立体几何中的截面、交线问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点19立体几何中的截面、交线问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1截面作图】...........................................................................2

【题型2截面图形的形状判断】.................................................................4

【题型3截面图形的周长或面积问题】..........................................................5

【题型4球的截面问题】.......................................................................6

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题1............................................................................6

【题型6交线长度、轨迹问题】.................................................................7

【题型7截面的范围与最值问题】...............................................................8

►命题规律

1、立体几何中的截面、交线问题

“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素,

给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面

积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

►方法技巧总结

【知识点1立体几何中的截面问题】

1.作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找

交线的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直

线的平行线找到几何体与截面的交线.

2.球的截面

(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：d=.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为七以。，为圆心的截面的半径

为r,。。=〃贝!|在尺以。。。中，有=即衣2="+/.

【知识点2立体几何中的截面、交线问题的解题策略】

1.立体几何截面问题的求解方法

(1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解.

(2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关

线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解.

2.截面、交线问题的解题策略

(1)作截面应遵循的三个原则：

①在同一平面上的两点可引直线；

②凡是相交的直线都要画出它们的交点；

③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：

①利用基本事实3作交线；

②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

►举一反三

【题型1截面作图】

【例1】(2024•河南新乡•三模)在如图所示的几何体中，DE||AC,AC_L平面BCD,4C=2DE=4,BC=2,

DC=1,乙BCD=60°.

(2)过点。作一平行于平面4BE的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面4BE之间的几何

体的体积.

【变式1-1]（2024高一下•广东佛山•竞赛）如图，在正方体ABC。—43也1。1中，瓦尸分别为棱4艮Cg

的中点.

（1）请在正方体的表面完整作出过点及工小的截面.（只需写出作图过程，不用证明）

（2）请求出截面分正方体上下两部分的体积之比.

【变式1-2]（2023•贵州•模拟预测）矩形48C£＞中，AB=曲,AD=1（如图1）,将△沿NC折到△

⑴证明：AD11BC；

（2）过ZE的平面与8c平行，作出该平面截三棱锥久-ABC所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所

得两部分的体积分别为匕,匕,匕＜V2,求点.

【变式1-3］（23-24高一下•河北廊坊•阶段练习）如图正方体力BCD-4/1的。1的棱长为2,E是线段A4

的中点，平面a过点小、C、E.

（1）画出平面a截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；

⑵求（1）中截面多边形的面积；

（3）平面a截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值.

【题型2截面图形的形状判断】

【例2】（2024•四川达州・二模）如图，在正方体力BCD—4B1QD1中，E为4B中点，P为线段的小上一动

点，过D,E,P的平面截正方体的截面图形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【变式2-1］（2024•河南•模拟预测）在正方体4BCD-4中,M,N分别为的小的中点，过跖

N,%三点的平面截正方体ABCD-481的。1所得的截面形状为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

【变式2-2］（2024•全国•模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底

面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）

【变式2-3］（2024•江西•模拟预测）已知在长方体48。。一481的。1中，AB=BB1=2BC,点、P,Q,T

分别在棱BBi，CCi和4B上，且/P=38P,CQ=3£Q,BT=3AT,则平面PQT截长方体所得的截面形状

为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【题型3截面图形的周长或面积问题】

【例3】（2024•云南曲靖・模拟预测）正方体4BCD-41%的。1外接球的体积为4V3TT,E、F,G分别为棱44、

&/、的中点，则平面EFG截球的截面面积为（）

A.空B.如C.空D.2

3333

【变式3-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-力道1的。1中，E为棱2C的中点,

用过点公,E,的的平面截正方体，则截面周长为（）

A.3V2+2V5B.9C.2&+2有D.3近+2百

【变式3-2］（2024•江苏南通•二模）在棱长为2的正方体力BCD—&B1C1D1中，P,Q,R分别为棱BC,CD,

CCi的中点，平面PQR截正方体A8CD-4%的。1外接球所得的截面面积为（）

A5「8八35c2V15

A.-TlB.-TlC.——TTD.------1T

3333

【变式3-3］（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知正方体2BCD-4/1的。1的棱长为4,M为棱DC的中点，N

