考研学习笔记 《量子力学教程》（第2版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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(2)因为一,不随时间改变，所以该状态是定态。6.系统哈密顿量为,求出基态波函数。[首都师范大学2011研]答：由薛定谔方程-3,设2的本征能量为2,基态波函数为则由薛定谔方程得：三当一时，,得a=b=0,c为任意值，因此归一化后本征函数为这也是基态波函数。7.下列波函数所描写的状态是不是定态?(3)V₃(x,t)=u(x)e+u(x)e[电子科技大学2006研]答：定态即是体系处于形如式所描述的状态，能量具有确定值。是定态定态波函数无此性质。8.粒子在如下的一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。[电子科技大学2006研]答：根据薛定谔方程≥=三上微分方程的解可表示为一(1)粒子的z分量坐标出现在一三范围内的几率(2)粒子的动量分量F出现在一==范围内的几率(3)粒子的z分量坐标出现在范围内，同时动量分量F出现在≥范围内的几率[电子科技大学2006研]答：(1)粒子的z分量坐标出现在·>范围内的几率(2)动量波函数,其中对(1)两端取复共轭得(3)以4三左乘(2),三左乘(1)的共轭方程(3),再相减，有对全空间积分，得到波函数在无限远处迅速趋于0的条件，等式右端为0,所以一,即与时间无关。11.设一维自由粒子在t=0时刻的状态为求t时刻粒子的状态ψ(x,t)。[北京航空航天大学2010研]解：根据题意，由t=0时刻的波函数可得，则在t时刻粒子的波函数为第3章量子力学中的力学量3.1复习笔记一、表示力学量的算符算符指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。例如,则表示某种将变2.力学量平均值量子力学中，力学量用算符表示。力学量用算符表示后，可以直接计算平均值。在坐标表象中，平均值公式是在动量表象中，平均值公式是3.算符具有的基本性质：(1)算符相等：如果对任意函数2,满足一,则称算符一(2)单位算符作用于任意函数喧上，宣不变(3)算符之和：对于任意函数喧，有一,满足交换律：o(4)算符乘积：,一般不存在·除非肩，后对易。表明和(5)逆算符：如果2。两个算符(6)复共轭、转置、厄米共轭、厄米算符①复共轭算符-=由式中复量换成共轭复量构成，例如乙②转置算符日。对任意算符，满足④厄米算符恒：自，即对任意函数2重，满足。利用上述厄米共轭算符的定义，上式可以进一步写为二(7)线性算符：如果算符4和任意函数，4三，满足-,其中自，为任意常数，则称作为线性算符。1.动量算符动量算符P的本征函数(即自由粒子波函数)自由离子的哈密顿量能量本征值2.角动量z分量算符角动量z分量本征函数的本征值有共同的本征函数球谐函数其中角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为相应的本征方程分别为三、电子在库仑场中的运动1.类氢原子概念一电子在一带正电的核所产生的电场中运动，核的电荷是;若Z>1原子。如等。2.类氢原子能量本征值及本征函数类氢原子的哈密顿算符的表示能量本征值方程可表示为：相应的能量本征值为：。此能量本征值是2厘度简并的。上述本征方程在球极坐标中的表示形式是说明：在许多高校的考研题中，经常用分离变量法一来求解上述方程，尤其是其在氢原子中的应用。此时，应满足径向方程3.氢原子能量本征值及本征函数氢原子的能量本征方程其相应的能级表达式其中，(玻尔半径)。相应的能量本征态四、厄米算符1.厄米算符本征函数的正交性厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。(1)当算符F的本征函数组成分立谱时，有一本征函数正交归一性氢原氢原子体系一维无限深势阱(2)任一函数2庭可以用一组完全系≥来表示,其中，常被五、算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件不确定关系1.对易关系定义：2.对易式中满足的基本恒等式3.一些重要的对易关系：4.