空间向量与立体几何-2025届高中数学一轮复习特训（含解析）

空间向量与立体几何--2025届高中数学一轮复习特训

一、选择题

1.若空间中有三点A（2,0,4）,5（2,4,0）,C（l,4,4）,则点尸（0,0,0）到平面ABC的距离为

（）

A.&B.28C.夜0.272

2.若他,瓦丹是空间中的一组基底，则下列可与向量2+乙。一2｝构成基底的向量是（）

A.方^-a+lbC.方+2ED.c

3.如图，在正方体ABEF-DCE尸中，M,N分别为AC,3歹的中点，则平面

与平面MNB的夹角的余弦值为（）

「20

C.-------

3。・半

4.已知｛£,反斗为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

―►―*―►-*—►-*—*―»-►―»—*—►-►

A.〃—2b,〃—2c,Z?—cB.a+2b-c.a+c,b-c

—►—►―►—►―►―►—►―►―►―►

C.2a,c,b+cD.a-c,b,2a-b-2c

5.鳖席是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖席p—ABC中，以,平面

ABC-AB=BC=PA=2,D,E分别是棱A&PC的中点，点尸是线段DE的中点,

则点口到直线AC的距离是（）

P/

c

AB立C.—D.叵

1484

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3CD是正方形，E是PD的中点，点R满足

CF=2FB.^PA=a,PB=b,PC=c,贝U而=()

P

C.—a——b+—cD.—a——b——c

236236266266

二、多项选择题

7.如图，长方体ABC。-A4Gq中，CQ=C]D]=29G用=1，点尸为线段瓦。上一

点，则不•印的值可以为()

c-lD.2

8.如图,四棱柱ABCD-中,M为CD1的中点，。为C4上靠近点A的五等分点，则

^-2AM^AB+2AD+AA^

__kk3__3_____.

C.AQ=-AB+-AD+-AA^^-5AQ=AB+AD+4AA^

三、填空题

9.在空间直角坐标系中，定义：平面a的一般方程为Ar+gy+Cz+D=O(A,B,

C,DGR,A2+B2+C2^0),点P(Xo，%,Zo)到平面c的距离

djAxQ+ByQ+Cz0+D\则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心。到侧面

222

VA+JB+C

的距离等于.

10.直线/的方向向量为1=(1』,—D，且/过点4(—1,1,1),则点0(0,1,-1)到直线/的距离

为.

11.在空间直角坐标系中已知4(121),5(1,0,2),C(—l,l,4),CD为三角形ABC边A3

上的高，则|CD卜.

四、解答题

12.如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且。6=例=八似=1,PB=2MD,

平面ABC。，PB//DM,点N为PC上的动点.

(1)求证：存在点N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

13.已知两个非零向量口B，在空间任取一点。，作西="而=B，则/A08叫做向

量落5的夹角，记作＜々石＞.定义亍与石的“向量积”为：MxB是一个向量，它与向量

1,5都垂直，它的模版同=同节枷(乙,5＞.如图,在四棱锥尸-ABCD中,底面

A5CD为矩形，尸底面ABCD。尸=ZM=4,E为A。上一点，|而x而|=86-

(1)求AB的长；

(2)若E为AD的中点，求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值;

⑶若"为尸8上一点，且满足而x而=之丽，求囚•

参考答案

1.答案：D

解析：AB=(O,4,^),AC=(-l,4,0),B4=(2,0,4),

设平面ABC的一个法向量为E=(%,y,z),

,\n-AB=Q[4y-4z=0人/日

由《一_.得z〈，令y=1得z=l，x=4,

n-AC=0[-x+4y=0

所以3=(4,1,1),

2x4+4xl

则点P（0,0,0）到平面ABC的距离为隼F=2\/2.

V16+1+1

故选:D.

2.答案：B

解析：由m,反丹是空间中的一组基底，故商,凡两两不共线，

对A:有口=；［2（万+1）+（万-2即，故A错误；

对B:设方+2石="z（万+。+"（2-21）,贝！J有3+2^=（/n+w）a+（m-2n）c,

该方程无解，故a+2b^^a+c,a-2c构成基底，故B正确；

对C:有乙+2C=g［4（&+C）—（〃一2司］,故C错误；

对D:有”;［（G+司—（1一21）］,故D错误.

故选:B.

3.答案：B

解析：设正方体的棱长为1,以3为坐标原点，BA,BE,5c所在直线分别为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系3-孙z,如图所示，

5(0,0,0).

设平面AMN的法向量为4=(x,y,z),

%•AM-0,

由于:W=，丽=--0,则V

n}・AN=0,

11

——％+一z=0,

即|22

11八

——x+—y=0,

I22，

令x=l,解得y=l,z=l,于是〃i=(1,1,1),

同理可求得平面的一个法向量为〃2=(L-L-D，所以

/、%-11

侬所小胡甲用丁一屋

设平面MW4与平面MNB的夹角为，，则85。=卜05〈4,〃2〉|=；.故所求两平面夹角的

余弦值为L故选B.

3

4.答案：C

解析：b—c=5(a—2c)—](a—20,A错误.a+2b—c=a+c+2仅一c),B错误.易得

2—"三个向量不共面,C正确.2Z—B—2]=2(Z—今―B,D错误.

5.答案：B

解析：

zp，

因为AB=5C，且△ABC是直角三角形，

所以AB_L5C.以3为原点，

分别以前，丽的方向为％，V轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系3-孙z.

