四川省凉山州2024-2025学年高二数学上学期第二次月考理试题含解析

Page21四川省凉山州2024-2025学年高二数学上学期其次次月考（理）试题满分：150分

考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题

共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一商店有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､激励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中激励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据对立事务的概念计算公式，结合题中条件，即可得出结果.【详解】中奖的概率为，中奖与不中奖互为对立事务，所以不中奖的概率为.故选：B.2.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列起先，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（）034743738636964736614698637162332616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179A.36 B.16 C.11 D.14【答案】C【解析】【分析】依据随机数表法抽样的规则读取数据即可.【详解】从题中给的随机数表第一行第3列起先从左往右起先读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11.所以出来的第5个零件编号是11.故选：C3.在庆祝中华人民共和国成立周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今日是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有中学学生人，其中高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人.现采纳分层抽样的方法从中学学生中抽取一个容量为的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】D【解析】【分析】干脆依据分层抽样的概念可得结果.【详解】由分层抽样方法可得：应抽取高一年级学生的人数为，故选：D.4.某公司为对本公司名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为，采纳系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为，那么抽取的员工中，最大的编号应当是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】解答：∵抽取的学生中最小的两个编号为为5,21,∴样本数据组距为21−5=16，样本容量n=10，∴编号对应的数列的通项公式为an=5+16(n−1)，则当n=10时，5+16×9=149，即抽取的最大编号是149.本题选择C选项.5.已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下面说法中正确的是（）.A.若，，且，，则B.若，，且，则C若且，则//D.若，，且//，//，则//【答案】D【解析】【分析】依据线面平行、线面垂直、面面平行的判定定理推断即可.【详解】对于A选项，当//时，直线与平面不肯定垂直，只有、相交时才能得到，故A错；对于B选项，如图所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此时//，故B错；对于C选项，若且，则//或在内，故C错；对于D选项，∵//，//，∴//，若，，则//，故D正确.故选：D.【点睛】对于空间点、线、面之间位置关系的推断问题，一般可采纳构造法推断，构造长方体或者正方体化抽象为直观取推断，这样能避开因考虑不全而导致的错误.6.统计与人类活动休戚相关，我国从古代就形成了一套关于统计和整理数据的方法．据宋元时代学者马端临所著的《文献通考》记载，宋神宗熙宁年间（公元1068－1077年），天下诸州商税岁额：四十万贯以上者三，二十万贯以上者五，十万贯以上者十九……五千贯以下者七十三，共计三百十一．由这段内容我们可以得到如下的统计表格：分组（万贯）合计合计73359551301953311则宋神宗熙宁年间各州商税岁额（单位：万贯）的中位数大约为（）A.0.5 B.2 C.5 D.10【答案】B【解析】【分析】将全部数据从小到大依次排列，确定中位数所在区间位置，即可确定中位数.【详解】总频数为311，则中位数是全部数据从小到大第156个数据，，中位数大约在区间的中点处，所以中位数大约为2．故选：B【点睛】本题考查样本频数分布表和中位数的概念，考查基本分析推断实力，属基础题.7.在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满意的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C．考点：古典概型．8.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系：令棱柱的棱长为2，则，，，则，，设与所成的角为，则故选：D9.正方体的棱长为1，线上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.三棱锥的体积为定值C.二面角的大小为定值D.异面直线AE、BF所成角为定值【答案】D【解析】【分析】通过线面的垂直关系可证从而推断A，依据三棱锥的体积计算的公式可推断B，依据二面角即为二面角，可推断C，计算异面直线所成的角可推断D．【详解】因为，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；因为为定值，到平面的距离为，所以为定值，故B正确；因为二面角就是二面角，所以其为定值，故C正确；当，，取为，如下图所示：因为，所以异面直线所成角为，且，当，，取为，如下图所示：因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以异面直线所成角为，且，由此可知：异面直线所成的角不是定值，故D错误.故选：D10.某程序框图如图，该程序运行后输出的值是A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【详解】由题设中供应的算法流程图可知程序执行的是求和运算：由于的周期是，所以，应选答案B．11.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A.4 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先依据几何体的三视图还原空间几何体的直观图，进一步求出三角形的最大面积．【详解】依据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：由于，下底面为等腰直角三角形．可得，，，，所以该四面体四个面的面积中，最大的是．故选：C．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形态时，要依据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形态以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.12.如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A. B.C.2 D.【答案】D【解析】【分析】设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.【详解】解：由平面，，又，，所以平面，所以，，设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．四棱锥的体积，四棱锥的表面积，因为，所以．故选：D.【点睛】考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.第Ⅱ卷（非选择题

