平面向量的概念及线性运算（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题22平面向量的概念及线性运算5题型分类

彩题如工总

题型1:平面向量的基本概念

题型5:共线定理及期用

题型2:向量加、减法的几何意义

专题22平面向量的概念及线

性运算5题型分类

题型4:根据向量线性运算求参数

题型3：向量的线性运算

彩先也宝库

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模).

⑵零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算法则(或几何意义)运算律

交换律：a-\-b—b-\~a；

加法三角形法则

结合律：(〃+5)+C=Q+3+C)

a

平行四边形法则

减法a—b=a+(­b)

a

几何意义

数乘\Aa\=W\a\,当%>0时，加的方向与a

的方向相同；

当卜0时,痴的方向与a的方向相反；k(a~\~b)=Xa~\~Xb

当2=0时，2a=0

3.向量共线定理

向量a(aWO)与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使6=痴.

4.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即京+

不用+惠4H------特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

5.若E为线段AB的中点，。为平面内任意一点，则5>=上市+协).

6.若A,B,C是平面内不共线的三点，则式+丽+无=00尸为△ABC的重心，AP=1(AB+AC).

7.对于任意两个向量a,b,都有眄一|训Wla土臼W|a|+|耳

彩偏题祕籍

平面向量的基本概念

平行向量有关概念的四个关注点

(1)非零向量的平行具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

(4)言是与Q同方向的单位向量.

题型1：平面向量的基本概念

ab

l-L(2024高三上•辽宁•阶段练习)设a,b都是非零向量，下列四个条件中，能使时=恸一定成立的是()

22

A.a=-2bB.a=bC.a=2bD.同=忖

1-2.(2024高三上•福建厦门•开学考试)下列命题不正确的是()

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab

C.若“，b都为非零向量，则使n+面=°成立的条件是“与。反向共线

D.若a=b,b=c，贝Ua=c

1-3.（2024高一下.全国.课后作业）设〃是非零向量，7是非零实数，下列结论中正确的是（）

A.〃与4〃的方向相反B.〃与分〃的方向相同

C.|-A^|>|«|D.卜4〃闫川〃

彩做题海籍

（二）

平面向量的线性运算

平面向量线性运算的常见类型及解题策略

（1）向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.

（2）求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

题型2:向量加、减法的几何意义

2-1.（2024・四川南充•一模）已知正方形ABCZ）的边长为1,^\AB+BC-C^=（）

A.0B.&C.2D.2A/2

2-2.（2024高三・河北•学业考试）化简尸4一出+43所得的结果是（）

A.2ABB.2BAC.0D.PA

题型3：向量的线性运算

3-1.（2024•全国）在.ABC中，点。在边A8上，BD=2DA.记C4=7”,CO=〃，则CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3-2.（2024高三上.云南德宏・期末）在A6C中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且AE=2£D,

则=（）

21?1

A.-AB——ACB.-AC—AB

3333

7575

C.-AB--ACD.-AC--AB

6666

3-3.（2024・山东）己知平行四边形ABCD,点E,尸分别是AB,3C的中点（如图所示），设AB=a,AD=b,

则E尸等于()

/

EB

A

-1Q+Z?)B.5(4-/?)C.-a)D.5〃+/?

3-4.(202』L全国)在△A3。中，AD为5c边上的中线，E1为AD的中点，则砂=

113

A.3AB——ACB.-AB——AC

4444

113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

3-5.(202」1・广东佛山•模拟预测)在ABC中，AB=a,AC=b,AC=2EC,BC=2DC,线段AD与3E交

于点尸，F[JCF=()

2,12

A.-2+一。B.—a——Zb

3333

-[ahD.乌

C.一+

3333

3-6.(202/1•四川自贡・一模)如图所示的.ABC中，点。是线段上靠近3的三等分点，点E是线段A5的

中点，贝1h)石=()

4

「「

3工

BL)C

A.—-AB--ACB.--AB--AC

3663

C.--AB--ACD.--AB+-AC

5363

题型4:42据向量线性运算求参数

4-1.(202」«高三上•湖北黄冈•期中)在平行四边形A3CO中，点M、N分别在线段和8上，满足

B，CN=AND，^MN=-^AB+AD,则实数2=()

