江苏省常州市2024-2025学年高三年级上册期中质量调研数学试题（含答案）

常州市2024-2025学年第一学期高三期中质量调研

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干冷后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合/={x，<6},3={-3,—1,0,2,3},则ZA5=（）

A.{-1,0}B.{0,2}c.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

2.已知a,beR,则“6=e"”是"a=lnb”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知复数z满足z2—2iz-1=0,则Z—5=（）

A.-2iB.2iC.0D.2

4.有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最

低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）

A.42种B.72种C.78种D.120种

5.已知a,"是两个不同的平面，a,6是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线/I.a的是（）

A.aV/3,1//（3B.ILa,a//aC.I//a,a±aD./_La,/J_uua

「3兀）

6.已知函数/（同=（305。%（0>0）的最小正周期为7.若2兀<7<4兀，且曲线V=/（x）关于点—-0中

I4

心对称，则/（兀）=（）

1rV3D百

A.B.----

2222

coso=^^，sin(a+夕)=^^，贝(]cos/?=(

T.已知a,广£（0,兀）,且)

5v710

VTon丽「9厢n9厢

A.D.---------Vy•-----------------\-)•----------------------

To-105050

8.已知函数/（x）=log“（2-⑪）（a>0,且awl）.3xe[l,2],使得成立，则实数。的取值范

围是（)

「23「2'「21

A.-JB.-91U（l,2]C.（1,2]D.-?2

_37L3Jl_3_

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面内两个单位向量的夹角为6,则下列结论正确的有（）

A.（5+6）l（5-fe）B.卜+4的取值范围为[0,2]

C.若忖-k则0=1D.N在让的投影向量为四

10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案.设每局比赛甲获胜的概率为P（0＜夕＜1）,

且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有（）

A.若采用3局2胜制，则甲获胜的概率是22（3—22）

B.若采用5局3胜制，则甲以3：1获胜的概率是523（1一2）

C.若。=0.6,甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大

D.若。=0.6,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3

11.已知函数/（x）=（x——2为/（x）的极大值点，则下列结论正确的有（）

A.a=2

B.若4为函数/（X）的极小值点，则6=4

C.若/（X）在刀,6内有最小值，则6的取值范围是

D.若/（x）+4=0有三个互不相等的实数解，则6的取值范围是（5,48）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正数x,y满足2孙=x+4y,则成的最小值为.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸（cosa,sini）,将线段。尸绕原点。按顺时针方向旋转至线段

OP'.若cosa=；,则点p的纵坐标为.

14.已知一个母线长为1,底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），能够被整体放入该容器

的球的体积最大时，『=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

某研究性学习小组为研究两个变量x和丁之间的关系，测量了对应的五组数据如下表：

X23456

y47121314

(1)求歹关于X的经验回归方程；

(2)请估计x=3.5时，对应的y值.

附：在经验回归方程»=&+左中，----------,a=y-bx,其中歹茂为样本平均值.

(可2

1=1

16.(15分)

在锐角△4SC中，a,b,。分别是角4,B,C所对的边，已知l—cos2N=4sin4sin3sinC.

(1)求上+—1—点的值；

tanBtanC

(2)若a=2,求△4BC的面积.

17.(15分)

某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5

名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下

一期校本课程.

(1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和数学期望；

(2)求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.

18.(17分)

己知函数/(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，/(x)=eT(x+2).

⑴求的解析式；

(2)求曲线y=/(x)在x=2处的切线方程；

(3)若也,马wR,都有—/(%)归加，求实数加的最小值.

19.(17分)

如图，在四棱柱/5Q)—44G4中，已知8_L底面/BCD,AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2CD=2,

♦4=石，点后是线段班上的动点.

B

（1）求证：〃平面Bcq；

（2）求直线N3与期所成角的余弦值的最大值；

/7

（3）在线段班上是否存在与2不重合的点E,使得二面角5-/£-C的正弦值为9学区？若存在，求线段

5

的长；若不存在，请说明理由.

常州市2024-2025学年第一学期高三期中质量调研

数学2024年11月

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，1各答案写在答题卡上，写在本试卷

上无效.

3.考试结束后,将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合力={x|f<6},B={-3,-l,0,2,3}，则=

A.{-1,0}B.{0,2}C.{-3-1,0}D.{-1,0,2)

【答案】D

【解析】A={x\-^<x<^6],^05={-1,0,2},选D.

2.已知，则"bW是"a=lnb"的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】ea=b,^a=\nb，充分；a=lnb，则e"=6，必要，选A.