两算符是否有共同本征函数系与它们是否对易间的关系若一，则算符F和G有共同的本征函数系；反之亦然。在F和G的共同本征函数若一,则有不确定关系,或力学量F的平均值随时间的变化满足(即力学量F的平均值不随时间变化),则称F为守恒量。因而力学量F为守2.角动量守恒定律：在中心力场中运动粒子的角动量的平方及其分量都是守恒量，3.能量守恒定律：哈密顿不显含时间的体系的能量是守恒量，4.宇称守恒定律：哈密顿对空间反演不变时宇称是守恒量，3.1一维线性谐振子处在基态,求：(1)势能的期望值(2)动能的期望值(3)动量的概率分布函数.或动量几率分布函数为：3.2氢原子处在基态(1)r的期望值；(2)势能的期望值；(3)最可几的半径；(4)动能的期望值；(5)动量的概率分布函数。(3)电子出现在r+dr球壳内出现的几率为：,故此两处为电子出现几率最小的位置。(4)当波函数只与径向坐标r相关时，最终得到动量几率分布函数为：3.3证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是·解：电子的电流密度为：在球极坐标中由于2中关于看和年部分是实的，则上式中中括号内的前两项为零，从而得到：3.4由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的(图3.1)。图3.1(1)求一圆周电流的磁矩；(2)证明氢原子磁矩为：原子磁矩与角动量之比为：这个比值，称为回转磁比率.解：(1)一圆周电流的磁矩为：(2)氢原子的磁矩为：3.5一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是(1)转子绕一固定轴转动；(2)转子绕一固定点转动。解：(1)设该固定轴沿轴方向，则有,其中考虑到波函数的单值性，上述解应满足因此，转子的定态能量为(m=0,±1,±2,..)可以看出，能量只能取一系列分立值，构成分立谱。利用归一化条件容易求出则转子体系的归一化波函数为：综上所述，绕固定轴转动的转子体系，其能量只能取一系列分立值，并且对应于m=0的能级也即基态是非简并的，其他能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为：其本征方程为：(式中一设为匡的本征函数，2画为其本征值)。此即为角动量的本征方程，其本征值为：其本征函数为球谐函数所以转子的定态能量为：由上式可知，绕固定点旋转的转子体系其能量也是分立的，并且对于能量为的能级，它的简并度为3.6设t=0时，粒子的状态为,求此时粒子的动量期望值和动能期望值。可以看出此波函数是由5个平面波叠加而成的。因此，动量-三的可能值为：对应的几率-=应为：动能的平均值为：3.7一维运动粒子的状态是其中λ>0,求：(1)粒子动量的概率分布函数；(2)粒子的动量期望值.解：(1)先求归一化常数，由从而得到<粒子动量处于的概率密度为：动量几率分布函数为：(2)粒子的动量期望值为：考虑到p为关于p的奇函数，为关于p的偶函数，所以被积函数是关于p的奇函数，3.8在一维无限深方势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a,如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化因子，求粒子能量的概率分布和能量的期望值.解：由波函数-的形式可知一维无限深势阱在2处势为零，其余处为无穷大。由粒子能量的本征函数和本征值很容易直接求出，分别为：,其中,其中因此3.9设氢原子处于状态望值.相应的几率分别为：有3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为求粒子的能级和定态波函数.可得于要求r=0时波函数有限，从而1,其中系数由边界条件,可得k应取分立值，满足-。设的相关的数学手册中查到),则3.11求第3.6题中粒子位置和动量的不确定关系-解：在3.6题中已经得到一03.12粒子处于状态式中ξ为常量。求粒子的动量期望值，并计算不确定关系(△x)²(△p)²=?解：先把V(x)归一化，由归一化条件，得从而得到动量平均值为：3.13利用不确定关系估计氢原子的基态能量.