因为AB=5C=K4=2，

所以A（0,2,0）,C（2,0,0）,D（O,1,O）»£（1,1,1），

则又=（2,-2,0），〃=g,-l,g）.故点R到直线AC的距离

故点口到直线AC的距离是逅.

4

6.答案：C

解析：由题意知而=西-丽=,丽-（无+的

2

1,__9__________►1__.__.2__.__.

=-（PB+BD）-PC——CB=-（BD+PBk）-PC——（PB-PC）

2323

=-（BA+BC）--PC--PB

236

=-（PA-PB+PC-PB）--PC--PB

236

1.7—■1.

=-PA——PB+-PC

266

故选C.

7.答案：BD

解析：以点G为坐标原点，分别以G。、G用、GC所在直线为X、y、z轴建立如下

图所示的空间直角坐标系，

则(0,0,0)、2(2,0,0)、C(0,0,2)、4(0,1,0),

设耶=2鸵=彳(0,-1,2)=(0,—42彳)，其中0W4W1,

则于=竭+肝=(0,1,0)+(0,—424)=(0,1—424),

Z^P=Z^q+QP=(-2,0,0)+(0,1-2,22)=(-2,1-2,22),

所以，qP-^P=(l-2)2+422=522-22+1=5^2-1^|+|,

因为0W4W1,则—工＜2—所以，＜—,

555L5J25

所以，CP-OP=5[A--]+-ef-,41,

I5[5」

故选：BD.

8.答案：BD

解析

AM=AB+BC+CM=AB+AD+^CD+Cq")

=AB+AD--AB+-AA=-AB+AD+-AA,

22’22'

即2加'=丽+2亚+相\故A错误、B正确；

AQ=AA^+A^Q=AA^+^A^C=AA^+^A^+D^q+Qc")

=A\+^[AD+AB-AA^=^AB+^AD+^A\,

即5醺=通+拓+4题，故C错误,D正确.

故选:BD.

生42y/5

9.答案：=-

解析：如图，以底面中心。为原点建立空间直角坐标系。町2,则0(0,0,。)，

A(l,l,0),3(-1,1,0),「(。，。⑵成平面以台的方程为加+为+0+0=。5,B,C,

A+B+D=0,

DeR,A2+B2+C2^0),分别将A,B,尸的坐标代入，得＜-A+3+。=0,解得

2C+D=0,

A=o,B=-D,C=-1D,所以一四一gr>z+r>=0,即2y+z—2=0,所以

J|2x0+0-2|2A/5

10.答案：叵

C_._、2

解析：Q=(l,0,-2),点p到直线/的距离为Q2_华^=日

1I|"|J

故答案为:0.

11.答案：3

解析：AC=(-2,-1,3),AB=(0-2,1),则fW卜内，

AC-AB5忆

\AD\-

所以|CD|=yl\ACf-\ADf=V14-5=3,

故答案为：3

12.答案：(1)证明见解析

⑵巫

5

解析：(1)证明：因为四边形A3CD是菱形，所以AD//BC,

又ADU平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBIIDM,。河仁平面PBC,PBu平面P3C,所以。腹〃平面P3C.

yLADC\DM=D,AD,DMu平面ADM,

所以平面AD暇〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MA3N与PC必有交点，且该交点为N,使AMHBN.

(2)以。为原点，DC,DM所在直线分别为y,z轴，过点。在平面ABCD内作垂直

于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为四边形A3CD是菱形，DB=AB,所以NZMB=60。，

XAB=DM=\,PB=2,PB,平面A3CD,

所以C(O,1,O)，fif—,-,oLA|—,--,0I，M(0,0,l),pf—,-,2

\22J\222J2\J

设平面AMP的法向量为/w=(x,y,z).

m•AM-0,

则有《

m-MP=0,

fV31

(%,y,z)•

即<

(611

(x,y,z)-TT1

取z=—l,则雁=(0,2,—1).

设平面MPC的法向量为〃=(a,b,c),

则有"■MP^O,

n-MC=Q,

即Ja也c)•口/I,=0,取a=_G则〃=(_国,1).

(a,b,c>(0,1,—1)=0,

-Gx0+lx2-1x1_1

则cos〈风n)=----

\m\\n\氐6-5

所以二面角A-MP-C的正弦值为on

13.答案:(1)2；

(2)1;

3

(3)10.

解析：(1)因为底面ABC。为矩形，

所以AD〃BC,BCLDC，

因为尸。_L底面ABCD,BCu底面ABCD,

所以PDL8C，

又PDnDC=£>,PD,DCu平面PDC,

所以BC_L平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以BCLPC，

因为AD//5C，

所以NPBC为直线A。与PB所成的角，

^<AD,BP>=NPBC，

设AB=x（x>0），

则PC=V%2+42=Jf+16,PB=6+42+42=&+32,

在RtAPBC中sinZPBC=—=>

PB&+32

X|A3XBP|=8A/5,

所以4&2+32.«'+16=8君,

Jf+32

解得了=2或x=-2（舍去），

所以AB=2；

（2）法一：在平面ABCD内过点。作£）尸_1_5£交5E的延长线于点E连接「况

因为PD,底面ABCD,BFu底面ABCD,

所以PDLBF，

又。尸，BF,DFC\PD=D,DF,PDu平面PDF,

所以M_L平面PDF，

又PRu平面PDF,

所以族尸，

所以/p/Z）为二面角P—EB—£）的平面角，

因为E为AD的中点，

所以DR=2sin：=0,PR=742+（72