3.已知复数二满足，一2上—1=0,则z—Z=

A.-2iB.2iC.0D.2

【答案】B

【解析】令N=4+bi,a,bGR，则z?=a2+2ab\-b2,

a2-b2+2ab-\=0

a2+-Z)2-2i(«+Z)i)-1=0

2ab-2a=0

a2+2a-2=0

z-z=2bi=2i,选B.

b=\

4.有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5

人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有

A.42种B.72种C.78种D.120种

【答案】C

【解析】1°乙最高，有A：个结果.

2。乙不是最高，则最高有C；个结果，有3个结果，剩下3个全排列，此时共有C；C；A；个结

果，A：+C；C；A；=78，选C

5.已知是两个不同的平面，。力是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线/1a的

是

A.a_LHpB.ILa,aHa

C.I//a,a±aD./±a,/-Lb,acza,bca

【答案】C

【解析】IIIa,ala一定有/_La，选C.

6.已知函数/(幻=(^*(。＞0)的最小正周期为7\若2乃＜7＜4乃,且曲线歹二/(x)关

(3乃、

于点多,0中心又痢，则/(〃)=

I4)

11

A.一B.--且DT

22c22

【答案】B

【解析】7=‘£(2凡4万)，，/⑶的对称中心=肛0

①U)[4

3兀7t2乙、2乙、2〃1、*e

则ntl丁0二5,ty=-,/(x)=cos-x,/(^)=cos--=,选B.

飞JJJ

7.已知£(0,乃)，且cosa=@

,sin(a+/?)=—，贝!Jcos/?=

5

c9V109M

AVioVioc.----D.----

10105050

【答案】B

【解析】。£(0,乃)，cosa二手，贝!Isina=乎

..c\y/225/5.zn\r\tn\

sin(ez+A)=-jy<-y-,则cos(a+/?)<0,cos(a+/?)=---

cosp=cos[a+/3-a]=cos(a+/^)cosa+sin(a+£)sina

逑速+名述二一回

10510510

8.已知函数/(x)=log，2—6)(。>0,且。).3XG[1,2],使得/(x)21成立,则实

数〃的取值范围是

A.目)B.即U.2]C.(1,2]D.1,2

【答案】A

【解析】歹=2—办在[1,2]单调递减，.”=2时，2-2a>0，即。<1,选A.

"1时，/=log/单调递减，.■J(x)在[1,2]单调递增，

yr

•••/«max=/(2)=Ioga(2-2^)>l,:.2-2a<a,:.a>-.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面内两个单位向量的夹角为e，则下列结论正确的有

A.G+5)_LQ-6B.B+q的取值范围为［oa

C.若—，则<9=3D.£在书上的投影向量为昨

【答案】AB

-^~-*2—•2—•—•

【解析】(4+6)3—b)=a—b=0一•.(o+b)_L(a—b),A对.

Z3同向共线时Z+书取最大值2,反向共线时£+5=0,B对.

min

a-b=y/3,则=；,则cos(a6=-g,(a,b^=^~,C错.

Z在办上的投影向量学否二(£,靖力,D错.

W，

10.甲、乙两选手进行象棋比赛，有3局2胜制、5局3胜制两种方案,设每局比赛甲获胜的概

率为。(0<p<1),且每局比赛的结果互不影响，则下列结论正确的有

A.若采用3局2胜制，则甲获胜的率是02(3-2。)

B.若采用5局3胜制，则甲以3:1获胜的概率是5P3(1-p)

C.若p=0.6,甲在5局3胜制中比在3局2胜制中获胜的概率大

D.若夕=0.6,采用5局3胜制，在甲获胜的条件下比赛局数的数学期望是3

【答案】AC

【解析】对于人，甲获胜，概率为02+「(1一夕)0+(1-。)。9=/(3—2。)，人对.

对于B,甲3:1获胜概率3P2(l—p)p=3/(1—⑼，B错.

对于C,p=0.6,3局2胜制中，甲获胜概率p2(3-2p)=0.648

5局3胜制中，甲获胜概率p3+3p3(l—p)+C%2。—02。

=0.63+3x0.63x0.4+6x0.63x0.42=0.63x3.16=0.68256>0,648,C又寸.

0.631

对于D,比赛局数X可取3,4,5,P(X=3)=

0.63X3.16116

3+4.8+4.8

EX=3,D错，选AC.

