平面向量基本定理及坐标表示（4题型分类）-2025年高考数学专项复习（原卷版）

专题23平面向量基本定理及坐标表示4题型分类

彩题如工总

题型4:利用向量共线求向量或点的坐标题型1:平面向量基本定理的应用

专题23平面向量基本定理及

坐标表示4题型分类

题型3:利用向量共线求参数题型2:平面向量的坐标运算

彩和祗宝库

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数孤，九2,

使。=九01+2202.

若ei,e2不共线，我们把｛ei,02｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设。=（为，yi）,》=（尤2，竺），贝U

〃+》=（无i+x2，yi+j2），a-B=（xi—无2，2a=（&i，2yi）,|a|=yjxi+yi.

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A（X1，巾），8（无2，J2），则AB=（X2—XI，/一yi），|A8|=N（X2—尤产+①一yi）2.

4.平面向量共线的坐标表示

设。=（尤1,yi）,b—（xi,yi）,其中5W0,则a〃〜0尤i"一无29=0.

5.已知产为线段AB的中点，若A（xi，yi）,B（x2,刃），则点尸的坐标为"^己知AABC的顶点

A（xi，%）,8（x2,刃），CS，乃），则△ABC的重心G的坐标为"半土与，'+；+「）.

彩偏题海籍

（一）

平面向量基本定理的应用

（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运

算.

（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量

的形式，再通过向量的运算来解决.

题型1：平面向量基本定理的应用

1-L（2024高一下•重庆北倍•阶段练习）设q、e；是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向

量的一个基底的是（）

A.,+4和G—e?B.G+2/和e?+2,

C.3,—24和4e2—6elD.e2和e2+ex

1-2.（2024高三・全国•专题练习）设向量｛G©｝是平面内一个基底，且&=e；+2e2，。=-《+62,则向量q+e?

（r

可以用另一个基底卜，叶表示，即q+e?.

1-3.（2024高三上,陕西西安,期末）在ASC中，。在上，S.BD=2DC，E在AD上，且4。=44及若

BE=xAB+yAC,贝|尤+>=.

12

1-4.（2024・湖南•模拟预测）在4ABC中，A8=C,AC=6,点〃满足=XBC（0<AM=-b+-c,

则2的值为.

1-5.（2024高三下•河南•开学考试）已知M,N分别为平行四边形A3CD的边BC,CD的中点，若点尸满足

MP

6AP+5DA=4DC>则——=.

MN

1-6.（2024•天津红桥•一模）如图所示，在ABC中，点。为2C边上一点，且过点。的直线E尸

与直线AB相交于E点，与直线AC相交于尸点（E,尸交两点不重合）.若AD=mAB+nAC，则mn=，

AE=AAB，AF=/JAC,则2+〃的最小值为.

1-7.(2024高三上•陕西西安•期末)在"1BC中，。在上，且5。=2。。,E在A。上，且AD=4AE.若

BE=xAB+yAC,则》+y=()

13313

A.—B.一cD.——

124-412

彩他题祕籍

(二)

平面向量的坐标运算

(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当

它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.

(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟

知的数量运算.

题型2:平面向量的坐标运算

2-1.(2024高三•全国•对口高考)AC为平行四边形A3C。的对角线，=(2,4),AC=(1,3),则4£)=—.

2-2.(2024高三•全国・专题练习)已知向量a=(-2,1),6=(3,2)，c=(5,8),且c=2a+〃b，则一=.

A

2-3.(2024高三・全国•对口高考)已知点A(l,-2),若AB与a=(2,3)的夹角是180,|48|=2而，则点2坐

标为•

2-4.(2024高一下•全国,课后作业)已知4(-2,4),C(-3,-4),且C"=3C4，则点M的坐标为.

彩能朋祕籍(二)

向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)若。=&1,%),b=(X2,丁2),其中万W0,则〃〃方的充要条件是%»2=%2_力.

（2）在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为Aa（/ieR）.

题型3:利用向量共线求参数

3-1.（2024・江西上饶•一模）已知向量AB=（3,〃z-3）,BC=（2,4）,若A,B,C三点共线，则，〃=.

3-2.（2024高三上•上海黄浦•开学考试）若4（1,2）、3（-3,4）、C（5,m）三点不能构成三角形,则机=.

3-3.（2024•湖南长沙•二模）已知向量AC=（l,sina-l）,BA=（3,l）,BD=（2,cos。），若2,C,。三点共线，

贝Utan（2019l-a）=.

3-4.（2024高三下•全国•开学考试）己知向量7"=（-l+a,2-a）,〃=（3-a,4+a）,若（加+九）//加，则实数a=—.

