沪科版七年级数学上册期末复习考点清单 专题01 有理数及其运算（9个考点清单+11种题型解读）

专题1有理数及其运算（9个考点清单+11种题型解读）目录TOC\o"1-3"\h\u【考点题型一】正负数的实际应用 3【考点题型二】有理数的分类 5【考点题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数 7【考点题型四】绝对值得非负性 8【考点题型五】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 10【考点题型六】有理数的大小比较 12【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 14【考点题型八】用数轴上的点表示有理数 16【考点题型九】有理数的混合运算 19【考点题型十】有理数的混合运算中错解复原问题 24【考点题型十一】有理数的混合运算中应用问题 29【知识点01】正数和负数正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。【知识点02】有理数的概念定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。分类：整数：包括正整数、0和负整数。分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。【知识点03】数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。【知识点04】相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。【知识点05】绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。【知识点06】有理数的大小比较利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。两个负数比较时，绝对值大的反而小。【知识点07】有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点08】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．【知识点09】科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【考点题型一】正负数的实际应用【例1】（24-25七年级上·全国·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（）A．元 B．元 C．元 D．元【变式1-1】（23-24七年级上·广东中山·期末）2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【变式1-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【变式1-3】（23-24七年级上·河南周口·期末）我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（

）A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元【变式1-4】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（）A． B． C． D．【考点题型二】有理数的分类【例2】（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（

）A．2 B． C．0 D．【变式2-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下列说法错误的有（

）①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥是最小的负整数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2-2】（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，0.2，中，其中整数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-3】（23-24八年级上·山西朔州·期末）下列各数：，，，0，，中，整数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式2-4】（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数【例3】（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是．【变式3-1】（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是．【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是．【变式3-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是，的倒数是．【考点题型四】绝对值得非负性【例4】（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则．【变式4-1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知与互为相反数，则．【变式4-2】（22-23七年级上·甘肃武威·期末）已知，则．【变式4-3】（23-24七年级上·吉林四平·期末）如果，那么．【考点题型五】根据点在数轴上的位置判断式子的正负【例5】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）有理数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（

）A． B． C． D．【变式5-2】（23-24七年级上·重庆南川·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【变式5-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①④【变式5-4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【考点题型六】有理数的大小比较【例6】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）比较大小：【变式6-1】（23-24七年级上·安徽·期末）比较大小：．（填“”或“”）【变式6-2】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小：．（填“”，“”或“”）【变式6-3】（24-25七年级上·全国·期末）比较大小：．【变式6-4】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①

②

③．【考点题型七】用科学记数法表示较大的数【例7】（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为．【变式7-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为．【变式7-2】（24-25七年级上·全国·期末）麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为．【变式7-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为．【变式7-4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为户．【考点题型八】用数轴上的点表示有理数【例8】（24-25六年级上·全国·期末）已知下列有理数：，0，，，，，．(1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点．(2)用“”把这些数连接起来．【变式8-1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“”连接起来．【变式8-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）已知点，，，，在数轴上分别对应下列各数：，，，，．(1)如图所示，在数轴上标出表示各数的点（标字母）；(2)用“”号把这些数连接起来．【变式8-3】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：，，0，，6，，．(1)负数集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．【变式8-4】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知下列有理数：0，．(1)计算：____________，____________；(2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________；(3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来．【考点题型九】有理数的混合运算【例9】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算(1)(2)(3)(4)【变式9-1】（24-25六年级上·全国·期末）计算：(1)(2)【变式9-2】（23-24七年级上·四川内江·期末）计算(1)；(2)．【变式9-3】（23-24七年级上·广东·期末）计算(1)(2)【变式9-4】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：(1)．(2)．(3)；(4)．【考点题型十】有理数的混合运算中错解复原问题【例10】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下：小明：原式（第一步）（第二步）（第三步）小红：原式（第一步）（第二步）（第三步）=16（第四步）(1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤；(2)写出正确的解答过程．【变式10-1】（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读下面的解题过程：计算：．解：原式．（第①步）．（第②步）．（第③步）回答：(1)上面解题过程中，第步开始就出现了错误，错误的原因是；(2)请把正确的解题过程写出来．【变式10-2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：原式第一步