为侧面BCi的中心，过点M的平面a垂直于DN,则平面a截正方体4cl所得的截面面积为（）

A.4（V5+V2）B.2V3

C.5V3D.4V6

【题型4球的截面问题】

【例4】（2024・四川资阳・二模）已知球。的体积为带二点/到球心。的距离为3,则过点工的平面a被

球。所截的截面面积的最小值是（）

A.9irB.12TlC.16nD.20Tl

【变式4-1］（2024•四川自贡・三模）已知球。半径为4,圆01与圆。2为球体的两个截面圆，它们的公共弦

长为4,若|。。/=3,|。。21=百，则两截面圆的圆心距|0。2|=（）

A.V3B.手C.3+V3D.2V3

【变式4-2］（2024•陕西榆林•一模）已知”是球。的直径力B上一点，AH-.HB=1:2,AB1平面a,"为垂足,

a截球。所得截面的面积为mM为a上的一点，且=乎，过点M作球。的截面，则所得的截面面积最小的

圆的半径为（）

A.坦B.巫C・坦D.巫

2442

【变式4-3］（2024•广东广州•模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球

被一个棱长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长

为4m则球的体积为（）

200南

,333■-3-

【题型5截面切割几何体的体积、表面积问题】

【例5】（2024•安徽蚌埠•模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为4cm和6cm,AAt,BBi为

圆台的两条母线，截面力与下底面所成的夹角大小为60。，且O0劣弧力渣1的弧长为号cm,则三棱台

48。一为九。1的体积为（）

A.-ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【变式5-1］（2024•上海普陀・二模）若一个圆锥的体积为雪，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的

截面三角形的顶角为会则该圆锥的侧面积为（）

A.V2TTB.2TTC.2V2TTD.4&兀

【变式5-2］（2024•河南开封•二模）已知经过圆锥S。的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥

SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【变式5-3］（2024•江西赣州•一模）在棱长为1的正方体力BCD-4/1的。1中，E为棱4。的中点，过当且

平行于平面4BE的平面截正方体所得截面面积为（）

A.当B.-C.V6D.2V6

24

【题型6交线长度、轨迹问题】

［例6］（2025•广东广州•模拟预测）在正六棱柱4BCDEF—&B1C1D1E1F1中，AAt=2AB=6,。为棱力公

的中点，以。为球心，6为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（）

A.（3+V3）TTB.（6+V3）TTC.（3+2遮）nD.（6+2V3）ir

【变式6-1］（2023•河南•模拟预测）如图，在三棱锥力—BCD中，4B,两两垂直，且4B=AC=AD=3,

以2为球心，伤为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）

A.2V3TTB.V3TTc—D.亨

【变式6-2］（2024•全国•模拟预测）己知正四棱锥P-4BCD的体积为手，底面ABCD的四个顶点在经过球

心的截面圆上，顶点P在球。的球面上，点E为底面A8CD上一动点，PE与P。所成角为！则点E的轨迹长度

为（）

A.V2TTB.4伍C.等D.乎IT

【变式6-3］（2024•河南•二模）已知四面体力BCD的各个面均为全等的等腰三角形，且C4=CB=24B=4.

设E为空间内一点，且A,B,C,D,E五点在同一个球面上，若AE=2W,则点E的轨迹长度为（）

A.nB.2KC.3iiD.4H

【题型7截面的范围与最值问题】

【例7】（2024•江苏南京•模拟预测）已知S6=2,底面半径。遇=4的圆锥内接于球。，则经过S和。M

中点的平面截球。所得截面面积的最小值为（）

252525

A.—71B.—nC.—nD.5冗

234

【变式7-1］（2024・重庆渝中•模拟预测）在三棱锥尸一4BC中，/C=BC=PC=2,且AC1BCfPC，平面ABC,

过点尸作截面分别交AC,BC于点瓦F,且二面角P-EF-C的平面角为60。，则所得截面PEF的面积最小值为

（）

A.-B.-C.-D.1

333

【变式7-2］（2024・四川•模拟预测）设正方体4BCD-4/C1D1的棱长为1,.片直线&C垂直的平面a截该

正方体所得的截面多边形为M,则M的面积的最大值为（）

A.-V3B.-V3C.—D.V3

842

【变式7-3］（2024•四川•一模）设正方体4BCD-&81的。1的棱长为1,与直线&C垂直的平面a截该正方

体所得的截面多边形为则下列结论正确的是（）.

