2025版高考数学一轮总复习综合测试卷一

综合测试卷(一)时间:120分钟分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2024东城二模,1)已知集合A={x|1<x≤2},那么∁RA=()A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,1]∪[2,+∞)C.(-∞,1)∪[2,+∞)D.(-∞,1]∪(2,+∞)答案D依据补集的定义得∁RA=(-∞,1]∪(2,+∞),故选D.2.(2024届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z满意z(2+i)=|3+4i|(其中i为虚数单位),则复数z=()A.2-iB.-2+iC.2+iD.-2-i答案C∵z(2+i)=|3+4i|=32+42=5,∴z=52+i=5(2-i)(2+3.(2024新疆其次次适应性检测,3)若关于x的不等式cosx-2x2-mx-A.5B.-5C.6D.-6答案C因为cosx-2<0,cosx-2x所以x2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2×3=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C.4.(2024海淀期中,5)如图,角α以Ox为始边,它的终边与单位圆O相交于点P,且点P的横坐标为35,则sinπ2+α的值为A.-35B.35C.-45答案B易知cosα=35,∴sinπ2+α=cosα=355.(2024首都师大二附中开学测试,6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.12B.1C.32答案D由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,△ABC中,AC边上的高为2,所以VP-ABC=13S△ABC·PC=13×12×2×2×2=43思路分析由三视图可知该几何体的底面为等腰三角形,且等腰三角形的底为2,底上的高为2,几何体的高为2,利用棱锥的体积公式可求出几何体的体积.6.(2024四川宜宾月考,9)函数f(x)=x23|x答案C易知f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),且f(x)为偶函数,可解除A,B,当x∈(0,1)时,3|x|-3<0,则f(x)<0,可解除D,故选C.7.(2024长沙明德中学3月月考)在各项都为正数的等比数列{an}中,若a1=2,且a1a5=64,则数列an(an-1)(aA.1-12n+1C.1-12n+1答案A设公比为q,q>0,由a1=2,且a1a5=64,得4q4=64,解得q=2,则an=2n,可得数列an(a2n(2n-1)(∴数列an(an-1)(an+1-1)的前n项和是12-1-122-1+128.(2024山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹长度为()A.πB.2πC.2πD.22π答案B因为∠PBD=45°,所以P在以B为顶点,BD所在直线为轴,母线与轴夹角为45°的圆锥的侧面上,由于轴BD⊥对角面ACC1A1,∠ABD=∠CBD=45°,因此在矩形ACC1A1区域(含边界)内P点的轨迹是以AC为直径的半圆弧,又AC=22,因此动点P的轨迹长度为π×2=2π.故选B.9.(2024济南二模,7)将函数f(x)=3sinx+cosx的图象向右平移π6个单位后,得到函数g(x)图象,则下列关于g(x)的说法正确的是(A.最小正周期为πB.最小值为-1C.图象关于点3π2D.图象关于直线x=π2答案D因为f(x)=3sinx+cosx=2sinx+π6,所以g(x)=2sinx-π6+π6函数g(x)的最大值为2,最小值为-2,所以B错误;因为g3π2=2sin3π2=-2≠0,所以图象不关于点3π2,0中心对称,因为gπ2=2sinπ2=2,所以图象关于直线x=π2对称,所以D正确.10.(2024东北三省四市联考(二),10)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,O为坐标原点,|OA+OB|=3|OA-OB|,则实数a的值为()A.±2B.±2C.±3D.±6答案D由|OA+OB|=3|OA-OB|得(OA+OB)2=3·(OA-OB)2,又O为圆x2+y2=4的圆心,则|OA|=|OB|=2,所以OA·OB=2,所以|OA||OB|cos∠AOB=2,即cos∠AOB=12,所以∠AOB=π3,所以△AOB是等边三角形且边长为2,则O到直线x+y=a的距离d=3,即11.(2024课标Ⅱ文,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1-32B.2-3C.3-12答案D不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).在Rt△F1PF2中,因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以椭圆的离心率e=ca=12.(2024哈尔滨三中一模,12)已知定义在R上的函数f(x)满意:f(x)=-x2,x≤0,f(x-1)-f(A.-5B.-4C.-3D.-2答案D因为x>0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2),所以f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+1)=-f(x-2),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x)(x>0),故f(x)在x>0时是周期为6的函数,所以f(2024)=f(6×336+4)=f(4)=-f(1)=-f(0)+f(-1)=-1,f(2024)=f(6×336+5)=f(5)=-f(2)=-[f(1)-f(0)]=-f(1)=-1,故f(2024)+f(2024)=-2,故选D.二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024济南十一学校联考,14)已知m是常数,(1-mx)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,且a1+a2+a3+a4+a5=-2,则a1=.

