广东省佛山市顺德区普通高中2025届高三上学期教学质量检测数学试题（一）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市顺德区普通高中2025届高三上学期教学质量检测数学试题（一）第I卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故选：A.3.“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，满足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.已知单位向量，满足，则下列说法正确的是（）A. B.C.向量在向量上的投影向量为 D.【答案】D【解析】单位向量，满足，则，所以，所以，又，所以，故A错误；，故B错误；因为，所以向量在向量上的投影向量为，故C错误；因为，所以，故D正确.

故选：D.5.函数是（）A.偶函数，且最小值为－2 B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在上单调递增 D.非周期函数，且在上单调递减【答案】B【解析】定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，又，令，，，当时，即，有最小值，最小值为，当时，即时，有最大值，最大值为2，故A错误，故B正确；因为，所以为周期函数，因为在上单调递减，在上单调递减，当，，令，，，在单调递减，在单调递增，当，，令，，，在单调递减，由复合函数的单调性知，在上先减后增，在上单调递增；故C，D错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件，则.故选：C.7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，在上，函数单调递增，所以；此时，函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；因为函数的值域为，所以，结合得.若，则的值域为；若，在上，函数单调递减，所以（）；在上，函数单调递减，在上单调递增，无最大值，所以；所以函数的值域不可能为；若，则函数在上，函数单调递减，所以（）；在上，函数单调递增，，此时函数的值域不可能为.综上可知：当时，函数的值域为.故选：D.8.记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（）A.999 B.1000 C.1001 D.1002【答案】C【解析】∵为正项数列的前项积，，∴当时，，时，，又，∴，即，∴是首项为3，公差为2的等差数列，且.由，得若，则，∴所以，正整数的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（）A.乙组数据的平均数为 B.乙组数据的极差为C.乙组数据第百分位数为 D.乙组数据的标准差为【答案】ABC【解析】不妨设甲组数据从小到大排列为：，则乙组数据从小到大排列为：，因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则，又，所以，所以乙组数据的平均数为，故A正确；乙组数据的极差为，故B正确；乙组数据的第百分位数为，故C正确；乙组数据的标准差为，故D错误.故选：ABC.10.在三棱台中，侧面是等腰梯形且与底面垂直，，，，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.三棱台的体积为【答案】ABD【解析】如图：对于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B：因为，，且∽，所以.又三棱锥和高相同，所以，故B正确；对于C：因为，所以，所以，即，故C错误；对于D：因为三棱台的高为1，所以三棱台的体积为：，故D正确.故选：ABD11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对A：令，则；令，则.所以，故A正确；对B：因为，两边求导，得即；因数为偶函数，所以，所以，故成立，故B正确；对C：因为，所以，未必为0，故C错误；对D：因为，令，则，故D正确.故选：ABD.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则=_____________．【答案】【解析】联立，得，因此．13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为、，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若为等边三角形，则椭圆【答案】【解析】由题可得：，又为等边三角形，由椭圆的对称性可得：，又，计算可得：,，由椭圆定义可得：，整理得：，所以．14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】【解析】设甲、乙、丙位同学的信件分别为、、，若、、都没有取到，则有种不同的取法；若、、取到一个，则有种不同的取法；若、、取到两个，则有种不同的取法；若、、取到三个，则有种不同的取法；综上可得一共有种不同的取法.四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求的面积；（2）若，求.解：（1）因为，，由正弦定理可得，所以，所以；（2）因为，又，，所以，所以，则，由正弦定理可得，又，所以，显然，所以，则，又，所以.16.如图，四棱锥的底面是正方形，且，.四棱锥的体积为.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）取的中点，连接，因为，，所以，又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，则，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中点，连接，则，即，如图建立空间直角坐标系，则P0,0,1，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数存在两个零点，，且，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，则，所以函数在处的切线方程为；（2）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；当时，则当或时，当时，所以在，上单调递增，在上单调递减；综上可得，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（3）因为，必有一个零点为，由（1）可得，当时只有一个零点，不符合题意；当时，，上单调递增，在上单调递减，显然，当时，则，，，所以，所以在上存在一个零点，此时有两个零点，（不妨令），且，，即，满足；当时，在，上单调递增，在上单调递减，所以在不存在零点，且一个零点为，则另一零点不可能大于，此时不满足，故舍去；综上可得实数的取值范围为.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列.解：（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为，和同级的玩家对抗并获胜的概率为，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为；（2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故①，考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走