3-5.（2024高一下•山西运城•期中）3-6.（2024高三•全国•对口高考）已知向量。=（1,2）,方=（1,4）,c=（3,4）.若

a+6与c共线，贝快数2=.

3-7.（2024高三上•天津河北•期中）设。4=（一2,4）,OB=（-a,2）,OC=（b,0）,其中a>0,b>0,0为坐

标原点，若A,B,C三点共线，则2a+6=,工+1的最小值为.

题型4:利用向量共线求向量或点的坐标

4-1.（2024高三上•福建厦门•开学考试）写出一个与向量）=（1,2）共线的向量b=.

4-2.（2024高三•全国•专题练习）在MC中，己知点0（0,0）,A（0,5）,3（4,3）,OC=-OA,OD=-OB,AD与

-42

■BC交于点则点/的坐标为.

4-3.（2024•河南郑州•模拟预测）已知点。为坐标原点，OA=（1,1）,03=（—3,4）,点尸在线段上，且,耳=1,

则点P的坐标为.

4-4.（2024高三•全国•专题练习）己知点A（4,0）,B（4,4）,C（2,6）,。为坐标原点，则AC与02的交点P的

坐标为.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024•北京）已知向量编I满足4+石=（2,3）,4—万=（一2,1）,则g『二（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2024高三上•天津武清•阶段练习）在ABC中，BD=^BC,E是线段AD上的动点（与端点不重合）,

设CE=xC4+yC3,则生土土卫的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

3.（2024•四川成都•一模）已知平行四边形A3CQ,若点M是边5c的三等分点（靠近点3处），点N是边

的中点，直线2D与MN相交于点H,则誓=（）

BD

2211

A.—B.-C.—D.一

3554

4.（2024高三上•陕西西安•阶段练习）在，ABC中，点。满足点E满足CE=；CD+：CA,若

AC=xBE+yBC,则1+丁=（）

1111

A.——B.——C.——D.——

5432

5.（2024•全国•模拟预测）在中，点。是线段A8上靠近8的四等分点，点E是线段8上靠近。的

三等分点，则A石=（）

21155112

A.——CA+-CBB.-CA——CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

33266233

6.（2024高二上•甘肃兰州•学业考试）已知向量a=（2,1）,6=（-2,4）,贝巾,卜（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024•广东•模拟预测）古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜

蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用

率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（）

53

B.一一CE+-DE

2662

2552

C.一一CE+-DED.一一CE+-DE

3663

8.（2024高三上•上海浦东新•阶段练习）设。=（西,,）,6=伍,%），则亭咛"是的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件

9.（2024・四川绵阳•模拟预测）已知。为坐标原点，片尸=-2尸吕，若4（1,2）、7^（2,-1）,则与。尸共线的单

位向量为（）

A.（3,-1）B.（3,T）或（―3,4）

10.（2024高三上•四川•开学考试）设向量。8=（x+l,3）,贝与b同向”的充要条件是（）

A.x=2B.x=—2C.x=±2D.x=—

2

11.（2024・全国•模拟预测）在菱形ABC。中，M=BD,点E是线段CB上靠近B的三等分点，点尸是线段AS

上靠近B的四等分点，则。C=（）

6446

A.-AE+—DFB.-AE+-DF

515155

4444

C.-AE+—DFD.-AE+-DF

515155

12.（2024高三上•河南•专题练习）如图，在正八边形ABCDEFG“中，AD=xAC+yAE,则f+y2=（）

A.1B.9C.D.-

224

13.（2024•陕西西安•一模）己知向量。=（1,0）,6=（4,加），若加训不超过3,则加的取值范围为（）

A.[-A/3,V3]B.[-百，百]C.[-3,3]D.[-5,5]

14.（2024高三上•河北保定•期末）已知向量a=（2,-3）,。=（1,2）,c=（9,4）,若正实数机，及满足c=ma+nb,

则工+工的值为（）

mn

7

A.

15.（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量°、方不共

线，B.c=xa+b,d=a+（2x-l）b,若c与d共线，则实数了的值为（）

1„1„1

A.1B.--C.1或--D.-1或

222

16.（2024•陕西宝鸡・一模）设向量。=（2,-1）,b=（m,2）,若向量。与共线，贝Ua+b=（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-4,2）D.（-2,T）

17.（2024•山东青岛•一模）已知向量Z=（-1,2）,b=（3,m）,加3R,则“加=—6"是"〃回（；+句”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

18.（2024高三上•安徽池州,期末）已知向量。=（1,1）,6=（1,-1）,若（Xa+b）〃（a+〃6）,则下列关系一定成

立的是（）

A.入——1B.4—"=2c.4+〃=。D.入j~i—1

19.（2024高三上•江苏常州•期末）已知扇形493的半径为5,以。为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

