集合与常用逻辑用语、复数、不等式（教师版）-2025年高考数学一轮复习

集合与常用逻辑用语、复数、不等式

（模块综合调研卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合"={。,1,3,5,7,9},/={1,3},5={1,7},则&（/□©=（）

A.{1,3,7}B.{5,9}C.{0,3,5,7,9}D.{0,5,9）

【答案】D

【分析】先求4U8,再根据补集定义即可求解结论.

【详解】集合U={01,3,5,7,9},4={1,3},5={1,7},

.•./U5={1,3,7}，

..（NUB）={0,5,9}

故选：D.

2.命题的否定是（）

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.<0,x2+x-1>0D.<0,x2+x-1<0

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，

即命题“*>0户2+*-1>0"的否定为“也>0,*2斗工-140”.

故选：B.

3.下列命题为真命题的是()

A.若a>b>U,贝!!比2>儿2B.若a>/?>0,则/

C.若。<6<0,贝UQ2<I6D.若〃<6<0,贝

ab

【答案】B

【分析】取。=0,可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小

可判断D.

【详解】对于A：当。二0时，显然不成立，故A错误；

对于B：因为/—〃=(q+6)(〃-6)>0,所以Q?〉/,故B正确;

对于C：因为。<6<0,所以才>ab,故C错误；

对于D：因为4-2=?>0,所以1>1,故D错误.

ababab

故选：B.

4.已知复数z满足於-*-1=技则复数z的共辗复数三()

a1V3.R\N1.n6,1.

A.-------------1D.—|--------1C.-------------1D.---------1—1

22222222

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算化简复数z,由共轨复数的定义即可求解.

V3+i(V3+i)216

【详解】解：由题意，za—9广+丁，

则复数z的共轨复数］

22

故选：A.

5.已知为实数,则"a>b>l"是"("1)(6-1)>0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.

【详解】当a>b>l时，a-l>0且6-1>0,所以("1)(6-1)>。成立,

当"16-1>0时，得，।c或八,八，即a>b>l不一定成立,

所以"。>6>1"是"(a-1)伍-1)>0”的充分不必要条件.

故选：A

6.刘老师沿着某公园的环形道(周长大于1km)按逆时针方向跑步，他从起点出发、并用软件记录了运动

轨迹，他每跑1km,软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数.已知刘老师共跑了11km,恰好回到起点,

前5km的记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】利用环形道的周长与里程数的关系建立不等关系求出周长的范围，再结合跑回原点的长度建立方

程，即可求解.

【详解】设公园的环形道的周长为：，刘老师总共跑的圈数为x,(xeN*),

1</<2

2t<343

则由题意3,>4，所以

4f>5

所以2<-1<一3,因为川=11,所以2彳2<x=1U1<3手3，又无eN*,所以x=8,

3t43t4

即刘老师总共跑的圈数为8.

故选：B

7.复数z=x+yi(x)eR,i为虚数单位)在复平面内对应点Z(x,y),则下列为真命题的是().

A.若|z+l|=|z—l|,则点Z在圆上

B.若|z+l|+|z—l|=2,则点Z在椭圆上

C.若|z+lHz-”=2,则点Z在双曲线上

D.若|x+l|=|z-l|,则点Z在抛物线上

【答案】D

【分析】|z+l|=Jx+1)+y2>|z-1|=-1)~+分别表小点(x,y)与(-1,0)、(L。)之间的距禺，记F、(-1,0),

8(1,0),由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.

【详解】|z+l|=JX+1)2+)2表示点(x,y)与(T,O)之间的距离，

|z_1|=-1)2+)表示点(x,y)与(1,0)之间的距离,记片(-1,0),7s(1,0),

对于A,匕+1|=匕-1|,表示点Z(xj)到片、耳距离相等，则点Z在线段片B的中垂线上，故A错误；

或由（x+l）2+/=（x_l）2+V，整理得无=0,所以点z在x=0,故A错误；

对于B,由|z+l|+|z-l|=2得"|+|Z£卜闺闻=2,这不符合椭圆定义，故B错误；

对于C,若|z+lHz-”=2,区用-区用=忸耳|=2,这不符合双曲线定义，故C错误；

对于D,若|x+l|=|z-l|,则（x+l）2=（x-l『+y2,整理得/=4x,为抛物线，故D正确.

