利用导数研究函数的零点（方程的根）解析版-2025年高考数学一轮复习

第06讲利用导数研究函数的零点(方程的根)

目录

第一部分：基础知识..................................................1

第二部分：高考真题回顾.............................................2

第三部分：高频考点一遍过............................................6

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数.......................6

高频考点二：证明唯一零点问题....................................11

高频考点三：利用最值(极值)研究函数零点问题....................15

高频考点四：利用数形结合法研究函数的零点问题...................24

高频考点五：构造函数研究函数零点问题...........................35

第四部分：典型易错题型............................................41

备注：函数零点讨论时借助图象，容易画错草图......................41

第五部分：新定义题.................................................43

第一部分：基础知识

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y=/(x),把使/(x)=o的实数X叫做函数y=/(x)的零点.

(2)三个等价关系

方程f(x)=0有实数根o函数y=/(x)的图象与x轴有交点的横坐标=函数y=/(%)有零点.

2、函数零点的判定

如果函数y=/(x)在区间切上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么函数

y=/(x)在区间(。力)内有零点，即存在ce(a,A),使得/'(c)=0,这个c也就是/(x)=0的根.我们把

这一结论称为函数零点存在性定理.

注意：单调性+存在零点=唯一零点

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•全国•乙卷文)函数，(》)=/+依+2存在3个零点，贝I。的取值范围是(

A.(-℃,-2)B.(^»,-3)C.(<一1)D.(-3,0)

【答案】B

【分析】

写出((x)=3/+a,并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】

/(x)=x3+av+2,则/'(x)=3x?+a,

若了(元)要存在3个零点，则〃x)要存在极大值和极小值，则a<0,

令/'(x)=3%2+〃=0,解得％=一后或序

且当［，-图底+、

»时，r(x)>o,

7

当一斤斤］小)<(

),

故的极大值为了卜任］极小值为了1,

小行"仁丹-后+2>。

若/(无)要存在3个零点，贝人>，即二V二，解得"3

，后<。|三修旧+2<。

2.(2022,全国・乙卷文)已知函数/(%)=以-工-(。+1)111尤.

X

(1)当。=0时，求/(x)的最大值；

⑵若/(X)恰有一个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解;

(2)求导得/'(x)=(办一?(Al),按照aWO、0<。<1及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极

值，即可得解.

【详解】(1)当a=0时，f(x)=---lnx,x>0,则((x)=!」==,

XXXX

当xe(O,l)时，f<^x)>0,/(x)单调递增；

当时,r(x)<0,单调递减；

所以外)而=〃1)=T；

(2)/(x)=<xv---(a+l)lnx,x>0,则:(x)=a+二一"、("l'」",

XXXX

当aWO时，ar-l<0,所以当x«0,l)时，/^)>0,〃x)单调递增；

当xe(l,E)时,r(x)<0,〃尤)单调递减；

所以〃尤)™x=/(l)=aT<°，此时函数无零点，不合题意；

当0<a<l时，)>1,在(0,1),+8)上，f^x)>0,/(x)单调递增；

在U上，“X)单调递减；

又〃l)=a-1<0,

由(1)得,+lnxNl,BPln->l-x,所以lnx<x/n6<«,lnx<26，

xx

当x>1时，/(x)=ax--(a+l)lnx>ax——-2(a+1)«>ax—(2a+3)Vx,

xx

则存在根=已+2丫>工，使得〃根)>0,

\a)a

所以F(X)仅在［T,+s］有唯一零点，符合题意；

当0=1时，所以/■")单调递增，又/⑴=a—1=0,

所以/(X)有唯一零点，符合题意；

当a>l时，-<1,在［。3］,(1,+8)上，/^x)>0,〃x)单调递增；

在1,1］上’r(x)<0,〃x)单调递减；此时"l)=a—1>0‘

由（1）得当OVJTVI时，lnx>l--,InVx>1—广,所以lnx>2

xy/X

11।1।12(a+1)

止匕日寸f(%)=------(a+1)Inx<ax------2(a+1)1-|<------1-----y=—,

%%\y!x)Xy/x

存在"乐使得“)<°，

所以〃X)在I。，)有一个零点，在］，+［无零点，

所以/(元)有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为(o,+8).

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数

的单调性与极值的问题.