AM=AMi

A.4B.3C.2D.1

4-2.(202,«高三上•陕西安康•阶段练习)已知。是"1BC所在平面内一点，若

OA+OB+OC=0,AM=xAB,AN=yAC,MO=2ON,x,y均为正数，则移的最小值为（）

144

A.-B.-C.1D.-

293

4-3.（2024高三上•全国•阶段练习）在平行四边形ABCD中，BE=2ED-AF=AC+2AB,若

4

£F=XAB+〃AD（4〃wR）,则一=（）

A

A.1B.2C.4D.8

4-4.（2024高三上•山东枣庄•期末）己知。为线段48上的任意一点，。为直线AB外一点，A关于点。的对

称点为C,^OD=xOB+yOC,则苫一、的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

45（2024.全国•模拟预测）已知点。是:ABC的重心，过点。的直线与边AB,AC分别交于M,N两点，。为

ULUUUL1L1UUUL

边5C的中点.若=+贝！］%+丁=（）

321

A.-B.-C.2D.：

232

彩傩题秘籍（二）

共线定理及其应用

利用共线向量定理解题的策略

（l）a//b㈡a=Xb（bW0）是判断两个向量共线的主要依据.

⑵若amb不共线且Xa—/.ib,则％=〃=0.

（3）若万1=4而+〃沆设，〃为常数），贝UA,B,C三点共线的充要条件是%十〃=1.

题型5:共线定理及其应用

5-1.（2024高三下.湖北•阶段练习）已知向量则“d与石共线”是“存在唯一实数X使得°=劝”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5-2.（2024高二上•广西玉林•阶段练习）已知向量a,b不共线，且AB=a+46，BC=-a+9b，CD=3a-b，

则一定共线的是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

5-3.（2024高一下•陕西西安•阶段练习）若A,B,C是三个互不相同的点，贝AB=3AC”是“A,B,C三

点共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5-4.（2024高三上.陕西铜川•期末）在A6C中，若32。=2c3-2c4,则点。（）

A.在直线A3上B.在直线AC上C.在直线3C上D.为的外心

5-5.（2024高三.全国•专题练习）在四边形ABCD中，AB=a+2b>BC=-4a-b-CD=-5a-3b，则四边

形45co的形状是（）.

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.无法判断

-21

56（2024高三上.湖北襄阳•期末）已知a,b是两个不共线的向量，向量人+柩,耳〃-^匕共线，则实数f的值

为（）

A.—B.~C.-2D.2

22

5-7.（2024高一下•辽宁沈阳•期末）设两个非零向量。与。不共线.

⑴若AB=a+6，BC=2a+8b，CD=3（a—0）,求证AB,。二点共线.

（2）试确定实数%,使h+6和）+泣共线.

炼习与桎升

一、单选题

1.（2024高三上•安徽•期中）已知平面向量〃力和实数之，则“£=4方”是与石共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

2.（2024高三上•云南德宏•期末）已知。为ABC的边的中点.若=AD=b，则AC=（）

A.2b+aB.lb-aC.2a-bD.2a+b

3.（2024jWj三上•青海西宁•期末）已知向量a,〃不共线，m=a—3b，n=2a+xb，m//n贝打=（）

22

A.—6B.-C.6D.—

33

4.（2024•江苏南京•模拟预测）如图1,儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美,取一张正方形纸折出“十”

字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边

沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下

角的角向下翻折，这样,纸风车的主体部分就完成了，如图2,是一个纸风车示意图，则（）

B.OAOB>0

C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=D

5.（2024高二上•新疆•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若卜|<印则；（力B.若a,Z?互为相反向量，贝!J〃+Z?=0

C.空间中两平行向量相等D.在四边形ABC。中，AB-AD=DB

6.（2024高三上•浙江•阶段练习）已知平面向量a,b,c均为单位向量，贝『',+6-4=3”是与％共线”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

ab

7.（2024.北京大兴.三模）设a,6是非零向量，“口=忖”是““=用的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2024高三.全国•对口高考）给出下列四个命题：

