专题32三角形压轴综合问题-中考数学必刷真题考点分类专练【解析版】

加油！考生！专题32三角形压轴综合问题一、解答题1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；

图1(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图2【答案】(1)见解析(2)∠DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM【解析】【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE．(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°−∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．2．（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB．求证∠ACD=∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的长．”【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BH=【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案；（2）如图，在BC上截取BN=CF,证明△CEF≌△BDN,再证明EF=DN,∠EFC=∠DNB,证明△GHB≌△CND,可得BH=DN,从而可得结论；（3）如图，在BC上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=22+42=25,证明△ADC∽△ACB,可得AD=1,CD=5,可得BG=CD=5【详解】证明：（1）∵∠ADC=∠ACB,∠A=∠A,而∠ACD=180°−∠A−∠ADC,∠ABC=180°−∠A−∠ACB,∴∠ACD=∠ABC,（2）BH=EF,理由如下：如图，在BC上截取BN=CF,∵BD=CE,∠ACD=∠ABC,∴△CEF≌△BDN,∴EF=DN,∠EFC=∠DNB,∵∠BGH=∠BCF，∠GBN=∠FBC,∴∠BHG=∠BFC,∵∠EFC=∠BND,∴∠BFC=∠DNC,∴∠BHG=∠DNC,∵BG=CD,∴△GHB≌△CND,∴BH=DN,∴BH=EF.（3）如图，在BC上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,∵AC=2,AB=4,∠BAC=90°,∴BC=2∵∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠ABC,∴△ADC∽△ACB,∴AD∴AD∴AD=1,CD=5∴BG=CD=5∵∠GBH=∠FBC,∠BGH=∠BCF,∴△BGH∽△BCF,∴BG∴BF=2BH,而EF=GH,∴BE=3BH,∵AB=4,AD=1,BD=CE,∴BD=CE=3,∴AE=3−2=1,而∠BAE=∠BAC=90°,∴BE=A∴BH=【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B则S△ABC∵AD=∴S△ABC【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则【答案】(1)3:4(2)12；(3)a【解析】【分析】（1）由图可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据BE:AB=1:2，S△ABC=1和等高三角形的性质可求得S△BEC，然后根据CD:BC=1:3（3）根据BE:AB=1:m，S△ABC=a和等高三角形的性质可求得S△BEC，然后根据CD:BC=1:n，和等高三角形的性质可求得(1)解：如图，过点A作AE⊥BC，则S△ABD=∵AE=AE，∴S△ABD(2)解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE(3)解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．4．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．【答案】(1)见解析(2)2(3)①35；②【解析】【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；(2)解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴ABAE=ABAC∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴BD(3)解：①ABAC=ADDE=∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ABAC∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴BD②由①得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC=BC【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．5．（2022·广西·中考真题）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．(1)如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A',B',D'，连接OD,OD'．判断OD与OD'有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．【答案】(1)OD=OD(2)3(3)当OA=OB时，△AOB的面积最大；理由见解析，△AOB面积的最大值为9【解析】【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=12AB，OD′=12A′（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；（3）作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，当OA=OB时，此时OT最大，即△AOB的面积最大，由勾股定理等进行求解即可．(1)解：OD=OD∵∠AOB=α=90°，AB中点为D，∴OD=1∵D'为A'∴OD∵AB=A∴OD=OD(2)解：如图1，作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，此时△AOB是等边三角形，∴BO′=AB=6，OC最大=CO′=CD+DO′=12AB+32BO′=3+3(3)解：如图2，作等腰直角三角形AIB，以I为圆心，AI为半径作⊙I，∴AI=22AB=32，∠AOB=12∠则点O在⊙I上，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于O，此时△AOB的面积最大，∵OC=CI+OI=12AB+32=3+32∴S△AOB最大=12×6×(3+32)=9+92【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型．