广东省汕头市某校2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省汕头市某校2025届高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以虚部为，故选：C2.若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的定义域为，对称轴为,当时，在单调递减，则，，而函数的值域为，则，解得，故，当时，在单调递减，在单调递增，则，，，故，解得，故，综上所述，的取值范围为，故选：A3.如图，在梯形中，在线段上，.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可设，则，又因为，且，不共线，可得，解得，即，所以，即.故选：D.4.函数与的图象的交点个数为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】画出图象，，，可得与的图象的交点个数为3．故选：C．5.设是等比数列的前项和，若，则（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，因为成等比数列，故，即，解得，故.故选：B6.直线与圆相交于、两点，若，则等于（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】D【解析】由题意，∵，∴到圆心的距离为，∴圆心到直线的距离为：，即.解得：或，故选：D.7.在正四棱锥中，，则正四棱锥体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过顶点P向平面ABCD作垂线，垂足为O，则PO为正四棱锥的高，设为h.设底面边长为x，则，则，则.所以正四棱锥的体积为：，则.当时，；当时，.即在上单调递增，在上单调递减，则.故选：B8.在中，，若一个椭圆经过A、B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在边AB上，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设另一焦点为D，∵中，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴.在中焦距，则，∴.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离散型随机变量X的分布列如下表；X12345Pm0.10.3n0.3若离散型随机变量，且，则正确的是（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】由题意知，所以，因为，所以，即，综上，解得，，故A不正确，B正确；因为，所以，故C正确；，PX>3=PX=4+PX=5，所以PX≤3>P故选：BCD.10.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”.现有定义在上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为A. B.C. D.【答案】AC【解析】设等比数列的公比为.对于A，则，故A是“保等比数列函数”；对于B，则常数，故B不是“保等比数列函数”；对于C，则，故C是“保等比数列函数”；对于D，则常数，故D不是“保等比数列函数”.故选：AC.11.已知函数H(x)，下列说法正确的有（）A.若m＝0，a＝1，则函数H(x)有最大值B.若m＝1，a≠0，则过原点恰好可以作一条直线与曲线y＝H(x)相切C.若a＝0，且对任意m∈R，H(x)＞0恒成立，则0≤x≤1D.若对任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，则a的最小值是【答案】BD【解析】由m＝0，a＝1得H(x)e﹣x+x+1，H′(x)e﹣x+1＞0得x＞ln4，∴函数H(x)在(∞,ln4)上单调递减，在(ln4,+∞)上单调递增，∴当x＝ln4时函数H(x)取得最小值，无最大值，故A错；由m＝1，a≠0，得H(x)eax，设y＝kx与其相切，切点(x0,y0)，则k＝H′(x0)e且kx0e，得x0，k，解唯一．故B对；由a＝0得H(x)＝(m+1)2+(m+1)x，看作关于m+1的二次函数，由对任意m∈R，H(x)＞0恒成立得＝x21＜0，解得1＜x＜1，故C错；由题设不等式恒成立及C中的分析方法，知：＝x2eax≤0恒成立，∴a对任意x＞0恒成立．记，0得x∈(0，e)，∴在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)，∴a，即a的最小值是，故D对．故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.【答案】【解析】设外接球的半径为，则,所以正四棱柱的外接球的表面积.13.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c．三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共______个．【答案】【解析】根据题意知在中，能组成有缘数的组合有；；；；；由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，“有缘数”共6个；同理：由1，3，4组成的三位数为“有缘数”是6个；由1，4，5组成的三位数为“有缘数”是6个；由2，3，5组成的三位数为“有缘数”是6个；所以三位数为“有缘数”的个数为：个．14.设函数，当a=1时，f(x)的最小值是________；若恒成立，则a的取值范围是_________.【答案】1[0，]【解析】当a=1时，当时，，当时，，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.当时，，即，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即.当时，，即恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.综上所述：a的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面.（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值.解：（1）在等边中，因为为的中点，所以，在正方形中，，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为,平面，所以平面.（2）取的中点，连接.则，又正方形中，，所以,在等边中，因为为的中点，所以.因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面与平面所成二面角的平面角.设，则，所以.16.中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若，，求和的长．解：（1）根据题意，作图如下：面积是面积的2倍，故可得；在△中，由正弦定理可得：，在△中，由正弦定理可得：，又，故结合上述两式可得：.（2）根据（1）中所求可得：；在△中，由正弦定理可得：，在△中，由正弦定理可得：，又，故，结合上述两式可得：，故设，则；在△中，由余弦定理可得：，在△中，由余弦定理可得：，又，则，即，解得x=1（舍去负根），也即.17.已知函数，.(1)当时，求曲线y=fx在点处的切线方程；(2)设函数，讨论的单调性.解：(1)有题意得，所以.又因为，其切线方程为，即.(2)，则，令，得，，①当时，恒成立，所以在上递增；②当时，令，得或x>0.即在，上递增，在递减，③当a>0时，，上递增，在递减.18.已知动点M到定点的距离比点M到定直线的距离小1，直线交曲线C于A，B两点．（点A在第一象限）（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过且与垂直直线与曲线C交于C，D两点：（点C在第一象限）（i）求四边形面积的最小值．（ii）设，的中点分别为P，Q，求证：直线过定点．解：（1）由题意知，动点M到定点的距离等于点M到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点M的轨迹是抛物线；因为，所以抛物线的方程为，即点M的轨迹C的方程为.（2）（i）设点，，，，由（1）知抛物线的准线为，，根据抛物线的定义可知，，，，所以，，由题意知直线过且与直线交于点，所以四边形的面积，由，消去后得，所以，由韦达定理可知，所以，由题意得直线：，同理，联立，消去可得，所以，由韦达定理可知，所以，所以四边形的面积，，当且仅当，即时，等号成立，所以四边形面积的最小值为32.（ii）由（i）知，所以点的横坐标为，代入直线可得，所以，同理可得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得，所以直线过定点.19.已知正实数集，定义：称为的平方集．记为集合中的元素个数．（1）若，求集合和；（2）若，求；（3）①分别取1，2，3时，试比较和的大小关系；②猜想和的大小关系，并证明你的结论．解：（1）由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，可得，，（2）由（1）可得，，，，若，要得到，就要全部互质，当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个，每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了，，即，解得，或（舍去），所以若