第二步

第三步

第四步

第五步(1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步；(2)任务二：请写出正确的解答过程.【变式10-3】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下：解：原式

①

②

③．根据小林的计算过程回答下列问题：(1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的律；(2)小林的运算出现了错误，错在第（只填写序号）步；(3)请给出正确解法．【变式10-4】（23-24七年级上·甘肃张掖·期末）计算(1)计算：下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：原式第一步

第二步第三步

第四步

第五步任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第______步和第______步；任务二：请写出正确的解答过程．(2)【考点题型十一】有理数的混合运算中应用问题【例11】（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．

(1)请你通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？【变式11-1】（23-24七年级上·贵州遵义·期末）为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下：，，，，，，，，，（单位：个）．(1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？(2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？【变式11-2】（23-24七年级上·福建福州·期末）在“国庆+中秋”的8天长假中，某风景区10月1日的旅游人数为6万人，后面的7天与10月1日比每天旅游人数变化如下表∶(正数表示人数增加)日期2日3日4日5日6日7日8日人数变化(单位∶万人)(1)8天长假中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？(2)据测算，平均每位游客为风景区带来的旅游收入约为200元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？(结果用科学记数来表示)【变式11-3】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）六月份某天，利民生鲜超市以每千克6元的价格从批发市场购进一批香瓜．连续销售6天后还剩余18千克因质量不佳无法继续售卖（其他损耗不计）．若按平均每天出售120千克香瓜为标准，超过的数量记为“”，不足的数量记为“”，下表记录的是该超市连续六天香瓜销售量情况：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天销售量（千克）(1)根据记录可知，销售量最多的一天比销售量最少的一天多出售多少千克香瓜？(2)利民超市这次共购进香瓜多少千克？(3)若利民超市以每千克12元的价格开始出售这批香瓜，销售四天后，最后两天决定按原售价打7.5折让利销售．试计算利民超市在这批香瓜销售过程中共获得利润多少元？【变式11-4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）．第一批第二批第三批第四批第五批(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？(2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？(3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？

专题1有理数及其运算（9个考点清单+11种题型解读）目录TOC\o"1-3"\h\u【考点题型一】正负数的实际应用 3【考点题型二】有理数的分类 5【考点题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数 7【考点题型四】绝对值得非负性 8【考点题型五】根据点在数轴上的位置判断式子的正负 10【考点题型六】有理数的大小比较 12【考点题型七】用科学记数法表示较大的数 14【考点题型八】用数轴上的点表示有理数 16【考点题型九】有理数的混合运算 19【考点题型十】有理数的混合运算中错解复原问题 24【考点题型十一】有理数的混合运算中应用问题 29【知识点01】正数和负数正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。【知识点02】有理数的概念定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。分类：整数：包括正整数、0和负整数。分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。【知识点03】数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。【知识点04】相反数定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。【知识点05】绝对值定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。【知识点06】有理数的大小比较利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。两个负数比较时，绝对值大的反而小。【知识点07】有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知识点08】有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．【知识点09】科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.要点诠释：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.【考点题型一】正负数的实际应用【例1】（24-25七年级上·全国·期末）我国是最早使用负数的国家，东汉初，我国著名的数学著作《九章算术》明确提出了“正负术”．如果盈利元记作元，那么亏损元记作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【知识点】相反意义的量【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．根据正负数表示相反的意义，“正”表示盈利则“负”所表示亏损，再根据题意作答．【详解】解：如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作元，故选A．【变式1-1】（23-24七年级上·广东中山·期末）2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】A【知识点】正负数的定义、相反意义的量【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是用来表示相反意义的量求解即可．【详解】解：∵火箭发射点前5秒记为秒，∴火箭发射点火后10秒记为秒，故选：A．【变式1-2】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）早在公元前2世纪，中国古代劳动人民就认识到负数的存在．如果把收入8元记作元，那么支出6元记作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【知识点】相反意义的量【分析】本题考查了正负数的应用．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法．【详解】解：如果把收入8元记作元，那么支出6元记作元，故选：A．【变式1-3】（23-24七年级上·河南周口·期末）我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（

