几何综合题-2022年上海中考数学复习试题分类汇编（解析版）

专题05几何综合题

1.(2021•上海)如图，在四边形ABC®中，ADUBC,AABC=90°,AD=CD,。是对角线NC的中点,

联结BO并延长交边CD或边AD于点E.

（1）当点E在CD上,

①求证：ADACSAOBC；

②若BELCD,求42的值；

BC

(2)若。E=2,OE=3,求CD的长.

【答案】（1）①见解析；②2；（2）1+M或3+M.

3

【详解】（1）①证明：如图1,

图1

AD=CD,

"4C=ZDCA.

ADIIBC,

ADAC=ZACB.

•••BO是RtAABC斜边/。上的中线,

OB=OC,

ZOBC=ZOCB,

ZDAC=ZDCA=ZACB=ZOBC,

NDAC^\OBC；

②解：如图2,若BELCD,

在RtABCE中，ZOCE=ZOCB=NEBC,

NOCE=AOCB=NEBC=30°.

过点。作于点X,

设4D=CD=2m,贝!]=/£>=2m,

在RtADCH中，DC=2m,

CH=m,

BC=BH+CH=3m,

AD2m2

BC3m3'

(2)①如图3,当点E在4。上时，

/./EAO=ABCO,ZAEO=ZCBO,

•.•O是ZC的中点，

OA=OC,

:.AAOE=ACOB⑷S),

/.OB-OE,

四边形/8CE是平行四边形，

又；AABC=90°,

四边形N2CE是矩形.

^AD=CD=x,

■：DE=2,

/.AE=x-2,

•/OE=3,

AC=6,

在RtAACE和RtADCE中，CE2=AC2-AE2,CE2=CD2-DE1,

62-(X-2)2=x2-22,

解得x=l+Jf^,x=1—V19(舍去).

CD=1+V19.

②如图4,当点E在CD上时，AD=CD=x,贝i]C£=x-2,

图4

^OB=OC=m,

■■OE=3,

EB=加+3,

•・•NDACs'OBC,

DCAC

'~oc~^c"

…m~BC'

.oc_x

BC2m

又•・•/EBC=ZOCE,/BEC=ZOEC,

\EOC^\ECB,

.OEEC_OC

…~EC~^B~~CB'

.3_x-2_OC

x—2m+3CB

3_x-2_x

-------=--------=-----，

x-2加+32m

x2-2x

m=----------，

6

2、

将4/7加=-x--—--2-x代/j入i---3-=-x-—--2-,

6x—2m+3

整理得，X2-6X-10=0,

x=3+V19,BKx=3—\/1-9（舍去）.

CD=3+V19.

综合以上可得CD的长为l+M或3+国.

2.（2020•上海）如图，A4BC中，AB=AC,OO是A48C的外接圆,BO的延长线交边AC于点D.

（1）求证：ABAC=2NABD；

（2）当A5CD是等腰三角形时，求的大小；

（3）当40=2,C£>=3时，求边8c的长.

【答案】（1）见解析；（2）67.5。或72。.（3）

2

【详解】（1）证明：连接。N.

图1

­1•AB=AC,

:.AB=AC,

OA1BC,

ZBAO=ZCAO,

OA=OB,

NABD=ZBAO,

ABAC=2NABD.

（2）解：如图2中，延长/。交8c于〃.

A

AABD+ABAC=3ZABD,

•・•AB=AC,

/ABC=ZC,

ZDBC=2ZABD，

•••ZDBC+ZC+/BDC=180°,

...8//5。=180。，

ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,则NCBO=NCZ)B=3N/B。，

/.ZC=4/ABD,

・・•ZDBC+ZC+ZCDB=180。，

.•.10/450=180。，

/BCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,则。与Z重合，这种情形不存在

综上所述，NC的值为67.5。或72。.