。4=（5,0）,03=（4,3）,弧的中点为C,则℃=（）

B.［半，萼）C.（4,2）D.（2"同

20.（2024高三上•北京朝阳,期末）在.ABC中，AB=AC=40，当XeR时，|A8+ZBC|的最小值为4.若

AM=MB^AP=sin20AB+cos20AC,其中共,则|幽的最大值为（）

A.2B.4C.2若D.4点

21.（2024•湖南邵阳•一模）如图所示，四边形ABC。是正方形，分别BC,DC的中点，若

AB=/LAM+〃AN,2,〃eR,贝口力一〃的值为（）

22.（湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题）如图所示的矩形ABCD中，E,F满足BE=EC，

CE=2PD,G为的中点，^AG=AAB+/uAD,则由的值为（）

23.(2024・河南•模拟预测)在，ABC中，点E为AC的中点，人尸=2FB,BE与CF交于点P,且满足BP=ABE，

则2的值为()

11-23

A.—B.-C.-D.一

3234

24.(2024•全国)已知向量Q=(2,3),。=(3,2),则|Q—切二

A.72B.2

C.5y/2D.50

25.(2024高三上•全国•竞赛)平面向量4=(1,1),B=(2,3),则|a+B|=()

A.3B.5C.7D.11

26.（2024高二上•安徽•期中）如图，在长方形ABC。中，A5=6,AD=4,点P满足。尸二4。。，其中

0,|,则同+件的取值范围是（）

A.[4,5]

B.[8,10]

C.[4,V17]

D.[2A/17,10]

27.(2024高三上•河南南阳•期末)下列向量中，与向量&=(1,Y)共线的是()

A.(2,8)B.(4,1)C.-D.(2,-1)

28.(2024高三上•河北保定•期末)已知命题0:4=3。2),«=(1,2),加与最共线，命题q：a=2,则P是q

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

29.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)在平面直角坐标系中，向量产A=(l,4),尸8=(2,3),PC=(x,l),若A,

B,C三点共线，则x的值为()

A.2B.3C.4D.5

30.(2024•四川巴中*一模)已知向量。4=(1,-2),OB=(2,-3),OC=(3J),若ABC三点共线，则实数/=()

A.-4B.-5C.4D.5

31.(2024•广西•模拟预测)已知j和j是两个正交单位向量，”=2i+3J,b=i+且卜-目=也，则后=

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

32.(2024高二上,江苏南京•期末)已知ABC的顶点在抛物线C：V=4x上，/为抛物线C的焦点，若

FA+FB+FC=0>贝1|陷+网+用=(

A.3B.4C.6D.8

33.(2024•云南楚雄•模拟预测)已知A,B,尸是直线/上不同的三点,点。在/外，若

OP=mAP+(m-2)OB(meR),则加=()

3

A.3B.2C.一D.

22

34.(2024高一下•江西九江•期末)已知向量。4=(3,-4),08=(6,-3),OC=(5-九-3-m).若点A,B,C能

构成三角形，则实数相应满足的条件为()

A.m=—B.m手一C.m手一D.m手一

2234

35.（2024高三上•北京大兴•期末）设向量//，若忖=1,6=（-3,4）*=而（几＞0）,贝

36.（2024高三上•山东威海•期末）已知向量&=（2,2）,b=（l,x）,若°//人则|切=（）

A.1B.&C.6D.2

37.（2024高三上•北京•期中）已知向量Q=（sine,cose）,Z?=（3,4）,若a/必，则tan26等于（）

2462424

A.—B.—C.------D.-----

77257

38.（2024高三上•甘肃兰州•阶段练习）已知向量1=04）,b=（l,rri）,若“与b反向共线，则-2M的值

为（）

A.0B.-J13C.4A/5D.5娓

39.（2024高三上•江西赣州•阶段练习）已知向量〃?=（2,4,〃=（2-4-4）,若加与“共线且同向，则实数

2的值为（）

A.2B.4C.-2D.-2或4

40.（2024高一上■辽宁沈阳•期末）已知向量q,q是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不

能作为基底的是（）

A.{w-e2}B.+e2,ex-3e21

C.{q-2e,,-3e1+6e。}D.{2q+3e?,2e]-3eJ

41.（2024•河北沧州•模拟预测）在45。中35=；87,2尸=：（班+20，点尸为45与斯的交点，

AP=AAB+juAC,贝！]几一〃=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

42.（2024•全国•模拟预测）如图，在“WC中，CM=ACB，NC=/JAC,其中。</<1,0<〃<1,若AM

3

与3N相交于点0,^BQ=-BN,则（）

A

2九N=2+〃C.5A=2+34/D.3X=2+5X//

43.（2024广东汕头•三模）如图，点。、片分别AC、BC的中点，设A5=a,AC=力，/是。石的中点，则4户=

()