答案-10解析令x=0,可得1=a0,令x=1,可得(1-m)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-2+a0=-1,∴m=2,故a1=C51(-2)14.(2024黑龙江顶级名校模拟,14)已知不共线的平面对量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=2,|a+b+c|=7,则|c|=.

答案4解析∵不共线的平面对量a,b,c两两所成的角相等,∴向量a,b,c两两所成的角为120°.又|a|=1,|b|=2,|a+b+c|=7,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2|a||b|cos120°+2|a||c|·cos120°+2|b||c|cos120°=1+4+|c|2-2-|c|-2|c|=7,即|c|2-3|c|-4=0,解得|c|=4或|c|=-1(舍).故答案为4.15.(2024届长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若以答案5解析设双曲线的半焦距为c,c>0,则F(c,0),把x=c代入双曲线方程得y=±b2a,不妨令Ac,b2a,Bc,-b2a,因为以AB为直径的圆过坐标原点,所以c=b2a,所以ac=c2-a16.(2024届广东惠州调研,15)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面相互垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.

答案2解析由已知条件知,AB,AD,AQ两两垂直,所以以A为原点,分别以AB,AD,AQ所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),设AB=2,则E(1,0,0),F(2,1,0),则AF=(2,1,0).由M在线段PQ上,设M(0,y,2),0≤y≤2,∴EM=(-1,y,2),∴cosθ=|cos<EM,AF>|=2-yy2+5·5,设f(y)=2-yy2+5·5,0≤y≤2,则f'(y)=-2y-55(y2+5)y2+5,∵函数g(y)=-2y-5三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必做题17.(2024贵州4月模拟,18)已知{an}为等差数列,各项为正的等比数列{bn}的前n项和为Sn,2a1=b1=2,a2+a8=10,.

