高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义第6章　不等式第1讲不等关系与不等式

第1讲不等关系与不等式板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.另外，若b>0，则有eq\f(a,b)>1⇔a>b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b；eq\f(a,b)<1⇔a<b.考点2不等式的性质1．对称性：a>b⇔b<a；2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；5．可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；6．可开方性：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．[必会结论]1．a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).3．a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).4．0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).5．若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.()(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．()(5)a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()(6)若ab>0，则a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．[课本改编]设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．与x有关答案A解析M－N＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以M>N.3．[课本改编]若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B.eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)答案D解析由c<d<0，得－eq\f(1,d)>－eq\f(1,c)>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c).故选D.4．[课本改编]若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c>b－c B．(a－b)c2>0C．a3>b3 D．a2>b2答案C解析对于A，由于不知道c的正负，故无法判断a＋c与b－c的大小关系，所以错误；对于B，当c＝0时，(a－b)c2>0不成立，所以错误；对于D，需要保证a>b>0，才能得到a2>b2，所以错误．故选C.5．[2018·浙江模拟]设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案D解析若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．选D.6．已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.板块二典例探究·考向突破考向不等式的性质例1(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是()A．若a>b，c≠0，则ac>bcB．若a>b，则ac2>bc2C．若ac2>bc2，则a>bD．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)答案C解析对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________．答案①②④解析运用倒数法则，a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，②④正确．又正数大于负数，所以①正确．触类旁通利用不等式性质进行命题的判断(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．【变式训练1】(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0答案A解析由c<b<a且ac<0知c<0且a>0.由b>c得ab>ac一定成立．(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________．答案①④解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.

考向比较代数式的大小命题角度1作差法例2(1)[2018·上海徐汇区模拟]若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q答案B解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q，故选B.(2)已知a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是________．答案a<ab2<ab解析∵a－ab＝a(1－b)<0，∴a<ab.∵ab－ab2＝ab(1－b)>0，∴ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)<0，∴a<ab2.综上，a<ab2<ab.故填a<ab2<ab.命题角度2作商法例3已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与(ab)eq\s\up15(eq\f(a＋b,2))的大小．解∵a>0，b>0，∴eq\f(aabb,abeq\s\up15(eq\f(a＋b,2)))＝aeq\s\up15((a－eq\f(a＋b,2)))beq\s\up15((b－eq\f(a＋b,2)))＝aeq\s\up15(eq\f(a－b,2))beq\s\up15(eq\f(b－a,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up15(eq\f(a－b,2))，若a>b>0，则eq\f(a,b)>1，a－b>0.由指数函数的性质eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up15(eq\f(a－b,2))>1；若b>a>0，则0<eq\f(a,b)<1，a－b<0.由指数函数的性质eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up15(eq\f(a－b,2))>1.∴eq\f(aabb,abeq\s\up15(eq\f(a＋b,2)))>1，∴aabb>(ab)eq\s\up15(eq\f(a＋b,2)).命题角度3放缩法例4(1)[2018·九江模拟]已知a＝3eq\s\up15(eq\f(1,2))，b＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)，c＝log2eq\f(1,3)，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c答案A解析∵a＝3eq\s\up15(eq\f(1,2))>1,0<b＝logeq\s\do8(\f(1,3))eq\f(1,2)＝log32<1，c＝log2eq\f(1,3)<0，∴a>b>c.故选A.(2)设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，则()A．P>QB．P<QC．P≤QD．P≥Q答案A解析因为2x＋2－x≥2eq\r(2x·2－x)＝2(当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P>2；又(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，而sin2x≤1，所以Q≤2.于是P>Q.故选A.触类旁通比较大小的常用方法(1)作差法；(2)作商法；(3)放缩法：在代数式的比较大小问题中，一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等．有时，等号成立的条件是比较大小的关键所在．考向不等式性质的应用例5已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)答案(3,8)解析解法一：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,μ＝\f(5,2).))∴2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)∈(3,8)．解法二：令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝x＋y，,b＝x－y，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a＋b,2)，,y＝\f(a－b,2).))∴2x－3y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))＝－eq\f(a,2)＋eq\f(5,2)b∈(3,8)．解法三：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x＋y<4，,2<x－y<3))确定的平面区域如图阴影部分．目标函数z＝2x－3y可化为y＝eq\f(2,3)x－eq\f(z,3)，由线性规划知识可求出2x－3y∈(3,8)．触类旁通利用不等式性质求代数式的取值范围由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F(x，y)的取值范围．【变式训练2】若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是________．答案27解析解法一：由3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，可知x>0，y>0，且eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，16≤eq\f(x4,y2)≤81，由性质6，得2≤eq\f(x3,y4)≤27，故eq\f(x3,y4)的最大值是27.解法二：设eq\f(x3,y4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))m(xy2)n，则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝3，,2n－m＝－4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝－1.))又∵16≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))2≤81，eq\f(1,8)≤(xy2)－1≤eq\f(1,3)，∴2≤eq\f(x3,y4)≤27，故eq\f(x3,y4)的最大值为27.