①若则°=么°=一6；

②若A8=OC,则A,B,C,。是一个平行四边形的四个顶点;

③若。=瓦匕=<:,贝!|。="；

④若a//b，bile>则a//c；

其中正确的命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

n卜

9.（2024高一下.江西九江・期中）设a,6为两个非零向量，则“。=20236”是“——=一”的（）

\a\\b\

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

10.（2024•海南）在ABC中，。是边上的中点，则CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

IL（2024.山东潍坊•模拟预测）在.ABC中，=,点£为8的中点，设AC=。，AE=b，则AB=

A.6b-3aB.6b-2aC.4b—3aD-3b-la

12.（2024高二上•云南大理・期末）已知在ABC中，点。在边5。上，&BD=5DC,贝UAD=（）

151num勺uuni441

A.-AB+-ACB.-AC+-ABC.-AB+-ACD.-AB+-AC

66665555

13.（2024高三上•重庆•阶段练习）在中，AZ）为5。边上的中线，2AE=ED，则5E=（）

A.--AB+-ACB.--AB--AC

6666

C.--AB--ACD.--AB+-AC

6666

14.（2024•河南•模拟预测）在等腰梯形A5CD中，AB=2CD,若=AB=b，则8C=（）

r1r131

A.a—bB.—a+bC.—aH—bD.an—b

2222

15.（2024・全国•模拟预测）在等腰梯形ABCD中，AB//CD,CD=2AB,点E是线段BC上靠近C的三等

分点，则0£=（）

7271

A.—A.BH—DA.B.—A.B-\—DA.

3333

52—51

C.-AB+-DAD.-AB+-DA

3333

16.（2024•山西・一模）已知矩形ABCD中，£1为边中点，线段AC和DE交于点尸，则=（）

A.--AB+-ADB.-AB--AD

3333

C.-AB--ADD.--AB+-AD

3333

.3-1

17.（2024高三上•广东•开学考试）在ABG中，已知=—5G,AF=-AGAE与互交于0,则人。=

839

Gt

21434334

A.-AB+-BGB.-AB+—BGC.-AB+—BGD.-AB+-BG

73510714147

18.（2024•全国•模拟预测）在平行四边形ABC。中，点E是CD上靠近C的四等分点，旗与AC交于点尸,

则（）

3-2-41

A.——ADB.—AB——AD

5555

3123

C.-AB——ADD.-AB——AD

4455

UUM11UUUii

19.（2024・四川绵阳•二模）已知平面向量a,b不共线，AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b，则（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

20.（2024高三上•山东滨州•期中）已知点0是平面内任意一点，贝产存在teR,使得OC=（l-f）Q4+tO3”

是三点共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

21.（内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2024届高三上学期第二次月考数学试题）已知向量a,万不