3.(2022•全国•乙卷理)已知函数〃x)=ln(l+x)+flxeT

⑴当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,〃0))处的切线方程；

⑵若〃尤)在区间(T,0),(0,y)各恰有一个零点，求a的取值范围.

【答案】(l)y=2x

⑵(YO,-1)

【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可

(2)求导，对a分类讨论，对x分(-1,0),(0,+^)两部分研究

【详解】(1)“X)的定义域为(-1,舟)

y11—y

当a=l时,/(%)=耿1+%)+="(0)=0,所以切点为(0,0)/(%)=--+<"'(0)=2,所以切线斜率为2

e1+xe

所以曲线>=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

(2)f(x)=ln(l+x)H——

e

：1I“(lr)eha。一巧

1+xe，(l+x)ex

设g(x)=e，+a(l-

1°若。>0,当xw(—1,0)，9(尤)=/+。(1-尤2)>。,即((无)>0

所以/(无)在(-1,0)上单调递增,/(元)</(0)=0

故"X)在(-1,0)上没有零点，不合题意

2°若一1<。<0,当xe(0,+«)),贝Ug'(x)=e'-2依>0

所以g(x)在(。，+⑹上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a20,即f\x)>0

所以f(x)在(0,舟)上单调递增，/'(尤)>/(0)=0

故Ax)在(0,+8)上没有零点，不合题意

3若。<—1

⑴当尤e(0,+oo)，则g'(尤)=e'-2or>0,所以g(x)在(0,+s)上单调递增

g(0)=1+<2<0,g(l)=e>0

所以存在加e(0,1),使得g(m)=0,即f'(m)=0

当xe(0,m),f'(x)<0,f(x)单调递减

当xeO,+oo),/(x)>OJ(X)单调递增

所以

当xe(0,㈤,〃方</(0)=0,

X1—X

令h(x)==,X>—1,则hf(x)=

ee

所以/z(x)=，在上单调递增，在(L”)上单调递减，所以加幻4/1。)=：,

又?{+屋=0，

17cc

所以一(X)在(％位)上有唯一零点

又(。,加)没有零点，即〃x)在(0,+8)上有唯一零点

(2)当xe(-l,0),g(尤)=e*+a(l-x2)

设h(x)=g'(无)=ex-2ax

"(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

,1,

g(_l)=_+2o<0,g(0)=l>0

e

所以存在〃e(T,。),使得g'(")=0

当xe(-l,"),g'(x)<0,g(x)单调递减

当xe(〃,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0

又g(-l)=」>0

e

所以存在fe(T〃),使得g(t)=0,即f'Q)=0

当xe(-1,f)"(无)单调递增，当xe(f,0),f(x)单调递减，

当xe(-l,0),/z(x)>/z(-l)=-e,

X-l<eae-l<0,/(efle-l)<ae-ae=0

而f(0)=0,所以当xe«,0)"(x)>0

所以f(x)在(-1,0上有唯一零点,GO)上无零点

即AM在(-1,。)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若/⑺在区间(-1,0),(。,+与各恰有一个零点，求。的取值范围为(-«,-1)

【点睛】方法点睛：本题的关键是对。的范围进行合理分类，否定和肯定并

用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数

典型例题

例题L例3-24高三下•陕西安康•阶段练习)记函数f(x)的导函数为广(x),尸(力的导函数为白⑺,设。

是的定义域的子集，若在区间。上((x)V0,则称“X)在。上是"凸函数".已知函数"x)="sinx-d.

⑴若在0,|上为"凸函数"，求。的取值范围；

⑵若a=2,判断g(无)="司+1在区间(0㈤上的零点个数.

【答案】(1)［-2,内)

(2)1个

【分析】

(1)根据"凸函数"定义对函数求导，由不等式-asinx-2<0在［0用恒成立即可求得a的取值范围；

(2)易知g(x)=2sinx-d+l,由导函数求得其在(0,兀)上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1

个.