(3)如图3中，作ZE//BC交8D的延长线于E

图3

则任=AD2

BCDC3

AC)AJ74

---=---=—,设OB=OA=4。，OH—3a,

OHBH3

•・•BH2=AB2-AH2=OB1-OH2,

.­.25-49。2=16。2一9小，

25

a1

56

BH2=7a2=—

8

.所_5后

4

5/?

BC=2BH=1

2

3.(2019•上海)如图1,AD.5。分别是A45C的内角NA4C、N/5。的平分线，过点/作

图1图2

交的延长线于点E.

(1)求证：/E=」/C；

2

(2)如图2,如果=且助:DE=2:3,求cosNZHC的值；

(3)如果448c是锐角，且AX8C与AADE相似，求N4BC的度数，并直接写出的值.

几双？

【答案】(1)见解析；(2)-；(3)NN8C=30。或45。，鼠坦=2-6或2-0

3SAAR「

【详解】(1)证明：如图1中,

图1

•・•AELAD,

ZDAE=90°,/E=90°-NADE,

•;AD平分NBAC,

ABAD=-ABAC,同理

22

ZADE=ABAD+/DBA,ABAC+ZABC=180°-ZC,

/./ADE=1(ZABC+ABAC}=90°-1zC,

/.ZE=90°-(90°-1zC)=1zC.

(2)解：延长4。交5C于点尸.

图2

•・•AB=AE,

/ABE=ZE,

BE平分ZABC,

ZABE=/EBC,

ZE=ACBE,

/.AE//BCf

RFRJ~)

ZAFB=/EAD=90°,——=——，

AEDE

'：BD:DE=2:3,

BFBF2

cos/ABC-......=-----=—.

ABAE3

(3)•••\ABC与\ADE相似，Z.DAE=90°,

:"ABC中必有一个内角为90。

VZABC是锐角，

ZABC*90°.

①当ABAC=/DAE=90°时，

•1•ZE=-ZC,

2

:.ZABC=ZE=~ZC,

2

ZABC+ZC=90°,

ZABC=30°,此时鼠皿=2-G

②当/C=NONE=90。时，Z£=-ZC=45°,

2

/EDA=45°,

•・•A45C与A4OE相似，

c

ZABC=45°,此时31^=2一板.

StiABC

综上所述，NA8C=30。或45。，=或2-夜.

S\ABC

4.（2018•上海）已知。。的直径N8=2,弦/C与弦2。交于点£.且。D_L/C,垂足为点尸.

（1）如图1,如果/C=2。，求弦/C的长；

（2）如图2,如果E为弦8。的中点，求N48D的余切值；

（3）联结2C、8、/）/,如果5c是。。的内接正〃边形的一边，CZ＞是。。的内接正（〃+4）边形的一边,

求A4c〃的面积.

【答案】（1）G；（2）V2；（3）正匚

2

【详解】（1）•••OD_L/C,

AD=CD,/AFO=90°,

又・；AC=BD,

AC=BDfWflAb+cb=CD+BCf

:.AD=BC,

AD=CD=BC,

ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,

,;AB=2,

：.AO=BO=1,

AF=ZOsinZAOF=lx—,

22

贝！JZC=2Z厂=6；

・・・/5为直径，OD1AC,

ZAFO=ZC=90°,

/.OD/IBC,

/.ND=ZEBC,

•/DE=BE./DEF=/BEC,

\DEF=ABEC(ASA),

BC=DF、EC=EF,

又AO=OB,

.•.O厂是A45C的中位线，

设。尸=£,则BC=。尸=2,,

'：DF=DO-OF=\-t,

1—£二2，,

解得：

3

:.EF=-FC=-AC=—,

243

OB=OD,

ZABD=ND,

2

则cot//BZ)=cot/0=—=^=V2；

EFV2

~T

(3)如图2,

c

图2

VBC是。。的内接正n边形的一边，C。是。。的内接正（«+4）边形的一边,

360

*=当ZAOD=ZCOD=

nH+4

r-j.i360_360

贝I]—+2x------=180,

n〃+4

解得：几=4或-2,-2舍去.