）A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元【答案】D【知识点】正负数的定义、相反意义的量【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量．【详解】解：∵收入100元记作元，∴元表示支出80元，故选：D．【变式1-4】（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作（）A． B． C． D．【答案】B【知识点】相反意义的量【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可，本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【详解】解：“正”和“负”相对，如果表示向右移动，记作，则表示向左移动，记作，故选：B．【考点题型二】有理数的分类【例2】（23-24七年级上·广西北海·期末）下列四个数中，负整数是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【知识点】有理数的分类【分析】本题主要考查了负整数的定义，根据负整数是小于0的整数进行求解即可．【详解】解：由题意得，四个选项中只有是负整数，故选：D．【变式2-1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）下列说法错误的有（

）①是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥是最小的负整数A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】有理数的分类【分析】此题考查的是有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键．直接根据有理数的分类进行解答即可．【详解】解：①是负分数，说法正确；②1.5不是整数，说法正确；③非负有理数包括0，说法错误；④整数和分数统称为有理数，说法正确；⑤0是最小的有理数，说法错误，没有最小的有理数；⑥是最大的负整数，原说法错误．所以错误的有3个．故选：C．【变式2-2】（23-24七年级上·云南文山·期末）在数，，，，，0.2，中，其中整数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【知识点】有理数的分类【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据整数的定义解答即可；掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键．【详解】解：整数有，，，共3个．故选：B．【变式2-3】（23-24八年级上·山西朔州·期末）下列各数：，，，0，，中，整数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【知识点】有理数的分类【分析】本题考查有理数的分类，根据整数分为：正整数，负整数和0，进行判断即可．【详解】解：在，，，0，，中，整数有，0，，共3个．故选B．【变式2-4】（23-24七年级上·四川德阳·期末）在，，0，，，这6个数中，负数有几个（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】有理数的分类【分析】此题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答．【详解】解：在，，0，，，这6个数中，负数有，，，共3个，故选：C．【考点题型三】求一个数的绝对值、相反数、倒数【例3】（23-24七年级上·广西钦州·期末）2024的绝对值是．【答案】【知识点】求一个数的绝对值【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身是解题的关键．根据绝对值的意义解答即可．【详解】解：2024的绝对值是，故答案为：．【变式3-1】（23-24七年级上·湖北·期末）2024的相反数是．【答案】【知识点】相反数的定义【分析】本题考查了相反数的定义，根据：“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果．【详解】解：2024的相反数是；故答案为：．【变式3-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，则a的倒数是．【答案】【知识点】求一个数的绝对值、倒数【分析】本题考查了绝对值、倒数，先根据绝对值的性质并结合已知条件得出，再根据倒数的定义得出a的倒数即可．【详解】解：∵，∴，∴a的倒数是．故答案为：．【变式3-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）的相反数是，的倒数是．【答案】3【知识点】相反数的定义、倒数【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，根据相反数、倒数的定义求额吉即可．【详解】解：的相反数是：，的倒数是：3．故答案为：，3．【考点题型四】绝对值得非负性【例4】（22-23六年级上·山东泰安·期末）已知，则．【答案】【知识点】绝对值非负性【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求得，的值即可．【详解】解：，，，解得，，故答案为．【变式4-1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）已知与互为相反数，则．