平面向量-2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）

专题07平面向量

c易错点：注意零向量书写及三角形

题型一：平面向量线性运算

飞与平行四边形适用前提

迪二：平面向量的空定理

易错点：忽略基底选取原则

及坐标表示a

题型二:平面向量的经飒

a易错点：忽视数量积不满足结合律

易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线

性运算）

1.向量的有关概念

（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）.

（2）向量的模：向量次的大小，也就是向量方的长度，记作|在

（3）特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：。与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算和向量共线定理

（1）向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律

①交换律

求两个向量a+b=b+a

加法

和的运算a»②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求色与B的

相反向量-B的

减法a—b=a+(—b)

和的运算叫做&a

与B的差三角形法则

(1)\^a\=\A\\a\

求实数人与=(2/z)5

(2)当力>0时，42与G的方向相同；

(Z+4)1=Aa+pia

数乘向量1的积的运

当2<0时，与万的方向相同；

算2(5+6)=Aa+Ab

当；1=0时，2a=0

共线向量定理

向量3伍*0)与B共线，当且仅当有唯一的一个实数力，使得3=2。

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量N,b,若存在实数2,使3=%不，则］与不共线.

(2)证明三点共线：若存在实数九使方=2衣，则/B,C三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量,

三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式

等变形手段在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向

量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

aa

(6)非零向量5与e的关系：E是万方向上的单位向量.

l«Il«I

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小

易错提醒：(1)向量表达式中的零向量写成0,而不能写成①

(2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重

合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

(3)要注意二角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重

合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾

相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=BA-AM-AN=NM

OA=OB+CA^OA-OB=CA^BA-CA=BA+AC=BC.

例.如图，在平行四边形/BCD中，下列计算正确的是()

A.AB+AD=ACB.AB+CD+DO=OA

UULUUUULlUULILlUl_____.____._______

C.AB+AD+CD=ADD.AC+BA+DA=Q

【详解】对于A,根据平面向量加法的平行四边形法则，则存+通=衣，故A正确；

,___.,_.,,LILlUlnum,lAlUUUU1UULLUUllLILLL,,,,

对于B,在平行四边形48co中，CD=-AB-贝1J/8+CD+OO=DOHCM，故B错误；

对于C,AB+AD+CD=AC+CD=AD<故C正确；

,,.UULUU.UL

对于D,在平行四边形48co中，CD=BA，

LILlUlUULLlUULLlUUlLILlUlUULULlllUUL±

AC+BA+DA=DA+AC+BA=DC+BA=O故D正确.故选：ACD.

变式1：给出下列命题，其中正确的命题为()

A.若方=而，则必有/与C重合，2与。重合，A3与CO为同一线段

__.1__、2—►

B.若=+贝I]可知阮^3丽

ULKT1uuriuuriuur

C.若。为AABC的重心，则尸0=]尸/+§尸8+§PC

D.非零向量W，b，々满足之与石，B与工，"与Z都是共面向量，则Z，b，）必共面

【详解】在平行四边形/3OC中，满足方=无，但不满足/与C重合，2与。重合，与CD不为同一

线段，A不正确.

__12___._______________.

因为AD=]/C+§AB,所以3通=就+2而，所以2而-2万=就-诟，所以2丽=工，所以

3丽=丽+皮，即3而=就，B正确.

若。为AABC的重心，贝1]逡+函+反=6,所以3所+7+班+*=3而，所以3闻=西+而+正,

uur1uur1uuriuur

^PQ=-PA+-PB+-PC,C正确.

在三棱柱NBC-48c中，令方=£,AC=b，AAl=c,满足Z与3，B与乙工与Z都是共面向量，但Z，

b，）不共面，D不正确.故选：BC.

__kk2i

变式2：如图所示，在平行四边形/BCD中，AB=a,Al5=b,BM=-BC,AN=-AB.

（1）试用向量来表示丽，万7;

（2）阕1交DN于O点，求NO:QM的值.

----*I*.I»»,I—»

【详解】（1）因为4N=—/B,所以/N=—N,所以DN=AN—AD=—G—b,

444

——►2—►——►2—►2-

因为BC,所以BM=—AD=—b,

333

__„__„___2

所以而=万+两=2+/；

（2）设质=2屈，

则丽=而_诙=2斯_诙=；1（1+：3）_3=；1]+1|式_1]3,

因为。。N三点共线，所以存在实数〃使万万=〃丽=〃[%-4=一面-应

由于向量，/不共线，则2=;〃，|彳-1=-〃，解得x=s,〃=g,

33

所以/O:/M=—n/O:(W=—.

