利用导数研究不等式恒（能）成立问题（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点04利用导数研究不等式恒（能）成立问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】..................................................3

【题型2分离参数法求参数范围】...............................................................3

【题型3分类讨论法求参数范围】...............................................................4

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】..............................................5

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】................................................5

【题型6洛必达法则】.........................................................................7

【题型7双变量的恒（能）成立问题】..........................................................8

►命题规律

1、利用导数不等式恒（能）成立问题

恒（能）成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，其中不等式的恒（能）成立问题经常与导数及

其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难

度较大，解题时要学会灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1不等式恒（能）成立问题的解题策略】

1.不等式恒（能）成立问题的求解方法

解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题

①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等

式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题.

②a（X）恒成立。/（x）max

a&/(x)恒成立o*。/(x)min

a2/(x)能成立V今a1/(x)min

a&/（x）能成立。&/G）max.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题

分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进

行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一

段内的函数值不满足题意即可.

【知识点2双变量的恒(能)成立问题的解题策略】

1.双变量的恒(能)成立问题的求解方法

“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有：

对于某一区间/,

(1)VX1,X2G/,/(%1)>g(x2)min>g(x)max.

(2)v%1G/153x2G12,/(%)>g(x2)/(x)min>g(x)mm.

(3)3xje7I,VX2e/，/(珀>g&)/Wmax>g(x)max.

【知识点3洛必达法则】

“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时,

经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现蓝型或卷型可以考虑使用洛必达法则.

1.洛必达法则

法则1若函数外)和式工)满足下列条件：

(1)lim/(幻=0及limg(x)=O；

(2)在点a的去心邻域内，人工)与g(x)可导且g(x)WO；

..f(x)

(3)im7«=/,

那么吧奈hr(x)_/

rim•(\=4

XTag(x)

法则2若函数加)和g(x)满足下列条件:

⑴lim/(x)=8及limg(%)=oo；

(2)在点a的去心邻域内，加)与g(x)可导且g(x)W0；

f(x)

(3)所r诉J=/,

xTa6\A7

那么吧奈h../'a

=A,

fg⑴

2.用洛必达法则处理甘型函数的步骤:

(1)分离变量；

(2)出现4型式子;

(3)运用洛必达法则求偿

3.用洛必达法则处理合型函数的步骤:

(1)分离变量；

00

⑵出现0型式子；

（3）运用洛必达法则求值.

【注意】：

1.将上面公式中的x—a,x—oo换成xT+oo,xT-8,xTa+,x->。一，洛必达法则也成立.

2.洛必达法则可处理，合,0•叫产,8。,0。,8—8型求极限问题.

3.在着手求极限前，首先要检查是否满足2号,0・哈产,8°,0°,8—8型定式，否则滥用洛必达法则

会出错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极

限.

4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

1加4，=1向/*=1加4"，如满足条件，可继续使用洛必达法则.

xTagwX—><7g⑴x—ag（%）

►举一反三

【题型1直接法解决不等式恒（能）成立问题】

【例1】（2024•内蒙古呼和浩特•二模）若"2e+lnax在（0,+8）上恒成立，贝i]a的最大值为（）

a

2-e1”-1

A.—oB.2e2-eC.el"D.H

2

【变式1-1]（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知不等式Inx-：-（a-京），+泥W0有实数解，则实数a的

取值范围为（）

A.（一8,一田B.（-00,0）C.卜5+8）D.[0,+00）

【变式1-2]（2024・四川成都•模拟预测）若关于％的不等式（e-l）（lna+%）>ae%-1在久G[0,1]内有解，

则实数Q的取值范围是（）

【变式1-3]（2024•甘肃兰州•三模）已知函数/（久）=点―好，对于任意的xe（1,2],不等式f（詈）+

/（U<1恒成立,则实数「的取值范围为（）

A.(1,+oo)B.[—1,1]C.(-oo,-1]D.(-00,-1)

【题型2分离参数法求参数范围】

【例2】（2024•宁夏银川・模拟预测）已知QCN*,函数/（%）=e3%—产>0恒成立，则a的最大值为（）

A.2B.3C.6D.7

【变式2-1](2024•四川宜宾•二模)已知不等式a;ce，+无>1—lnx有解，则实数a的取值范围为()

A.(-*,+8)B.(-：，+8)C.D.(-8,3)

【变式2-2](2024•四川成者B•三模)若xe[0,+8),/+ax+iWe，恒成立，则实数a的最大值为()

A.QB.2C.e—1D.e—2

2

【变式2-3](2024・四川南充・三模)已知函数/(x)=1久3,^(x)-ex-1x-x,3%1；久2€口2]使|g(久力一

^(%2)l>fc|/(xi)-/(x2)l(k为常数)成立，则常数k的取值范围为()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(-8,功D.(—co,手)

【题型3分类讨论法求参数范围】

【例3】(2024•广东汕头•三模)已知函数f(x)=Inx-a久,g(x)=[,a40.