6．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG,BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．请你证明：AG=BH．【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【答案】证明见解析；垂直；BH=【解析】【分析】证明△BOH≅△AOG，即可得出结论；通过∠BHO=∠AGO，可以求出∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，得出结论AG⊥BH；证明△BOH∽△AOG，得出AG【详解】证明：∵AB=AC,AO⊥BC，∴OA=OB,∠AOB=90°，∵∠BOH+∠AOH=90°,∠AOG+∠AOH=90°，∴∠BOH=∠AOG，∵OH=OG，∴△BOH≅△AOG，∴AG=BH；迁移应用：AG⊥BH，证明：∵△BOH≅△AOG，∴∠BHO=∠AGO，∵∠DGH+∠AGO=45°，∴∠DGH+∠BHO=45°，∵∠OHG=45°，∴∠DGH+∠BHO+∠OHG=90°，∴∠HDG=90°，∴AG⊥BH；拓展延伸：BH=3证明：在Rt△AOB中，tan30°=在Rt△HOG中，tan30°=∴OAOB由上一问题可知，∠BOH=∠AOG，∴△BOH∽∴AGBH∴BH=3【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．7．（2022·辽宁锦州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE=CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．(1)如图1，若∠ACB=120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：____________．(2)如图2．若∠ACB=90°，完成以下问题：①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,DF之间的数量关系，并说明理由；②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3，请直接写出AC的长．【答案】(1)EF=(2)①AD+DF=22AC；②4【解析】【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到EF=CG，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明△ACH是等腰直角三角形，即可得到结论；②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到△ACG是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．(1)解：过点C作CG⊥AB于G，如图，∵EF⊥AB，∴∠EFD=∠CGD=90°，∵∠EDF=∠CDG，DE=CD，∴△EDF≌△CDG，∴EF=CG；∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=1∴CG=1∴EF=1故答案为：EF=1(2)解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，∴DF=DH，∴AD+DF=AD+DH=AH，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH=2∴AD+DF=2②如图，过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，∴DF=DG=1，∵AD=3，当点F在点A、D之间时，有∴AG=1+3=4，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2当点D在点A、F之间时，如图：∴AG=AD−DG=3−1=2，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2综合上述，线段AC的长为42或2【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．8．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2【答案】(1)见解析(2)CD=CH；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明△FCE≅△BCDSAS，得出∠CFE=∠CBD，推出EF∥BD，再由AF⊥EF即可证明BD⊥AF（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证△MEC≅△BDCSAS，推出ME=BD，通过等量代换得到AM2=AE(1)证明：在△FCE和△BCD中，CE=CD∠FCE=∠BCD∴△FCE≅△BCDSAS∴∠CFE=∠CBD，∴EF∥BD，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF．(2)解：补全后的图形如图所示，CD=CH，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵∠ACB=90∘，CM＝∴AC垂直平分BM，∴AB=AM，在△MEC和△BDC中，CM=CB∠MCE=∠BCD∴△MEC≅△BDCSAS∴ME=BD，∠CME=∠CBD，∵AB∴AM∴∠AEM=90°，∵∠CME=∠CBD，∴BH∥EM，∴∠BHE=∠AEM=90°，即∠DHE=90°，∵CE=CD=1∴CH=1∴CD=CH．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明∠DHE=90°是解题的关键．9．（2022·福建·中考真题）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ACE+∠EFC=180°，见解析(3)30°【解析】【分析】（1）先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据AB＝AC得出结论；（2）先证出∠ACF=∠CEF，再根据三角形内角和∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，得到∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，等量代换即可得到结论；（3）在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，证得△ABM≌△CDB，得到∠MBA=∠BDC，设∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，则∠ADB=α+β，得到α+(1)∵△ABC≌∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB=∠DCB，∴∠ABC=∠DCB，∴AB∥∴四边形ABDC是平行四边形，又∵AB＝AC，∴四边形ABDC是菱形；(2)结论：∠ACE+∠EFC=180°．证明：∵△ABC≌∴∠ABC=∠DEC，∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠DEC，∵∠ACB+∠ACF=∠DEC+∠CEF=180°，∴∠ACF=∠CEF，∵∠CEF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，∴∠ACE+∠EFC=180°；(3)在AD上取一点M，使得AM＝CB，连接BM，∵AB＝CD，∠BAD=∠BCD，∴△ABM≌∴BM＝BD，∠MBA=∠BDC，∴∠ADB=∠BMD，∵∠BMD=∠BAD+∠MBA，∴∠ADB=∠BCD+∠BDC，设∠BCD=∠BAD=α，∠BDC=β，则∠ADB=α+β，∵CA＝CD，∴∠CAD=∠CDA=α+2β，∴∠BAC=∠CAD−∠BAD=2β，∴∠ACB=1∴∠ACD=90°−β∵∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，