【答案】【知识点】已知字母的值，求代数式的值、绝对值非负性【分析】此题考查了平方和绝对值的非负性、非负数的性质、代数式的值等知识，根据与互为相反数得到，再根据两个非负数的和为0则每个数是0，得到，再代入代数式求值即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，又∵，∴∴∴，故答案为：【变式4-2】（22-23七年级上·甘肃武威·期末）已知，则．【答案】1【知识点】绝对值非负性【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性进行解答即可．【详解】解：，，，，故答案为：1【点睛】本题考查绝对值和偶次幂的非负性，掌握“多个非负数相加和为0，则让其分别为0”的做题方法是解题的关键．【变式4-3】（23-24七年级上·吉林四平·期末）如果，那么．【答案】4【知识点】绝对值非负性、已知字母的值，求代数式的值【分析】本题考查了绝对值的非负性与代数式的求值计算，解题的关键是求得a与b的值．根据绝对值的意义先确定a、b的值，然后再代值计算即可．【详解】∵∴∴，∴，则，故答案为：4．【考点题型五】根据点在数轴上的位置判断式子的正负【例5】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负【分析】本题考查了数轴．根据所给数轴判断出的取值，再逐个判断即可．【详解】解：由图得，，且，，，，均不符合题意，符合题意，故选：B．【变式5-1】（23-24八年级下·广东深圳·期末）有理数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负【分析】此题主要考查了有理数加、减、乘法的运算方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．根据图示，可得：，且，据此逐项判断即可．【详解】解：根据图示，可得，且，∴，故A符合题意；∴，故B不符合题意；，，∴C不符合题意；，∴D不符合题意．故选：A．【变式5-2】（23-24七年级上·重庆南川·期末）有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负【分析】本题主要考查有理数的运算法则，由数轴可知，且，再利用有理数的运算法则逐项判断即可.【详解】解：在A选项中，，，正确，故A选项不符合题意；在B选项中，，，正确，故B选项不符合题意；在C选项中，，，正确，故C选项不符合题意；在D选项中，，由数轴可知，不正确，故D选项符合题意；故选D.【变式5-3】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①，②，③，④，正确的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负【分析】本题考查根据点在数轴上的位置比较代数式大小，熟练掌握利用数轴比较数的大小是解决问题的关键．【详解】解：在数轴上的位置如图所示：，故①正确；，②错误；由①②可得，③正确；，，④错误；综上所述，正确的有①③，故选：C．【变式5-4】（23-24六年级上·山东烟台·期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负【分析】本题主要考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，由数轴上点的位置得，且，则有、、和，即可判断出各选项正确与否．【详解】解：根据题意得，且，则，，，，A．，原式错误，故本选项不符合题意；B．，原式正确，故本选项符合题意；C．，原式错误，故本选项不符合题意；D．，原式错误，故本选项不符合题意；故选：B．【考点题型六】有理数的大小比较【例6】（23-24七年级上·新疆喀什·期末）比较大小：【答案】【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较【分析】本题考查了负数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而越小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：依题意，，且∴故答案为：【变式6-1】（23-24七年级上·安徽·期末）比较大小：．（填“”或“”）【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查有理数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小，掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．【详解】解：，，，，故答案为：【变式6-2】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）比较大小：．（填“”，“”或“”）【答案】【知识点】化简绝对值、有理数大小比较【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较法则是解题的关键．将的绝对值化简，再将带分数化为小数，根据两个负数比较大小法则再进行比较即可．【详解】解：，，故答案为：．【变式6-3】（24-25七年级上·全国·期末）比较大小：．【答案】【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号求出两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可．【详解】解：，，∵，∴，故答案为：．【变式6-4】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期末）比较大小：①

