人教版九年级数学上册期末复习考点清单 专题01一元二次方程（4个考点清单+12种题型解读）

专题01一元二次方程（考点清单，4个考点清单+12种题型解读）【清单01】一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．【清单02】一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．【清单04】列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【考点题型一】一元二次方程及其根1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（

）A． B．2 C． D．43．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是．4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．【考点题型二】一元二次方程的解法5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程用配方法解方程，配方的结果是（

）A． B．C． D．6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程的根是．7．（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程(1)(2)【考点题型三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的两个实数根分别为和，则（）A．5 B． C．1 D．10．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（）A． B．C． D．11．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程根的判别式的值为．12．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．(1)取什么值时，方程有两个实数根．(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．【考点题型四】一元二次方程的应用13．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（

）A． B．C． D．14．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程．15．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克．(1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售千克梭子蟹；(2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？16．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．【考点题型五】综合应用17．（22-23九年级上·山西晋城·期末）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（

）．A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形18．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为．19．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．（1）求m、n的值；（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．【考点题型六】利用一元二次方程的概念，确定字母的取值或范围20．（23-24九年级上·四川南充·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．22．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程是关于的一元二次方程，则．【考点题型七】根据一元二次方程根的定义，求字母的取值或代数式的值23．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（）A． B．1 C．5 D．24．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程的一个根是，则m的值为．25．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值．【考点题型八】根据一元二次方程根的判别式，求字母的取值或范围26．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为．28．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：(1)．(2)关于x的方程有两个不相等的实根，求m的取值范围．29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知关于的一元二次方程．(1)若该方程有两个实数根，求的取值范围．(2)当时，求方程的实数根．【考点题型九】根据根与系数的关系，求字母的取值范围30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（

）A． B． C． D．31．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根，(1)求的取值范围；(2)若，求的值．32．（22-23九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程(1)当为何值时，此方程有实数根．(2)若此方程的两实数根，满足，求的值．【考点题型十】根据题目中的限制条件取舍33．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．新中国成立后，沈阳成为中国重要的以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．某市阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元．但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某杨梅采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出杨梅价格不超过人超过人元/人元/斤元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？(2)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？【考点题型十一】根据“让顾客得实惠”取舍36．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到件，每天盈利元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？(3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是37．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元盒．销售单价（元/盒）日销售量（盒）(1)直接写出乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元盒）的函数表达式；(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元；38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱．(1)若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量；(2)要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？【考点题型十二】挖掘题目中的隐含条件取舍39．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在一块长、宽的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下小路的宽是多少米？40．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为，求道路的宽度．41．（21-22九年级上·云南昭通·期末）如图，有一块矩形硬纸板，长20cm，宽10cm．在其四角各剪去一个同样大小的正方形．然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²？