故选：D.

8.对于集合N,B,定义/\8={x|xe/且xgB},则对于集合/={x|x=6〃+5,neN）,

B={y\y=3m+7,z??eN},C=x|xe且x<1000},以下说法正确的是（）

A.若在横线上填入"n”,则C的真子集有2葭-1个.

B.若在横线上填入"U",则C中元素个数大于250.

C.若在横线上填入则C的非空真子集有2153-2个.

D.若在横线上填入"U1",则中元素个数为13.

【答案】B

【分析】根据各个选项确定相应的集合C,然后由集合与子集定义得结论.

【详解】x=6〃+5=3x（2"+l）+2,y=3m+7=3（m+2）+l,集合4台无公共元素，

选项A中，集合C为空集，没有真子集，A错；

选项B中，由6"+5<1000得“<165』，由3m+7C1000得加<331,因此C中元素个数为166+331=497,B

6

正确；

选项C中，C中元素个数为166,非空真子集个数为2谣一2,c错;

选项D中，c^c=cun（^5）=n,而月项（；/,因此其中元素个数为33i个，D错.

故选：B.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知实数对6满足^<3,则下列不等式正确的是（）

7a7b

A.—<vB.a2>b2

ab

1,Q+1a

C.a+-->1D.---->-

Q+1b+1b

【答案】ABC

【分析】根据题意，得到a>Z?>0,结合作差比较法，可判定A正确，D不正确；利用不等式的基本性质,

可得判定B正确；由基本不等式，可判定C正确.

【详解】由不等式可得。>。力>。且即a>。>0,

7a7b

对于A中，由,-5=?<0,所以上<1，所以A正确；

ababab

对于B中，由a>/?>0,根据不等式的性质，可得/>/,所以B正确;

对于C中，由。+~L=(。+1)+□--1>2.(a+l)x—-1=1,

。+1〃+1V〃+1

当且仅当“+1=匕时，即”。时等号成立,

因为所以等号不成立'即所以C正确;

a+1a_b(a+1)-a(b+1)_b-a<。，所以舒哈所以

对于中，由可得则

Da>b>0,I+T~b~6(b+l)-b(b+l)

D错误.

故选：ABC.

10.已知复数4/2/3打足：㈤=El=2,z3=z1+z2=V3+i,若均在复平面内对应的点在第四象限，则以

下结论正确的为（）

A.-z2|=V3B.2zj+z2GRC.z.z=2+2^31D.-=—i

12

z222

【答案】BC

【分析】设复数Z1/2/3在复平面内对应的向量为西，豆，西，依题意可得四边形OZZ3Z2为菱形，且

71

ZZ1OZ3=1,即可求出4、z2,再根据复数代数形式的运算法则计算可得.

【详解】设复数4/2/3在复平面内对应的点分别为Z”Z2，Z3，。为坐标原点，

则复数4,Z2,Z3在复平面内对应的向量为西，区，抽，且|同=|区|=|西|=2,

鬲+西=西，西=（右』），

IT

所以四边形OZZ/2为菱形，且NZQZj=

7TIT

又/Z0Z3=；,OZ3与X轴正半轴所成的角为2，

36

7T

所以。乙与X轴正半轴所成的角为B,所以Z1与Zj关于X轴对称，

所以4=百-i,则为=2i,所以2Z]+z2=2^eR,故B正确；

因为Z1—z?=也—i—2i=V3—3i,所以JI—z?J='（GJ+（-3）~=2>/3,故A错误；

Z|Z?=2i（省-i）=2+2©,故C正确；

，毕与1工半，故D错误.

故选：BC

11.已知a,beR,a2b2+a2+b2=3»则（）

A.a6的最大值为1B.a6的最小值为一1

C.1+占的最小值为4D.2/+〃的最小值为2g-3

⑷I"

【答案】AB

【分析】利用基本不等式的知识，结合特殊值法进行排除即可得到正确答案.