核心规律1.用同向不等式求差的范围．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,c<y<d))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,－d<－y<－c))⇒a－d<x－y<b－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．作差法的主要步骤：作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商．3.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．满分策略1.a>b⇒ac>bc或a<b⇒ac<bc，当c≤0时不成立．2.a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)或a<b⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，当ab≤0时不成立．3.a>b⇒an>bn对于正数a，b才成立．4.eq\f(a,b)>1⇔a>b，对于正数a，b才成立．5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，b>c⇒a>c，其中a>c不能推出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>b，,b>c.))板块三启智培优·破译高考题型技法系列8——巧用特殊值判断不等式问题[2016·山东高考]已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)B．sinx>sinyC．x3>y3D.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)解题视点(1)采用边选边排除的思想；(2)在选与排除的过程中采用特值法验证，简化了过程，提高了准确率．解析解法一：因为实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，所以x>y.对于A，取x＝1，y＝－3，不成立；对于B，取x＝π，y＝－π，不成立；对于C，由于f(x)＝x3在R上单调递增，故x3>y3成立；对于D，取x＝2，y＝－1，不成立．故选C.解法二：根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，D中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项B中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项C中的不等式成立．答案C答题启示1当选择题中包含不止一个结论时，宜采用边选边排除的方法.2在判断多个不等式是否成立时，可采用特值法验证，若取值不能代表所有情况，可采用多次赋值法验证结论是否成立.跟踪训练[2018·烟台模拟]若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2中，正确的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④答案C解析解法一：因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，故可取a＝－1，b＝－2，显然eq\f(1,a＋b)＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,ab)＝eq\f(1,2)，故①正确，排除B、D，对于③中，a－eq\f(1,a)＝－1－eq\f(1,－1)＝0，又b－eq\f(1,b)＝－2－eq\f(1,－2)＝－eq\f(3,2)，故a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)成立，排除A.选C.解法二：由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.①中，a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0，故有eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故①正确，排除B、D；③中，因为b<a<0，又因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故③正确，排除A.选C.板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·金版创新]设c>0，则下列各式成立的是()A．c>2c B．c>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))cC．2c<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))c D．2c>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))c答案D解析c>0时，2c>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))c<1，所以2c>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))c.2．[2018·宁波模拟]若a<b<0，则下列不等式错误的是()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)C．|a|>|b| D．a2>b2答案B解析∵a<b<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A对．∵a<b<0，∴0<－b，a<a－b<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,a－b)，故B错．∵a<b<0，∴－a>－b>0，即|－a|>|－b|，∴|a|>|b|，故C对．∵a<b<0，∴－a>－b>0，∴(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D对．故选B.3．若x，y满足－eq\f(π,4)<x<y<eq\f(π,4)，则x－y的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))答案A解析由x<y，得x－y<0.又∵－eq\f(π,2)<x－y<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<x－y<0.4．设a>b>0，下列各数小于1的是()A．2a－b B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\f(1,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))a－b答案D解析解法一：(特殊值法)取a＝2，b＝1，代入验证．解法二：y＝ax(a>0且a≠1)．当a>1，x>0时，y>1；当0<a<1，x>0时，0<y<1.∵a>b>0，∴a－b>0，eq\f(a,b)>1,0<eq\f(b,a)<1.由指数函数性质知，D成立．5．[2018·广西模拟]若a，b为实数，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的一个充分而不必要的条件是()A．b<a<0 B．a<bC．b(a－b)>0 D．a>b答案A解析由a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的条件是ab>0，即a，b同号时，若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；a，b异号时，若a>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b).6．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1 B．logeq\s\do8(\f(1,2))b<logeq\s\do8(\f(1,2))a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1答案C解析解法一：(特殊值法)取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).解法二：(单调性法)0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x在(0，＋∞)上为减函数，∴logeq\s\do8(\f(1,2))b>logeq\s\do8(\f(1,2))a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对．故选C.7．若a＝20.6，b＝logπ3，c＝log2sineq\f(2π,5)，则()A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a答案A解析因为a＝20.6>20＝1，又logπ1<logπ3<logππ，所以0<b<1.c＝log2sineq\f(2π,5)<log21＝0，于是a>b>c.故选A.8．已知有三个条件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．答案①解析由ac2>bc2，可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b的充分条件．9．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则eq\f(c,a)<eq\f(c,b)；②若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，则a<b；③若a>b，则a·2c>b·2c.其中正确的是________(请把正确命题的序号都填上)．答案②③解析①若c≤0，则命题不成立．②由eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)得eq\f(a－b,c2)<0，于是a<b，所以命题正确．③中由2c>0知命题正确．10．[2018·临沂模拟]若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．答案②④解析令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确．又∵eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，∴eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．[B级知能提升]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<NB．M>NC．M＝ND．不确定答案B解析M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，