②

③．【答案】【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较【分析】此题考查了有理数比较大小，掌握相关规则是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小和正数大于负数等规则，即可求解．【详解】解：，，∵∴∵∴∵，∴故答案为，，【考点题型七】用科学记数法表示较大的数【例7】（23-24七年级上·四川达州·期末）中央电视台2023年春节联欢晚会在除夕夜如约与观众见面，整个节目呈现出“喜气洋洋、欢乐吉祥”的氛围和基调，令人耳目一新．据统计，春晚播出期间，通过电视、网络、社交媒体等多终端多渠道，海内外收看春晚的观众约为1131000000人次，将1131000000用科学记数法表示为．【答案】【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【详解】1131000000用科学记数法表示为，故答案为：．【变式7-1】（23-24六年级下·山东东营·期末）年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为．【答案】【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，∴用科学记数法表示万，则万，故答案为：．【变式7-2】（24-25七年级上·全国·期末）麒麟9000是国内首款搭载工艺的自主芯片，有着出色的算力和性能，它集成了153亿个晶体管，153亿用科学记数法可表示为．【答案】【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：153亿，故答案为：．【变式7-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）2022年，国家反诈中心会同有关部门全力构筑防止群众被骗的“防火墙”，直接推送预警指令4060余万条．4060万用科学记数法表示为．【答案】【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：4060万用科学记数法表示为．故答案为：．【变式7-4】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为户．【答案】【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】用科学记数法表示4.28亿户为．故答案为：．【考点题型八】用数轴上的点表示有理数【例8】（24-25六年级上·全国·期末）已知下列有理数：，0，，，，，．(1)画出数轴，并在数轴上标出这些数对应的点．(2)用“”把这些数连接起来．【答案】(1)画图见解析(2)【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值【分析】本题考查了在数轴上表示有理数；解题的关键是熟练掌握绝对值、相反数，从而完成求解．（1）先化简能够化简的各数，再在数轴上表示各数即可；（2）根据各数在数轴上的位置比较大小即可．【详解】（1）解：∵，，，在数轴表示各数如下：；（2）解：根据（1）的数轴图，得：．【变式8-1】（23-24七年级上·山东聊城·期末）在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们按从小到大的顺序用“”连接起来．【答案】数轴表示见解析，【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较．根据数轴特点，先在数轴上表示出来，再比较即可．【详解】解：，在数轴上画出表示各数的点，如下：把它们按从小到大的顺序用“”连接起来，如下：【变式8-2】（22-23七年级上·河南郑州·期末）已知点，，，，在数轴上分别对应下列各数：，，，，．(1)如图所示，在数轴上标出表示各数的点（标字母）；(2)用“”号把这些数连接起来．【答案】(1)数轴表示见解析；(2)．【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键．（）化简各数，再在数轴上标出各点即可；（）根据数轴即可求解；【详解】（1）解：∵，，，∴各数在数轴上表示如下：（2）解：由数轴可得，．【变式8-3】（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：，，0，，6，，．(1)负数集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．【答案】(1)，，，(2)(3)见解析【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、化简绝对值、有理数大小比较【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，有理数比较大小，负数的定义，化简绝对值和多重符号：（1）先化简绝对值和多重符号，再根据负数是小于0的数进行求解即可；（2）根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；（3）在数轴上表示出各数即可．【详解】（1）解：，，∴负数有，，，；（2）解：∵，∴，故答案为：；（3）解：如图所示，即为所求．【变式8-4】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）已知下列有理数：0，．(1)计算：____________，____________；(2)这些数中，所有负数的和的绝对值是____________；(3)在数轴上描出表示0，这些数的点，并将它们用“<”连接起来．【答案】(1)；；(2)；(3)图见解析，【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值【分析】（1）根据乘方的意义和相反数的定义计算；（2）先确定负数，再求它们的和，然后和的绝对值即可；（3）利用数轴，标出表示各数对应的点，从而即可比较各有理数的大小．【详解】（1）解：，，故答案为：；；（2）解：这些数中，负数有∴==，故答案为：（3）解：在数轴上描出表示0，为：．【点睛】本题考查了有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了相反数和绝对值的意义以及在数轴上表示有理数及比较有理数的大小，熟练掌握乘方及绝对值的定义是解题的关键．【考点题型九】有理数的混合运算【例9】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)(3)(4)【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算【分析】本题考查含乘方的有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的加减法运算法则进行求解；（2）根据有理数的四则混合运算法则进行求解；（3）根据有理数的乘法运算法则进行求解；（4）根据有理数的混合运算法则进行求解．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【变式9-1】（24-25六年级上·全国·期末）计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、有理数四则混合运算【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；（1）先按照分配律计算乘法运算，再计算括号内的加减运算，最后合并即可；（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式9-2】（23-24七年级上·四川内江·期末）计算(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算【分析】本题考查的是有理数的混合运算（1）利用乘法分配律进行计算即可；（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【变式9-3】（23-24七年级上·广东·期末）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算【分析】（1）先算、，再算乘除，最后计算出结果；（2）先乘方，再算括号里面的，最后计算出结果．本题考查了有理数的混合运算，运算过程中注意运算顺序和运算法则．特别注意：与的区别．【详解】（1）解：；（2）解：【变式9-4】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：(1)．(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律：（1）根据有理数加减计算法则求解即可；（2）先计算乘方，再计算括号内的减法，最后计算乘方即可；（3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可；（4）先利用乘法分配律去括号，然后计算加减法即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【考点题型十】有理数的混合运算中错解复原问题【例10】（23-24七年级上·浙江台州·期末）小明与小红两位同学计算的过程如下：小明：原式（第一步）（第二步）（第三步）小红：原式（第一步）（第二步）（第三步）=16（第四步）(1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤；(2)写出正确的解答过程．【答案】(1)小红第二步计算出现错误(2)【知识点】含乘方的有理数混合运算【分析】本题考查有理数的乘除法、有理数的乘方，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键．（1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误；（2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可．【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误；（2）解：原式．【变式10-1】（23-24七年级上·江西赣州·期末）阅读下面的解题过程：计算：．解：原式．（第①步）．（第②步）．（第③步）回答：(1)上面解题过程中，第步开始就出现了错误，错误的原因是；(2)请把正确的解题过程写出来．【答案】(1)②；运算顺序不对(2)见解析【知识点】有理数四则混合运算【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．（1）根据乘除法的运算法则进行分析即可；（2）根据有理数混合运算法则即可求解．【详解】（1）解：，∴原解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行，故答案为：②；运算顺序不对．（2）解：原式．．．或解：原式．．．【变式10-2】（23-24七年级上·宁夏银川·期末）计算：下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：原式第一步

