福建省宁德市部分达标高中2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市部分达标高中2025届高三上学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.2.函数的最小正周期为（）A.4 B. C.8 D.【答案】D【解析】函数的最小正周期为.故选：D.3.在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜；若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马.故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件.故选：D.4.已知复数，则的虚部为（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】由题意可得：，化简得：，所以，所以的虚部为.故选：A.5.在梯形中，，与BD交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于，故，进而，故.故选：A.6.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得，由于的图象关于点对称，故，故,解得，取，为最小值，故选：A7.已知，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：A.8.若，则的值可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，，故由可得，故,则，取，取，因此只有符合要求，故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若与分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为与分别为定义在上的偶函数、奇函数，所以，所以函数为奇函数，所以的图象关于原点对称.故选：AC.10.如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（）A.的面积为 B.C.先增后减 D.的最大值为【答案】ACD【解析】取的中点，连接，则，且，所以的面积为A正确.过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则.由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，B错误，C，D均正确.故选：ACD11.已知向量，，满足，，，，则（）A. B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】BC【解析】根据题意不妨设，，，则，，所以，化简得，记为圆，即是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.对于，，所以，故错误；对于，表示原点到圆上一点的距离，因为原点在圆上，所以最大值为圆的直径，即，故正确；对于，，表示点到圆上一点的距离，因为点在圆内，所以的最小值为,的最大值为，故正确，错误.故选：.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】.13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为__________.【答案】【解析】由于，所以，要使在上单调递增，则，解得，故的最大值为.14.已知函数，，若与的零点构成的集合的元素个数为3，则m的取值范围是__________.【答案】【解析】由，得，令函数，一次函数在R上单调递增，值域为R，因此直线与函数的图象有且只有一个交点，即函数有1个零点；由，得，令函数，依题意，函数有不同于的两个零点，即直线与函数的图象有两个交点，且交点横坐标不能是，由，求导得，当时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，，而，当时，恒成立，则当时，直线与函数的图象有两个交点，当，即时，或，则当或时，与的零点相同，由，得，由，得，因此且，所以m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）若，的面积为，求．解：（1）由题意知，即，由于，故，即，结合，则；（2），，的面积为，则，则，故，故.16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求m的取值范围.解：（1）由可得，故，又，故y=fx在点处的切线方程为，即（2），令，令，则，由于在0,+∞单调递增，故当单调递增，当单调递减，故，且当，又h1=0故当时，而，因此时，而，故时，而，故在0,1单调递减，在1,+∞单调递增，故，因此，故，当时，，此时也满足，综上可得17.已知函数.（1）将化成（，，）的形式；（2）求在上的值域；（3）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求不等式的解集.解：（1）由可得；（2），则，故，故，故值域为1,2.（3）由题意可得，故，即,故，解得，故不等式的解集为18.已知函数，满足，.（1）若为上的增函数，求的取值范围.（2）证明：与的图象关于一条直线对称.（3）若，且关于的方程在内有解，求的取值范围.解：（1）由，可得，因为为上的增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，所以的取值范围为.（2）因为，，所以即，所以，函数关于对称的函数为，再把向右方平移2个单位得到，所以函数与关于对称；（3）由（2）可得，又因为在内有解，所以在内有解，所以在内有解，，由（1）可知时，为上的增函数，所以，所以在内有解，令，求导可得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，又，，所以，所以的取值范围为.19.若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点.（1）证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.（2）对任意x，，函数，都满足.①若是“缺陷偶函数”，证明：函数有2个极值点.②若，证明：当时，.参考数据：，.解：（1）由可得，由可得，解得，所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为0，（2）由可得对任意x，，恒成立，所以存在常数，使得,令，则，