∴90°−β+α+2∴α+β=30°，即∠ADB＝30°．【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．10．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（从①②两题中选择一题加以证明）(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．(3)探究：用数学的语言表达如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．【答案】(1)见解析(2)添加条件CD=BE，见解析(3)能，0＜CF＜5【解析】【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．②利用SAS证明△ABD≌△ACE．（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．(1)①如图1，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD，CE是△ABC的角平分线，∴∠ABD=12∠ABC，∠ACE=12∠∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(2)添加条件CD=BE，证明如下：∵AB=AC，CD=BE，∴AC+CD=AB+BE，∴AD=AE，∵AB=AC，∠A=∠A，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE．(3)能在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，E与A重合，∵∠A＝36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，∴△CBF∽△BAF，∴BFAF∵AB＝AC＝2=BF，设CF=x，∴2x+2整理，得x2解得x=5−1，x=−故CF=x=5−1∴0＜CF＜5−1【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．11．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：S（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）25【解析】【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出DE=OD⋅sin（2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到OFOM=OEOA=56，设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则OA=6m，OM=6n【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，∴DE=OD⋅sin∴S△OCDS△AOB∵∠DOE=∠BOF，∴sin∠DOE=∴S1（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，∴DE=OD⋅sin∴S△OCDS△AOB∵∠DOE=∠BOF，∴sin∠DOE=∴S1（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，∵EF∥∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，∵EF∥∴△OEF∽△OAM，∴OFOM设OE=OC=5m，OF=OD=5n，则∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，∴HN∥∴△OGF∽△OHN，∴OGOH∵OG=2GH，∴OG=2∴OGOH∴ON=32OF=∴OB=ON+BN=9n，由（2）可知S1【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．12．（2022·湖北武汉·中考真题）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，①如图1，若∠B=45°，m=52，则n=_____________，S=②如图2，若∠B=60°，m=43，则n=_____________，S=(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．【答案】(1)①52，25；②4；(2)S=1(3)S=6【解析】【分析】（1）①先证四边形DECF为正方形，再证△ABC为等腰直角三角形，根据CD平分∠ACB，得出CD⊥AB，且AD=BD=m,然后利用三角函数求出BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5即可；②先证四边形DECF为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出∠A=90°-∠B=30°，利用30°直角三角形先证求出DE=12AD=12×43=23，利用三角函数求出AE=ADcos30°=6，DF=DE=23（2）过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，先证四边形DGCH为正方形，再证△DFG≌△DEH（ASA）与△DBG≌△DIH（SAS），然后证明∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°即可；（3）过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，先证明△DQF≌△DPE，△DBQ≌△DRP，再证△DBF≌△DRE，求出∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°即可．