1411

变式3：如图所示，在矩形/BCD中，闻=46，画=8,设癌心AB=a,而=履求|"3臼

【详解】解：在矩形/6C3中，R万|=|罚|=4人，|在卜8,

则

因为芯=5，AB=a，JD=C>

贝盛一］-"=益一元一丽=而一而一丽=丽+丽义质，

因止匕，,一3—4=2同=2x46=8"

uuuf,r

1.已知人B为不共线的向量，益=2+5九BC^-2a+8b，CD=3(a-b),贝ij()

A.A,B,C三点共线B.A,C,。三点共线

C.A,B,D三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】C

【分析】根据平面向量共线定理及基本定理判断即可.

【详解】因为Z、B为不共线的向量，所以％、B可以作为一组基底，

对于A：AB=a+5b，就=一2£+8加，若存在实数/使得益=/数，

I=1

则£+5刃=22+丽)，所以__,方程组无解，所以北与苑不共线，故A、B、C三点不共线，即A

04—D

错误；

对于B：因为刀=£+5刃，BC=-2a+Sb＞所以芯=AS+前=。+5刃+卜2。+8可=-。+13刃,

同理可以说明不存在实数，，使得衣.丽，即%与而不共线，故A、C、。三点不共线，即B错误;

ULH'/1'I\

对于C：因为沅=-2£+8加，CD=3（"b）,

所以丽=数+丽=-2£+日+3（力）=£+53，

又荔=之+5石=而，所以存//赤，故A、B、。三点共线，即C正确；

uuur/ri\

对于D：BC=-2a+8b^CD=3^a-bj,

同理可以说明不存在实数f,使得而‘丽，即就与而不共线，故8、C、。三点不共线，即D错误;

故选：C

2.如图，在平行四边形N8CD中，E是8c的中点，歹是线段/£上靠近点N的三等分点，则而等于（

1—2—

B.-AB——AD

3333

1―.5—«1—•3—•

C.-AB——ADD.-AB--AD

3634

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：DF=AF-AD=^AE-AD,

=-AB——AD,

36

故选：C

3.在四边形/BCD中，若％=砺+而，贝IJ（）

A.四边形/BCD是平行四边形B.四边形48co是矩形

C.四边形/BCD是菱形D.四边形A8CD是正方形

【答案】A

【分析】由：^=在+通推出元=诙，再根据向量相等的定义得BC=/。且BC///。，从而可得答案.

【详解】因为衣=益+1万，tkAC-AB=AD＞即而=N万,

故3c=4。且8C//4D,故四边形N8CD一定是平行四边形,

不一定是菱形、正方形和矩形，故A正确；BCD不正确.

故选：A.

4.已知分别为小8。的边上的中线，设通=£,BE=b^\BC=（）

2-4一2_4一

C・~a--bD.~~a+~b

。J3D

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算即可联立方程求解.

【详解】/QBE分别为的边8C,/C上的中线，

贝1]25=诙一丽=；瑟_被，

BE=BA+AE=BA+-AC=BA+-^AB+BCJ=-^BA+BCJ,

由于/£）=〃，BE=b,所以a=QBC=eBA+eBC,

—►2一4一

故解得=+

33

故选：B

5.如果耳可是平面。内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（）

①+〃e2（4〃£R）可以表示平面。内的所有向量；

②对于平面。内任一向量Z,使。=鸡+“（44GR）的实数对（44）有无穷多个;

一一一一4M

③若向量4,+从?2与4,+〃2?2共线，则了二一

④若实数入〃使得鸡+“=6,则;i=〃=o.

A.①②B.②③C.③④D.②

【答案】B

【分析】由平面向量基本定理判断①④②，由共线向量定理判断③.

【详解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正确.

对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是

唯一的，故错误；

对于③，当加方=0或〃/〃2=0时不一定成立，应为力=故错误.

故选：B.

6.给出下列各式：@^B+CA+BC,@AB-CD+BD-AC，©AD-OD+OA»®NQ-MP+QP+MN,

对这些式子进行化简，则其化简结果为G的式子的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】利用向量的加减法法则逐个分析判断即可.

