江苏省镇江市2024-2025学年高三年级上册期中质量检测数学试卷（含解析）

镇江市2024〜2025学年度第一学期高三期中质量检测

数学试卷

2024.11

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合/=｛1,2,3,4｝,B=｛x|log2(x-l)<2),则/n5的元素个数为

A.1B.2C.3D.4

•2.

2.设复数z=ZL二I,则z的虚部是

1+z

A.1B.-1C.iD.-i

3.等比数列｛a“｝的各项均为正数，若%+%+。3=7，%=+2。2，贝！J劭+=

A.588B.448C.896D.224

4.已知向量同=2夜,S=(l,-1),a+S=2V3,则向量Z在B上的投影向量为

(2,-2)D.f1,-1

A.B.(-2,2)C.

5.己知“eR,函数/(x)=产二在R上没有零点，则实数a的取值范围

''[-ln(x+l)-a,x>0

A.(0,+s)B.(l,+»)C.[l,+8)U{0}D.(l,+s)U{0}

6.已知。为第一象限角，且tan(e+?]+tan。=0,贝!j1+cos26_

1-cos26

A.9B.3C.-D.-

39

7.设无穷等差数列｛%｝的公差为4,其前〃项和为S“.若由<0,贝U"S.有最小值”是“d20”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2

8.在△/BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c^BC=2BC-AB,则coJ的最小值为

V31

ARC.—D.-

2223

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数=cosxjsinx],贝!J

A./(X)是偶函数B./(X)的最小正周期为万

C.的最大值为:D.在0,1上单调递增

10.已知函数/(X)=(X-1)2(X-4)+4的导函数为f'(x)

A.〃x)只有两个零点B./(4-x)=/(x)

C.尤=1是/⑺的极小值点D.当xNO时，/(x)20恒成立

11.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为46，其轴截面为△S43,C为底面半圆弧上一点，且

AC=2CB,SM=ASC,而=〃豆(0<%<1,0<〃<1),贝！j

C

A.存在Xe(O,l),使得

B.当〃=5时，存在;le(0,1),使得〃平面ONC

C.当2=工，〃时，四面体的体积为日百

333

D.当/N_LSC时，u=-

7

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期.某同学为了测量慈寿塔助的

高，他在山下工处测得塔尖。点的仰角为45。，再沿正对塔即方向前进20米到达山脚点2,测得塔尖点。

的仰角为60。，塔底点E的仰角为30。，则慈寿塔高约为米.(小L7,答案保留整数)

AB

13.已知数列｛%｝是单调递增数列，其前“项和为5"=/，+8〃(4，8为常数)，写出一个有序数对

(42)=，使得数列｛国｝是等差数列.

14.定义在R上的函数g(x)满足y=g(2x+l)-2是奇函数，则g(x)的对称中心为；若

%=g［占［+g［Wj+g［Wj+…+g］窜，eN*),则数列｛“的通项公式为--------

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在锐角三角形中，角B,C所对的边分别是a,b,c,已知

cosA+3cos24=-2.

(1)求cos/的值；

(2)若26=3c,求sinC的值.

16.(15分)已知函数/(x)=l+x-%2,g(x)=e".

(1)求证：直线y=x+l既是曲线y=的切线，也是曲线y=g(x)的切线;

(2)请在以下三个函数：①/(x)+g(x)；②/(x>g(x)；③坐中选择一个函数，记为y=/z(x),使

S\x)

得该函数有最大值，并求/z(x)的最大值.

17.(15分)已知"N*,数列｛%｝前"项和为"，且满足邑=2。“-1；数列也｝满足61=2,

2+1=2-•

b“

(1)求数列｛q,｝的通项公式；

(2)是否存在实数X,使得数列是等差数列？如果存在，求出实数彳的值；如果不存在，请说明

理由；

(3)求使得不等式2泌"Na"成立的"的最大值.

18.(17分)在四棱锥尸一48CZ)中，ZABC=ZACD=9Q°,NBCA=NCDA=3。°,尸/_1_平面48cZ),E,

尸分别为尸D,尸C的中点，4B=1.

(1)求证：平面P/C_L平面4EF；

(2)若P4=2,求点尸到平面NCE的距离；

(3)若二面角4-PD-C的余弦值为"，求尸N.