解：设氢原子基态的最可几半径为R,则原子半径的不确定范围可近似取为得对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符巨为奇宇称，所以p=0作为数量级估算可近似取则有基态能量应取的极小值，由得3.3名校考研真题详解1.问下列算符是否是厄米算符，并指明原因。[南京理工大学2011研]答：(1)因为一,彼此不对易。所以4不是厄米算符。都不是厄米算符，所以不是厄米算符。2.对一个量子体系进行某一力学量的测量值，测量结果与表示力学量算符有什么关系?两个力学量同时具有确定值的条件是什么?[南京理工大学2011研]答：测量结果是该力学量算符的本征值中的一个。两个力学量同时具有确定值的条件是这两个力学量彼此对易。3.证明下列对易关系一证明：(1)由表达式一三二。[南京理工大学2011研]4.两互相对易的算符可有共同的本征态(只要求在无简并情况下证明)[首都师范大学2011研]答：利用先,则-所以一也是4的本征函数，2宣与眉在无简并的条件下相差一个常数，因此同也是算符恒的本征态。5.计算算符的对易关系(I为虚数单位)[电子科技大学2006研]答：设ψ为任意波函数，6.下列算符哪些是厄米算符?眉[电子科技大学2006研]【解析】算符后是厄密算符的定义是一,其中准与看是任意波函数。T,则一。于是上式变为(2)当波函数满足束缚态条件或者周期边界条件时，是厄米算符,则。于是上式变为③是厄米算符【解析】。于是上式变成所以为厄米算符不是厄米算符同理可证i并不是厄米算符。7.判断()是否是厄米算符。并写出过程(无过程不记分)。[电子科技大学2006研]答：法一：设ψ、φ为任意波函数，因为=、4三为厄米算符，i(Pxy)*(xφ)dr-iʃ(Pxxy)*(Pxφ)dr=i(第4章态和力学量的表象1.表象2.态函数在Q表象中的矩阵表示伯特空间。设3.算符F在Q表象中的矩阵表示.算符F在Q表象中对应一个矩阵(方阵),矩阵元是三，平均值公式是4.不同表象中的同一状态波函数函数时动数5.一个典型的例子分析1.变换矩阵以2E为矩阵元的矩阵S称为变换矩阵。设态4在A,B表象中的矩阵表示分别为a,b,S,算符在两表象之间的变换为E变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将A表象的基矢n变换为B表象的基矢兰。2.幺正算符3.幺正变换的两条重要性质：(1)幺正变换不改变算符的本征值；(2)幺正变换不改变矩阵F的迹。1.狄拉克符号定义2.狄拉克符号表示方法3.本征矢的封闭性4.一些公式通常写法与狄拉克符号的写法对照表4.2一些式子的通常写法与用狄拉克符号的写法对照表坐标表象狄拉克符号5.厄米共轭变换规则(1)把全部次序整个颠倒；(2)做如下变换：注意：左矢三与左矢三的标积记为,右矢=与右矢三标积记为≥,1.占有数表象.2.升算符与降算符定义升算符(或产生算符)=和降算符(或湮灭算符)其中一=,为粒子数算符；3.其他常用关系式(1)粒子数算符本征方程一(2)哈密顿量本征方程(3)粒子数表象中的正交归一性4.2课后习题详解4.1求在动量表象中角动量Lx,的矩阵元和Lx²的矩阵元。4.2求一维无限深方势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。相应的能量本征值为：坐标在能量表象中表示矩阵的对角元为：其非对角元为：动量算符在坐标表象下可写为：动量在能量表象中表示矩阵的对角元为：其非对角元为：4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：谐振子体系的哈密顿量在坐标表象中可写为：,而坐标算符在动量表象中可写为：。因此哈密顿量在动量表象中可写为：从而可以直接写出定态薛定谔方程此方程与位置表象中一维谐振子本征方程完全一致，因此4.4求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：谐振子体系的哈密顿量在坐标表象中可写为：动量表象的基矢在坐标表象中的形式是显然的。哈密顿量在动量表象中的矩阵元可以直接计4.5设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为解：作的久期方程为：方程有三个根：将上述本征值代入本征方程可以求出相应的本征函数。的本征方程为：其中为-的本征函数在一共同表象中的矩阵形式。