【详解】对于①，AB+CA+BC^AB+JC+CA^AC+CA^O^

对于②，AB-CD+BD-AC=（AB+BD^-^1C+CD）=AD-AD=0,

对于③，AD-db+OA=^AD+Dd^+dA=Ad+dA=d,

对于④，NQ-MP+QP+MN=（NQ+QP）+（PM+MN）=NP+PN=O,

所以其化简结果为。的式子的个数是4,

故选：A

7.已知平面向量Z，b，c，下列结论中正确的是（）

A.若.〃否，贝!J0=3B.若卜卜夫，则.=石

C.若0〃5，b//c!则a〃cD.若卜+©=同+W，则

【答案】D

【分析】利用向量的概念及零向量判断即可.

【详解】A：若°为非零向量，3为零向量时，有4〃B但0=3不成立，错误；

B：同明时，%,3不一定相等，错误；

C：若石为零向量时，a//b,彼〃己不一定有）错误；

D：卜+囚=卜|+忖说明3同向或至少有一个零向量，故正确.

故选：D.

8.设［与［是两个不共线的向量，AB=3e1+2^,CB=kel+Z,CD=^-2k'^,若Z,B,。三点共线，则

左的值为（）

4938

A.——B.——C.—-

948--3

【答案】B

【分析】根据向量共线的判定定理结合向量的线性运算求解.

UUWLlUUTULIT/irUT\/ITUt\LTIX

【详解】由题意可得：BD=CD-CB=［?>ex-2keiy\kel+e^=（3-kyi-（2k+\）e1,

若4,B,。三点共线，所有必存在一个实数九使得在=几丽，

irurr-LTur,-iITir

艮3,+2e?=几］（3—左）,一（2后+1）92］二丸（3—左）,—4（2k+1）与，

（—左）2=-

可得14与3♦=）3与解得,7

k,

故选：B.

9.在AO/8中，已知网=2,网=4,尸是的垂直平分线/上的任一点，贝U赤.赤=（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】B

【分析】设M为42的中点，结合户为线段N8垂直平分线上的任意一点，则有历.在=两.砺，再将

而，在都用方，丽表示，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】设M为的中点，

则亦方=（而'+珂.万=而•方+赤.方，

因为尸为线段N3垂直平分线上的任意一点，

所以砺•刀=0，

贝廊•方=而•方=|■（砺+珂.（砺—珂=^OB2-OA^=-6.

故选：B.

10.已知抛物线C：J?=4x的焦点为F，准线为/,点线段/尸交抛物线C于点2,过点3作/的垂

线，垂足为若苏=3而，则（）

A.B.=4

D.\AF\=MBH

【答案】BC

【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解.

【详解】抛物线C：/=4x的焦点尸（1,0）,准线/为尤=-1,

\BH\_\AB\_2

\MF\~\AF\~

4

•：\MF\=2,：.\BH\=^x2=^,艮1丽|二故A错误；

由抛物线定义得|BF|=|BH\,：.\AF\^3\BF\=3\BH\^4,

即//=4,\AF\=?,\BH\,故BC正确,D错误.

故选：BC.

11.下列各式中结果为零向量的为（)

A.AB+MB+W+OMB.AB+BC+CA

C.AB-AC+BD-CDD.OA+OC+W+CO

【答案】BC

【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可.

【详解】^~AB+MB+JO+OM=AB+{<Bd+OM+MB^=^B,所以选项A不符合题意；

因为益+比+0=6，所以选项B符合题意；

因为益-衣+而-丽=赤+而-函=函-丽石，

所以选项C符合题意；

因为7+反+的+函=画+珂+瓯+珂=诙+6=礼

所以选项D不符合题意，

故选：BC

易错点二：忽略基底选取原则（平面向量的基本定理及坐标表示）

1.平面向量基本定理和性质

（1）共线向量基本定理

如果）=4（叔夫），则///B；反之，如果3/区且5片0,则一定存在唯一的实数％,使@=加（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

（2）平面向量基本定理

如果1和易是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量了，都存在唯一的一对

实数4,4,使得1=43+41，我们把不共线向量1，尾叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

{9勺},+A2e2叫做向量）关于基底,©}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I与最不共线，平面内的任一向量2都可以分解成形如

+41的形式，并且这样的分解是唯一的.+4易叫做易的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若1=4弓+402=4弓+402，则4=4，A2=24.

推论2：^5=A1<?1+/L,e2=0,则4=4=0.

（3）线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△/8C中，若点。是边3c上的点，且丽=%比1）,则向量打。.在

J"1"+2"

向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌

握.