11-11117D.L+L

A.-a+-b7B.——a+—bzC.—a+—b

22224242

44.（2024・山西大同•模拟预测）在aABC中，。为5C中点,M为AO中点，BM=mAB+nAC^则加+〃=

11

A.—B.-C.1D.—1

22

45.（2024•吉林长春•模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，M,N分别为BC,CO上的点，且BM=MC，

2

CN=-CD,连接AAf,BN交于■P点、,AP=APM>BP=fiPN,贝lJ4+〃=()

1819

A.—B.—C.—D.——

5755

46.（2024•湖北黄冈•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB//Cr）,AB=4CD,点E在线段CB上，且

CE=2EB,设AB=a,A£>=6,则AE=()

B.4+办

28

c.L+力D.九+4

3443

47.（2024・安徽•二模）如图，在,ABC中,点。为线段BC的中点，点E,尸分别是线段A。上靠近。，A

的三等分点，则A£>=（）

4

C.-BE-CFD.——BE-CF

339

48.（2024•全国•模拟预测）如图，平行四边形A3CD中，AC与50相交于点。，EB=3DE,若

丸

40=XAE+〃8C（4〃eR）,则7=（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

49.（2024高三•全国•对口高考）已知向量£=（指,1）,6=（0,-2）.若实数上与向量c满足“+26=公，贝隆可

以是（）

A.（百，-1）B.（-1,-百）

C.（-73,-1）D.（-1,^/3）

50.（2024•河北•模拟预测）在正六边形ABCDEF中，直线灯上的点M满足40=AC+根，则加=（）

111

A.1B.—C.—D.一

234

51.（2024•内蒙古赤峰•三模）如图，在四边形A3CD中，ZDAB=120°,ZZMC=30。，AB=l,AC=3,AD=2,

AC=xAB+yADf则％+V=（）

A.2百B.2C.3D.6

52.（2024高一下•广东梅州•期末）已知4（相,0）,3（0,1）,C（3,-l）,且A,5c三点共线，则，〃=（）

二、多选题

53.（2024高三上•黑龙江牡丹江•期末）已知向量<5=（2,0）,石=（1,1）,则（）

A.AH^IB.4a—3b=(5,—3)

C.a,b可以作为平面向量的一个基底D.（a-b）//b

54.（2024高一下•福建福州•期中）已知向量a,b不共线，且尸。=a-sine,其中ae（0,2;r）,QR=2a+b,

若尸、Q、R三点共线，则角a的值可以是（）

55.（2024高三下•山东济宁•开学考试）已知。为坐标原点，向量OA=（2,3）,08=（6,-3）,P是线段的三等

分点，则尸的坐标可能为（）

56.（2024高三上•山东青岛•期末）已知对任意平面向量A3=（x,y）,把AB绕其起点沿逆时针方向旋转夕角得

到向量AP=（xcos0-ysin，,xsin。+jcos0）,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点P.已知平面内

点4（2,1）,点以2+f,lT）,网=20，4无。4>0,点3绕点A沿逆时针方向旋转T角得到点P,则（）

A.忸尸|=2血B.AB=（-2,2）

C.B的坐标为（4,-1）D.尸的坐标为（3+6,石）

57.（2024•江苏•一模）已知z为复数，设z,1，iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中。为坐标原

点，则（）

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

C.M=D.OB//AC

三、填空题

58.（2024高三上・贵州贵阳•阶段练习）已知平面向量a,b,c,d满足：,卜恸M6,c=ta+b（te［0,1］）,

|c-d|=JL设向量2=〃/+泌（根，〃为实数），则用+〃的取值范围为.

59.（2024高三下•安徽•阶段练习）已知正方形A8CD的边长为2,中心为。，四个半圆的圆心均为正方形

ABCD各边的中点（如图），若尸在BC上，且AP=&A8+〃AD,则2+〃的最大值为.

Sjrjr

60.（2024高一下•山东苗泽•阶段练习）如图所示，向量QA与。2的夹角为?，向量。尸与。2的夹角为,

66

|OA|=|OP|=2,|OB|=4,若OP=〃IOA+〃O8,（加，neR）,贝.

o

61.（2024高三上•湖南永州•阶段练习）已知平面向量a=（2,2）,6=（1,加），且悭-可=,+可，则，w=.

62.（2024高三•全国•专题练习）向量i,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若:=〃+〃］（44€尺），则

A

63.（2024・广东深圳•一模）设点,若动点尸满足照=2陷，且AP=lAB+^uAC,

则4+2〃的最大值为.

64.（2024•全国•模