【详解】由于"+/+/=3,^3^a2b2+a2+b2>a2b2+2\ab\,即（9|+3乂回-1）40,解得

0<\ab\<1,gp-l<a/><l,故A和B均正确,

令。=1,6=1,满足题干的式子，但是乙+5=2,故C错误，

1«1也I

o2

将岗2+/+62=3变形可得/=?，所以

a2+l

2a2+b2=2a2+1）+-^-3>2J2（a2+1）-^--3=4>/2-3,

a2+l'）a2+lV'）a2+l

当且仅当/=血_1时等号成立，故D错误，

故选：AB.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.={xeN|log2（x-3）<21,B=则/口3=.

【答案】{4,5,6}

【分析】根据对数不等式求集合/，根据分式不等式求集合3,进而可得/c8.

【详解】若bg2（x-3）42,则0<x-3W4,解得3<xW7,

所以/={xeN|3<xV7}={4,5,6,7}；

(x-3)(x-7)<0^解得ye

若则

X—7wO

所以8={x|3Wx<7}；

所以/ng={4,5,6}.

故答案为：{4,5,6}.

13.王昌龄《从军行》中两句诗为"黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还"，其中后一句中“攻破楼兰"是"返回

家乡”的..条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要"）

【答案】必要不充分

【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可.

【详解】由题意知："攻破楼兰"未必"返回家乡”，充分性不成立；"返回家乡"则必然"攻破楼兰"，必要性成

立;

・「攻破楼兰"是"返回家乡"的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

38

14.函数/'(x)=----2-----1-----2-----（xeR）的最小值

2sinx+13cosx+2

.不心、4910

【答案】

【分析】借助三角函数基本关系与基本不等式计算即可得.

【详解】由sin2x+cos2%=l,

3838

故/(x)=----------1-----------=-----------1-----------

2sin2x+13cos2x+22sin2x+15-3sin2x

916

---•~2-------1----------；-5~

6sinx+310-6sinx

由si/xeN」］,^6sin2x+3>0^10-6sin2x>0,

(6sin2x+3+10-6sin2x

916：

/（无）=----2------1--------2-x--------------------------------

6sinx+310-6sinx13

22

19^10-6sin16(6sinx+3)

9+16+

136sin2x+310-6sin2x

2

9^10-6sinx)16(6sin?x+3)1〜c小49

25+2.——(25+2x12)——

6sin2x+310-6sin2x13v713

7

9(10-6sin2x16(6sin2x+33

当且仅当即sin2、=?时，等号成立.

6sin2x+310-6sin2x7

49

故答案为：—

四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知集合/=卜卜2<尤41},集合2={x|2a-lV尤44+1}.

⑴若xe/是xe8的必要不充分条件，求实数。的取值范围；

（2）若/c3=0,求实数。的取值范围.

[答案]u（2,+”）

⑵（-8,-3]U（1,+8）

【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可;

（2）利用集合间的基本关系计算即可.

【详解】（1）•。三/是》三8的必要不充分条件，

・••B是4的真子集.

①当8=0时，2a-l>a+l=：>a>2,

2a—1Wa+1

②当时，2a-l>-2,解得-；<aVO.

6t+l<1

实数。的取值范围为1-；,0u（2,+x>）.

（2）由Nc2=0,

则①当8=0时，2a-l>a+lna>2,

—1W〃+112a—l«a+l

②当BH0时，可得或，

[a+1«-2[2a—1>1

解得aK-3或1<〃V2.

实数。的取值范围为（-8,_3]口（1,+8）.

16.已知Z]=a+2i/2=3-4i（其中i为虚数单位）.

⑴若气Z2为纯虚数，求实数。的值；

（2）若|z「引〈㈤（其中马是复数Z2的共轨复数），求实数a的取值范围.

【答案】⑴|;

⑵IT

­=。

【分析】⑴利用纯虚数的概念结合复数的运算得到戊6.求解。的值;

25

2

(2)利用复数的模的概念得到归-Z2|=A/(«-3)+4<V774=|Z1|求实数a的取值范围.

……」~4”+2i(a+2i)(3-4i)3a-84a+6.