当B三时，有利用归一化条件得由以上结果可知，从²和Lz的共同表象变到表象的变换矩阵为：所以对角化的矩阵为-按照与上同样的方法可得，的归一化的本征函数为：4.6求连续性方程的矩阵表示哈密顿算符则将上式代入连续性方程得代入上式，再对2信变化的整个空间积分可得把上式写成矩阵形式为：矩阵元。[北京科技大学2010研]证明：(1)在位置4表象中，动量p的厄密矩阵元表示为22.对(L²L₂)的共同本征态Yn,即(3)体系处于态-=,即则4=的测量及其几率为考虑坐标轴围绕y轴按右手螺旋方向转动π/2,使新坐标系Ox'y'z'的z'轴与旧坐标系O迭加形式。[北京科技大学2010研]其中二=L的本征方程求-的可能测量值及对应概率。[北京科技大学2011研]于(2)由算符关系(3)表象中三的矩阵表示是,设其本征态为,本征值为日，由久期方程得得，=x测值为0的概率为Lx测值为-的概率为(1)令==带入上式得λ=1,故F是本征函数；(5)令>=带入上式得λ=-1,故sinxtcosx是本征函数第5章微扰理论(1)非简并情况第n个能级可近似表示为：相应的波函数可近似表示为：(2)简并情况能级的一级修正由久期方程即给出。,分别把每一个根F代入方程,即可求得相应的解，记为三，于是可得出新的零级波函数2.氢原子的一级斯塔克效应(1)斯塔克(Stark)效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。(2)用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n个能级有n²度简并。加上电场后，势场的对称性受到破坏，能级发生分裂，使简并部分被消除。二、变分法1.变分法求体系基态能量方法总结：选择含有参数入的尝试波函数计算H的平均能量2==,它是变分参量入的函数。由极值条件的最小值。它表示基态能量的上限。2.变分法在氦原子基态中的应用举例(1)选择适当的尝试波函数取两个类氢原子基态本征函数的乘积做尝试波函数一(2)以有效电荷数做参量，求H的平均能量(4)将Z=1.69代回H(Z)说明：能精确求解的量子体系并不是很多，而有时问题也并不一定要求有十分精确的答案，于是我们就需要发展求解的近似方法。从时间的关系讲，近似方法有一类是与时间无关的，用以求能级、期望值等；另一类是随时间变化的，主要求跃迁几率等。从取近似的做法而言，有小参数展开的，如微扰论、WKB近似等；有从整体讨论问题的，如变分法。要根据具体问题的特征选择恰当的近似方法。三、与时间有关的微扰理论1.定态微扰论和与时间有关微扰论研究对象比较：(1)定态微扰论与时间无关，研究在有微扰作用下，定态能量与波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。(2)与时间相关的微扰论的哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。故只能研究有微扰时的波函数，量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射(能量变化)等。2.含时微扰体系理论含时微扰体系哈密顿量←体系波函数4所满足的薛定谔方程将W按一的本征函数F展开,则在t时刻发现体系处于目态的概率是。若体系t=0时处于Ho的本征态-三，则体系在微扰作用下由初态「跃迁到终态9m态的概率为：中其,中其,3.跃迁概率计算(1)如果末态是连续谱，由能量为4=的态跃迁到能量间隔为一的态的跃迁几率可由费米黄金规则给出：由此关系可知，测量能量越准确(△E小),则用于测量的时间越长(2大)。1.几个相关概念(1)自发跃迁：在不受外界影响的情况下体2.自发辐射(并设),受激辐射系数等于吸收系数-,为：(1)单位时间内由m态到态的受激辐射应该超过由k态到9m态的吸收。即粒子数必须反转。(2)自发发射应远小于受激发射。一般把不能实现的跃迁称为禁戒跃迁。偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则是：对于总量子数n没有选择定则。如果在任何级近似中跃迁概率均为零，则这种跃迁称为严格禁戒跃迁。说明：无论是自发辐射还是受激辐射或是受激吸收，都要满足相同的选择定则。