(1)求函数人久)的单调区间；

(2)若fO)<g(x)恒成立，求a的最小值.

【变式3-1](2024•四川泸州•二模)已知函数/'(>)=2x3—a/+2(a>。).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若三久£[-1,1],|/(x)|>3,求实数a的取值范围.

【变式3-2](2024•北京•三模)已知函数f(x)=ln(x+l)+k(x+1).

(1)求fQ)的单调区间；

(2)若f(x)4-1恒成立，求实数k的取值范围；

(3)求证：把〈迎二2.(律6村且7122)

—仁21+14

【变式3-3]（2024・四川•模拟预测）已知函数/（%）=a%ln%-2%+b（a,beR）在点处的切线方

程为y=-x.

⑴求函数/（%）的极值;

(2)设g(%)=e"G)+2]+mx(mER),若g(%)>0恒成立，求m的取值范围.

【题型4构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】

【例4】（2024・四川乐山•二模）若存在％o£使不等式%0+（e?-l）lna2葛+e2%（）-2成立，则a

的取值范围是（）

A.上凹B.42]C.七凹D.加]

【变式4-1]（2024•甘肃兰州•二模）若关于x的不等式e%+%+21n^2zu/+Imn恒成立，则实数加的最

X

大值为（）

A.-B.-C.-D.e2

242

【变式4-2]（2023•河南开封•模拟预测）若存在xe[1,+8）,使得关于X的不等式（1+3""成立，则

实数a的最小值为（）

11

A.2B.--C.In2—1D.-----1

ln2ln2

【变式4-3]（2024•江西赣州•二模）已知函数/'（x）=eh+1,g（无）=（1+：）Inx.若k/（x）2g（久），则后的

取值范围为（）

A.（0,e]B.[e,+oo）C.[1,+oo）D.（0,寺

【题型5与不等式恒（能）成立有关的证明问题】

【例5】（2024•云南昆明•三模）已知函数/（X）=e*-sinax；

(1)当。=一1时，证明：对任意％E(-也+8),/(%)>0；

(2)若％=0是函数/(%)的极值点，求实数a的值.

【变式5-1](2024•青海•模拟预测)已知函数/(%)=e"+-a](a6R).

(1)当a=1时，求/(%)的最值；

(2)当a6时,证明：对任意的%1，x2£[-2,2],都有|/(%D-/(%2)14e?-1.

【变式5-2](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(%)=ae\aW0),g(%)=/,/(%)为g(%)的导函数.

(1)证明：当。=1时，V%G(0,+co),/(%)>gz(x)；

(2)若/(%)与g(%)有两条公切线，求。的取值范围.

【变式5-3](2024•贵州六盘水•三模)若函数/(%)在&句上有定义，且对于任意不同的％1/2E[见可，都

有I/Q1)-/(%2)1<fcki-%21，则称/(%)为[a,b]上的*类函数”

⑴若/(%)=x2,判断是否为[1,2]上的“4类函数”；

(2)若/(%)=：ln%+(。+1)%+：为[1向上的“2类函数”，求实数Q的取值范围；

(3)若/(%)为[1,2]上的“2类函数”且f(l)=f(2),证明：VXi，x26[1,2])|/(勺)一)3)1Vl・

【题型6洛必达法则】

【例6】(23-24高二下•全国•期末)若不等式sin%>%-对于第£(0,“恒成立，求a的取值范围.

【变式6-1](2023高三•全国•专题练习)已知函数/(%)=aln%+bER)在久=1处取得极值，且曲线y=

/(%)在点(1)(1))处的切线与直线X-y+l=0垂直.

(1)求实数的值；

(2)若V%6[1,+oo),不等式/(%)<(m-2)%-?恒成立，求实数6的取值范围.

【变式6-2](2024・浙江•二模)①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有

结论：若函数/(%),g(%)的导函数分别为/'(%),g'(x),且lim/(%)=limg(x)=0,则

x^ax^a

lim^=limP

②设a>0,先是大于1的正整数，若函数/(x)满足：对任意xG[0,a],均有fO)>成立，-S.lim/(x)=0,

则称函数人久)为区间[0,a]上的左阶无穷递降函数.

结合以上两个信息，回答下列问题：

(1)试判断,0)=必—3x是否为区间[0,3]上的2阶无穷递降函数；

1

(2)计算:lim(l+x)x；

⑶证明：(三)Vcos%,xe(TI,|n).