(1)解：①∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，CD是△ABC的角平分线，∴四边形DECF为矩形，DE=DF，∴四边形DECF为正方形，∵∠B=45°，∴∠A=90°-∠B=45°=∠B，∴△ABC为等腰直角三角形，∵CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，且AD=BD=m,∵m=52∴BD=n=52∴BF=BDcos45°=5，DF=BDsin45°=5，AE=ADcos45°=5，ED=DF=5，∴S=S△ADE故答案为52②∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，CD是△ABC的角平分线，∴四边形DECF为矩形，DE=DF，∴四边形DECF为正方形，∵∠B=60°，∴∠A=90°-∠B=30°，∴DE=12AD=12×43=23，AE=∵∠BDF=90°-∠B=30°，∴BF=DFtan30°=2，∴BD=DF÷sin60°=4，∴BD=n=4，∴S=S△ADE故答案为：4；83(2)解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，∴四边形DGCH为矩形，∵CD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DG=DH，∴四边形DGCH为正方形，∴∠GDH=90°，∵∠EDF=90°，∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，∴∠FDG=∠EDH，在△DFG和△DEH中，∠FDG=∠EDHDG=DH∴△DFG≌△DEH（ASA）∴FG=EH，在△DBG和△DIH中，DG=DH∠DGB=∠DHI∴△DBG≌△DIH（SAS），∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，∴S△ADI=12∴S=S△ADE(3)过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，∵CD是△ABC的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，∴DP=DQ，∵∠ACB=60°∴∠QDP=120°，∵∠EDF=120°，∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，∴∠FDQ=∠EDP，在△DFQ和△DEP中，∠FDQ=∠EDPDQ=DP∴△DFQ≌△DEP（ASA）∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，在△DBQ和△DRP中，DQ=DP∠DQB=∠DPR∴△DBQ≌△DRP（SAS），∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，∵DB=DE，DB=DR，∴△DBF≌△DRE，∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，∴S=S△ADR=12【点睛】本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键．13．（2022·黑龙江·中考真题）△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB=PA+PC，证明见解析(3)图③结论：PA+PB=PC【解析】【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论；（2）在BP上截取BF=CP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△CAP≌△BAF（SAS），得∠CAP=∠BAF，AF=AP，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论；（3）在CP上截取CF=BP，连接AF，证明△BAD≌△CAE（SAS），得∠ABD=∠ACE，再证明△BAP≌△CAF（SAS），得出∠CAF=∠BAP，AP=AF，然后证明△AFP是等边三角形，得PF=AP，即可得出结论：PA+PB=PF+CF=PC．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴PA+PB=PC或PA+PC=PB；(2)解：图②结论：PB=PA+PC证明：在BP上截取BF=CP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AC=AB，CP=BF，

∴△CAP≌△BAF（SAS），∴∠CAP=∠BAF，AF=AP，∴∠CAP+∠CAF=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PC=PF+BF=PB；(3)解：图③结论：PA+PB=PC，理由：在CP上截取CF=BP，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BP=CF，∴△BAP≌△CAF（SAS），

∴∠CAF=∠BAP，AP=AF，∴∠BAF+∠BAP=∠BAF+∠CAF，∴∠FAP=∠BAC=60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=AP，∴PA+PB=PF+CF=PC，即PA+PB=PC．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．14．（2022·陕西·中考真题）问题提出(1)如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为__________．问题探究(2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．问题解决(3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．【答案】(1)75°(2)15(3)符合要求，理由见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的判定及性质，结合三角形内角和，先求出∠PCD=15°即可；（2）连接BP．先证明出四边形ACBP是菱形．利用菱形的性质得出BP=AC=6，由∠ACB=120°，得出∠PBE=60°．根据l⊥BC，得BE=PB⋅cos60°=3，PE=PB⋅sin60°=33，即可求出S（3）由作法，知AP=AC，根据CD=CA,∠CAB=45°，得出∠ACD=90°．以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF．得出AF=AC=AP．根据l是CD的垂直平分线，证明出△AFP为等边三角形，即可得出结论．(1)解：∵AC=AP，∴∠ACP=∠APC，∵2(∠ACD+∠PCD)+∠CAP=180°，∴2×(60°+∠PCD)+30°=180°，解得：∠PCD=15°，∴∠ACP=∠ACD+∠PCD=75°，∴∠APC=75°，故答案为：75°；(2)解：如图2，连接BP．

图2∵AP∥BC,AP=BC=AC，∴四边形ACBP是菱形．∴BP=AC=6．∵∠ACB=120°，∴∠PBE=60°．∵l⊥BC，∴BE=PB⋅cos∴S△ABC∵∠ABC=30°，∴OE=BE⋅tan∴S△OBE∴S四边形(3)解：符合要求．由作法，知AP=AC．∵CD=CA,∠CAB=45°，∴∠ACD=90°．如图3，以AC、CD为边，作正方形ACDF，连接PF．