(4)三点共线定理

平面内三点4B,C小线的充要条件是：存在实数4〃，使反=2方+〃砺，其中4+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

/、B、C三点共线

o存在唯一的实数;I,使得k=2而；

o存在唯一的实数2,使得反=a+/1方；

o存在唯一的实数2,使得反=(1-㈤刀+2砺；

O存在力+〃=1,0C=WA+/AOB.

(5)中线向量定理

—►1—►_._

如图所示，在人2。中，若点。溟边3。的中点，则中线向量/D=5(/B+/C),反之亦正确.

2.平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与x轴，V轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量有且只有一对实数工/使3=%：+抽，我们把有序实数对(三历

叫做向量值的坐标，记作5=(%/).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是---对应的，即有

向量(x,y)、=「暨二、向量次、•.丁譬二、点4x，y).

(3)设■=(无，1必),b=(x2,y2),则。+1=(网+々,必+%),a-b=(Xj-x2,y1-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若d=(x,y),2为实数，则2»=(2x"y),即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

(4)设/(国,%)，8(%,%),则在=砺-丽=(国-尤2,%-%)，即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

3.平面向量的直角坐标运算

22

①已知点，(再，%)，B{X2,y2),则AB=(x2—Xj,y2—jVj)T|AB|=(x2—%1)+(y2~)

②已知F=(x”为),b=(x2,y2),则=(再±%，必±%)，而=(2再,办J,

a-b=X环？+yxy2,|1=旧+y：.

a//bxxy2-x2yx=0,3_LB今xtx2+y,y2=0

向量共线(平行)的坐标表示

1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量1共线的向量时，可设所求向量

为府(AeR),然后结合其他条件列出关于力的方程，求出2的值后代入须即可得到所求的向量.

2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若万=Q,%),

b=(x2,y2),则的充要条件是毛%解题比较方便.

3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于万与k共线.

4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒

等变换求解.

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行

向量的运算.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的

向量表达式.

向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.

两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

易错提醒：(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示

出来.

(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相

似等。

三9

例.已知向量£=(2,1),B=(—3,1),贝(J()

-(V52V5_1-

A.右。=­?z-，则〃_1。B.向量£在向量石上的投影向量为-

C.々与£5的夹角余弦值为平D.(a+b\lla

--V5

【详解】对于A选项，若。=植一豆1),贝U4•C=2X——F1=0,所以5_LU,A正确;

对于B选项，设向量£在向量刃上的投影向量为泥，则73=%片，即2x(-3)+F=l(U,解得力=-g,故

1一

向量〃在向量石上的投影向量为-,6,B选项正确；

一一7(力)io26

对于C选项，a-石=(5,0)cos<a,a—b>=■ppp—q--~/=——~~~C选项正确;

\cA-\a-HV5x55

对于D选项，a+^=(-l,2),-1x12x2,所以Z+5与々不共线，D选项错误.

故选：ABC.

变式1.下列说法中错误的为()

A.已知:=(1,2),力=(1,1)且£与£+宓的夹角为锐角，则实数2的取值范围是［-$+8

B.向量1=(2,-3),不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量几满足R<W且々与］同向，则£>否

D.非零向量之和石，满足,咽=口-@,则Z与Z+3的夹角为30。

【详解】对于A,Q联=(1,2),6=(1,1),且Z与Z+元的夹角为锐角,

.-.a-(a+25)=(l,2)-(l+A,2+A)=l+A+4+2A=3A+5>0,且彳*0(4=0时，£与£+」的夹角为0。),所

以且2/0,故A错误；

对于B,向量］=4e，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确;

对于C,向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误;

对于D,因为同叩一%两边平方得，W=2H,又H=M，

222一一一2

则4+B)a|+a^=||a|+la-b+b=6口，

百

故COS(Q,Q+B

一问«+4口~2

而向量的夹角范围为［o°,180°］,所以£和£+5的夹角为30。，故D正确.

故选：AC.