【详解】(1)由〃x)=asinx—%2可得其定义域为R,且/'(x)=acosx-2尤，

所以/"(X”-asinx-2,

若〃尤)在［0,1］上为"凸函数"可得r(x)=-asinx-2<0在［恒成立，

当时，显然符合题意;

兀

当时，需满足一。sin—2W0,可得一2«〃<0；

2

综上可得，的取值范围为［-2,+8)；

(2)若〃=2,可得g(x)=2sinx—九2+1,所以g'(九)=2cosx—2%,

令力(九)=2cosx—2x,贝I=—2sinx—2；

易知"(x)=—2sin%—2Vo在区间(0,兀)上恒成立，

因此可得力(无)=/(%)=285%-2%在(0,兀)上单调递减；

显然81f=23巳-2义£=石_］>0,g］：j=2cos：-2x：=^-"|<。；

根据零点存在定理可得存在x。e［若］使得g'(x0)=2cosx0-2%=0,

因此可知当xe(O,x0)时，g'(x)>0,即g(x)在(0,%)上为单调递增;

当xe(%n)时,g'(x)<0,即g(元)在(工,兀)上为单调递减；

2

又g(0)=2sin0-0+1=1,显然在(O,xo)上g(x)不存在零点；

Tfjjg(7i)=2sin7r-7i2+l=l-7i2<0,结合单调性可得在小,兀)上g(尤)存在一一个零点；

综上可知，8(%)="2+1在区间(0,兀)上仅有1个零点.

例题2.(23-24高三下•广东广州,阶段练习)已知函数/(x)=e'—2x.

⑴求函数〃x)的极值；

(2)讨论函数ga)=〃x)-sinx在R上的零点个数.(参考数据：sin1-0.84,cos1®0.54)

【答案】⑴极小值是2-21n2,无极大值；

(2)2

【分析】

(1)求导，即可根据函数的单调性求解极值点，

(2)分类讨论x>0和x<0上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解.

【详解】⑴

■函数〃x)=eX-2x,

.•"'(x)=e-2；

令/'(x)=0,即1-2=0,解得x=ln2,

当x>ln2时，尸(x)>0,/(x)单调递增,

当x<ln2时，单调递减，

故当x=ln2时，/(x)取极小值，

函数，(尤)的极小值是“1112)=*—21n2=2-21n2,无极大值；

(2)(x)=/(x)-sinx=e%-2x-sinx,贝ljg'(x)=e》一2-cosx,

令相(尤)=e“-2-cosx,则mz(x)=ex+sinx,

由于x>0时，根'(尤)=e"+sin%>1+sin无N0,因此函数加(X)=g'(%)在x>0上单调递增，

由于g'(0)=l-2-lvO,g'(l)=e-2-cosl>0,

因此存在唯一的〜«。,1),使得存($)=0,

故当xe(O,Xo),g，(x)<O,g(x)单调递减，当xe(%,y),g<x)>0,g(x)单调的递增,

x<0时，g,(%)=eA-2-cos%<e°-2-COSJ:=-1-COSX<0,止匕时g(x)单调递减，

综上可知g(x)在xe(-℃,%)单调递减，在xe5,+oo)单调递增，

又g(l)=e-2-sinl<0,g(-71)=e-n+2TT>0,当xf+co时，g(x)f+8,

因此g(x)与x轴有两个不同的交点，故g(x)=〃x)-sinx在R上的零点个数为2.

【点睛】方法点睛：判断函数y=零点个数的常用方法：⑴直接法：令/(力=0,则方程实根的个数

就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间,,可上是连续不断的曲线，且〃。>/0)<0,再

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转

化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个

区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，

确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

例题3.(23-24高三上•广东梅州•阶段练习)已知曲线C：/(x)=sin2x+aeA-x(aeR)

⑴若曲线C过点P(O,-I),求曲线C在点尸处的切线方程；

(2)若0<aVl,讨论g(x)=f(x)+gcos2尤一a-；的零点个数.

【答案】(1)'=-21

⑵答案见解析

【分析】(1)由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；

(2)先求得g(x),得g(x)的单调性，然后讨论且⑺神的正负，结合零点存在定理得零点个数.

【详解】(1)依题意得，/(O)=-l=a,此时/(x)=sin2x—e'-x,

/r(x)=sin2x-ex-1,

则切线斜率为/'(。)=-2,故切线方程：y+l=-2(%-0),即y=-2x-1.

令g，(x)=ae"-1=0得x=-lna,令g，(x)>0得x>-lna,

令g<x)<0得x<-lna.&("减区间为(—0,-1110:),增区间为(-lna,4<o),

g(_r)?g(-lna)=l+lna-a.

当4=1时，l+lna-a=O,

g(x)20,/.g(x)在(-(»,*»)上有且仅有一个零点.