ABOC=90°、ZAOD=ZCOD=45°,

BC=AC=4i,

•・•AAFO=90°，

OF=AOcosZAOF=—

2

则DF=OD-O尸=1-J,

2

11r-y[2y/2—1

S^ACD=-AC-DF=-xy]2x（l-）=2

3

5.（2021•普陀区二模）在梯形/8CD中，ADUBC,ABVBC,40=3,CD=5,cosC=-（如

5

图）.〃■是边BC上一个动点（不与点8、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，0M与射线CD、

射线M4分别相交于点£、F.

（1）设C£=匕，求证：四边形NMCA是平行四边形;

5

（2）联结EM,设ZFMB=AEMC,求CE的长；

（3）以点。为圆心，为半径作圆，。。与。”的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时的半径

长.

【答案】（1）见解析；（2）竺；（3）上或“

533

Q

【详解】(1)证明：如图1中，连接过点〃作MG_LCD于G,则EG=CG=—,

5

...AD=CM,

•・•AD11CM，

二.四边形AMCD是平行四边形.

(2)解：如图2中，过点E作EH_LBC于H,过点M作〃T_LEC于T.

CT=ET,

.•.cosC=^=l

CM5

设EC=6左，贝1JCT=ET=3左，MC=ME=5k,

4?4318]

在RtACEH中，EH=-CE=——k,CH=—EC=­k,

5555

7

:.MH=CM-CH=-k,

5

24

tan4EMH=—，

7

ZFMB=/EMC,

AB424

tan/FMB=-----=------=—,

BMBM7

7

6

29,

CM—BC—BM——=5k,

6

29

；.CE=6k=——.

5

(3)如图3-1中，当公共弦经过点N时，过点。作。于P,则四边形力5尸。是矩形.

;

图3-1

AD=BP=3,

PC3

在RtACDP中，cosC=——二一

CD5

•・•CD=5,

.•.尸C=3,AB=PD=4,

BC=3+3=6,

^CM=AM=x,

在RtAABM中，则有*=42+(6—%)2,

解得x=U,

3

13

的半径为

3

如图3-2中，当公共弦经过点。时，连接MO,MP,过点M作〃NJ_4。于N.

vDM2=MN2+DN2=MP2-DP2,

42+(X-3)2=X2-32,

17

x=—,

3

综上所述，满足条件的的半径为U或1Z.

33

6.(2021•嘉定区二模)已知。。的半径长是5,45是。。的直径，CD是。。的弦.分别过点N、8向

直线”作垂线，垂足分别为E、F.

(1)如图1,当点工、2位于直线CD同侧，求证：CF=DE；

(2)如图2,当点/、8位于直线CO两侧，ZBAE=30°,且AE=2BF,求弦CD的长；

(3)设弦CD的长为/,线段NE的长为相，线段3尸的长为"，探究/与仅、"之间的数量关系，并用含

m、〃的代数式表示/.

•o

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】（1）证明：如图1中，连接过点。作尸于

图1

•:BF1EF,AE1EF,OHLEF,

BF//OH//AE,

•・•OA=OB,

:.HF=HE,

OHLCD,

CH=DH,

CF=DE,

(2)连接O。，过点。作于“，设48交CD于J.

B

图2

•・•BFLCD,AEVCD,

/.ZBFJ=NAEJ=90°,

••・ZBJF=ZAJE,

/.\BFJ^\AEJ,

.BJ_BF

…^4J~^4E~2'

:.BJ=-AB=—,

33

:.OJ=OB-BJ=5--=-,

33

•・•OH11AE,

ZJOH=/BAE=30°,

OH=OJcos30°=-x—=f

326

:.CD=2DH=^^~.

