排列组合应用题的类型及解题策略

排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）

②有序还是无序

③分步还是分类。二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有

种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48.从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C）种。A）720

B）360

C）240

D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800

（B）3600

（C）4320

（D）5040解：不同排法的种数为＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。（3）．不全相邻排除法，排除处理例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？解：例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是

分类

共346种2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（

）（用数字作答）。解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有例8．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

。（用数字作答）解

=20例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（

）A）210个

B）300个

C）464个

D）600个解：

故选（B）4、多元问题，分类法例10．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有

种共有600种不同的选派方案．例11：设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．

B．

C．

D．总计有，选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有AA．10种B．20种

C．36种D．52种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？252例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？

504（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？

216例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（B

）A）6种

B）9种

C）11种

D）23种说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是

.(用数字作答)。（答：78种）说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A）

B）

C）

D）解：此题分两排座可以看成是一排座，故有种座法。∴选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法或间接法（排除处理）例18．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A）108种

（B）186种

（C）216种

（D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种，选B.例19．5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)【解析】两老一新时,有种排法；两新一老时,有种排法,即共有48种排法.【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20．将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

B（A）３０种（B）９０种

（C）１８０种

（D）２７０种说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、部分符合条件淘汰法例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

（

D

）A）150种

B）147种

C）144种

D）141种解：10个点取4个点共有

种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有

选D说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。9．分组问题与分配问题①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有种分法，由于三组之间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？

②分配问题：

定额分配，组合处理；

随机分配，先组后排。例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得：（）＝576。【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？例25某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有

(

)A.16种

B.36种

C.42种

D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有，二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有，

共有=60，

故选

（D）10．隔板法：隔板法及其应用技巧

在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x.y.z之值（如图）○○○

○○○

○○○○

则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。例27．求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z

各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为=66个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有

=286种方法。分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有

=286

种方法。【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有种方法。故由乘法原理知，共有种方法。11．数字问题（组成无重复数字的整数）①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。③

能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④

能被5整除的数的特征：末位数是0或5。5能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。

能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。例30在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A）36个

（B）24个

（C）18个

（D）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B例31。用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有

24个（用数字作答）．12．分球入盒问题例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？1小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有②小球不同，盒子不同，盒子可空

解：种③小球不同，盒子相同，盒子不空

解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种④小球不同，盒子相同，盒子可空本题即是将5个