116

11.已知函数/(x)=(x-a)2(x-b)("b),2为/(x)的极大值点,则下列结论正确的有

A.a=2

B.若4为函数/(x)的极小值点，则6=4

(2b、，8、

C.若/(x)在一力内有最小值，则方的取值范围是1+8

\3)\3)

D.若/(x)+4=0有三个互不相等的实数解，则6的取值范围是(5,物)

【答案】AD

【解析】/'(X)=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a^lx-2b+x-a)

=(x-a)(3x-a-2b)，令/'(x)=0，则x=a或^^，而，则。

/(x)在(-8⑷单调递增Ja,交咨]单调递减，(土产,+小单调递增

\3JI3)

/./(X)的极大值点为a(二.a=2,A对

4为极小值点，贝!]^^=4，贝IJ6=5,B错.

(2b、一处取/,2+26、e-2丫

/(x)在gb内有最小值，则最小值在—4

13J、3,

(2b\，2+2公Q

/彳2/I,c错.

\J3)3

6-2Y

/(x)=-4有三个互不相等的实数解，则-4<-4,:.b>5,D又寸，选AD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知正数X/满足2肛=x+4»，则9的最小值为.

【答案】4

2

【解析】2xy=x+4y>2y/4xy,.\4(xy)>16xy,:.xy>4,(Ay)mjn=4.

13.在平面直角坐标系xQy中，已知点P(cosa,sina),将线段。尸绕原点。按顺时针方向

TT1

旋转彳至线段0P.若cosa=；,则点P的纵坐标为

23

【答案】

，乃、1

【解析】y-=sina--=-cosa=--.

Pk2J3

14.已知一个母线长为1,底面半径为r的圆锥形密闭容器(容器壁厚度忽略不计)，能够被整

体放入该容器的球的体积最大时，r=.

0L

r2(l-r)-2r(r2+r-l)

")二,re(0,l)，/'⑺==0

r+1(「+1)2

5/5—1..—5/5—1

尸=0舍或或舍，/⑺在0,V5-C单调递增，,1单调递减

222J

7

s/s—1

.•"⑺在厂二时取最大值.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)某研究性学习小组为研究两个变量x和歹之间的关系，测量了对应的五组数据如

F表：

X23456

y47121314

(1)求y关于x的经验回归方程;

(2)请估计x=3.5时，对应的力直.

Y.x^-nxy___

附：在经验回归方程)=△+炭中，6T-----------，a=y-bx，其中xj为样本平均

值

【解析】

15151

(I)X=-yx=—x20=4,y=-Xv.=-x5O=io

5乙'55

55

=8+21+48+65+84=226,^x.2=4+9+16+25+36=90

/=1

n

^x^-nxy

226-5x4x10

所以石二与------------=2,6,a=y-bx=\0-2.6x4=-0A,

90-5x42

响2

所以y关于X的经验回归方程为y=2.6x-0.4.

(2)由(1)知3=2.6x—0.4,x=3.5时,y=2.6x3.5-0.4=8.7,

以此估计x=3.5时，对应的y值为8.7.

16.(15分)在锐角AABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，已知

1-cos2/=4sin/sin3sinC.

(1)求工+二方的值；

tanBtanC

(2)若a=2,求△力3C的面积.

【解析】

(1)锐角△力BC中，sin/>0,

由题知1一cos2/=4sin/sinBsinC,又因为l-cos24=2sin24,

所以2sin?4=4sin/sin8sinC,所以sinZ=2sin8sinC.

1+1_cosBcosCcosBsmC+sinBcosCsin(B+Q

tanBtanCsinBsinCsinBsinCsinBsinC

因为力+B+C=7C,sin(B+C)=sin(K-A)=sinA.

11sinA.

所以---------1---------=---------------=2.

tanBtanCsinBsinC

(2)由(1)知2sin2/=4sin4sin3sinC^Psin24=2sin/sin3sinC,

sir?/2”./sin8

所以———xa=2bcsin4x------x

ab

sin/sinBsinC

又因为正弦定理----=——=-----，所以〃=2bcsin/.

abc

又因为a=2，所以S“8c=!bcsin/=!a2=i

17.(15分)某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有

校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程,该期校本课程结束后,

再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.

(1)在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列

和数学期望；

(2)求"在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1"的概率

【解析】

(1)X的可能取值为0』,2,

363C21

^=0)-=-,P(X=l)-=-=-'^=2)-=-

所以随机变量*的分布列为

X012

331

P

To5To

3314

其数学期望为E(X)=0x.+lx1+2x石=彳.