第二步

第三步

第四步

第五步(1)任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第________步和第________步；(2)任务二：请写出正确的解答过程.【答案】(1)一；四；(2)见解析【知识点】含乘方的有理数混合运算【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其原运算法则．（1）根据有理数的混合运算法则即可判断；（2）根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】（1）解：解答过程共存在2处错误，分别是第一步和第四步故答案为：一；四；（2）原式．【变式10-3】（23-24七年级上·吉林辽源·期末）小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下：解：原式

①

②

③．根据小林的计算过程回答下列问题：(1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的律；(2)小林的运算出现了错误，错在第（只填写序号）步；(3)请给出正确解法．【答案】(1)分配(2)③(3)【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．（1）（2）根据小林的计算步骤分析即可；（3）根据有理数的混合运算法则计算即可．【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律．故答案为：分配；（2）∵第③步计算乘法时符号确定错误，∴小林的运算出现了错误，错在第③步．故答案为：③；（3）原式．【变式10-4】（23-24七年级上·甘肃张掖·期末）计算(1)计算：下面是小颖的解答过程，请认真阅读并完成任务：原式第一步

第二步第三步

第四步

第五步任务一：小颖的解答过程共存在两处错误，分别在第______步和第______步；任务二：请写出正确的解答过程．(2)【答案】(1)任务一：一；四；任务二：，过程见解析(2)【知识点】含乘方的有理数混合运算【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算：（1）任务一：观察可知在第一步计算时，计算的结果漏掉了负号，在第四步先计算了后面的乘法，运算顺序错误；任务二：按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可；（2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可．【详解】（1）解：任务一：观察可知在第一步计算时，计算的结果漏掉了负号，在第四步先计算了后面的乘法，运算顺序错误，故答案为：一；四；任务二：；（2）解：．【考点题型十一】有理数的混合运算中应用问题【例11】（23-24七年级上·河南郑州·期末）中牟“最美”公交线路—“798线路”，是一趟途经方特、绿博园、电影小镇、只有河南、海昌海洋公园等多个景点的环形旅游专线，其中的11个站点如图所示．小明从方特南门开始乘坐这辆公交车，在图中11个公交站点提供志愿服务，到A站下车时，本次志愿者活动结束，约定向海宁皮革城方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站）：，，，，，，，．

(1)请你通过计算说明A站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为千米，求小明在志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是多少千米？【答案】(1)站是河南这一站(2)小明