2021-2022学年高中数学第三章指数函数和对数函数442换底公式学案北师大版必修1

换底公式换底公式(1)形式：logbN＝eq\f(logaN,logab)．(2)适用条件：a，b＞0，a，b≠1，N＞0.(3)变形：logba＝eq\f(1,logab).logab·logba＝1.(1)换底公式的结构特点是什么？提示：换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数．(2)你能用对数定义证明对数换底公式吗？提示：设logbN＝x，则bx＝N.两边取以a为底的对数，得logabx＝logaN，得xlogab＝logaN，所以x＝eq\f(logaN,logab)，即logbN＝eq\f(logaN,logab).即换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a>0且a≠1，b>0且b≠1，N>0).1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)logab＝eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lnb,lna).(√)提示：底数可以是10或e.(2)log52＝eq\f(log（－3）2,log（－3）5).(×)提示：底数不能是负数．(3)logab·logbc＝logac.(√)提示：logab·logbc＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lgc,lgb)＝eq\f(lgc,lga)＝logac．2．计算：log25·log32·log59＝________．【解析】原式＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(lg5,lg2)·eq\f(lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝2.答案：23．(教材例题改编)log279＝________．【解析】log279＝eq\f(log39,log327)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)

类型一利用换底公式化简求值(逻辑推理、数学运算)1．式子log916·log881的值为()A．18B．eq\f(1,18)C．eq\f(8,3)D．eq\f(3,8)【解析】选C.原式＝log3224·log2334＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)log32))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)log23))＝eq\f(8,3).2.eq\f(1,log\f(1,4)\f(1,9))＋eq\f(1,log\f(1,5)\f(1,3))等于()A．lg3B．－lg3C．eq\f(1,lg3)D．－eq\f(1,lg3)【解析】选C.eq\f(1,log\f(1,4)\f(1,9))＋eq\f(1,log\f(1,5)\f(1,3))＝eq\f(lg\f(1,4),lg\f(1,9))＋eq\f(lg\f(1,5),lg\f(1,3))＝eq\f(－2lg2,－2lg3)＋eq\f(－lg5,－lg3)＝eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg5,lg3)＝eq\f(lg10,lg3)＝eq\f(1,lg3).3．(1)化简：log23·log35·log516；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示).【解析】(1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4.(2)因为18b＝5，所以b＝log185.又log189＝a，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底．(2)技巧：①借助运算性质，先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底；②借助换底公式一次性统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值；③利用对数恒等式或常见结论，有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．提醒：熟练应用换底公式的结论(1)logab＝eq\f(1,logba).(2)logambn＝eq\f(n,m)logab可达到事半功倍的效果．类型二换底公式的应用(数学运算、逻辑推理)角度1由对数式表示其他数【典例】已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.【思路导引】利用换底公式和对数性质进行目标转化．【解析】方法一：因为log189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)log2×1818.又因为log2×1818＝eq\f(1,log18（18×2）)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).方法二：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18（5×9）,log18（4×9）)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).方法三：因为log189＝a，18b＝5，所以lg9＝alg18，lg5＝blg18，所以log3645＝eq\f(lg（9×5）,lg\f(182,9))＝eq\f(lg9＋lg5,2lg18－lg9)＝eq\f(alg18＋blg18,2lg18－alg18)＝eq\f(a＋b,2－a).已知log142＝a，试用a表示logeq\r(2)7.【解析】方法一：因为log142＝a，所以log214＝eq\f(1,a)，所以1＋log27＝eq\f(1,a)，所以log27＝eq\f(1,a)－1.由对数换底公式得log27＝eq\f(log\r(2)7,log\r(2)2)＝eq\f(log\r(2)7,2).所以logeq\r(2)7＝2log27＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1))＝eq\f(2（1－a）,a).方法二：由对数换底公式，得log142＝eq\f(log\r(2)2,log\r(2)14)＝eq\f(2,log\r(2)7＋2)＝a.所以2＝a(logeq\r(2)7＋2)，即logeq\r(2)7＝eq\f(2（1－a）,a).角度2由指数式表示其他数【典例】若3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．【思路导引】指数式写成对数式后转化．【解析】因为3x＝4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，所以eq\f(2,x)＝eq\f(2,log336)＝eq\f(2,\f(log3636,log363))＝2log363＝log369，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364.所以eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log369＋log364＝log3636＝1.换底公式应用的注意事项(1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换．(2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键．(3)注意一些派生公式的使用．1．若lg5＝a，lg7＝b，用a，b表示log75＝________．【解析】log75＝eq\f(lg5,lg7)＝eq\f(a,b).答案：eq\f(a,b)2．已知3a＝7b＝M，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝2，求M的值．【解析】因为3a＝7b＝M，所以a＝log3M，b＝log7M，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log3M)＋eq\f(1,log7M)＝2logM3＋logM7＝logM9＋logM7＝logM63＝2，所以M2＝63，因为M>0，所以M＝eq\r(63)＝3eq\r(7).类型三对数的实际应用(数学运算、数学建模)【典例】截止到2010年底，我国人口约14亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么大约经过多少年，我国人口数翻一番(精确到个位)？(lg2≈0.3010，lg1.01≈0.0043，lg14≈1.1461，lg15≈1.1761)【思路导引】分析题意，列出时间x与人口数y的函数关系式，利用换底公式求解．【解析】设经过x年后，我国人口数为y亿，则y＝14(1＋1%)x，由于人口数翻一番是原来的2倍，依题意，得(1＋1%)x＝2，1．01x＝2，x＝log1.012，由换底公式，得x＝eq\f(lg2,lg1.01)≈eq\f(0.3010,0.0043)＝70(年)，答：大约经过70年，我国人口数翻一番．解答实际问题的步骤1．光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y，则y关于x的函数关系式是________，通过________块玻璃板以后，光线强度减弱到原来强度的eq\f(1,2)以下．【解析】依题意得y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)，其中x≥1，x∈N.因为aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)≤a×eq\f(1,2)⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,2)，所以x(2lg3－1)≤－lg2，所以x≥eq\f(0.3010,1－2×0.4771)≈6.572，所以xmin＝7.答案：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)(x≥1，x∈N)72．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小：把一很小的声压p0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压p与参考声压p0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出声压级y与声压p的函数关系式．(2)某地声压p＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？【解析】(1)由已知得y＝20lgeq\f(p,p0)(其中p0＝2×10－5帕).(2)当p＝0.002帕时，y＝20lgeq\f(0.002,2×10－5)＝20lg102＝40(dB).由已知条件知40dB小于60dB，所以此地为无害区，声音环境优良．1．(log29)·(log34)＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．4【解析】选D.(log29)·(log34)＝eq\f(lg9,lg2)×eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)×eq\f(2lg2,lg3)＝4.2.eq\f(log849,log27)的值是()A．2B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(2,3)【解析】选D.eq\f(log849,log27)＝eq\f(log272,log223)÷log27＝eq\f(2,3).3．比值eq\f(logaN,logaMN)应等于()A．logaMa B．