5.2课后习题详解5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为ro、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对一的区域有影响，对一的区域无影响。据题意知：其中一是不考虑这种效应的势能分布，即≥为考虑这种效应后的势能分布，在B三区域，在<ro区域，我们利用高斯定理求电场强度E设电荷体密度取半径为r的球面为积分曲面，可解得正为(基态 ,可视为一种微扰，由它引起的一级修5.2转动惯量为I,电偶极矩为D的空间转子处在均匀电场ζ中，如果电场较小，用微扰法2的本征值为：5.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级：Eo₁及Eo₂,现在元为5.4设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为(sinot,ζ及w均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的概率。中中在平面为xoz平面。设电场与z轴夹角为，则5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是求经过长时间后氢原子处在2p态的概率。2丽，石可取2三值，其相应的状态为：氢原子处在2p态的几率也就是从么跃迁到的几率之和，也即下面具体计算当一T,从而由宇称分析知下面计算其余三个矩阵元：由于一需分别计算三个分量。类似地，从而可得最后得到氢原子由第一激发态到基态的自发发射概率为：5.7计算氢原子由2p态跃迁到1s态时所发出的光谱线强度。解：设处于2p态的氢原子数目为4,则谱线强度可以写为：(2)设谐振子在t=0时处于基态|0>,从t>0开始受微扰H"=x²exp(-2kt)(k为常数，且k>0)的作2.质量为m的一维粒子连在倔强系数为K的弹簧上，分别受如下扰动，求能量本征值：(1)势能增加一个常数C。(2)施加均匀外电场ε,并假设谐振子带电荷q。(3)在原来的弹簧上并联一个倔强系数为K'的弹簧。[首都师范大学2011研]答：(1)即为谐振子模型，本征能量值为(2)此时薛定谔方程可以表示为(3)并联上一个倔强系数为K'的弹簧，相当于此时用一个倔强系数为(K+K')的弹簧。求能量至二级修正值。[电子科技大学2006研]代入能量的二级近似公式En=EOn+H'm+4.已知体系哈密顿算符的矩阵形式为其中看为实常数；(2)能级修正计算公式5.波函数一级修正计算公式：[电子科技大学2006研]解：取-和-分别为设-三在所给表象中的本征矢为,由本征方程及正交归一关系，得到则5.设体系的Hamilton量为一。已知E的某一能量本征值Ek°是二度简并的，对应的简并态为{|u₁>,|u₂>}。视巨为微扰，并且已知在简并子空间{u|₁>,|u₂>}中它的表示,λ<<1。求体系能量本征值Ek的一级近似和零级近似波函数。[北京航空航天大学2010研]解：设体系的一级近似能量为零级近似波函数为已知，对于简并态波函数，其一级近似能量满足即上述方程有非零解的条件是解得，E,时，代入(1)式可得a=b,又有归一化可得则零级近似波函数为则零级近似波函当E=间时，代入(1)式可得a=-b,又有归一化可得则零级近似波函数为6.1复习笔记一、碰撞过程散射截面1.弹性散射如果一个粒子与另一个粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态并无改变，则称这种碰撞为弹性碰撞(弹性散射)。图6-12.非弹性散射若碰撞中粒子内部状态有所改变(如原子被激发或电离),则称为非弹性碰撞(或非弹性散3.微分散射截面与散射总截面微分散射截面二8三是单位时间内散射到乙方向单位立体角内的粒子数4日与入射粒子流强度-匡之比(如图6-1示):4.散射振幅散射粒子在离开散射中心很远的地方，波函数可表示为：其中三称为散射振幅，满足二、中心力场中的弹性散射1.分波法(1)微分散射截面适用范围：适用于低能散射情形。B的分波的散射截面可略去。(2)光学定理：光学定理表明向前(一)散射振幅的虚部与总散射截面成正比，这反映了散射中概率流守恒。在向前散射区域，入射平面波与散射球面波发生相消干涉，减少的几率流传播到所有其他方向。