共线，AB=a+3b，BC=5a+3b，CO=-3a+36，贝I（）

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,。三点共线D.B,C,。三点共线

22.（2024・河南•三模）已知°、b、c均为非零向量，且a=2b,6=-3。则（）

A.q与c垂直B.6与c同向C.0与c反向D.0与b反向

3111

23.（2024高三上・安徽亳州•期中）在AFC中，AM=-AB+-AC,CN=—CB+—CA,A4与CN交于点

4422

P,且AP=xAB+yAC（x,yeR）,则x+y=（）

24.（2024高三下•河南•阶段练习）已知四边形ABC。，下列说法正确的是（）

A.若4B=DC,则四边形ABC。为平行四边形

B.若|AC|=|BD|,则四边形A3CD为矩形

C.若AQ〃BC，且|AC|=|则四边形ABC。为矩形

D.若|AB|=|C£»|,且AO〃2C，则四边形ABCO为梯形

25.（2024高三上.辽宁朝阳.阶段练习）在梯形48CO中，AB=4DC，AC+AB=xAO+yC。，则（）

A.5B.6D.-6

26.（2024・福建福州•模拟预测）已知q,02是两个不共线的向量，若2q+&>?与〃q+e2是共线向量，则（）

2丸

A.—=-2B.2//=-2C.一=2D."=2

27.（2024・陕西安康・模拟预测）已知平面向量〃与人不共线，向量机=必+乩〃=3+（3%-2）人，若力/：,则

实数1的值为（）

A.1B.--C.1或一,D.—1或工

333

28.（2024高三上•河南•阶段练习）如图，在ABC中，。为的中点，AE=2EC,AD与BE交于点F,

若AB=a,AC=6，则8/=（）

55555555

29.（2024高三上•福建•阶段练习）在,ASC中，BC=3BD,C户=2FA，£是AB的中点，EF与AD交于点

P,AP=mAB+nAC贝（）

346

A.—B.—C.-D.1

777

30.（2024高一下.陕西渭南•期中）下列说法中正确的是（）

A.单位向量都相等

B.平行向量不一定是共线向量

C.对于任意向量a,b,必有|a+b凶a|+|b|

D.若a,6满足|a|＞出|且a与。同向，则£＞石

31.（2024高一下•上海•课后作业）给出如下命题：

①向量A8的长度与向量BA的长度相等；

②向量d与b平行，则a与6的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量A8与向量。。是共线向量，则点A,B,C,。必在同一条直线上.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

32.（2024高一下•山西朔州•期中）下列命题中正确的是（）

A.若&=6，则3a＞26

B.BC-BA-DC^AD

C.若问+忖=,+可，则a与6的方向相反

D.若|a|=W=K|，贝=

33.（福建省南平市高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）下列说法正确的是（）

C.若［小则力4D.若屋方则二工不是共线向量

34.（2024局一■•全国•课后作业）若a+6+c=0，贝！Ja,btc（）

A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形

B.一定不可能构成三角形

C.都是非零向量时能构成三角形

D.一定可构成三角形

35.（2024.山东泰安・模拟预测）在ABC中，点。为AC中点，点E在BC上且BE=2EC.记AB=a,AC=6,

则ED=（）

1111111-1-

A.——a+—bB.——a——bC.——a——bD.—a——b

36366336

36.（2024•河北邯郸•三模）已知等腰梯形ABCQ满足AB//CD,AC与5。交于点P,且AB=2CD=23C,

则下列结论错误的是（）

A.AP=2PCB.\AP\=2\PD\

C.AP=-AD+-ABD.AC=-AD+-AB

3333

37.（2024・河北•模拟预测）已知。为一ABC所在平面内一点，且满足S=则（）

A.AD=-AB--ACB.AD=-AB+-AC

2233

C.AB=4AD-3ACD.AB=3AD-4AC

38.（2024・贵州贵阳•模拟预测）在ABC中，AO为5C边上的中线，E为AZ）的中点，则（）

3113

A.-AB——ACB.——AB--AC

4444

311-3

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

4444

39.（2024高三下•贵州黔东南•阶段练习）已知在平行四边形A3CQ中，E,尸分别是边CD5。的中点，则

EF=（）

A.-AB-ADB.-AB-BCC.—A.BH—A.DD.-AB--BC

222222

40.（2024高一下•全国•阶段练习）如图所示，点石为ABC的边AC的中点，尸为线段3E上靠近点3的四

等分点，则A/二（）

35537131

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.——BA+-BCD.——BA+-BC

88448844

41.（2024高一下•四川泸州•期末）在平行四边形ABCQ中，对角线AC与50交于点。，若AB+4）=4AO,

贝|J2=（）

A.—B.2C.—D.一

232

42.（2024・河南•三模）已知等腰梯形A5CZ）中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2f3C的中点为贝|人£=

（）

A.-DB+-ACB.-DB+-AC

3336

1125

C.-DB+-ACD.-DB+-AC

3236

43.（2024・广东广州•模拟预测）在ABC中，M是AC边上一点，且AM=；MC,N是上一点，若

AN=^AC+mBC,则实数机的值为（）

A.--B.--C.-D.-

3663

44.（2024•湖北武汉•三模）如图，在,ABC中，M为线段2C的中点，G为线段AM上一点，AG=2GM，

41

过点G的直线分别交直线AB,AC于尸，。两点，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,则［+的最

小值为（）.