专题01一元二次方程（考点清单，4个考点清单+12种题型解读）【清单01】一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．【清单02】一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．【清单04】列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【考点题型一】一元二次方程及其根1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若是方程的一个根，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程，然后解关于的方程，即可得到答案．【详解】解：把代入方程得，，解得：，选项A符合题意，故选：A．2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案．【详解】解：把化为一般式为，∴一次项系数为，故选：C．3．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可．【详解】方程是关于的一元二次方程，，解得．故答案为：．4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查整式化简求值，由是方程的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案．【详解】是方程的一个根，，，，．【考点题型二】一元二次方程的解法5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程用配方法解方程，配方的结果是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的配方．方程整理后，两边都加上9，利用完全平方公式即可将原方程配方．【详解】解：，整理得，配方得，即，故选：A．6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程的根是．【答案】【分析】本题主要考查利用直接开方法解一元二次方程，将方程移项利用直接开方法求解即可．【详解】解：移项得，，开方得，．故答案为：．7．（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（）利用公式法解答即可求解；（）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；【详解】（1）解：，，，∵，∴，∴，；（2）解：∵，∴，∴，∴或，∴，．8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元二次方程．（1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答；（2）将当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，．【考点题型三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程的两个实数根分别为和，则（）A．5 B． C．1 D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程的根与系数的关系即可直接得出答案．【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，故选：．10．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意；B.，方程没有实数根，故选项B不符合题意；C.，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；D.，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意；故选：A11．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程根的判别式的值为．【答案】8【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：8．12．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于的方程．(1)取什么值时，方程有两个实数根．(2)如果方程有两个实数根，，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．【详解】（1）解：方程有两个实数根，，解得：；（2）解：∵方程有两个实数根，，且，，，，，即，平方得：，整理得：，解得：【考点题型四】一元二次方程的应用13．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．【详解】解：依题意得，故选：C．14．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该校植树棵数的年平均增长率为，根据“第一年植树600棵，第三年植树864棵”列出方程，即可求解．明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为，根据题意得：．故答案为：15．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克．(1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售千克梭子蟹；(2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？【答案】(1)(2)售价应降低7元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，（1）利用养殖户每天的销量每千克降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式，代入可求出y值即可；（2）利用养殖户每天的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定x的值，再将其代入中即可求出定价．【详解】（1）解：设养殖户每天的销量y千克，降价x元，依题意得函数关系为，当时，，∴当售价降低2元时，养殖户每天可销售480千克梭子蟹；故答案为：480；（2）解：依题意得：，整理得：，解得：，，又∵要尽可能让利顾客，∴，答：售价应降低7元．16．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．【答案】(1)甲最多施工900米(2)的值为2【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：设甲施工米，由题意可得：，解得：．答：甲最多施工900米．（2）解：由题意可得：，整理得，解得．答：的值为2．【考点题型五】综合应用17．（22-23九年级上·山西晋城·期末）关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（