3

(3)如图1,当点/、8位于直线CD同侧时，・;OH=g(BF+AE)=+呜,

在RtAODH中，OD2=OH2+DH2,

/.52=-(m+n)2+-12

44f

/.(m+n)2+l2=100,

/.I—J100-(9+“A

如图2中，当点/、8位于直线CD两侧时，=力

2

在RtAODH中，OD2=OH2+DH2,

52=-(m-n)2+-12,

44

二.(加—〃)2+尸=100,

/.I=J100_(加一〃)2

综上所述，/=Jioo-o+")2或/=Jioo-(加-汗.

7.(2021•闵行区二模)如图，在矩形48CD中，AB=4,2C=8,点尸在边上(点尸与端点8、C

不重合)，以尸为圆心，尸8为半径作圆，圆尸与射线3。的另一个交点为点£,直线CE与射线4D交于点

G.点M为线段3E的中点，联结7W.设AP=x,BM=y.

(1)求y关于元的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(2)联结/P,当/P//CE时，求x的值；

(3)如果射线EC与圆尸的另一个公共点为点尸，当ACPF为直角三角形时，求ACPF的面积.

【答案】(1)y=§M/”x<8)；(2)x=—4+2A/14；(3)6

【详解】解：(1)在矩形4BC。中，CD=AB=4,BC=8,ZBCD=90°,

BD="+8?=475,

•••/为弦3E的中点，尸为圆心,

:.PMLBE,ZBMP=90°,

AD//BC,

NPBM=NDBC,

BM

—=cosZDBC,

BPBD

,九：8

・丁薄,

245

..y=X，

5

当点G与点N重合时，则点£为8。中点，此时y=；AD=逐,

由2枝x=逐，得%=*,

52

二.V关于％的函数解析式歹=2^xc|,,x<8)；

(2)如图1,当/P//CE时，则四边形/PCG是平行四边形，AG=PC,

DG=BP=x.

由得BE=£^~X,DE=A45-^-X

555

•「DG!IBC

^DGE^ABCE,

46一逑％

DGDEm5

BCBE4^5x

-----x

5

x_5-x

8x'

整理，得12+8x—40=0,解得玉=—4+2jiZ,x2=—4—2V14(不符合题意，舍去).

x-—4+2J14.

(3)如图2,若N尸尸。=90。，则点尸与点E重合，不符合题意；

如图3,当N尸C尸=90。时，则点£与点。重合，此时尸gx4A6=2指，

由~~~x=2^5,得x=5,

.•.尸。=8—5=3,CF=CD=4,

・••SbcPF=；x3x4=6；

如图4,当NC尸尸=90。时，过点£作£0，5c交5C的延长线于点。，

在5C边上取一点“，连接使DH=BH,

由图3得，当点£与点。重合时，则点。与图4中的点〃重合，此时，CH=3,DH=5,

:.CH:CD:DH=3:4:5,

•/ZEPQ=ZDHC=2ZDBC,ZQ=ZDCH=90°,

A£*尸0sAz,

PQ:EQ:PE=3:4:5,

PE=BP=PF=x,

43

EQ=—x,PQ=­x

-PF11EQ.

NCPFsNCQE,

CPPFx5

诙二函二享］

5

5531

,PC=-PQ=-x-x=-x

9953

8—x=-x，

3

解得x=6,

.•.尸C=8—6=2,PF=6,

S“PF=；x2x6=6.

综上所述，AC尸尸的面积为6.

F

D

8.（2021•青浦区二模）已知在半径为2的扇形/O8中，//。8=根。（0＜加”180）,点C是就上的一个动

点，直线/C与直线08相交于点。.

（1）如图1,当0〈机＜90,ASCD是等腰三角形时，求ND的大小（用含7〃的代数式表示）；

（2）如图2,当他=90点C是石的中点时，联结48,求黑也的值：

SMSC

（3）将就沿NC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点£,且OE=1时，求线段

的长.