(3)方形势阱的低能性散射微分散射截面2.玻恩近似法(1)适用条件：(高能散射)微分散射截面后是散射角。其中∠为粒子和散射中心相互作用的势能，后是散射角。(2)屏蔽库仑场的散射：其中高速带电粒子(带电Ee),当2同时，上式归结为卢瑟福散射公式。三、质心系与实验室坐标系由质心系中的微分散射截面求实验室坐标系中的微分散射截面由质心系中的微分散射截面求实验室坐标系中的微分散射截面特别地，当<6.2课后习题详解6.1粒子受到势能为的场的散射，求s分波的微分散射截面。解：定态薛定谔方程为：其中。由于势是球对称的，所以波函数的角部分仍然可取为球谐函数。径向方程其中是归一化系数。很容易得到2在之时的渐近行为：按分波法理论对于S分波，取l=0,可得6.2慢速粒子受到势能为的场的散射，若E<Uo,Uo>0,,令,上述方程成为：再令P=k,,上述方程成为：此方程为二阶贝塞尔方程。考虑到波函数在r=0处的有限性，方程的解为：按分波法理论,因此对于S分波，可得相移【解法二】对于S分波，可得到同上的径向方程，令,则有方程考虑到≥,则同上由分波法理论有,即2画，场中散射的微分散射截面，式中可以算得在什么条件下，可以应用玻恩近似法。可以算得右侧两个积分容易算出，分别为：其中由于1,可以将此势阱近似看成一方势阱，按照与教材类似的讨论，born近似适用的条件为：6.3名校考研真题详解用玻恩近似法计算中心力场势的微分散射截面。[西安交通大学2006研]答：已知微分散射截面公式为。利用中心力场势的玻恩近似：其中，作为入射方向，自为散射方向，且作与作夹角为θ。设一,选取z轴方向为难方向，则一第7章自旋与全同粒子7.1复习笔记1.电子自旋假设的两个要点：(1)每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：(2)每个电子具有磁矩内禀磁矩的值即玻尔磁子的值，即2.2.电子自旋的回旋磁比率电子自旋磁矩和自旋角动量之比(电子自旋的回旋磁比率)是：1.自旋算符和泡利矩阵匡在空间任意方向上的投影只能取两个数值满足记一,则称为自旋量子数。2.自旋函数此时，电子波函数可以表示为如下形式：I,其中2(2)任意的旋量波函数可表示为：对一般的自旋态：三、简单塞曼效应1.简单塞曼效应概念在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。2.简单塞曼效应的物理机制考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的轨道磁矩和自旋磁矩与磁场B的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：力学量组相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：则由此可见，在外磁场中，能级与m有关，原来m不同而能量相同的简并现象被外磁场消除。当原子处于s态时，≥三，因此原来的能级-分裂为两个。在外磁场中电子由能级-时，谱线频率为,式中在量子跃迁中磁量子数的改变遵循选择定则<。由于能量简并的消失，原来的一条谱线分裂为三条，形成了简单塞曼效应。四、两个角动量的耦合角动量理论是比较严格的理论，可自成体系，只需从基本定义式←出发，就可推演出角动量的几乎全部内容。1.总角动量分量间的对易关系体系的总角动量满足角动量的一般对易关系：或统一写成：2.总角动量平方与-的三个分量对易关系：3.力学量一E=的共同本征函数,满足其中恒为0,正整数或半奇正整数，(1)耦合表象力学量组一相互对易，其共同本征矢构成正交归一系。以此本征矢为基矢的表象称为耦合表象。耦合表象的基矢记为：,或简记为(2)无耦合表象力学量组一也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基矢为：五、光谱的精细结构在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：若不考虑电子的自旋和轨道运动之间的相互作用，守恒量完全集((H,L²,J².J₂)的本征态是体系的定态。相应的本征态和能量本征值分别为：将相互作用以微扰加入，按简并情况下微扰理论，对于1.