图3∴AF=AC=AP．∵l是CD的垂直平分线，∴l是AF的垂直平分线．∴PF=PA．∴△AFP为等边三角形．∴∠FAP=60°，∴∠PAC=30°，∴∠BAP=15°．∴裁得的△ABP型部件符合要求．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质、三角形内角和定理、菱形的判定及性质、锐角三角函数、正方形、垂直平分线，解题的关键是要灵活运用以上知识点进行求解，涉及知识点较多，题目较难．15．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2．(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE=______，直线AD与直线(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan60°−α【答案】(1)3

，垂直(2)成立，理由见解析(3)8【解析】【分析】（1）解直角三角形求出EC，AD，可得结论；（2）结论不变，证明△ABD∽△CBE，推出ADEC=AB（3）如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K.求出BJ，JK，可得结论．(1)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，∠A=30°，∴AB=3在Rt△BDE中，∠BDE=30°，BE=2，∴BD=3∴EC=1，AD=3∴ADEC=3故答案为：3，垂直；(2)结论成立．理由：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=3BC，∴ACBC∴△ABD∽△CBE，∴ADEC=AB∵∠ADB+∠CDB=180°，∴∠CDB+∠BEC=180°，∴∠DBE+∠DCE=180°，∵∠DBE=90°，∴∠DCE=90°，∴AD⊥EC；(3)如图3中，过点B作BJ⊥AC于点J，设BD交AK于点K，过点K作KT⊥AC于点K．∵∠AJB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABJ=60°，∴∠KBJ=60°−α．∵AB=33∴BJ=12AB=当DF=BE时，四边形BEFD是矩形，∴∠ADB=90°，AD=A设KT=m，则AT=3m，∵∠KTB=∠ADB=90°，∴tanα=∴mBT∴BT=2∴3m+∴m=45−6∴AK=2m=90−12∴KJ=AJ−AK=9∴tan60°−α【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．16．（2022·湖北十堰·中考真题）已知∠ABN=90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=α0°<α≤90°．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F(1)如图1，当α=90°时，线段BF与CF的数量关系是_________；(2)如图2，当0°<α<90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若α=60°，AB=43，BD=m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m【答案】(1)BF=CF(2)成立；理由见解析(3)PD=6−m2或PD【解析】【分析】（1）连接AF，先根据“SAS”证明ΔACE≌ΔABD，得出∠ACE=∠ABD=90°（2）连接AF，先说明∠EAC=∠BAD，然后根据“SAS”证明ΔACE≌ΔABD，得出∠ACE=∠ABD=90°（3）先根据α=60°，AB=AC，得出△ABC为等边三角形，再按照∠BAD＜60°，∠BAD=60°，(1)解：BF=CF；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，∠DAE=α=90°，AE=AD，∵∠BAC=90°，∴∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠EAC=∠BAD，∵AC=AB，∴ΔACE≌∴∠ACE=∠ABD=90°，∴∠ACF=180°−90°=90°，∵在Rt△ABF与Rt△ACF中AB=ACAF=AF∴Rt△ABF≌∴BF=CF．故答案为：BF=CF．(2)成立；理由如下：连接AF，如图所示：根据旋转可知，∠DAE=α，AE=AD，∵∠BAC=α，∴∠EAC−∠CAD=α，∠BAD−∠CAD=α，∴∠EAC=∠BAD，∵AC=AB，∴ΔACE≌∴∠ACE=∠ABD=90°，∴∠ACF=180°−90°=90°，∵在Rt△ABF与Rt△ACF中AB=ACAF=AF∴Rt△ABF≌∴BF=CF．(3)∵α=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC=BC=43当∠BAD＜60°时，连接根据解析（2）可知，Rt△ABF≌∴∠BAF=∠CAF=1∵AB=43∴tan即BF=AB×tan∴CF=BF=4，根据解析（2）可知，ΔACE≌∴CE=BD=m，∴EF=CF+CE=4+m，∠FBC=∠FCB=90°−60°=30°，∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60°，∵∠EPF=90°，∴∠FEP=90°−60°=30°，∴PF=1∴BP=BF+PF=4+2+m∴PD=BP−BD=6+m当∠BAD=60°时，AD与AC重合，如图所示：∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE=60°，∵∠ADB=90°−∠BAC=30°，∴∠ADE=60°+30°=90°，∴此时点P与点D重合，PD=0；当∠BAD＞60°时，连接根据解析（2）可知，Rt△ABF≌∴∠BAF=∠CAF=1∵AB=43∴tan即BF=AB×tan∴CF=BF=4，根据解析（2）可知，ΔACE≌∴CE=BD=m，∴EF=CF+CE=4+m，∵∠FBC=∠FCB=90°−60°=30°，∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60°，∵∠EPF=90°，∴∠FEP=90°−60°=30°，∴PF=1∴BP=BF+PF=4+2+m∴PD=BD−BF=m−6+综上分析可知，PD=6−m2或PD=0或17．（2022·湖南湘潭·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=2，分别求出线段BD、CE(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α0<α<45°，请探究线段BD、CE和DE②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α45°<α<90°，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)①DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析(3)S【解析】【分析】（1）先根据得出∠ABC=∠ACB=90°2=45°，根据l∥BC，得出∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，再根据∠BDA=∠CEA=90°，求出∠ABD=45°即可得出∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，最后根据三角函数得出AD=BD=1，AE=CE=1，即可求出DE=AD+AE=2；（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明ΔABD≌ΔCAE，得出AD=CE，BD（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出AC=AE2+CE2=5，根据DF∥CE，得出AD(1)解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=90°∵l∥BC，∴∠DAB=∠ABC=45°，∠EAC=∠ACE=45°，∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD=90°−45°=45°，∠ACE=90°−45°=45°，∴∠DAB=∠ABD=∠EAC=∠ACE=45°，∴AD=BD=AB×sinAE=CE=AC×sin∴DE=AD+AE=2．