共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某中学实行了一场音乐学问竞赛，将参赛学生的成果进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图.依据频率分布直方图，同一组数据用该区间的中点值代替，估计这次竞赛的平均成果为______分.【答案】67.【解析】分析】本题依据频率分布直方图干脆求平均数即可.【详解】解：这次竞赛的平均成果为：故答案为：67.【点睛】本题考查依据频率分布直方图求平均数，是基础题.14.已知一组数据的方差为2，则这组数据的方差为______.【答案】8【解析】【分析】由线性变换后新数据与原数据间方差的关系计算．【详解】的方差是．故答案为：8．【点睛】本题考查方差的概念，驾驭方差的性质是解题关键．数据的均值是，方差是，新数据满意（），新数据的均值是，方差是，则，．15.五一假期中，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，，假定三人的选择相互之间没有影响，那么这个假期中至少有1人去北京旅游的概率为_______．【答案】【解析】【分析】依据对立事务的概率公式进行求解即可.【详解】设这个假期中至少有1人去北京旅游为事务，因为，所以，故答案为：16.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于______．【答案】2【解析】【分析】依据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】∵、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，又∵二面角的平面角等于120°，且，∴，，，∴，．故答案为：2．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.2024年，河北等8省公布了高考改革综合方案将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门．为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成果进行统计分析，其中物理、历史成果的茎叶图如图所示．（1）若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率；（2）试依据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由；【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）这是一个古典概型，先列举出在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门的基本领件数，然后从中找出选到物理、地理两门功课的基本领件数，然后代入公式求解.（2）依据茎叶图，利用平均数和方差公式分别求得物理成果和历史成果的平均分和方差即可.【详解】（1）记物理、历史分别为，思想政治、地理、化学、生物分别为，由题意可知考生选择的情形有，，，，，，，，，，，，共12种；他选到物理、地理两门功课的情形有，共3种；甲同学选到物理、地理两门功课的概率为（2）物理成果的平均分为历史成果的平均分为由茎叶图可知物理成果的方差历史成果的方差故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分状况来看，应选择历史学科.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深化人心，已形成了全民自觉参加，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展状况的调查，现从参加调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示（1）求a的值．（2）依据频率分布直方图，估计参加调查人群的样本数据的中位数（保留两位小数）．（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求两人恰有一人的年龄在内的概率．【答案】（1）；（2）42.14；（3）.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的小矩形的面积和为1求解.（2）由频率分布直方图得的频率，的频率，然后再利用中位数的定义求解。（3）这是一个古典概型，先求得从年龄在的5人中随机抽取两位的基本领件数，再得到两人恰有一人的年龄在在内的基本领件数，代入公式求解.【详解】（1）因为，.解得（2）因为的频率为，的频率为，所以估计参加调查人群的样本数据的中位数为.（3）20人中，年龄在中的有人，记为A，B，年龄在中的有人记为a，b，c，从年龄在的5人中随机抽取两位，基本领件有：，共10种，两人恰有一人的年龄在在内的基本领件有：，共6种，所以两人恰有一人的年龄在内的概率为..【点睛】结论点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应留意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．19.已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面，进一步可得面面垂直；（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：（1）在图①中，连接，如图所示：因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.因为为的中点，所以，.又，所以.在图②中，，所以，即.因为，所以，.又，，平面.所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，.因为，，平面.所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，，，.因为为的中点，所以.所以，.设平面的一个法向量为，由得.令，得，，所以.设平面的一个法向量为.因为，由得令，，，得则，所以二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路（1）利用面面垂直的定义，（不常用）（2）利用面面垂直的判定定理；（3）利用性质：，.20.在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质证即可；（2）面内过点作垂直于，构建以为原点，为，，轴的空间直角坐标系，应用平面法向量与直线方向向量的夹角与线面角的关系即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）在等腰直角三角形中，，所以．∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴；（2）在平面内过点作垂直于，由（1）知，平面，因为平面，所以．如图，以为原点，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，．，，．设平面的法向量为，则，即．令则，，所以．直线与平面所成角大小为，．所以直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查了应用线面垂直性质证线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.21.2024年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2024年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)的近5天的详细数据，如表：第x天12345新增的新型冠状病毒肺炎人数y(人)2481318已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系.（1）求线性