当。<0<1时，^*r(a)=l+lna-a(0<a<l),/(a)=—1=------>0,

二r(a)在(0,1)上单调递增，

r(a)<r(l)=O,即g(-lna)<0,

又g(0)=0,J.g(x)在(TO,-In上有一个零点，

X^(—21na)=—+21na—a

令0(a)=L+21na-a(O<a<l),则d(〃)=_("一1)<0,二°(a)在(0,1)上单调递减，

aa

：.e(a)>0(l)=O,二g(-21na)>0,g(x)在(-Ina,-21na)上有一个零点.

综上所述，a=l时，g(x)有一个零点，0<“<1时，g(x)有2个零点.

练透核心考点

1.(2024・湖南■二模)已函数/(无)=》:5+加!+乐+<?(0,6,1:€11),其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求a-6-c的值；

(2)判断函数“X)的零点个数.

【答案】⑴-3

⑵答案见解析

【分析】

(1)由〃尤)的图象关于(1,-2)对称，得至ij/a+l)+〃r+l)=T,列出方程组即可求解；

(2)由(1)得到函数的解析式，求出l(x),利用△判断尸(x)=0根的情况，分类讨论确定零点的个

数.

【详解】(1)因为函数〃尤)的图象关于点(1,-2)中心对称，故y=〃x+l)+2为奇函数，

从而有了(尤+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=T,

/(x+l)=(x+l)3+a(%+l)2+&(x+l)+c=x3+(o+3)x2+(2a+b+3)x+a+b+c+\,

/(1—x)=(1—x)3+a(l—尤y+6(1—x)+c=-+(a+3)x~—(2a+b+3)x+a+6+c+l,

2a+6=0Ja=-3

所以,解得1/?+c=0

2a+2b+2c+2=-4

所以〃_人_。=_3；

(2)由(1)可矢口，/(x)=x3-3x2-cx+c,/r(x)=3x2-6x-c,A=36+12c,

①当c4—3时，A=36+12c<0,f'(x)>0,所以〃x)在R上单调递增,

/(l)=-2<0,43)=27-3x9-3c+c=-2c>0,

..・函数/(尤)有且仅有一个零点；

②当一3<c<0时，再+9=2>0,xl-x2=-^>0,

/'(x)=0有两个正根，不妨设无i<%,贝!|3*-6菁-c=0,

，函数/(X)在(-8,%,)单调递增，在&,%2)上单调递减，在(%,+功上单调递增，

/(%)=耳~3x^-(%-6xJ=-2X](x；_3%+3)<0,/(3)=-2c>0,

；・函数/(尤)有且仅有一个零点；

③当c=0时,/(%)=丁-3%2,

令/(尤)=丁一3/=0,解得x=0或无=3,

F(”有两个零点；

④当c>0时，玉+3=2,%]-%2=--1<0,

/'(尤)=。有一个正根和一个负根，不妨设再<。<々，

二函数/(X)在(-8,%)上单调递增，在&,%)上单调递减，在(马,+力)上单调递增,

/(^)>/(0)=c>0,/(X2)</(1)=-2<0,

；・函数/(x)有且仅有三个零点；

综上，当c>0时，函数〃x)有三个零点；

当c=0时，函数/(X)有两个零点；

当c<0时，函数f(x)有一个零点.

2.(2023・全国•模拟预测)已知函数f(x)=ln(l+x)+acosx.

(1)曲线y=fM在点(0,/(0))处的切线方程为y=X+2,求实数。的值.

⑵在⑴的条件下，若g(x)=/(x)-」，试探究g(x)在等上零点的个数.

1+xI2)

【答案】(皿=2

(2)只有1个零点

【分析】(1)求导广(尤)=—1-asinx,再利用导数的几何意义求解;

X+1

(2)由(1)知g(x)=ln(l+x)+2cosx—J—,再利用导数法求解.

【详解】(1)解：由/(%)=ln(l+x)+acos%,

得/'(尤)=---«sinx,则有八、

x+1[f[O)=a,

所以切线方程为y=%+〃.

又因为曲线y=fM在点(0,7(0))处的切线方程为y=X+2,

所以。=2.

(2)由(1)矢口g(x)=ln(l+x)+2cosx---,

1+x

贝(JSr(x)=-2sinx+--y.

1+x(1+x)

12

令h(x)gg则〃30-2到-

当xe(-l,O]时,h'(x)<0,则g'(x)单调递减,

所以g'(x)Ng'(0)=2>0.

所以g(x)在(T，0］上单调递增.

当X-—1时，g(x)--co；当x=0时，g(O)=l>。.

所以g(x)在(-1,0］上存在零点，且只有一个零点.

(、/但一一2+--

当费时，h'(x)<0,则/(x)单调递减，g@=2,『5厂1+4«

所以存在g'(x())=。，当xw(O,Xo)时，g'(x)>0,则g(无)单调递增；当xe(尤o，|J时，g，(x)<0,则g(无)单

调递减.

gf—^Inf1+—>l+lcos-------=Inf1+—------>0福2(、人鼠吟

而(2)I2)2［+工(2)1+£，所以g(x)在。，彳)匕无零点.

综上，g(x)在(-1胃)上只有1个零点.

高频考点二：证明唯一零点问题

典型例题

例题1.(23-24高三下•四川雅安•开学考试)已知函数〃x)=Mlnx-a)+lnx+a.

(1)若°=1,当％>1时，证明：/(%)>0.

⑵若a<2,证明：〃x)恰有一个零点.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【分析】

(1)根据题意，求导可得力^)>°，即可得到“力在。，内)上单调递增，再由〃力>〃1)=0,即可证

明；

(2)根据题意，构造函数g(x)=lnx-o+邛+£,求导可得g'(x)>0,即g(x)在(0,+8)上单调递增，再

结合g(l)=。，即可证明.

【详解】(1)

证明：因为a=l,所以/(x)=xlnx-x+ln尤+1,7'(元)=lnx+，.

当x>l时，>0,则〃x)在上单调递增，

所以当x>l时，/(x)>/(l)=0.

(2)

/(x)=x(lnx-a)+lnx+a=++.

人1Inxa,”\11—Inxax+1-lnx-a

令g(x)=lnx-Q+——+-,贝n!Jrg(%)=—+—2-----r=------2-----.

XXXXXX

令/z(x)=x+l-lnx—a,贝=1—.

当力£(0,1)时,〃(力<0,九(%)在(0,1)上单调递减,当4w(l,+oo)时,人(九)在(1,+8)上单调递增，

所以M%"/2(1)=2-a>0,所以/⑺="1］产一〃〉0,

则g(力在(0,+。)上单调递增.

因为g(l)=。，所以g(“恰有一个零点，则/(%)恰有一个零点.

例题2.(23-24高三下•河北•阶段练习)已知函数/(x)=-ae-sinx-l在区间内有唯一极值点4,其

中aeR,e为自然对数的底数.

⑴求实数。的取值范围；

⑵证明：/(x)在区间［。,内有唯一零点.

【答案】⑴(TO)

(2)证明见解析

【分析】⑴求导得/(%),分和火0讨论「(无)的单调性，并保证在网内有唯一零点4即可.

(2)利用导数确定了(X)在区间［a?］上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.

【详解】(1)/(x)=-ae*-cosx,当xe(。,"时，cos%e(0,1),

①当时，尸(x)<0,〃x)在上单调递减，没有极值点，不合题意；

②当。<0时，y=-诏与y=-co次在上分别单调递增，显然/'(x)在(0,2上单调递增，

因为尸(0)=，1，0-〃2>0,

所以『'(0)=—。-1<0,得4>一1,此时/(无)在内有唯一零点4，

所以当天«0,占)时，尸(x)<0；当时，用x)>0,

所以/(x)在(0，2内有唯一极小值点七，符合题意.

综上，实数。的取值范围为(-1,0).

兀3兀)

(2)证明：由(1)知—IvavO,当xe—,I,y=—aex>0,y=—cosx>0,

•••在上广(%)=-*-cosx>0,

〃x)在］上单调递增，

•.•当•卜寸，“X)单调递增，

.•.当xe(O，x)时，/(力单调递减，当时，单调递增，

•当xe(O,不)时，/(x)</(O)=-a-l<O,/(^)<0,

文:f［^=-a^>Q,在卜芝|内有唯一零点，

即/(x)在(0,内有唯一零点.

例题3.(23-24高三上•黑龙江•阶段练习)已知函数〃x)=x+lnx,g(x)=e、lnx+a,且函数〃尤)的零点

是函数g(x)的零点.

(1)求实数。的值；

⑵证明：y=g(x)有唯一零点.

【答案】(1)1

⑵证明见详解

【分析】(1)易判断单调递增，令〃Xo)=%+lnXo=O,即可得不萨=1,令g(%)=。即可求•；

(2)由导数判断g(x)单调递增，g(%)=0即可得证.

【详解】(1)由〃x)=x+lnx易判断在(O,+e)单调递增,

1|=l+ln-=--l<0,/(l)=l+lnl=l>0,

jeee

所以可令/(%0)=%+1口％0=。，

得%=—ln%,所以/+lnXo=In(/e%)=0=>/e"=1,

由题意g(尤o)=0,即e与\nx0+a=-e^°x0+a=-l+a=Of

所以a=l；

(2)g(x)=e*lnx+l,则/⑴=e(lnx+,

令"(％)=ln%+^,贝U//(%)=1y=,

XXXX

所以当X£(O,1)时，p'(x)<0,p(x)单调递减，当%£(L+co)时，p(x)>0,P(x)单调递增，所以

p(x)>p(l)=l>0,

所以g'(x)=e(lnx+]>0,

结合(1)可得存在唯一Xoc'』],使得g(x0)=O,即函数y=g(x)有唯一零点.

【点睛】关键点点睛：解决本题(1)的关键是通过同构得出/e%=l；(2)的关键是二次求导确定函数的

单调性.

练透核心考点

1.(2024高三・全国・专题练习)已知函数f(x)=lnx-x+2sinx,f(x)为/(x)的导函数.求证：f(x)在(0,兀)

上存在唯一零点.

【答案】证明见解析

【分析】

求导，确定函数单调性，再利用零点存在定理判断零点情况.

【详解】设g(x)=/(x)=：T+2cosx,

当xe(O,7i)时，g,(x)=-2sinx--y<0,所以g(元)在(0,无)上单调递减，

又因为8闾=3-1+1>0,g(1］=2-i<o

13/兀J71

所以g(x)在］，鼻上存在唯一的零点1，命题得证.

2.(2023高三上,全国•专题练习)已知a>0,函数/(x)=xe*-a,g(x)=xlnx-a.证明：函数〃x),g(元)

都恰有一个零点.

【答案】证明见解析

【分析】先求导确定函数单调性，然后利用零点存在定理来证明即可.

【详解】证明：函数〃力=m"一。的定义域为R,r(x)=(x+l)e",

Qx<-1时，f(x)<0,x>-l时,ff^x)>0,

\/(x)在(-8,-1)上单调递减，f(X)在(-1,+8)上单调递减增，

Qx<0时，/(x)<0,f(0)=-a<0,f(a)=aea-a=a［ea-1)>0,

，函数/(x)恰有一个零点.

函数g(x)=xlnx-a的定义域为(0,+8),g,(x)=lnx+l,

0<x/时，g,(x)<0,x>，时，g,(x)>0,

ee

g(x)在［a［上单调递减，g(x)在g,+»j上单调递增,

JX<1时，g(x)<0,g(l)=-fl<0,

令b>max{a,e}(max{机,〃}表示w中最大的数)，g(/?)=/?InZ?-o>«(lna-1)>0,

函数g(x)恰有一个零点.

高频考点三：利用最值(极值)研究函数零点问题

典型例题

例题1.(23-24高二上•浙江绍兴•期末)已知函数/(x)=;v2-(2a+l)x+alnx+a(aeR).

(1)当。=1时，求函数〃x)的单调区间；

(2)若函数在(0,2)内存在两个极值点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴单调递增区间为：［。［］和（1,+®）,单调递减区间为：Q,i

1、1

(2)0<Q<5或］<〃<2

【分析】

（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间；

（2）首先求函数的导数，并化简为:（函=（2》一18-0）,0<x<2,再讨论。的取值，结合函数的单调性,

判断函数极值点的个数，从而求解实数〃的取值范围.

【详解】（1）

当a=l时，f(x)=x2-3x+lnx+l,定义域为(0,+°0)

2%2—3%+1(2兀-1)(十一1)

XXX

令八%）>。，得元>1或

所以/（X）的单调递增区间为：（0,；］和（1,叱），单调递减区间为：R,1

（2）

f（x）—2x—（2a+1）H—=------------（0<xv2）

XX

①当aWO时，x-a>G,所以在（0,，上单调递减，在。,2）上单调递增,

故/（X）只有一个极小值点g，与条件矛盾，故舍去.

②当0<“<g时，〃尤）在（0,。）和口,2）上单调递增，在，上单调递减，

故/（X）有两个极值点a和g，与条件相符.

③当g<a<2时，〃”在（0,£|和（4,2）上单调递增，在上单调递减，

故/（X）有两个极值点。和：，与条件相符.

④当。=:时，广（“2丁）后0,

故在（0,2）上单调递增，无极值点，舍去.

⑤当。22时，x-a<0,所以/（x）在上单调递增，在［gz］上单调递减，

故/（X）只有一个极大值点与条件矛盾，故舍去.

11

综上可得：0<a<——<a<2

例题2.(23-24高二下•重庆黔江•阶段练习)已知函数〃x)=lnx+依+2

(1)若函数在x=l处取得极值，求。的值；

⑵若函数在定义域内存在两个零点，求。的取值范围.

【答案】(l)a=—1

⑵(-e,0)

【分析】(1)利用极值点的意义得到广⑴=。，从而求得。，再进行验证即可得解；

(2)分类讨论。的取值范围，利用导数得到的性质，从而得到a<0且/，:]>0,解之即可得解.

【详解】(1)因为/■(x)=lnx+ax+2(x>0),则/(尤)=4+a=竺以，

因为函数在x=l处取得极值，所以(⑴=1+。=0,解得a=-L

当a=—l时，可得/(消=上三，

X

当xe(O,l)时，/(力>0,〃力单调递增,

当xe(,+8)时,小)<0,单调递减，

所以当x=l时，函数/(X)取得极大值，符合题意，故a=-l.

(2)由尸(尤)=竺土L其中x>0,

X

当。20时，可得/'(x)>0,/单调递增，

此时函数至多有一个零点，不符合题意；

当a<0时，令/(了)=0,解得x=」，

a

当xe。-£|时，/(x)>0,单调递增；

当尤U，+1|时，r(x)<°­单调递减；

所以当彳=-：时，f(x)取得极大值，也是最大值，

最大值为了(一：)=In+°{_J+2=1-In(-a),

Xf(e2)=ae2<0,且当x->+8时，/(x)^--oo,

所以要使得函数/(x)有两个零点，则满足了[-：)>0，

即解得一e<avO,

所以实数。的取值范围是(-e,0).

例题3.(23-24高二下•贵州黔西•开学考试)已知〃同=加-云+4,/3在x=2处取得极小值

⑴求的解析式;

⑵求“X)在x=3处的切线方程；

⑶若方程/'(》)+左=0有且只有一个实数根，求左的取值范围.

【答案】⑴〃尤)=g尤3-4尤+4

(2)5%-,-14=0

(3)38,一萼牛+"

【分析】

了,⑵=0

(1)求出((无)，由题意可的，小、4,由此即可求出答案；

了⑵一

(2)分别求出f(3),广(3)的值，再利用点斜式写出直线；

(3)将问题转化为函数》=-左与>=/(无)有且只有一个交点，求出函数>=/(尤)的单调性与极值，即可求

出％的取值范围.

【详解】(1)由题意知f(x)=3依2-6,

4

因为/(%)在％=2处取得极小值—-

f(2)=12a-b=0

则，c、。C,〃4.解得：a=^,b=4

f(2)=8a-2b+4=--3

经检验，满足题意，所以。=；,b=4,

所以/(彳)=；尤3—4x+4

(2)由题意矢口/(x)=§;>?—4x+4,/r(x)=x2—4,

所以“3)=1,尸(3)=5,所以切点坐标为(3,1),斜率左=5

所以切线方程为：J-l=5(x-3),即5元一〉一14=0.

(3)令/=解得％=-2或%=2,

则31⑺，/(%)的关系如下表：

X(-咫-2)-2(-2,2)2(2,+与

+0-0+

28_4

〃尤)单调递增单调递减单调递增

T-3

4

贝厅(-2)=可，/(2)=--,

方程/(x)+左=0有且只有一个实数根等价于-k=/(x)有且只有一个实数根,

等价于函数y=-左与y=有且只有一个交点，

即一左<—24或一女〉2二8，解得：k<-2—8^k>~4,

3333

28

所以代—00,---------

3

9

例题4.(23-24高二上•福建福州•期末)已知函数/(尤+6%+a(〃£R).

⑴求了⑺在［-2,3］上的最大值;

(2)若函数恰有三个零点，求。的取值范围.

9

【答案】⑴

(2)[-|，-2

【分析】

(1)求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值;

(2)利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解.

【详解】(1)

/(X)=3x2-9x+6=3(x-l)(x-2),

可知xe［-2,l］时，f^x)>0,司劝单调递增,

九目1,2］时,/(x)<0,『(%)单调递减,

xw[2,3]时，f<^x)>0,单调递增,

所以/(x)a=max{〃l),〃3)},

59

由/(I)=—,/(3)=—+tz,

9

/«^=/(3)=-+«；

(2)

f(%)=3x?-9x+6=3(%-1)(%-2),

当％<1或%>2时，>0,当lvx<2时，/r(x)<0,

所以fM在(―*1)和(2,+8)上单调递增，在(1,2)单调递减，

所以〃龙)极大值=/⑴=|+a，A》)极小值=/⑵=2+a，

当九f_OO时，当％->+8时，/(力—小，

因为/(X)有三个零点，所以V卜大值>gp-2+a>0,

〔小)极小值<°(2+«<0

解得一<°<-2,故a的取值范围为

练透核心考点

1.(2024高二下•全国・专题练习)已知函数/(x)=gx3+ax,g(x)=-x2-a(aeR).

(1)若函数-%)="可-8(%)在［1,+8)上单调递增，求。的最小值;

⑵若函数G(x)=〃x)+g(x)的图象与尸依有且只有一个交点，求a的取值范围.

【答案】⑴-3

(2)^-co,-1^u(0,+co)

【分析】(1)分析可知，/(x)=x2+2x+a30对任意的x21恒成立，分析函数尸'(X)在［L+s)上的单调

性，根据F'(x)1nhi2。可求得实数。的取值范围，即可得解；

(2)令/?(x)=gx3一分析可知，函数用”的图象与直线>只有一个公共点，利用导数分析函数可力

的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】(1)解：由已知可得/(%)=〃%)—g(x)=；%3+%2+:+。,

6n则尸=+2x+〃,

因函数F(X)在［1,+a))上单调递增，

所以/'(1)=%2+2］+。〉。对任意的121恒成立，

又因为函数/'(X)=炉+2x+Q在［1,+00)上为增函数，

则少(力.=9(1)=〃+32。，解得aN—3,故实数。的最小值为—3.

2

(2)解：G(x)=/(x)+^(x)=-x+ax-a9令G(x)=av,可得a

因为函数G(x)=/(x)+g(x)的图象与产依有且只有一个交点,

令/2（x）=gx3-/,则函数可无）的图象与直线y=a只有一个公共点，

贝=令//（工）＞0,解得％＜0或%＞2,令"（犬）＜0,解得。＜尤＜2,

所以人⑺在（-8,0）、（2,+8）上单调递增，在（0,2）上单调递减，

QA

则可力的极大值为人⑼=0,极小值为/i（2）=|-4=-j,

万⑴的图象如下所示：

由图可知，当。＜-|或。＞。时，函数的图象与直线只有一个公共点,

因此，实数。的取值范围是（-双-力口（。,+8）.

2.（23-24高二上■江苏南京■期末）已知函数〃彳）=丁一;无2-2》+加.

（1）当“7=1时，求曲线”X）在点（2,”2））处的切线方程；

（2）若函数有三个不同的零点，求实数相的取值范围.

【答案】⑴8*7-13=0

223

（2）---＜m＜—.

272

【分析】（工）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可；

22

m-\--->0

27,,

（2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数F（力有三个不同的零点,只需满足计

算即可.

【详解】(1)当根=1时，/(x)=x'—万尤2—2x+l,/'(x)=3x?—x—2.

所以“2)=3,(⑵=8,

所以切线/：j-3=8(x-2),即8x-y-13=。

(2)/,(x)=3x2-X-2=(3J:+2)(X-1)

/、?

令r(x)=o,得了=§或x=i.

当尤<一：或x>i时，r(x)>o:当一\<x<i时，r(x)<o.

二八X)的增区间为「”,一口，(1,+8)；减区间为「|，1

“X)的极大值为/(-：]=+“X)的极小值为〃1)=机-；

22

m-\--->0

27223

，解得:---<m<—

3Z12

/(l)=m--<0

此时〃—2)<0,f(2)>0,所以函数〃