44

45.（2024高三・山西•阶段练习）如图，在ABC中，。是BC边中点AP=gAO,CP的延长线与A8交于

AN,则（）

—1—11-1

A.AN=-ABB.AN=-ABC.AN=-ABD.AN=-AB

4567

46.（2024・湖北武汉）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB,AC两边交于N

两点，设=yACAN，则一+一的值为（

%y

A

G

BC

A.3B.4

C.5D.6

47.（2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）在.ABC中，石为AC上一点，AC=3AEP为线段班上任一点

13

（不含端点），AP=xAB+yAC,则一+一的最小值是（）

%y

A.8B.10C.13D.16

48.（湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段性检测数学试题）已知向量〃、人不共

线，^c=xa+b,d=a+（2x-\）b,若c与d共线，则实数1的值为（）

A.1B.--C.1或—』D.—1或—,

222

49.（2024高三・全国・专题练习）已知直线/上有三点A,B,C,0为/外一点,又等差数列｛〃〃｝的前〃项

和为S〃，^OA=（a1+a3）OB+2ai0OC,则品=（）

A.口B,3C.HD.上

422

二、多选题

50.（2024高三.全国・专题练习）（多选）下列命题正确的是（）

A.若4力都是单位向量，则〃=。.

B.“同明”是“2=1”的必要不充分条件

C.若0,6都为非零向量，则使2+4=0成立的条件是a与6反向共线

\a\\b\

D.a=b,b=c,贝!|q=c

51.（2024高三上.黑龙江双鸭山•阶段练习）下列说法中不正确的是（）

A.若口=0,贝!1a=0

B.若a与6共线，贝！=或a=-5

C.若q,e2为单位向量，则q=e2

a

D.n是与非零向量”共线的单位向量

52.（2024高三•全国・专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且AB=Z）C，则四边形A8CD为平行四边形

C.a=b的充要条件是Id=W且二〃力

D.已知九〃为实数，若4a=曲,则a与〃共线

53.（2024高一下•湖南张家界•阶段练习）下列命题中错误的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

c.d与b同向，且网＞|“，则

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

54.（2024高三•全国・专题练习）（多选题）给出下列命题，不正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A,B,C,。是不共线的四点，且AB=OC，则四边形ABC。为平行四边形

C.〃=6的充要条件是忖=忖且?/力

D.已知九〃为实数，若=则Z与方共线

三、填空题

55.（2024・江苏）在△ABC中，AB=4,AC=3,/&IC=9O。,。在边BC上，延长到P,使得AP=9,若

PA=mPB+（--tn）PC（%为常数），则CD的长度是.

56.（2024高三•全国・专题练习）下列命题正确的是.（填序号）

①向量2、b共线的充要条件是有且仅有一个实数力，使la;

②在ABC中，AB+BC+CA=0;

③只有方向相同或相反的向量是平行向量；

④若向量a、6不共线，则向量a+6与向量a-b必不共线.

57.（2024・全国•模拟预测）在平行四边形ABCD中，点G在AC上,且满足AC=3AG，若OG=mAB+nAD，

贝°根一〃=.

58.（2024高三・全国・专题练习）在“C中，。是边的中点，AP=tAO,过点尸的直线/交直线相,AC

分别于M,N两点，5.AM=mAB,AN=nAC,则.

mn

59.（2024.安徽淮北.一模）已知抛物线y2=2px（p>0）准线为/,焦点为F，点A,3在抛物线上，点C在

/上，满足：AF=A,FB-AB=HBC,若2=3,则实数〃=.

60.（2024高三.全国•专题练习）给出下列四个命题：

①若6与是共线向量，则a与6也是共线向量；

②若卜卜恸=5-0,则°与人是共线向量；

③若卜-q=W+W，则a与6是共线向量；

④若||«|-|^||=忖+\b\,则b与任何向量都共线.

其中为真命题的有（填序号）.

61.（2024高一下•安徽合肥・期中）设4©是不共线的两个向量，AB^el+ke2,CB^el+3e2,CD=2el-e2.^

A,B,D三点共线，则k的值为.

62.（2024高三上•河南・专题练习）已知平行四边形A3CZ）中，点M为线段8的中点，AM交BD于点、N