变式2.（多选）下列说法中正确的是（）

A.若a=（X］，M）,Z>=（%,%），且［与共线,则；"=”

B.若a=（』,必）,6=（%2，%），且玉%。％2%,则：与力不共线

C.若4,B,。三点共线.则向量八,六,&都是共线向量

D.若向量a=,且则〃=—4

【详解】对选项A,%=0或%=0时，比例式无意义，故错误;

对选项B,若a=（石,乂）,6=（心％），Q与6共线，则一'定有玉%="2%，故正确;

对选项C,若4,B,C三点共线，则几，六，&在一条直线上，则/，炭;&都是共线向量，故正确;

对选项D,若向量：=（1,2）］=（一2,〃），且则1X/7=-2X2,即〃=-4,故正确；

故选：BCD

变式3.已知晟晟是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）

A.若实数冽，nmel+ne2=6,贝!J加=〃=0

B.平面内任意一个向量5都可以表示成2=加,十加6，其中冽，〃为实数

C.对于冽，〃ER,冽q+碇2不一定在该平面内

D.对平面内的某一个向量万，存在两对以上实数冽，n,使万=加1+

【详解】解：根据基底的定义知AB正确;

对于C,对于加，在该平面内，故C错误;

对于D,m,〃是唯一的，故D错误.

故选:AB.

1.在梯形中，ABUCD,AB=2CD,E,产分别是45,CO的中点，AC与BD交于M,设五=，,

AD=bf则下列结论正确的是（）

—►1一—►1一

A.AC=-a+bB.BC=——a+b

22

—►12一—•1一

C.BM=——a+-bD.EF=——a+b

334

【答案】ABD

【分析】结合已知梯形的性质及向量加法及减法的三角形法则及向量共线定理对各选项进行判断即可.

【详解】

由题意可得，AC=AD+DC=b+-a故A正确；

2f

BC=BA+AC=-a+b+-a=b--a故B正确；

229

——►—►——►2—►2-12-2

BM=BA+AM=-a+-AC=-a+-b+ax-=-b——a,故C错误;

33333

EF=EA+AD+DF=--a+b+-a=b--3,故D止确.

244

故选：ABD.

2.已知点”(1,2),8(3,x),向量a=(2-x,-l),AB//a,则()

A.x=2+0时您与方方向相同

B.无=2-后时，刀与Z方向相同

C.》=2-&时元与Z方向相反

D.尤=2+0时，血与Z方向相反

【答案】BD

【分析】根据向量平行的坐标表示求出x,再回代验证方向相同或相反.

【详解】2(1,2),5(3,x),可得方=(2户-2),

又1=(2-尤,-1),ABIIa<

可得(2-可卜-2)=-2,解得》=2±0，

当x=2+0时，万=(2，⑹与7=卜"-1)方向相反，当工=2-应时，在=(2,-⑹与3=(在-1)方向

相同.

故选：BD

3.已知点41,2),3(3,x),向量1=(2-阳一1),万〃凡则()

A.x=3时施与Z方向相同

B.x=2-后,时刀与£方向相同

C.工=3时1§与之方向相反

D.x=2+血，时通与Z方向相反

【答案】BD

【分析】根据向量共线的坐标运算求解.

【详解】4L2),5(3,x),可得次=(2,x-2),

y.a=(2-x,-i),AB//a,

可得(2-x)(x-2)=-2,解得x=2土近，

当x=2+正，时，万=(2,a),1=(-加,一1)则益=一收£,

所以君与方方向相反，

当x=2-后，时，益=(2,-拒)，5=(V2,-1),则方

窈与3方向相同.

故选:BD.

4.如果耳，当是平面。内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是()

A.几4+〃&(4,〃eR)可以表示平面a内的所有向量

B.对于平面a内任一向量使方=2耳+〃瓦的实数对(4〃)有无穷个

c.若向量44+〃同与44+〃2瓦共线，则有且只有一个实数力，使得4耳+〃©=4（4耳+〃25）

D.若存在实数使得力百+〃«=0,贝！］彳=〃=0

【答案】AD

【分析】由平面向量基本定理可确定AD正确，B错误；通过反例可说明C错误.

【详解】•••4,马是平面二内两个不共线的向量，，耳©可以作为平面2的一组基底；

对于A,由平面向量基本定理可知：2耳+Mg2（%〃eR）可以表示平面二内的所有向量，A正确；

对于B,对于平面。内任意向量有且仅有一个实数对（4〃），使得1=2耳+〃当，B错误；

对于c,当4=〃i=4=4=。时，4昌+必同与否M+〃2日均为零向量，满足两向量共线，此时使得

4耳+〃©=2（4瓦+〃22）成立的4有无数个，C错误；

对于D,由病+〃&=0得：病=-〃«，又身后不共线，•/=-〃=0，即2=〃=0,D正确.

故选：AD.