在①λSn=bn-1;②a4=S3-2S2+S1;③bn=2λan这三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答.(假如选择多个条件解答,则(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.解析选择②进行解答.(答案不唯一)(1)设等差数列{an}的公差为d,各项为正的等比数列{bn}的公比为q(q>0),∵2a1=b1=2,a2+a8=10,∴a1=1,2a1+8d=10,解得d=1.∴an=1+n-1=n.∵a4=S3-2S2+S1,∴a4=b3-b2,∴2q2-2q=4,解得q=2(舍负).∴bn=2n.(2)由(1)得an·bn=n·2n.则数列{an·bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n·2n.2Tn=22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1.∴-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2(1-2n)1-2-n∴Tn=(n-1)·2n+1+2.18.(2024太原一模,19)如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是正三角形,G是△PAB的重心,D,E,H分别是PA,BC,PC的中点,点F在BC上,且BF=3FC.(1)求证:平面DFH∥平面PGE;(2)若PB⊥AC,AB=AC=2,BC=22,求三棱锥P-DEG的体积.解析(1)证明:连接BG,由题意可得BG与GD共线,且BG=2GD,∵E是BC的中点,BF=3FC,∴F是CE的中点,∴BGGD=BEEF=2,∴GE∥DF,又GE⊂平面PGE,DF⊄∴DF∥平面PGE.∵H是PC的中点,F是EC的中点,∴FH∥PE,又PE⊂平面PGE,FH⊄平面PGE,∴FH∥平面PGE,又∵DF∩FH=F,DF⊂平面DHF,FH⊂平面DHF,∴平面DFH∥平面PGE.(2)∵AB=AC=2,BC=22,∴AB2+AC2=8=BC2,∴AB⊥AC,∵PB⊥AC,AB∩PB=B,∴AC⊥平面PAB.∵△PAB是正三角形,∴S△PAB=34AB2=3∴VP-DEG=VE-PDG=13VE-PBD=16VE-PAB=112VC-PAB=112×13·S△19.(2024百校联盟质量监测)为了增加超市的销售量,营销人员实行了相应的推销手段,每位顾客消费达到100元可以获得相应的积分,每花费100积分可以参加超市的抽奖嬉戏,嬉戏规则如下:抽奖箱中放有2张奖券,3张白券,每次任取两张券,每个人有放回地抽取三次,即完成一轮抽奖嬉戏;若摸出的结果是“2张奖券”三次,则获得10100积分,若摸出的结果是“2张奖券”一次或两次,则获得300积分,若摸出“2张奖券”的次数为零,则获得0积分;获得的积分扣除花费的100积分,则为该顾客所得的最终积分,最终积分若达到肯定的标准,可以兑换电饭锅、洗衣机等生活用品.(1)求一轮抽奖嬉戏中,甲摸出“2张奖券”的次数为零的概率;(2)记一轮抽奖嬉戏中,甲摸出“2张奖券”的次数为X,求X的分布列以及数学期望;(3)试用概率与统计的相关学问,从数学期望的角度进行分析,多次参加抽奖嬉戏后,甲的最终积分状况.解析(1)每次抽取,摸出“2张奖券”的概率P=C22C52=110,故一轮嬉戏中,甲摸出“2张奖券”(记为事务A)(2)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,故P(X=0)=P(A)=7291000,P(X=1)=C31·110·1-1102=2431000,P(X=2)=C32·故X的分布列为X0123P729243271故E(X)=0×7291000+1×2431000+2×271000+3×1(3)记一轮抽奖嬉戏后,甲的最终积分为Y分,Y的全部可能取值为-100,200,10000,则Y的分布列为Y-10020010000P7292701故E(Y)=-72900+54000+100001000可知一轮嬉戏过后,甲的最终积分的期望为负数,故多次参加抽奖活动后,可以估计甲的最终积分会越来越少.20.(2024届T8联考,20)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),圆C:(x-2m)2+(y-4m)2=1(m≠0),点F1,F2分别为E的左,右焦点,点C为圆心,O为原点,线段OC的垂直平分线为l.已知E的离心率为12,点F1,F(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问:是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为23?若存在,求实数m的值;若不存在,说明理由解析(1)因为e=ca=12,设点F1,F2关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段F1F2的中点,所以C为线段MN的中点,从而线段MN为圆C的一条直径,所以|F1F2|=|MN|=2,即2c=2,即c=1.于是a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程是x24+(2)因为原点O为线段F1F2的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,所以点O与C也关于直线l对称,因为点C(2m,4m),所以线段OC的中点为(m,2m),直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,所以直线l的方程为y-2m=-12(x-m),即y=-12x+将y=-12x+5m2代入x24+y23=1,得3x2+4-因为直线l与椭圆E相交,所以Δ=100m2-16(25m2-12)>0,解得m2<1625,即|m|<4设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5m2,x1x2=所以kAC+kBC=y1-4mx=-(=-2x因为kAC+kBC=23所以2x1x则2x1x2-m(x1+x2)-4m2=0,所以25m2-122-5m22-4m2所以不存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为2321.(2024山东青岛二模,21)已知函数f(x)=alnx-x+1(x>0),a∈R.(1)探讨f(x)的单调性;(2)若对随意x∈(0,+∞),均有f(x)≤0,求a的值;(3)假设某篮球运动员每次投篮命中的概率均为0.81,若其10次投篮全部命中的概率为p,证明:p<e-2.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax-12x若a≤0,则f'(x)<0对随意的x>0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上为减函数;若a>0,由f'(x)>0可得0<x<4a2,由f'(x)<0可得x>4a2,此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,4a2),单调递减区间为(4a2,+∞).综上所述,当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数;当a>0时,函数f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+∞)上单调递减.(2)当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,当0<x<1时,f(x)>f(1)=0,不合题意.当a>0时,由(1)知f(x)max=f(4a2)=aln(4a2)-2a+1=2aln(2a)-2a+1≤0,令t=2a,t>0,可得tlnt-t+1≤0,即lnt-1+1t≤令g(t)=lnt+1t-1,其中t>0,则g'(t)=1t-1t当0<t<1时,g'(t)<0,此时函数g(t)单调递减;当t>1时,g'(t)>0,此时函数g(t)单调递增.所以,g(t)min=g(1)=0,则g(t)≥g(1)=0,又g(t)≤0,所以g(t)=0,所以2a=t=1,解得a=12(3)由题意可得p=0.8110,由(2)可知,当a=12时,