4

19.(17分)已知函数/(x)=axhu-x.

(1)当。=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x>l时，/(x)<-l,求a的取值范围；

n[n[

(3)设〃eN*,证明：X"r=>ln("+1)>X7TT

1=1+1i=l"+1

镇江市2024〜2025学年度第一学期高三期中质量检测

数学试卷答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.【答案】C【解析】5={x|l<x<5},={2,3,4}共3个元素，选C.

2.【答案】B【解析】z=3=0±=且=7,虚部为-1,选B.

1+z22

3.【答案】B【解析】为=。3+2。2，二/=4+2，二4=2或-1(舍)

+。9=+。2+。3)/=7x26=448，选B.

4.【答案】D【解析】|<?+S|=a2+2a-b+b"-S+2a-b+2=l2,■-a-b=\

Z在心的投影向量”|《=&=化」］,选D.

■2122)

5.【答案】D【解析】xKO时，e"=。无解，。W0或。>1；%>0时，ln(x+1)=—。无解,

•••420贝!JQ£(1,+8)U{0}，选D.

l+cos2。T

71L选c.

6.【答案】C【解析】tan0+—\+tan^=0,：.0=—

331-cos26]+13

2

7.【答案】A【解析】有最小值”o“d>0”，・•.“S〃有最小值”是“dZO”的充分不必要条件选

A.

___2,2_/2

8.【答案】A【解析】BC=2BC-AB,.-.a2=-2BCABcosB,：.a1=-2ac--~——=-a2-c2+b2,

2ac

A221,3

/+3一/+cC—b2+—c2

•••2a2=b2-c2cosN=---------------=----------22=—,选A.

2bc2bc2bc2bc2

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】AC【解析】/(x)为偶函数，A对./(%+^)=cos(x+^)|sin(x+^)|=-cosxsinx|=-f(x),

为奇函数,错.17jr1；

/(x)Bf(x)<|sinxcosx|=^-|sin2x|V—,C对.xe0,-,/(x)=sinxcosx=sin2x,/(x)

222

在0,-单调递增，单调递减，D错.

4442

10.【答案】ABD【解析】r(x)=3(x-l)(x-3)=0,x=l或3,/(x)在(-单调递减，(1,3)单调递

增，（3,+8）单调递减，“X）极大值=/（1）=4,/（X）极小值=〃3）=0,.•・/（X）有且仅有两个零点，A对.

/'（X）关于x=2对称，B对.x=l是极大值点，C错.x20时，/（O）=O,恒成立，D对.

H.【答案】BCD【解析】BCLAC,则5c与N"不可能垂直，若8C_L/M,则8。_1面”。，则

BCLSA,则8c_1面"3矛盾，A错.对于B,取SN中点尸，则/P//ON,过尸作PM7/CN交SC于点

M,此时M为SC中点，则面APMH平面ONC,：.AMH平面ONC,8对.对于D,如图建系，N（0,-26,0）,

5（0,273,0）,5（0,0,6）,N（0,2岛,6-6〃）丽=（0,2也〃+2退,6-6勾,C（3,退,0卜

SC=(3,V3,-6),,AN-SC=0

•**6〃+6—36+36〃=(),：.〃=—,D对.

7911

〃=一时，彳=一时，〃到平面S/8的距离是C到平面"8距离的—

，3SZ—AAZAxOSjVN=3-SZA-AOSZIAX?B,33

ii21一

yM-SAN=-^ASANh'=---S^SAB--h,其中“表示M到平面S48的距离，力是C到平面S48距离,

nn1nnilopy

VM-SAN=~S^ABS^=~'~S^SAB^=~VS-ABC="XTX_X3X473X6=——,C对，选BCD.

幺/y3yyJZ3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】31【解析】如图，ADAC=45°,ADBC=60°,ZEBC=30°,48=20

pynn

设BC=x,贝!)。石=二1，DC=A,DC=AC,.•.屈=x+20,.0=十一

3V3-1

273273

DE=----X=----工

V3-I

13.【答案】（1,0）【解析】A=l,B=0,向=〃为等差数列，即（40可以是（1,0）.

14.【答案】an=An+2【解析】歹=g(2x+l)-2关于(0,0)对称，则g(-2x+l)-2+g(2x+l)-2=0

g(l-2x)+g(l+2x)=4,则g(x)关于(1,2)对称，(第一空)

2〃+1)2n+l

+…+g«+1J

〃+1

2an=4+4]-♦+4=4(2〃+1),则4=4〃+2.

共2〃+1个

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)cosA+3^2COS2^4-=-2,•••6cos224+cosA-1=0,(2cos/+1)(3cos4-1)=0而△/BC为锐

角三角形，cosA>0,•••cosA=—.

3

(2)2sin5=3sinC=>2sin(4+C)=3sinCn2•cosC+—sinC=3sinC，・•・4A/2COSC=7sinC，：•

37

tanC=逑，smC-痉

79

16.【解析】(1)设y=x+l与g(x)=e”切于尸[od。)，g'(x)=e，"'-k=ex°

•・•切线方程为y=e与(x-X0)+e”°,令e"=1=>%=0此时g(x)=eX在％=0处的切线方程为y=x+l,即

(y=X+\

歹=x+l是g(x)的切线联立(2，=0=>x=0，・,・/(%)在％=0处的切线为>=x+l

y=l+x-x

y=X+\也是/（X）的切线.

(2)①中X'+°时，>+“，显然无最大值.若选②，=(1+%-工2卜X,

f2x2xx

A(x)=(l-2x+l+x-x)e=(-x-x+2)e=-(x+2)(x-l)e,力⑴在(一双一2)上单调递减；(一2,1)上单

调递增，(1,+8)上单调递减，x-—力时，且力⑴-0,/z(l)=e,e>0,・•・/z(x)max=e.

14丫_丫2(1—2x)e"—(1+x—f)e，r2_oY

若选③〃(x)J+：：x,h\x)=-——--/----------二=弋卢Mx)在(_8,0)上单调递增；(0,3)上

单调递减；(3,+8)上单调递增Xf+8时，且//("-0,/z(o)=l,1>0,/z(x)max=1.

17.

a=

【解析】(1)Sn=2c1n—1(J)，S〃+]=2Q〃+[—1(D，G)・(D=1n+\2"〃+i—2。“，〃用=2a“，而q=2%—1,

.・・佝=1w0.•・{%}成首项为1,公比为2的等比数列，・•.an=2〃T.

1111b1

（2）假设存在，・•・n

如一4bn-A2-bn-九(2-4泡一1bn-A

一b〃

益仅遣；；［（2匕为常数，..・占=可占74解得2'

；.存在几=1使1户J成等差数列，且公差为1.

.••2〃11+1卜2"1n〃+122"-2n”鼻1

（3）由（2）知一-—=1+—1）-1=??,•1•b=1+—

6.TI'«In）2-2

n+1叫「。"=弟-3=及<0•••&｝在"€N*上单调递减，注意到C4=（>1,C5=g<l,

令c“2"-2

二"N5时，C„<c5<1,•••"max=4•

18.【解析】（1）证明：•••PA1ABCD,：.PALCD,X-ZACD=90°,-.CDVACPAC\AC^A,•••

CD_L平面尸/C,又「E,F分别为PD,PC的中点EF//CD,二斯_L平面P/C,•斯u平面ZEF,

平面NEF_L平面/PC

（2）如图建系

•••AB=1,ZBCA=ZCDA=30°,ZABC=ZACD=90°,：.AC=2,BC=C,AD=4,CD=273

•••Z（0,2,0）,C（0,0,0）,£>（2V3,0,0）,尸（0,2,2）,（技1,1）,F（0,1,1）,S=（0,2,0）,CE=（V3,1,1）,

设平面ACE的一个法向量n=（x,y,z）

\CF-n\A/3

：.F到平面ACE的距离d=\J

\n\T

（3）仿（2）建系，设尸/=机，.•.尸（0,2,加），AP=［0,0,m）,而=（26,一2,-加），函=（26,0,0）,

设平面APD和平面PDC的一个法向量分别为4=（西,凶,2］）,%=（工2，%/2）

mZ]=0—2Z—mz=0

n%=22=>改=（0,加,一2）

—­2yl—mZ1=02-\/3%2=0