【详解】(1)由4=a+2i/2=3-41,可得—=4-\C=zr\+

z23-41(3-41)(3+41)2525

9=0

因为五为纯虚数，所以<4^6/解得W；

Z

2-----W0

125

(2)因为z「2=(a+2i)-(3+4i)=(a-3)-2i,所以|z「引=J("3『+4,

2

由|z「可〈㈤，可得，|Z1_J2|=^(a-3)+4<7^74=|zj,解得，fl>|,

故实数。的取值范围为[j,

17.设命题。：Vxe[-1,1],使得不等式x?-2x-3+/w<0恒成立；命题4：*e[0,1],不等式2x-22-3加

成立.

⑴若。为真命题，求实数用的取值范围；

(2)若命题?、乡有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围.

【答案】⑴(-8,0)

(2)(-oo,3]

【分析】(1)若。为真命题，即Vxe[-1,1],使得不等式/一2x-3+加<0成立，则转化对于

2

m<(-x+2x+3)min即可.

2

(2)若4为真命题，即大e[0,l],不等式2x-22布-3加成立，则转化为对于xe[0,1],(2x-2)max>m-3m

即可.

【详解】(1)若。为真命题，即使得不等式f一2x-3+加<0成立，

2

则对于xe[-1,1],m<(-x+2x+3)1nhi即可.

由于xe[-l,l],(-x2+2x+3)mM=0,则加e(-8,0)

(2)若0为真命题，即*e[0,l],不等式2x-22疗一3m成立,

则对于xe[0,1],加即可.

2

由于xe[O,l],2x-2e[-2,0],;.m-3m<0,解得加e[0,3]

m<0(m>0

p、q有且只有一个是真命题，贝IJ/八忒E或八,…

加(0或加)3[0<m<3

解得加e(-8,3].

18.已知实数a,b,c满足a+b+c=l.

1?

⑴若2/+/+Q,求证：0WQW1；

(2)若Q,b,CG(0,+oo),求证：-^―+-^—+-^>-.

'71-a1-b1-c2

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)由题意可得b+c=l-%又1-2/=〃+，，结合基本不等式可得工_2/2匕虫，化简求

222

2

^0<a<-f得证；

(2)法一，由已知条件得金+上汽22,金­匕^=.,同理可得互+土也2人—+—>c,三式

1-a4Vl-a41-b41-c4

相加得证；法二，根据已知条件可得+-6)+(1-c)]=l,所以

>+」+F=:[(l-a)+(l-6)+(l-c)][f+j7+m]，利用柯西不等式求解证明.

1-a1-b1-c2L」(1一〃1-b1-cJ

【详解】(1)因为a+b+c=l,所以6+c=l—a.

因为2/+万+次=1,

2

所以4_2/=62+,22也土£1=。;厂，当且仅当b=c时等号成立，

222

2

整理得5a2一2。V0,所以

(2)解法一：因为a+6+c=l,且a,b,ce(0,+(»),

所以1一。>0,l-Z>>0,l-c>0,所以工+^22/工,

1-a4}ll-a4

同理可得三+匕”b,—+—>c,

1-b41-c4

以上三式相力口得金+工+二2*(4+6+°)-3=1,当且仅当。=6=c=:时等号成立.

1-a1-b1-c4V7423

解法二：因为Q+b+c=l,且Q,b,C£(0,+。),

所以1—Q>0,1—Z?>0,1—c>0,且][(1—a)+(1—6)+(1—c)]=1,

所以七+匕+b2c

±=g[(i_q)+(i_6)+(i—c)]---+----+----

1-a1-b1-c

>—

~2

当且仅当。=6=c=g时等号成立.

19.已知集合/=｛占,超,〃eN*,"23,若xe/,yeA,x+ye/或x-yeN,则称集合/具有

"包容”性.

⑴判断集合｛T123｝和集合｛-1,0,1,2｝是否具有“包容”性；

(2)若集合8=｛l,a,6｝具有"包容"性，求公+/的值;

⑶若集合C具有"包容”性，且集合C的子集有64个，leC,试确定集合C.

【答案】⑴集合｛-1,1,2,3｝不具有“包容”性，集合｛-1,0,1,2｝具有"包容"性

(2)1

(3)｛-2,-1,0,1,2,3｝,11,一；,0,；,1,|"|,,｛-3,-2,-1,0,1,2｝或|—1,-1,一：,