(2)①DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD；②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠DBA=∠CAE，∵AB=AC，∴ΔABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE．(3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴AE=AD+DE=3+1=4，在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：AC=A∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴DF∥CE，∴ADAE即34解得：AF=15∴CF=AC−AF=5−15∵AB=AC=5，∴SΔ【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ΔABD≌18．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；①点E在线段AB的延长线上且BE=BD；②点E在线段AB上且EB=ED．(2)若AB=6．①当DEAD=3②直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．【答案】(1)①AE=2BE②AE=2BE(2)①215【解析】【分析】（1）①算出△ABD各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；②算出△ADE各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即△EGD∽△DHA，设DE=3a，AD=2a，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出ED，AD，EG，②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明△EHD∽△DGA可得AGDH=DG(1)①如图：∵在ΔABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°∵BE=BD∴∠BDE=12在△ABD中，∠BAD=180°−∠ABD−∠BDA=180°−30°−75°=75°∴∠BAD=∠BDA=75°∴AB=BD=BE∴AE=2BE；②如图：∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=30°，∠AED=60°∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°∴AE=2ED∴AE=2BE；(2)①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴△EGD∽设DE=3a，AD=2a，则AE=D在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6则AC=AB3在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6−则EG=在Rt△AHC中，∠C=60°，AC=2∴AH=∴DH=由△EGD∽△DHA得即3解得：a1=3故AE=7②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴△EHD∽∴AGDH∴AG·EH=DH·DG，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴AG=∴DH·DG=3EH，∴AE2=A∵D∴AE∴AE∵AE＞∴AE≥3+EH，∵EH=1∴AE≥3+1∴AE≥4，故AE的最小值为4.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．19．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB=23，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM(1)求证：△PQM≌△CHD；(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且BK=9−43．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】(1)见详解(2)①93②(43③CF=【解析】【分析】（1）先证明四边形ABHD是矩形，再根据Rt△DHC算出CD长度，即可证明；（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；②运动分两个阶段：平移阶段：t=KHv；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作GT⊥DM于T；设∠KDH=θ，利用Rt△DKH算出tanθ，sinθ，cosθ，利用Rt△DGM算出DG，利用Rt△DGT算出GT，最后利用Rt△HGT算出sin∠GHT，发现③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明△DEF∼△CED，结合勾股定理，可得DE2=23(1)∵AD∥BC∴DH⊥AD则在四边形ABHD中∠ABH=∠BHD=∠HDA=90°故四边形ABHD为矩形DH=AB=23，在Rt△DHC中，∠C=30°∴CD=2DH=43，∵∠DHC=∠Q=90°∴△CHD≌(2)①过点Q作QS⊥AM于S由（1）得：AQ=CH=6在Rt△AQS中，∠QAS=30°∴AS=平移扫过面积：S旋转扫过面积：S故边PQ扫过的面积：S=②运动分两个阶段：平移和旋转平移阶段：KH=BH−BK=3−(9−4t旋转阶段：由线段长度得：PM=2DM取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作GT⊥DM于T设∠KDH=θ，则∠GHM=2θ在Rt△DKH中：KH=BH−BK=3−(9−4DK=设t=2−3，则KH=23ttanθ=KHDH=∵DM为直径∴∠DGM=90°在Rt△DGM中：DG=DM⋅在Rt△DGT中：GT=DG⋅在Rt△HGT中：sin∴2θ=30°，θ=15°PQ转过的角度：30°−15°=15°t2总时间：t=③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴△DEF∼△CED，∴DECE=EF∴DE∵在△DHE中，DE∴9−d2∴CF=m=当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得CF=m=综上所述：CF=60−12d【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出sin2θ20．