全同粒子定义在量子力学中，把内禀属性(静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等)相同的微观粒子成为全2.全同性原理(1)全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同(2)全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两全同3.费米子与波色子凡自旋为A整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称七、全同粒子体系的波函数泡利原理不考虑粒子间的相互作用，并设2表示第j个粒子处于的第i个本征态，对于其中乍表示有乍个粒子处于乍态，注意这里的P只是对处于不同单粒子态的粒子进行对换在不考虑自旋与轨道耦合的情形下，上述波函数可以写成空间其中表示第1(2)个电子处于自旋向上或向下的态。令总自旋角动从对称自旋波函数-日和反对称自旋波函数4=的形式还可看出：2自是两电子自旋相平行的是两电子自旋反平行的态，是三重简并的，被称为三重态。具有自旋相互作用的体系，其能级、散射截面和跃迁概率等性质都将受到自旋相互作用的影九、氦原子(微扰法)氦原子体系的哈密顿可以近似写为：由于哈密顿与自旋无关，体系波函数的自旋部分是清楚的。对于空间部分，以为微扰，并注意到整体波函数的反对称性质，可以算得体系的能量的一级近似及零级近似波函数其中自是单态，2F是三重态。处于单态的氦称为仲氦，处于三重态的氦称为正氦。年的物理意义为：后表示电子相互作用的库仑能，作表示两电子的交换能。十、氢分子(海特勒-伦敦法)化学键1.共价键在化学中，中性原子形成分子时，中性原子之间形成的化学键称为共价键。共价键具有饱和性，价的概念就是由这种性质而来的。氢原子是一价的，即氢原子只能和另一个氢原子结合形成氢分子，而不能同时和两个氢原子2.化学键的物理解释共价键是由量子力学中的交换现象而来的。量子力学还可以解释化学键的饱和性：通过对氢分子体系能量的讨论发现，氢分子形成于两氢原子的电子自旋相互抵消时，所以氢分子形成后，第三个氢原子的自旋就不能为氢分子所抵消，因而氢分子就不能和第三个氢原子结合。7.2课后习题详解证明：由对易关系：上式两边乘-后，得,代入上式得解：在F表象中2亩、眉、肩的矩阵表示分别为：态中的本征值和所属的本征函数。土时，设相应本征函数为,由本征方程,得因此，本征值对应的本征函数为：的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量有哪些可能值?这些可能值各以多大的概率出现?E的期望值是多少?解：在目表象中，年的矩阵表示为：解：(1)ψ可改写成态I:主量子数n=2,角量子数2,磁量子数m=1,自旋向上：态IⅡ:主量子数n=2,角量子数二匾，磁量子数m=0,自旋向下。(2)总磁矩-自的z分量的平均值为：7.6一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?解：(1)体系可能的状态有4个。(2)设两个单粒子态为后，,则体系可能的状态为：空间的直积空间是4维空间，在此空间中相互独立的非零矢量最多有4个，所以上述4个矢程其中因此，此电子的波函数为：相应的能量本征值为：对于基态电子：对于x方向运动的电子的第一激发态：对于两电子体系，由于其相互作用势能可忽略，体系的波函数可以写成两电子波函数的积。由于电子是费米子，则体系的总的波函数应是反对称的。两无耦合的电子自旋波函数可以构成三个自旋对称态,2亩，底和一个自旋反对称态间。而空间部分可以构成的对称态和反对称态分别为：因此，体系可处于4个态，分别为：7.3名校考研真题详解1.在-三表象上求出4=的本征态的表示。[北京航空航天大学2010研]式(2)右乘自，并利用一,得一(3)式(2)式左乘，并利用2,得一(4)(3)+(4)得代入(5)得,得a=d=0,由-=是厄米性算符,可得由于,计算可得得则一,可以是任意实数(存在相位不定性)。可以取一。于是由=的本征方程,很容易求得-=的本征值与本征矢：2.求出并验证由-=表象到4三表象的表象变换矩阵U。[北京航空航天大学2010研]设4表象到-表象的变换矩阵则U必须满足以下方程：则-表象到-表象的变换矩阵2三的矩阵表示。3.两个1/2自旋粒子的相互作用为,求它们的能量本征值和相应的本征