(2)用8表示事件"在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1",

用4G=0,1,2)表示事件"第一次抽选的2名教师中，有校本课程开够验的教师人数是广，

2

4，4，4酮互斥，£A=Q,

/=0

331

由(1)知P(4)=-,P(4)=：,尸(4)=

2aa「广1「广77

由全概率公式得，P(B)=X尸(4)尸(814)=-X*+-X皆+-X安=—.

27

所以"在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率为否.

18.(17分)已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)=e\x+2).

(1)求/(、)的解析式；

(2)求曲线y=/(x)在x=2处的切线方程；

(3)若Vx”/GR，都有|/(石)-/(工2)|〈加，求实数机的最小值.

【解析】

x—2

方法一：(1)当X>0时，f(x)=-f(-x)=-e~x(-x+2)=一

e

ex(x+2),x<0

/.f(x)=<0,x=0

x—2八

------,x>0

[ex

(2)x>0时，/'(x)=ej?-2)=3-x，八4二二，切点Q,0)

eee

/(刈在工=2处的切线方程为y=^(x-2)

e

(3)/(x)在(0,3)上单调递增；(3,m)上单调递减

x>0,xf0时，/(x)f-2,"3)=1，作出/(x)的大致图象如下,

由图知加24,叫面二4.

方法二：(1)设x>0，则—x<0，所以/(—x)=e-、(—x+2),

因为/(x)是奇函数，所以/(-X)=-f(x),

所以-/(x)=eT(r+2),即/⑶=e-、(x—2),

因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

eT(x+2),x<0

所以函数的解析式为/(x)=<0,x=0,

e-A(x-2),x>0

(2)当尤>0时，/(x)=e-x(x-2),f'(x)=e~\3-x),八2)=e-,

又因为/(2)=0，所以曲线y=/(x)在x=2处的切线方程为y-0=e-2(x-2),

即歹=e<x—2e<.

(3)当x=0时，/(0)=0.

当x<0时，"x)=e、(x+3),

所以，当x<-3时，/z(x)<0,函数/(x)单调递减，且〃x)<0.

当一3Vx<0时，f\x)>0，函数/(x)单调递增，且当x->0,/(x)f2.

所以，当x=-3时，函数/(x)取得最小值-e-3,

所以，当x<0时，/(劝的取值范围是|-e-3,2).

因为函数/(x)是定义域为R的奇函数，

所以，当x>0时，-x<0,/(x)=-/(-x),可得〃x)的取值范围是(-Ze、].

所以函数/(x)的值域为(-2,2).

由题V%,%wR，都有|/(再)一/(%2)归根，其中|/(司)一/(%)|的取值范围是。4),

所以实数机的最小值为4.

19.(17分)如图，在四棱柱48CO-/附G。1中，已知CR1底面48C。,AB//CD,

AB1AD,AB=2AD=2CD=2,AA]=^5，点E是线段上的动点.

(1)求证：BG〃平面8CQ;

(2)求直线力E与8片所成角的余弦值的最大值；

D/c

(3)在线段BD｝上是否存在与B不重合的点E，使得二面角B-AE-C的正弦值为答?

若存在，求线段BE的长；若不存在，请说明理由.

【解析】

方法一：

(1):AGUBC,51G2平面8CQ,3。＜=平面8。。］,「.与。］〃平面BC。］.

(2)设*=肛8,0W4W1,过C作于点〃,:.CMLCD，如图建系

.\^(1,1,0),DD{=45,:.CD}=2,

.*.^(0,0,2),B(-l,l,0),C(0,0,0),C,(-1,0,2),=(-1,1-2),ZD；=(-1-1,2)

/.AE=^+D^=(-1-2,-14-2,2-22),函=宙=(-1,0,2)

设ZE与所成角为。，

_AE.BBi_阵可_

|I+2+4-42|_3

"C0S°~画函",2—+2+4-84+442.6―

y/622-82+6-石

y/3t_y/3

令5—34=，2<t<5,:.cos0=

Vi0-V/2-6/+14Vio

当且仅当4=!时取"=”

9

(3)AB=(-2,0,0),ADX=(-1,-1,2)，设平面B/q的一个法向量勺=(七,必,臼)

—2x=0

t=>々=(0,2,1)

—X[—y+2Z]=0

^£=(-1-2-1+2,2-22),C4=(1,1,0)，设平面力EC的一个法向量a=(/J