5.已知平面内平行四边形的三个顶点5（-1,3）,C（3,4）,则第四个顶点。的坐标为（）

A.（-2,2）B.（4,6）

C.（-6,0）D.（2,-2）

【答案】ABC

【分析】若构成的平行四边形为/8C2,即/c为一条对角线，设则由/c中点也是中点，

利用线段的中点公式求得A.

同理可求得，构成以为对角线的平行四边形NBC3,和以8c为对角线的平行四边形NCA5,对应的。

的坐标.

【详解】若构成的平行四边形为/BCR,即4c为一条对角线，

-2+3x-1

设□（尤/）,则由/C中点也是肛中点，可得L22解得厂；

l+4_y+3［歹=2

所以2（2,2）；

同理可得，若构成以N8为对角线的平行四边形NBC。，则3(-6,0)；

以为8c对角线的平行四边形/CR8,则2(4,6)；

所以第四个顶点。的坐标为可以为：(-2,2)或(-6,0)或(4,6).

故选：ABC.

6.已知椭圆£：；+/=1的左、右焦点分别为片，F2,过下顶点/和右焦点£的直线与£交于另一点£

84与y轴交于点尸，则()

A.AF11AF2B.\BF2\=y-

C.片的内切圆半径为包D.4FP-3PB=Q

2

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.

【详解】依题意，椭圆E:J+/=1的焦点片(-1,0),2(1,0),下顶点40,-1),如图，

对于A,|OFt|=|OF21=|OAI,因此巴，A正确;

\y=x-141

对于B,直线=1,由「2。2c消去y得：3X2-4X=0,则点

[x+2y=233

于是|8巴|=小€-1)2+(》2=殍,B正确；

ii4

对于c,的周长为4及，令其内切圆半径为厂，^=-^2|-|--(-1)=-,

因此1x4行=?，解得"正，C错误；

233

41—•—.41__—4—■—■

对于D,5(-,-),设点尸(0,%),则片尸=(1,%),尸8=(§,§-%),而F///PB,即有=

因此4用-3丽=。，D正确.

故选：ABD

7.设0＜。＜兀，非零向量a=(sin26,cos6),b=(cos^,l),贝！J().

i47r

A.若tan6=：,则之〃3B.若。=；,则£，3

C.存在。，使力=bD.若2〃几则tan。'

【答案】ABD

【分析】A选项，验证cos?0=sin20即可；

B选项，验证7B=o；

C选项，由题可得2sin26=cos6,cos6=；,据此可判断选项正误；

D选项，由题可得cos?d=sin20，据此可判断选项

【详解】A选项，tanO=L=＞电电」ncos6=2sine=＞co83=2sin^cos^=sin26,

2cos。2

则Z〃B，故A正确；

B选项，9=^nsin26=-l,cos6=—则。-~，b=-,1,

4222

\7\7

故2%=O=£_LA，故B正确；

C选项，假设存在。，使。=h,则2sin2e=cos6,cosO=；,则可得

4sin0cos0=cos0n2sin0=，nsin0=—,故可得

24

sin26+cos28wl，则假设不成立，故c错误；

D选项，因a〃],贝Usin26=cos?6，又由题可得cos。wO,贝(J

sin20=cos202sin0cos0=cos202sin0=costan^=—,故D正确.

故选：ABD

8.已知向量Z=(2,-l)花=(加,2),则下列结论正确的是()

A.若则加=-4B.若£_1_否，则机=1

C.若|2,-,则机=1D.若卜+可=.|,则%=-4

【答案】AB

【分析】根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断B,根据向量的模的坐标表示判断

C,D.

【详解】对于A,因为£〃],所以2x2=(-l)x〃?，所以皿=-4,A正确;

对于B,因为Z_Lg,所以2x加+（-1）X2=0,所以m=l,B正确;

9

对于C,因为|2。-3|=旧+司，所以3仅）-6a-b=Q,所以机="C错误；

对于D,因为.+小卜卜所以何+2@.分=0,所以%=0或m=-4,D错误;

故选：AB.

9.如图，在“8C中，3c=12,。,E是BC的三等分点，则（）

33

2-►

B.若君.就=0，则乐在元上的投影向量为1

C.若益•就=9，贝I而.荏=40

»»-------►------►------»2------>2

D.右4D-4E=4,4B+AC=88

【答案】AD

【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】对于A,AE=AC+CE=AC+^CB=AC+^（AB-AC）=^AB+