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）CN=258；（3）【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理得到MD∥AC，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论；（2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形．理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，∴MD∥AC，∴∠AMD+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠AMD=90°，∵∠EDF=90°，∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°，四边形AMDN为矩形；（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，∴∠B+∠C=90°，BC=A∵点D是BC的中点，∴CD=12BC∵∠EDF=90°，∴∠MDB+∠1=90°．∵∠B=∠MDB，∴∠1=∠C．∴ND=NC．过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°．∴CG=12CD=5∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°，∴△CGN∽△CAB．∴CGCA=CN∴CN=25（3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH，∵MD⊥HN，∴MN=MH，∵D是BC中点，∴BD=DC，又∵∠BDH=∠CDN，∴△BDH≌△CDN，∴BH=CN，∠DBH=∠C，∵∠BAC=90°，∵∠C+∠ABC=90°，∴∠DBH+∠ABC=90°，∴∠MBH=90°，设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=2x，在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2，∴(6-x)2+(8-x)2=(2x)2，解得x=257∴线段AN的长为257【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题．21．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究AFAB(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出AFAB(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC=1nn<2，延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F【答案】(1)[问题提出]（1）14(2)[问题拓展]2−n【解析】【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得∠ADF=∠ADB=30°，∠AFD=90°，根据含30度角的直角三角形的性质，可得AF=1（2）取BC的中点H，连接DH．证明△DBH≌△DEC，可得BH=EC，根据DH∥AB，证明△EDH∽△EFB，根据相似三角形的性质可得FBDH[问题拓展]方法同（2）证明△DBH≌△DEC，得出，GH=EC，证明△EDH∽△EFB，得到FBDH=EBEH=(1)[问题探究]：（1）如图，∵△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，AD=∴∠ABD=∠DBE=30°，∠A=60°，∴DB=DE，∴∠E=∠DBE=30°，∵∠DCE=180°−∠ACB=120°，∴∠ADF=∠CDE=180°−∠E−∠DCE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=90°，∴AF=1∴AF（2）证明：取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH∥AB，∵AB=AC，∴DH=DC，∴∠DHC=∠DCH．∵BD=DE，∴∠DBH=∠DEC．∴∠BDH=∠EDC．∴△DBH≌△DEC．∴BH=EC．∴EBEH∵DH∥∴△EDH∽△EFB．∴FBDH∴FBAB∴AFAB(2)[问题拓展]如图，取BC的中点H，连接DH．∵D是AC的中点，∴DH∥AB，∵AB=AC，∴DH=DC，∴∠DHC=∠DCH．∵DE=DG，∴∠DGH=∠DEC．∴∠GDH=∠EDC．∴△DGH≌△DEC．∴GH=EC．∴HE=CG∵CG∴BC=nCG∴BG=n−1CE=GH=∴EBEH∵DH∥∴△EDH∽△EFB．∴FBDH∴FBAB∴AFAB∴AFAB=【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF∠P=90°,∠F=60°的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含（参考数据：sin15°=【答案】(1)1,1，S(2)①△OMN是等边三角形，理由见解析；②3(3)tan【解析】【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD的面积=1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=1（2）①结论：△OMN是等边三角形．证明OM=ON，可得结论；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．证明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．如图4-2中，当CM=CN时，S2最大．分别求解即可．(1)如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积=△OBC的面积=14正方形ABCD当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积=14正方形ABCD一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1=14S理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD∴S1=14S故答案为：1，1，S1=14S(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan