角平分线模型（解析版）-2023年中考数学几何模型重点突破

专题02角平分线模型

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【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC是NN05的角平分线=>/幺。。=/。。5=!44。8

2

【模型变式1】双中点求和型

如图已知0C是NZ03内任意一条射线，射线OE是NZOC的角平分线，射线OF是NC03的角平分线n

ZEOF=-ZAOB

2

【证明】

•.•射线0E是ZAOC的角平分线，射线OF是ZCOB的角平分线

11

NAOE=NEOC=-ZAOC;NCOF=NFOB=-ZCOB

22

ZEOF=ZEOC+ZCOF

NEOF=-ZAOC+-ZCOB=-(ZAOC+ZCOB)=-ZAOB

2222

ZEOF=-ZAOB

2

【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。

【模型变式2】双中点求差型

如图已知0B是NZOC外任意一条射线，射线0E是4405的角平分线，射线OF是NC08的角平分线n

ZEOF=-ZAOC

2

【证明】

•••射线0E是NZQB的角平分线，射线OF是NC05的角平分线

ZAOE=ZEOB=-ZAOB;ZCOF=ZFOB=-ZCOB

22

ZEOF=ZEOB-ZFOB

ZEOF=-ZAOB--ZCOB=-(ZAOB-NCOB)=-ZAOC

2222

ZEOF=-ZAOC

2

【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。

【例工】如图，己知N/O2和N/OC互余，OM、CW分另lj平分NNO3和NNOC,AMON=20°,则

/AOB=°,

B

M

【答案】65

【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可.

（解析］解：：、ON分别平分ZAOB和ZAOC,AMON=20°,

ZAOM^-NAOB,ZAON=-ZAOC,

22

ZAOB--ZAOC=ZAOM-ZAON=AMON=20°,

22

ZAOB-ZAOC=40°①，

又「乙4。3和44。。互余，

.-.ZAOB+ZAOC=90°②，

①+②，得：2408=40°+90°,

解得：NAOB=65。.

故答案为：65.

【例2】如图，乙402=120。，OC是乙4。2内部任意一条射线，OD,OE分别是"OC,乙BOC的角平分线,

下列叙述正确的是（）

A.ZDOE的度数不能确定B.UOD=』KEOC

C.乙4OD+乙BOE=60°D.乙BOE=24COD

【答案】C

【分析】依据OE分别是4OC、48OC的平分线，即可得出

ZAOD+^BOE=AEOC+^COD=ADOE=60°,结合选项得出正确结论.

【解析】-OD,0E分别是ZJOC、ABOC的平分线,

:4OD=乙COD,AEOC=KBOE.

又.；UOD+4BOE+乙EOC+4coD=UOB=12Q。，

.■.^AOD+ABOE=AEOC+Z-COD=ADOE=60°.

故选c.

【例3】如图，(W是ZJOC的平分线，CW是乙BOC的平分线.

图1图2

⑴如图1,当乙4。8是直角，N8OC=60。时，求ZAQN的度数是多少？

(2)如图2,当UOB=a,乙BOC=60。时，尝试发现XI/ON与a的数量关系；

(3)如图3,当UOB=a,乙8。。=夕时，

①猜想：WON与a、/有数量关系吗？直接写出结论即可；

②当NCON=34时，直接写出a、夕之间的数量关系

【答案】⑴45。

②)LMON=；a

i74

@①乙MON=Ka；②a=寸或=力

【分析】(1)求出々OC的度数，再根据角平分线的定义求出X0OC和XVOC的度数，代入

/-MON=Z.MOC-£NOC求出即可；

(2)求出乙4OC的度数，再根据角平分线的定义求出ZMOC和NM9C的度数，代入S10N=dt0C-AN0C

求出即可；

(3)①求出乙40c的度数，再根据角平分线的定义求出ZM0C和NNOC的度数，代入"0N=4M0C-乙NOC

求出即可；

②济OM、ON在05的异侧和同侧两种情况求解.

【解析】(1卜.•乙4。是直角，；•乙408=90°,乙8。。=60。，

：./-COA=£AOB+Z-BOC=^°+60°=150°.

■：OM平分乙4OC,

.•ZCW=g/CON=75。，

•：0N平■分乙BOC,

/.CON=^MOC=30。，

.­.ZMON=Z.COM-Z.CON=15°-30°=45°

(2)-.-^AOB=a,乙BOC=60。，

；zCO4=a+60°,

-OM平分乙4OC,

：./.COM=\乙COA=1似+60。)，

・：0N平分乙BOC,

：./.CON=^N3OC=30。，

:ZMONMCOM-乙CON*fct+60°)-30°=1ct.

(3)①•••^4OB=a,Z-BOC=p,

：/COA=UOB+(BOC=a+B.

'：OM平分乙4OC,

.-.ZCOM=1乙COA=y(a+0，

•••ON平分Z5OC,

：2C0N=三乙BOC=，,

:.乙MON=ACOM-乙CON=g(a+0)-1/?=yct.

②当(W、ON在05的异侧时，如图3-1,

•.ZC0M=g(a+6，Z-BOC=p,

.“BOM，(a+£)-p=^(a/),

•••NC0N=3M(W时，乙CON=，,

.••丹=3亭a/),

当。0、ON在的同侧时，如图3-2,

■：ACOM=--{a+p),Z-BOC=P，

；/BOM=p-y(a+£)(p-a),

：^CON=3乙BOM时，乙CON=，，

43=3*R*,

2八

24

综上可知，夕或=］夕.

一、单选题

1.如图，直线/和。。，直线斯分别交45,CD于点G,H.GM平分乙BGH,且乙6田公48。，那么4G

的度数为()

D

Nf

A.96°B.104°C.114°D.124°

【答案】c

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出必G”,再根据角平分线的定义可得然后根

据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解.

【解析】解：以8||。,

.•.乙8G/7=180°-NG//M=180°-48°=132°,

■:GM*分乙BGH,

.­.zBGA/=-zBG//=-xl32°=66°,

22

■：AB^CD,

.•.zGMD=180°-z5GAf=180°-66°=114°.

故选：C.

2.如图，乙40C与4BOC互为余角，0D平分乙BOC,&0C=2U0E.若NC0Z)=18。，则乙40E的大小是

()

A.12°B.15°C.18°D.24°

【答案】C

【分析】利用角平分线求出乙8OC=36。，利用。0C与ZBOC互为余角，求出乙4。。=90-36。=54。，再根据

4EOC=24AOE,即可求出入4。£=18。.

【解析】解：•.ZCOD=18。，OD平分4BOC,

:.乙BOC=36°,

■■■^AOC与乙BOC互为余角,

山。C=90°-36°=54°

,.ZEOC=24AOE,

.­.3AAOE=54°,

山。E=18°.

故选：c

3.如图，直线AB,CD,E0相交于点0,已知OA平分NEOC,若NEOCNEOD=2:3,贝UNBOD的度数为

()

X

7二

A.40°B.37°C.36°D.35°

【答案】c

［分析］根据NEOC:NEOD=2:3与ZEOC+ZEOD==180°得到/EOC,根据平分ZEOC得到ZAOC,

最后根据对顶角相等即可求出/-BOD.

【解析】解：•.•NEOC：NEOQ=2：3,NEOC+NEOQ=180。,

3

ZEOC+-ZEOC=180。，

2

/.ZEOC=72°,

••・OA平分ZEOC,

ZAOC=-ZEOC=-x72°=36°,

22

/.NBOD=/AOC=36。.

故选：C.

4.如图，直线ZC和直线5。相交于点O,OE平分（BOC.若41+乙2=80。,则N3的度数为()

D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到乙BOC的度数，再根据角平分线即可得出/3的度数.

【解析】解：•.•/：!=N2,Nl+/2=80°,

Z1=Z2=40°,

NBOC=140°,

又：OE平分NBOC,

Z3=140°-2=70°.

故选：D.

5.12022•山东东营•二模）如图，CD〃/8,点。在上，平分Z8O。,。尸，。区=11。°,则N/O尸

的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】D

【分析】根据C。〃/8,zZ)=110°,求出ZJOD=70。，ZZ)OB=110°,利用OE平分乙BOD,得至此。。£=

55°,由N尸。£=90。求出尸=90。-55。=35。，即可求出乙40尸的度数.

【解析】解：•:CD〃AB,

山OD+ZD=180°,4DOB=LD,

••4=110°,

：.^AOD=10°,Z£>O5=110°,

■：OE平分M。。，

：./.DOE=-ZDOB=55°,

2

"OFLOE,

:ZFOE=90°,

••"09=90°-55°=35。，

.■.^AOF=^AOD-ZJDOF=10°-35°=35°,故D正确.

故选：D.

二、填空题

6.（2022•湖南长沙•七年级期末）如图，直线/8、CD相交于点O,OE平分NBOD,O尸平分NCOE.若

ZAOC=76°,则ZBOF的度数为'

【答案】33

【分析】先根据对顶角相等求出76。，再由角平分线定义得=/BOE=38。，由邻补角得

ZCOE=142°,再根据角平分线定义得/£。尸=71。，从而可得结论.

【解析】解：•••N/OC、N8OD是对顶角，

NBOD=N4OC=76°,

■：OE平分ABOD,

ZDOE=ZBOE=工N80。=38°

2

NCOE=142°,

?平分/COE.

.-.ZEOF=-ZCOE=11°

2

又NBOE+ZBOF=NEOF,

：.NBOF=NEOF-NBOE=71°-38°=33°,

故答案为：33

7.如图，直线N8,CD相交于点O,OE平分乙BOD,OF平■分乙COE.若乙80户=30。，则

/JDOE=°.

【答案】40

【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求.

【解析】解：•.•<?£平分/8OD，

Z-BOE=Z-DOE,

设〃OE=3OE=x,则有NC0E=18(F-X,

■■■OF平分/COE,

：.^EOF=-(180°-x)=90°--%,

22

由题意得：4EOF-乙BOE=4BOF=3Q°,即90°-1x-x=30°,

解得：x=40°,

则乙DOE=40。.

故答案为：40.

8.如图，直线22、。交于点O,COLOE,O尸是40。的平分线，0G是NEO8的平分线,

N40c=44°,则ZFOG=.

【答案】135°

【分析】根据邻补角求得N/。。，NCOB,根据COLOE,求得NCOE=90。，进而求得NE03,根据对顶

角求得/80£»=N/0C,根据角平分线的定义求得NFQD=g//OD,ZBOG=^ZBOE,根据

ZFOG=ZFOD+ZBOD+ZBOG即可求解.

【解析】解:•••ZAOC=44°,

ZAOD=180°-ZAOC=/COB=180°-44°=136°,

•••COLOE,

ZCOE=90°,

/./BOE=ZBOC-/COE=136。—90。=46°,

・••O9是N4OQ的平分线，OG是/EO5的平分线，

?.ZFOD=-ZAOD=6S°f/BOG=L/BOE=23。,

22

又/BOD=/AOC=44。,

/FOG=ZFOD+/BOD+/BOG

=-ZAOD+ZBOD+-ZBOE

22

=68°+44°+23°

二135。

故答案为：135。.

9.如图，已知射线。。在NZO5内部，如平分NZOC,OE平分/BOC,OF平分/AOB,现给出以下4

个结论：@ZDOE=ZAOF；@2ZDOF=ZAOF-ZCOF；③NAOD=NBOC；④

NECE=，NCO/+40尸）其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）.

【答案】①②④

【分析】①根据。。平分2/0C,OE平分2B0C,O尸平分乙4。8,得出N/OD=NC。。=,

ABOE=ZC0E=-ZBOC,ZAOF=ZBOF=-ZA0B,求出/OOE=,即可得出结论；

222

②根据角度之间的关系得出ZDOF=^ZBOC=NCOE,得出ZAOF-ZCOF=ZBOF-ZCOF=ZBOC,

即可得出结论；

③无法证明ZAOD=NBOC；

ZDOF=|ZBOC=ZCOE,得出/EOF=NCOZ）,ZCOF+ZBOF=2ZCOD,即可得出结论.

【解析】解：①:。。平分NNOC,OE平分NBOC,。尸平分乙408,

ZAOD=ZCOD=-ZAOC,ABOE=ZCOE=-ZBOC,

22

ZAOF=ZBOF=-ZAOB,

2

ZAOC+ZBOC=AAOB,

NDOC+ZCOE=ZAOD+ZBOE=-ZAOB,

2

2

ZDOE=ZAOF,故①正确；

@vZDOF=ZDOE-/EOF

=-ZAOB-\ZCOF+-ZBOC\

2I2J

=-ZAOB-ZCOF--ZBOC

22

=1ZAOB-(ABOF-NBOC)-1ZBOC

=-ZAOB-\-ZAOB-ZBOC\--ZBOC

2(2)2

=-ZAOB--ZAOB+ZBOC--ZBOC

222

=L/BOC

2

ZAOF-ZCOF=ZBOF-ZCOF=ZBOC,

2ZD0F=NAOF-ZCOF,故②正确；

③N/OD与N3OC不一定相等，故③错误；

④根据解析②可知,ZDOF=|ZBOC=ZCOE,

ZEOF=ZEOC+ZCOF=ZCOF+ZDOF=ZCOD,

ZCOF+ZBOF=ZCOF+ZAOF=ZAOC=24coD,

NEOFyZCOF+NBOF),故④正确；

综上分析可知，正确的有①②④.

故答案为：①②④.

10.如图，NCO。在乙4。5的内部，且E)COD=g'OB,若将/COD绕点O顺时针旋转，使NC。。在乙408

的外部，在运动过程中，OE平分乙BOC,则ZZ)OE与乙40C之间满足的数量关系是.

【答案】』/。。=2/。。£或4。。=360。-2/。。£

【分析】分情况讨论当旋转的角度不超过180。时，当旋转的角度超过180。，不超过360。时，画出旋转后的

图，利用角之间的关系计算即可.

【解析】解：当旋转的角度不超过180。时，如图:

NAOC=ZAOB+ZBOC,

乙DOE=ZCOD+ZCOE,

■.OCOD=^BAOB,OE平分Z18OC,

...ZBOE=ZCOE,ZAOC=2ZCOD+2ZCOE=2(ZCOD+NCOE),

ZAOC=2/DOE.

当旋转的角度超过180。，不超过360。时，如图，

...ZAOC=360°-(ZAOB+ZBOC),

ZDOE=ZCOD+ZCOE,

■：OCOD=^DAOB,OE平分ABOC,

ZBOE=ZCOE,2ZDOE=2ZCOD+2ZCOE=ZAOB+ZBOC,

.-.ZAOC=360°-2ZDOE.

三、解答题

11.如图，己知z_AOB=90。，ZEOF=60°,OE平分NAOB,OF平分NBOC,求zAOC和NCOB的度数.

【答案】120°,30°

【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得乙8。9的度数，最后根据角平

分线，求得48。。、//OC的度数.

【解析】「OE平分NAOB,ZAOB=90°

.•.ZBOE=ZAOB=45°

又•••NEOF=60°

.-.ZBOF=ZEOF-ZBOE=15°

X---OF平分NBOC

.-.ZBOC=2ZBOF=30°

.•.ZAOC=ZAOB+ZBOC=120°

故NAOC=120。，ZCOB=30°.

12.如图，。为直线48上的一点，ZAOC=48°,平分440C,ZDO£=90°.

⑴求N8QD的度数；

(2)。后是/8。。的平分线吗？为什么？

【答案】(1)/800=156。

(2)。后是48。。的平分线，理由见解析

【分析】(1)由角平分线的性质可知N1的度数，再利用互补即可算出乙8OD的度数；

(2)想要判断OE是否为A8OC的平分线，只需分别计算出N3和N4的度数，看它们是否相等.

【解析】(1)解：・・・//OC=48。，0。平分/4OC,Zl=Z2=-ZAOC=-x48°=24°,

22

Zl+NBOD=180°,AZBOD=180°—24°=156°；

(2)解：0E是N8OC的平分线.理由如下：VADOE=90°,Z2=24°,Z3=90°-Z2=66°,

ZDOE=90°,ZBOD=156°,Z4-ABOD-ADOE=66°,Z3=Z4=66°,OE是/20C的平分

线.

13.已知。为直线48上一点，过点。向直线48上方引两条射线。C,OD,且。C平分N/OD.

图②

(I)请在图①中ZBOD的内部画一条射线0E,使得0E平分ABOD,并求此时NCOE的度数；

(II)如图②，若在4BOD内部画的射线OE,恰好使得NBOE=3/DOE,且/COE=70。，求此时

的度数.

【答案】⑴ZC(9£=90°；(n)的度数为60。.

【分析】由角平分线的定义得出

ZCOE=ZCOD+ZEOD=~(ZAOD+ZBOD)=90°

(2)设Nl=a,则N2=3a,々=/3=(70。-々)，根据平角的定义列等式求出结果即可.

•.•OC平分乙OD,OE平分4BOD,

ZCOD=-ZAOD,ZEOD=-NBOD,

22

ACOE=NCOD+ZEOD=1(ZAOD+ZBOD)=90°.

(II)如下图，设Nl=a,

D

AOB

根据题意得/2=3/1=3a.

••・NCOE=N1+N3=70。,

...Z3=(70°-6r).

・・O・C平分乙4OQ,

...Z4=Z3=(70°-cr),

••・Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

.•.a+3a+(70-a)+(70-a)=180°.

解得：a=20。..・・/2=3a=60。.

.•./BOE的度数为60。.

14.已知：如图所示(1),N4O8和NC。。共顶点,OB、0。重合，aw■为44OD的平分线，ON为NBOC

的平分线，ZAOB=a,ACOD=p.

DE

仁

O----