1）从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；（2）从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.解：（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，则，，所以所求概率.（2）由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率，因此，所以的分布列为，期望为.20.如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：取的中点，连接.因为为圆弧的两个三等分点，所以.因为分别为的中点，所以，则，从而四边形为平行四边形，故.因为平面平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，则.设平面法向量为，则令，得设平面的法向量为，则令，得.设平面与平面所成锐二面角为，则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.已知双曲线的离心率是3，点在上.（1）求的标准方程；（2）已知直线与相切，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解：（1）由题可得，解得，故的标准方程为；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，联立，整理得，则，即.由（1）可知的渐近线方程为和，不妨设直线与直线的交点为，与直线的交点为，联立，解得，即，联立解得，即，则，，