图1图2备用图

【答案】⑴力崂；（2）2+亚；（3）&平或逐一平,

【详解】解：（1）C在弧线上,

.•.NO8C为锐角，

.〔NCAD为钝角，

则ABCD是等腰三角形时，仅有BC=BD这一种情况,

.­.ZD=ZBCD,

连接。。则OA=OC=OB,

ZOAC=AOCA,NOCD=NOBC,

ZOBC=ZD+/BCD=2ND,

在AOCD中，ZCOD+2ND+2ZD=180°,

ZAOC=m°-ZCOD=m0+4ZD-180°,

:.ZAOC=^x(180°-ZAOC)

=180°--------2ZD,

2

在ZUOD中，m°+ZOAC+ZD=180°,

.•.180。+——ZD=180°,

2

图1

(2)过。作延长线于"，连接OC,

・.・C为盛中点，

:.AC=BC,

ABAC=/ABC且40=CO=BO,

ZOAC=/OCA=ZOCB=ZOBC,

NACO+ABCO=；x(360°-90°)=135。，

/BCD=45°,

/.45°+ZODA=/ABC+/ABD=45°+AABC,

AABC=ZADO=ABAC,

BD=AB=2V2（勾股定理），

BM=DM=2（/MBD=NOBA=45°,；.BM=DM）,

AM=AB+BM=7.42+2,

AN=-AB=42,

2

又一；CNLAB,DMVAB,

\ANCs\AMD,

.CNAN

"DM~AM'

；

^SIL=^-=2+42

S.BCAN

(3)图2如下：

•••E为弧线AEC与08切点，

：.A.E、C在半径为2的另一个圆上,

O'E=1,OE=\,

OO'=45（勾股定理），

又•.Q=OC=2,O'A=O'C=2,

四边形/oco,是菱形，

AC1OO'_aAC＞互相平分,

且/OOE共角，

△O'OE^KDOP,

DPop1

=-B.OP=-OO,

O'EOE2

OP=45,

AP=（RtAAPOf的勾股定理）

E为弧线/£C与50的延长线的切点时，同理可得指—4.

2

综上所述：为石+巫或行-叵.

22

9.（2021•崇明区二模）如图1,在矩形Z5C。中，点E是边CD的中点，点厂在边4。上，EF1BD,垂

足为G.

（1）如图2,当矩形/BCD为正方形时，求出的值；

GB

（2）如果变=l，AF=x,AB=y,求y与x的函数关系式，并写出函数定义域;

GB5

（3）如果AB=4cm,以点A为圆心，3cm长为半径的。2与以点B为圆心的OB外切.以点F为圆心的OF

与°”、02都内切.求府的值.

【答案】⑴5⑵y叶,函数定义域为一＞。；（3）N

【详解】（1）如图，延长尸£交8C的延长线于点

D

设正方形/5CD的边长为左，

则=CD=4。=左，

•.•E为CQ中点，

:.DE=CE=-k，

2

•・•正方形/BCD中，ZADC=90°,/BDC=L/ADC,

2

ZBDC=45°,

•・•EFLBD,

/DEF=45°,

ZDFE=45°,

：.DF=DE=-k,

2

•・•正方形/5CD中，AD//BC,

DFDE1

-----=-----=i,

,CMEC

CM=DF=-k,

2

•・•AD//BC,

DGDF2£

；

GBBM3

k+-k

2

(2)如图，延长FE交5C的延长线于

D

设。尸=q,贝!JCAI=Q,

_DGDFDG_1

BM=5a,BC=4。，

/.AF=x=3。，

1

a=—x，

3

二.DF=—x,

3

AB=y,

:.DE=-y,

2

•・・N/QC=90。，EF工BD,

ZADB=/DEF,

tanZ.ADB=tan/DEF,

.ABDF

…~AD~^E"

y=—x,

9

,/x>0,y>0,

.•.V与X的函数关系式为了=平，

函数定义域为：x>0；

(3)设。尸的半径为“小，则根据题意得:

QB的半径为1”?,

AF=|r—3|cm,BF=|z--l|cm,

•.•矩形NBC。中，NN=90。，

AF2+AB2=BF2,

：.(r-3)2+42=(r-l)2,

:.r=6,

即。尸的半径为6cm,

/.AF=3cm，

,/tanZADB=tan/DEF,

4AD-3

~AD~2

AD2-3AD-8=0,

3=2±四或/D=三画(舍去)，

22

3+V41

,DGDF2741-34T

"GB~BM~3+V413+741/82

-----------1-------------3

22

10.（2021•松江区二模）如图，己知在A/43C中，BC>AB,BD平分NABC,交边NC于点D,E是

8c边上一点，且BE=BA,过点N作/G//DE,分别交2D、8c于点/、G,联结FE.

（1）求证：四边形AFED是菱形；

（2）求证：AB2=BGBC；

（3）若4B=AC,BG=CE,联结求也”的值.

【详解】解：（1）证明：如图,

:BD平分NABC,

NABF=ZEBF，

...BA=BE,BF=BF,

...AABF=AEBF(SAS),

AF=EF,

同理可得=AEBD(SAS),

:.AD=ED,ZADB=ZEDB,

-AG//DE,

ZAFD=/EDF,

ZAFD=ZADF,

AF=AD,

AF=FE=ED=DA,

四边形4尸£。是菱形.

(2)证明：由(1)得AABF二AEBF,

/./BAG=ZBEF,

・・•四边形/尸£。是菱形，

/.AD//FE.

/BEF=ZC,

/BAG=ZC,

•/ZABG=/CBA,

・•.AABGSACBA,

BPAB2=BGBC.

BCAB

(3)由(2)得，AABGs^CBA,AB=AC,

:.AG=BG,

/GAB=/GBA,

ZAGC=2ZGAB,

•・•BG=CE,

BE=CG,

...CG=CA,

.../CAG=/CGA,

•・•/CAG=2/DAE,

NDAE=/ABC,

/DEA=ZACB,

:.M)AE^\ABC,

.S*DE_(4E2

.•一—茄'

vAB1=BGBC,AB=BE,BG=EC,

:.BE2=ECBC,

二.点石是5C的黄金分割点，

BEV5-1

••-9

BC2

CE3-V5

----=---------,

BC2

•・•/EAC=ZC,

CE=AE,

AE3-V5

/.——=--------,

BC2

.^\ADE_73A/5

S/iABC2

3

11.。021•虹口区二模)在RtAABC中，AABC=90°,tan/=—,NC=5,点M是射线48上一点，以MC

4

为半径的。A/交直线AC于点D.

(1)如图，当MC=/C时，求CD的长；

(2)当点。在线段4C的延长线上时，设四边形C2MD的面积为y,求y关于x的函数解析式,

并写出它的定义域；

(3)如果直线与射线8C相交于点E,且/\£。£)与AEMC相似，求线段2M的长.

C

备用图

14

【答案】（1）—;（2）见解析；（3）6

5

3

【详解】解：在RtAABC中，tan4=—,AC=5.设44=。，

4

34

贝!]5C=3,AB=4=BM,sin/=—=sina,cosA=—=cosa,

55

•:MC=MD,贝!JCN=」CZ),

2

324

在RtAAMN中，ACV=^A/sin^=(4+4)x-=y,

则CD=2CN=2dMe2-MN。=21-(千=y;