【变式6-3](23-24高二下•广东珠海•期末)在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的

问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近

数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛

必达法则

该法则表述为：“设函数/(久)，或久)满足下列条件：

=0,limg(x)=0；

x->ax->a

②在点a处函数/(%)和g(%)的图像是连续且光滑的，即函数/(%)和g(%)在点a处存在导数；

③lim尊=4其中/是某固定实数；

xiag(%)

则1而螟=lim里=A"

那么，假设有函数/(%)=ex,g(x)=tx+1.

(1)若/(%)>g(%)恒成立，求t的取值范围；

(2)证明：ex-Inx>2.

【题型7双变量的恒(能)成立问题】

【例7】(2023・四川泸州,一模)已知函数/(%)=ax+1-的图像在％=1处的切线与直线％-y=0平

行.

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若%2€(。，+8),且；q>%2时，/(%1)-/(%2)>血(/一看)，求实数冽的取值范围.

【变式7-1](2023・四川自贡•二模)已知函数/(%)=ae久一％2有两个极值点%1、

(1)求a的取值范围；

(2)若％223%1时，不等式％1+A%2>2%1%2恒成立，求a的最小值.

【变式7-2](2024•全国•二模)已知函数f(%)=%ln%-务2一%+Q(QER),/'(%)为f(%)的导函数.

(1)当。=：时，若g(%)=/'(%)在[匕七+l](t>0)上的最大值为h(t),求W);

(2)已知第1，%2是函数/(X)的两个极值点，且％1<%2，若不等式屋+租<久皆恒成立，求正数机的取值范围.

【变式7-3](2023・河南•二模)已知函数/(%)=gm/+(7n一1)%一]n%(m€R),。(%)=%2一5+1

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)当m>0时，若对于任意的％1G(0,+8),总存在％2G[1,+oo),使得/(%i)>g(%2)，求机的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024・陕西・模拟预测)当X>0时，好.已4%一21n%2a%+1恒成立，则实数a最大值为()

44

A.-B.4C.4D.8

ee

2.(2024•陕西安康•模拟预测)若存在％C(0,+8),使得不等式4%4+%之e。/+iMjv成立，则实数。的取

值范围为()

A•底,+°°)B.g,+co)C.(-co,l]D.(-coi]

3.(2024•河南•模拟预测)已知4>0,对任意的久>1,不等式e?西一(lneE)lnX之0恒成立，则实数2的取

值范围为()

A.卜+8)B.伎,+8)

C.[2e,+00)D.[e,+8)

4.(2024・广东深圳•模拟预测)已知函数/(%)=aex+ln^-2,若/(%)>0恒成立，则正实数a的取值范

围是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

5.(2024•全国•模拟预测)若关于久的不等式(e-+a%)e。％-1在久W停,1]内有解，则正实数a

的取值范围是()

A.(0,2+21n2]B.[-^,e]C.(0,4]D.[^,e]

f1>0

6.(2024・全国•模拟预测)已知函数“久)=久犷，若不等式八久)>之恒成立，则实数a

心-2)e，-3，K<0"

的取值范围为()

A.(—8,3)B.(6e12,+8)

C."2,3)D.(一832)

7.(2024•重庆•模拟预测)已知函数f(%)=若存在/C(0,1),%2E(-8,0)使得f(%i)=

9(次)，则实数a的取值范围为()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(-1,+8)D.(0,+8)

8.(2023•上海崇明,一模)若存在实数a,b,对任意实数工€[0,1],使得不等式光3一瓶<a%+b4炉+7n

恒成立，则实数冽的取值范围是()

A.曲+8)B•件,+8)c愣+8)D.惇,+8)

二、多选题

9.(2024•新疆一模)设/(%)=(1+x)lnx,g(x)=(a-l)x,若f(%)<g(x)在%e[1,2]上恒成立，则实数a

的值可以是()(附:ln2x0.69)

10.(2024•河南郑州•模拟预测)已知函数/(%)=%cos%-sin%,下列结论中正确的是()

A.函数/(%)在％=]时，取得极小值一1

B.对于V%G[O,TT],/(%)<0恒成立

C.若0<V犯V冗，则包<

X2sin%2

D.若对于VxejoW),不等式a〈等<b恒成立，贝必的最大值为旨b的最小值为1

11.(2024•江苏♦模拟预测)设式<%2)是直线y=a与曲线/(%)=%(1-In%)的两个交点的横坐标，

则()

A.%i%2<eB.>x11nx2

a

C.3a6(0,1),x2—x1>eD.VaG(0,1),x1lnx^+x2>CL

三、填空题

12.(2024•四川成都•三模)若不等式留气??1%-