）．A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可．【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴，整理得，∴是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程的根，则三角形的周长为．【答案】19【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长度，以及掌握三角形的三边关系．利用因式分解法解方程，得到，，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长即可．【详解】解：∵，∴，∴，，∵，∴不符合题意，舍去；∴三角形的周长为：；故答案为：1919．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．（1）求m、n的值；（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．【答案】（1）m＝4，n＝8；（2）y＝﹣2x+4；（3）存在，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）【分析】（1）当x=2时，方程为22-12+n=0，解得n=8，则2+m=6，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；（3）分AB是斜边、AB是直角边两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．【详解】解：（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，∵2+m＝6，∴一元二次方程为x2﹣6x+8＝0的另一个根m＝4．∴m＝4，n＝8；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），则，解得，∴直线AB的解析式：y＝﹣2x+4；（3）存在，理由：直线AB的图象如图：第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，∵∠AOB＝90°，∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形；第二种：设AB是直角边，显然∠BAP≠90°，则点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，∵线段AB在第一象限，∴这时点P在x轴负半轴．设P的坐标为（x，0），∵A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，OP＝﹣x，∴BP2＝OP2+OB2＝x2+42，AB2＝OA2+OB2＝22+42，AP2＝（OA+OP）2＝（2﹣x）2．∵AP2＝BP2+AB2，∴x2+42+22+42＝（2﹣x）2，解得x＝﹣8，∴当点P的坐标为（﹣8，0），△ABP是直角三角形，∴综上，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【考点题型六】利用一元二次方程的概念，确定字母的取值或范围20．（23-24九年级上·四川南充·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：方程是关于的一元二次方程，∴且，解得，故选：．21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，求解即可．【详解】解：由题意，得：，∴；故答案为：．22．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程是关于的一元二次方程，则．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（）未知数的最高次数是；（）二次项系数不为；（）是整式方程；（）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得，故答案为：．【考点题型七】根据一元二次方程根的定义，求字母的取值或代数式的值23．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程的一个根．则代数式的值是（）A． B．1 C．5 D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可．根据一元二次方程的解的定义可得，然后对变形后，整体代入计算即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，即，∴．故选：D．24．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程的一个根是，则m的值为．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可．【详解】解：把代入，得：，∴，故答案为：．25．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值．【答案】【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．【详解】解：∵m是方程的解，∴，即：，∴．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键．【考点题型八】根据一元二次方程根的判别式，求字母的取值或范围26．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，则，，，∴，解得故选：C．27．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为．【答案】或9【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．【详解】解：∵方程，即有两个相等的实数根，∴，解得或9，故答案为：或9．28．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：(1)．(2)关于x的方程有两个不相等的实根，求m的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式；（1）先求出，再由求根公式，即可求解；（2），由一元二次方程两个不相等的实根，可得即可求解；掌握求根公式“”及根的判别式：“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根．”是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得，，，，，，；（2）解：方程有两个不相等的实根，，解得：．29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知关于的一元二次方程．(1)若该方程有两个实数根，求的取值范围．(2)当时，求方程的实数根．【答案】(1)(2)【分析】本题考查根的判别式，以及解一元二次方程．掌握根的判别式以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．（1）根据方程有2个实数根，得到判别式大于等于0，进行求解即可；（2）配方法解方程即可．【详解】（1）解：一元二次方程有两个实数根，．．（2）当时，方程为，．．．．．【考点题型九】根据根与系数的关系，求字母的取值范围30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若与是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出，的值是解题的关键根据根与系数的关系，可得出，，再根据得出一个关于的一元一次方程，解方程即可得出的值．【详解】一元二次方程的两个实数根，，，∵，即，∴，，故选．31．（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根，(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．（1）根据根的判别式进行计算即可求解；（2）根据题意可得，将原式变形得，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值方法确定值即可．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根，∴，解得：；（2）解：根据题意可得：，∴，即，解得：．∵，∴舍去，∴的值为．32．（22-23九年级上·福建泉州·期中）已知关于的方程(1)当为何值时，此方程有实数根．(2)若此方程的两实数根，满足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题．（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，且，∴，解得．（2）解：是方程的两个根，则，，∵，∴，∴，解得．【考点题型十】根据题目中的限制条件取舍33．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元【答案】参加旅游的人数40人．【分析】本题考查了一元二次方程的一；设有x人参加这次旅游，根据题意了得出，根据题意列出一元二次方程，解方程，根据实际问题验证即可求解．【详解】解：设有x人参加这次旅游，∵，∴参加人数，依题意得：，解得：，，当时，，符合题意，当时，，不符合题意．答：参加旅游的人数40人．34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．新中国成立后，沈阳成为中国重要的以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．某市阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过人，人均旅游费用为元；如果人数超过人，每增加人，人均旅游费用降低元．但人均旅游费用不得低于元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了元的费用，求这个旅行团的人数．【答案】这个旅行团的人数为人．【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设这个旅行团的人数为人，根据题意，列出方程，则，解出方程，即可．【详解】设这个旅行团的人数为人，∴，整理得：，解得：，；当时，人均旅行费用为：，∴舍去，∴，答：这个旅行团的人数为人．35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某杨梅采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出杨梅价格不超过人超过人元/人元/斤元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价元，求这次参加团建的共多少人？(2)某社团共人去该采摘园进行综合实践活动，购买了张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式．（1）设这次参加团建的共人，由题意求得，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（2）由题意求得，当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人，由（人），，可得该社团购买的成人票为元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅斤，依题意得，，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：设这次参加团建的共人，由题意知，（元），（元），∵，∴，依题意得，，整理得，，，∴或，解得，或（舍去）∴这次参加团建的共人；（2）解：∵（人），（人），∴当成人人数大于或等于人时，成人票都是元/人，∵（人），，∴该社团购买的成人票为元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅斤，依题意得，，解得，，∴本次活动他们最多共带出杨梅斤【考点题型十一】根据“让顾客得实惠”取舍36．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到件，每天盈利元；(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？(3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是【答案】(1)40，1800(2)19元(3)【分析】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．（1）商品售价降价元时，则现在的售价是元，售出件，每件的利润是元，由此即可求解；（2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元，由此即可求解；（3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解．【详解】（1）解：根据题意当商品售价降价5元时，现在售出的件数是，利润是元．（2）解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元，∴，解方程得，，，∵为了让顾客得到更多的实惠，∴，即商品降价元．（3）解：售价是元，利润是元，∴利润率是．37．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元