(2)如图1,设CD=2m,贝！]。初2=3。2+也2=9+%2,

贝U=CM2-相2=x2+9-nr,

在RtAAMN中,AN2+MN2=AM2,

BP(5+m)2+9+x2-m2=(4+x)2,解得m=j(4x-9),

则MN=.2-9-^(4x-9)2=|(x+4)；

ii3

则S=—CQ・TW+—X/AT8C=——(8X2+39X—72)；

2250

,/m=：(4x-9)>0,

9

x>一；

4

(3)①当点/在点8的右侧时，

如图2,过点M作MN_LCD于点N,过点尸作PD_LCW于点尸,

E

•・•\ECD与\EMC相似，则/ECD=/EMC=/ACB=a,

在RtADPM中，DP=DMsinZEMC=rsina=—r,MP=rcosa=—r,

55

贝！)。尸=尸_"?=尸_3/=2/,CD=yjDP2+CP2=^-r=2CN,

555

：.MN=yJr2-CN2=^-r,

5

275

,/tanA=理丫=-5,解得r=3加,

ANq

5H-----r

5

贝UBM=4r2-BC1=J(3后-3?=6；

②当点M在3c的左侧时,

如图3,过点M•作MNJ_Cr）于点N,过点尸作PD_LCM于点尸，

•••\ECD与AEMC相似，贝！IZECD=ZEMC=NACB=a,

43

在RtADPM中，DP-DMsinZ.EMC=rsina=—r,MP=rcoscr=—r,

55

贝！）。尸二/一物＞=尸+3/=§/,CD7DP?+cp2=^-r=2CN,

555

MN=yjr2-CN2=—r,

5

MN£3

,/tanCAB=-----

AN4

解得r=—A/5,

2

则=J/—g=3；

、2

综上，MB为6或—.

2

12.(2021•长宁区二模)已知半圆。的直径/8=4,点C、。在半圆。上(点C与点。不重合),

ZCOB=ZDBO,弦8。与半径OC相交于点E,CHLAB,垂足为点X,CH交弦BD于点、F.

(1)如图1,当点。是就的中点时，求/CO8的度数；

CF

(2)如图2,设O〃=x,—=y,求y关于x函数解析式，并写出定义域;

(3)联结。。、OF,如果ADO尸是等腰三角形，求线段的长.

【答案】(1)36°；(2)y=^4-x2(l<x<2)；(3)刃一1或0

【详解】解：⑴如图1中，连接BC.

D

•・•AD=CD,

...AABD=ADBC，

•••ZCOB=/ABD,

ZOBC=2ZCOB,

^ZCOB=x,

OB=OC,

ZOCB=/OBC=2x,

•・•/COB+ZOCB+ZOBC=180。，

x+2x+2x=180°,

/.x=36°,

ZCOB=36°.

(2)如图2中，过点E作E/_LC产于J.

D

/CHO=ZCHB=90°,

•・•/COB+NC=90°,/ABD+ZHFB=90°,

ZC=AHFB,

•・•ZHFB=ZCFE,

ZC=ZCFE,

EC=EF,

EJLCF,

:.CJ=JF,

OC=2,OH=x,

;.CH=422—x?="f,

'：EJ//OH,

.ECCJ

'~OC~~CH'

CJCH

~CE~~OC'

2CJ__2CH_

~CE~OC

CF_2^4-x2

~CE~2~~

y=A/4-X2(1<x<2).

(3)如图3—1中，当万尸。时,

D

图3-1

•・•FD=FO,0D=OB,

.../D=ZFOD=/B,

•・•AEOB=NB,

ZD=ZDOF=/B=ZEOC,

"DO=\EOBQSA),

FD=FO=EO=EB,

没FD=FO=EO=EB=x,贝IEC=£产=2—x,BF=2x-2,BD=3x—2,

•/NDOB^\BEO,

BDOB

OBBE

3x-2_2

2x

匕普或匕普(舍弃),

解得X

OF2-OH2=BF2-BH2,

OF--OH'=BF1-(2-OH)2,

(1+Jr=J可-4y_40H,

4+

V13-1

...OH=

2

如图3—2中，当DO=DF时,

图3・2

•・•OC=OD,

DF=OC,

♦・•EC=EF,

/.DE=OE,

/D=/DOE,

OD=OB,

ZD=NEBO,

•//COB=AB,

/D=/B=ZEOB=/DOE=45°,

•・•CHLOB,

AOCH是等腰直角三角形，

:.OH=—OC=42,

2

综上所述，的值为小二!■或行.