A.M必为三角形B.M可以是四边形

C.M的周长没有最大值D.M的面积存在最大值

►过关测试

一、单选题

1.（2024•河北•模拟预测）过圆锥P。高的中点。作平行于底面的截面，则截面分圆锥PO上部分圆锥与下部

分圆台体积比为（）

2.（2024・全国•模拟预测）已知正方体4BCD-中，点E是线段BBi上靠近Bi的三等分点，点尸是

线段小的上靠近小的三等分点，则平面截正方体力BCD-aB1C1D1形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）己知正三棱锥4-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱AB=2V3,

点E在线段BD上，且BE=DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

A.2nB.丁C.3nD.4n

4.（2024•广东江门•模拟预测）沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.沙漏由两个完全一样的圆锥和一

个狭窄的连接管道组成，通过充满了沙子的玻璃圆锥从上面穿过狭窄的管道流入底部玻璃圆锥所需要的时

间来对时间进行测量西方发现最早的沙漏大约在公元1100年，比我国的沙漏出现要晚.时钟问世之后，沙

漏完成了它的历史使命.现代沙漏可以用来助眠.经科学认证，人类的健康入睡时间是15分钟，沙漏式伴睡

灯便是一个15分钟的计时器.它将古老的计时沙漏与现代夜灯巧妙结合，随着沙粒从缝隙中滑下，下部的

灯光逐渐被沙子掩埋，直到15分钟后沙粒全部流光，柔和的灯光完全覆盖.就这样，宁静的夜晚，听着沙

粒窸窸窣窣的声音，仿佛一首缓缓流动的安眠曲如图，一件沙漏工艺品，上下两部分可近似看成完全一样

的圆锥，测得圆锥底面圆的直径为10cm,沙漏的高（下底面圆心的距离）为8cm,通过圆锥的顶点作沙漏

截面，则截面面积最大为（）

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

5.（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在正方体力BCD-41%的。1中，5尸分别为棱力B,4D的中点,过瓦尸,的

三点作该正方体的截面，则（）

A.该截面是四边形

B.4C1平面

C.平面ABiA〃平面CiEF

D.该截面与棱8%的交点是棱BBi的一个三等分点

6.（2024•河南•模拟预测）如图，已知直三棱柱4BC—&BiCi的体积为4,ACLBC,AC=BC=CC1；D

为/Ci的中点，E为线段NC上的动点（含端点），则平面截直三棱柱力BC-4/1的所得的截面面积

的取值范围为（）

7.（2024•全国•模拟预测）在正方体4BCD-4/1的。1中，E,尸分别为棱4/1，£＞小的中点，过直线M

的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为s,最大值为S,则9=（）

S

A.当B.|C.fD.|

8.（2024•山东枣庄•一模）在侧棱长为2的正三棱锥A-BCD中，点E为线段BC上一点，且ADJL力E,则以

4为球心，夜为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（）

A.学B.伍C.唱D.3伍

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）在三棱锥P-4BC中，△A8C与△P4C是全等的等腰直角三角形，平面PAC1平

面ABC,4C=2,。为线段4C的中点.过点D作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（）

A.nB.2TIC.4nD.5Ti

10.（2024•浙江杭州•模拟预测）已知正四面体P-ABC,过点P的平面将四面体的体积平分，则下列命题

正确的是（）

A.截面一定是锐角三角形B.截面可以是等边三角形

C.截面可能为直角三角形D.截面为等腰三角形的有6个

11.（2024•湖北荆州•三模）如图，正八面体E-4BCD-F棱长为2.下列说法正确的是（）

B.当尸为棱EC的中点时，正八面体表面从尸点到P点的最短距离为V7

C.若点P为棱£8上的动点，则三棱锥F-力DP的体积为定值g

D.以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为誓

三、填空题

12.（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，在棱长为2的正四面体力BCD中，M,N分别为棱力D,BC的中点，。

为线段MN的中点，球。的表面与线段4D相切于点M,则球。被正四面体4BCD表面截得的截面周长为.

C

13.（2024•山东日照•一模）已知正四棱锥S—4BCD的所有棱长都为2；点£在侧棱SC上，过点E且垂直

于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形〃，则〃的边数至多为,〃的面积的最大值为.

s

E

AB

14.（2024•陕西安康•模拟预测）在棱长为1的正方体力BCD-4B1C1D1中，过面对角线人小的平面记为a,

以下四个命题：

②若平面a与平面BBiCiC的交线为Z,则存在直线I,使l〃Bg;

③若平面a截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为乎；

④若平面a过点当，点P在线段BQ上运动，则点P到平面A%%的距离为日.

其中真命题的序号为.

四、解答题

15.（2024•陕西榆林•三模）如图是一个半圆柱，DC,AB分别是上、下底面圆的直径，。为4B的中点，且4B=

4D=2,E是半圆而上任一点（不与48重合）.

（1）证明：平面。瓦4平面CEB,并在图中画出