菱形的存在性问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

专题12菱形的存在性问题

一、知识导航

作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形：

(1)有一组邻边相等的平行四边形菱形；

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)四边都相等的四边形是菱形.

坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法.和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”

或“邻边相等”，但这两者其实是等价的，故若四边形ABC。是菱形，则其4个点坐标需满足：

xA+xc=xB+xD

《XA-XB)。+(1A-y?。=J(1c—无B，+(《c

考虑到互相垂直的两条直线斜率之积为1在初中并不适合直接用，故取两邻边相等.

即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式，

故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量，与矩形相同.

因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点

(2)1个定点+3个半动点

解决问题的方法也可有如下两种：

思路1:先平四，再菱形

设点坐标，根据平四存在性要求列出“A+C=2+ZT(AC、80为对角线)，再结合一组邻边相等，得

到方程组.

思路2:先等腰，再菱形

在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法可先确定第3个点，

再确定第4个点.

1.看个例子：

如图，在坐标系中，A点坐标(1,1),8点坐标为(5,4),点C在x轴上，点。在平面中，求。点坐标，使

得以A、B、C、。为顶点的四边形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

设C点坐标为(m,0),。点坐标为(p,q).

(1)当A5为对角线时，由题意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(机-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)当AC为对角线时，由题意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)当AD为对角线时，由题意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，痴或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求点C,点C满足由A、B、C构成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性问题的方法先确定C,再

确定。点.

（1）当AB=AC时，

C点坐标为（1+2#,0）,对应。点坐标为（5+2几,3）;

C点坐标为（1-2底0）,对应。点坐标为（5-2瓜3）.

（2）当8A=BC时，

C点坐标为（8,0）,对应。点坐标为（4,-3）;

C点坐标为（2,0）,对应。点坐标为（-2,-3）.

（3）AC=BC时，

C点坐标为。点坐标为11，5）.

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//、、X

船―一1/\八y

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Z、\B1B\

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C'、、0*X外一;/C/Ocx

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D*'、々

以上只是两种简单的处理方法，对于一些较复杂的题目，还需具体问题具体分析，或许有更为简便的方法.

二、典例精析

如图，抛物线y=尤+c与无轴交于A、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,连接AC和BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)抛物线：y=x2-x-6;

(2)先考虑M点位置，即由A、C、M三点构成的三角形是等腰三角形:

①当CA=CM时，

即CM=CA=2-JlO,M点坐标为(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

对应N点坐标为(-2,-2710)(-2,2A/10).

②当AC=AM时，

即A九f=AC=2jiU,M点坐标为(0,6),

对应N点坐标为(2,0).

③当MA=MC时，

勾股定理可求得M点坐标为10,-gj,

对应N点坐标为1-2,-g).

综上，N点坐标为卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下图依次从左到右.

三、中考真题演练

1.（2023•西藏・中考真题）在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c^x轴交于A（-3,0）,B（l,0）两点,

（3）如图乙，点尸为抛物线对称轴上一点，是否存在P、。两点使以点A,C,P,。为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出尸、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

2.（2023•辽宁锦州•中考真题）如图，抛物线y=-氐2+/+C交x轴于点A（-l,0）和8,交y轴于点

。（0,36），顶点为O.

备用图

⑴求抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，若点歹是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在

点G,使以E,F,G,H为顶点的四边形是菱形，且N£FG=60。，如果存在，请直接写出点G的坐标;

如果不存在，请说明理由.

3.（2023・四川雅安・中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+6x+c过点A（0,2）,对称轴是直线

x=2,

（1）求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标;

（3）已知点E在抛物线的对称轴上，点。的坐标为（1,-1）,是否存在点R使以点A,D,E,F为顶点的四

边形为菱形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2023・湖南・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=aY+x+c经过点A(-2,0)和点3(4,0),

且与直线=交于£＞、E两点(点。在点E的右侧)，点M为直线/上的一动点，设点"的横坐标为

(1)求抛物线的解析式.

⑶抛物线与V轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以昆C、M、R为顶点的四边形是菱形，请

求出所有满足条件的点R的坐标.

5.(2023・四川广安・中考真题)如图，二次函数y=/+bx+c的图象交x轴于点AB,交V轴于点C,点、B

的坐标为(L0),对称轴是直线点尸是x轴上一动点，PMLx轴，交直线AC于点以，交抛物线于

(1)求这个二次函数的解析式.

⑶若点P在x轴上运动，则在V轴上是否存在点Q,使以〃、N、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在,

请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2023•重庆・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*+班+2过点(1,3),且交x轴于点A(TO),