2

13.(2021•黄浦区二模)如图，ND是A42C的角平分线，过点C作/。的垂线交边于点E,垂足为点

O,连接DE.

(1)求证：DE=DC

(2)当N/C8=90。，且ABDE与A48C的面积比为1:3时，求C£:4D的值；

(3)是否存在AA8C能使CE为A42c边上的中线，且CE=ND?如果能，请用NC48的某个三角比

的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由.

D

o

B

备用图

【答案】⑴见解析；⑵,⑶见解析

【详解】解：⑴•・・4。是角平分线,

ZCAO=ZEAO.

又•・•CE±AD，

ZCOA=ZEOA=90°.

5LAO=AO,

,AAOC=AAOE(ASA)

:.AC=AE.

在A4C。与A4EZ)中，

AC=AE,ACAD=ZOAD,AD=AD,

,\ACD=\AED(SAS),

/.DE=DC

(2)A5■与A4BC的面积比为1:3,

•/\ACD=\AED,

\BDE、\ACD与\AED的面积均相等.

:.BE=AE=AC,又ZACB=9。。,

/ABC=30°,

/.ABAC=60°,

.•.A4CE为等边三角形，

CE=AC.

在根。。中，NACD=90。，ZCAD=-ZCAB=30°,

2

AD~2

噬T

(3)存在这样的三角形,

如图，作EF//AD交BC于点F,

则变二能」EFBE

EFCE2~AD~^A~2

•・•AD=CE,

令4D=CE=8k,贝ljOE=OC=4k,OD=2k,OA=6k,

在RtAAOC中，根据勾股定理，得

AC=yJo^+OA2=,

...AE=lyfnk.

如图，作于点”，

AECH+ACEH=90°,

•/ZOAE+ACEH=90°,

/.ZECH=NOAE,

•・•/OAE=ZOAC,

ZECH=ZOAC,

ZCHE=ZAOC=90°,

\CEH^\ACO,

.CHCEHE

'~6A~~AC~~CB'

.3_24后7

..CH—3kx-.——--------k,

V1313

2_16V13,

EH=okx--===--------k,

V1313

AH=AE-EH,

g16M10V13.

/.AH=2VI3Ar---------k=---------k,

1313

在RtAACH中，tanZCAB=——二一.

AH5

3

14.(2021•杨浦区二模)如图，已知0是/A4c的边/C上一点，NQ=15,cotABAC=-,点尸是射线

4

上一点，联结尸。，。。经过点N且与。尸相切于点尸，与边/C相交于另一点。.

(1)当圆心O在射线48上时，求。。的半径;

3

(2)当圆心O到直线的距离为士时，求线段NP的长；

4

(3)试讨论以线段尸。长为半径的。尸与。。的位置关系，并写出相应的线段/P取值范围.

_备用图

【答案】(1)2；(2)3或9+3月；(3)12<4尸<18

24

•・•点。在尸4上，尸。是OO的切线，

PQ1AP.

Ap3

vcotZPAQ=——=—,

PQ4

「•可以隹?设尸4=3左，PQ=4kf贝|40=5左=15,

...左=3,

:.PA=9,PQ=n,

Q

・•・oo的半径为2.

2

(2)如图2-1中，当点O在射线的上方时，过点。作0KL/5于K,过点。作于".

r,

・・•尸。是。。的切线，

ZPHO=ZOPQ=ZPKQ=90°,

ZOPH+AQPK=90°,ZQPK+ZPQK=90°,

,NPHO^\QKP,

.PHOH

'~QK~~PK'

设P4=2冽，则47/=/W=加，PK=9-2m,

2

・m二♦

…12-9-2冽'

3

解得，加=—或3,

2

经检验，x=士或3是分式方程的解，且符合题意.

2

/.AP=3或6.

9+3而

如图2-2中，当点O在射线48的下方时，同法可得4P