九种函数与抽象函数模型归类（16题型提分练）-2025年高考数学一轮复习知识清单

专题05九种函数与抽象函数模型归类

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目录

题型一：三大补充函数：对勾函数..................................................................1

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数..................................................2

题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）......................................................2

题型四：一元三次函数............................................................................3

题型五：高斯取整函数...........................................................................4

题型六：绝对值函数..............................................................................5

题型七：对数绝对值型............................................................................7

题型八：对数无理型..............................................................................8

题型九：对数反比例型...........................................................................8

题型十：指数反比例型...........................................................................9

题型十一：抽象函数模型：过原点直线型...........................................................10

题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型.........................................................10

题型十三：抽象函数模型：正切型.................................................................11

题型十四：抽象函数模型：一元二次型.............................................................12

题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型.........................................................13

题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型...................................................13

^突围・错淮蝗分

题型一：三大补充函数：对勾函数

指I点I迷I津

形如y=依+2（々,。＞0）称为对勾函数

1.有“渐近线"：y=ax

2.“拐点”：解方程ax=B（即第一象限均值不等式取等处）

X

1.（2022秋•四川成都・高三成都七中校考阶段练习）若对任意的无目1,5],不等式2Wx+、+6V5恒成立，则

。-匕的最大值是.

2.（2022•安徽合肥•高二校联考开学考试）已知函数/⑴=*+x+3,关于尤的不等式r（x）＜4（x）只有一个

x

整数解，则正数。的取值范围是.

3..(2023•高三单元测试)已知函数〃到=«+七-1,若存在和无2,%e看」，使得

/(占)+/(%)+…+)=/(X,),则正整数九的最大值为.

4.(2022・上海闵行•高三上海市七宝中学校考开学考试)已知函数/。)=x+@(a>0),若对任意的

X

m、n、pe1,1,长为/(%)、/(“)、/(p)的三条线段均可以构成三角形，则正实数。的取值范围是.

题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数

:指I点I迷I津

!反比例与分式型函数

;解分式不等式，一般是移项(一侧为零)，通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿

；线法求解

!形如：y=――-o对称中为P(x0,y0),其中

cx-d

:①5—d=0;

②为二竺

CX

J③一、三或者二、四象限.通过x=0,l计算判断

1.(2022・湖北武汉•高三校联考模拟)已知函数y=/(x+l)-3为奇函数,g(x)=『£"⑺与g(x)的图像

x—1

有8个交点，分别为(%,%),(9,%)(%，%)，贝！1(%+丫2+%+卜4+耳+%+%+%)

一(玉+X2+&+/+%+/+%7+/)=.

2.(2023・全国•高三对口高考)函数y=竺一的值域是{ylyWO或yN4},则此函数的定义域为___.

x—3

「111r

3.(2023・全国•高三专题练习)己知集合4=s,s+z+其中1史A且s+:函数/(x)=—；,且

6J6x-l

对任意aeA,都有/(a)eA,贝!|f的值是.

4.(2023•浙江•高二校联考开学考试)已知函数/。)=台|,若函数y=,(W)|T在的最大值为2,

则实数/的值为.

题型三：三大补充函数：双曲函数(双刀函数)

是.

2.(2023春・湖北•高二统考期末)已知奇函数/(%)=产-e*+2枕«>0),有三个零点，则方的取值范围为.

3.(2023春.辽宁铁岭.高二校联考期末)已知函数/(%)=J^2+3sinx+2若〃。)=1,则/(-〃)=.

4...2023春•上海黄浦•高三上海市大同中学校考)已知函数/(%)=2022—+(%—3丫-20223-x+2x,则不等式

/(X2-4)+/(2-3X)<12的解集为.

题型四：一元三次函数

指I点I迷I津

一元三次函数：

所有的三次函数/(力=渥+加+cx+d("。)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/(x)的图像的对称中心，

设尸(X)是函数“X)的导数，尸(尤)是尸(X)的导数，若方程广(无)=。有实数解%,则称点(飞,〃%))为函数

/(x)=av3+ta2+cx+d(aw0)的“拐点

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1..给出定义：设尸(尤)是函数y=/(x)的导函数，尸⑺是函数y=/'(x)的导函数，若方程/(6=0有实

数解x=x°,则称(%,〃%))为函数y=/(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函

〃力=加+加+5+4(°彳0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/(x)的图像的对称中心.若函数

12340424043

/(X)=X3-3X2,贝!J/+/()

20222022202220222022

A.-8086B.-8082C.8084D.8088

2.已知函数/(x)=ax3+3x2+1,若至少存在两个实数m,使得/(-m),f⑴,f(jn+2)成等差数列,

则过坐标原点作曲线y=/(%)的切线可以作()

A.3条B.2条C.1条D.0条

3.（多选）（《向名校大联考2022-203学年高三上学期第三次靛考数学试卷）对于三£函数

i2

f（x）=ax+bx+cx+d（a^,给出定义：设尸⑺是函数y=〃x）的导数，/⑺是函数尸（x）的导数，

若方程广（力=0有实数解％,则称&,/（%））为函数＞=/（"的"拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三

次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数

749

/（%）=-%3-%2-12%+—,则下列说法正确的是（）

36

A.的极大值点为1-2,与］

B./（X）有且仅有3个零点

C.点是〃力的对称中心

4.（多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数

〃力=加+加+5+〃（470）,给出定义：设（（》）是函数,=〃”的导数,一（同是（（到的导数,若方程

『（x）=0有实数解％,则称点（七"（%））为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”，任何

一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数=-V+以一环则以下说法正确的是

（）

4

A./（x）+/（2-.x）=--

B.当a＜0时,f（x）有三个零点

C.f（-2019）+/（-2020）+f（2021）+/（2022）=4

D.当〃龙）有两个极值点不，三时，过4（%,”%））,8伍,〃%））的直线必过点”,-£|

题型五：高斯取整函数

指I点I迷I津

取整函数＞=［司'〔可表示不超过x的最大整数，又叫做“高斯函数”,

1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号国表示不超过x的最大整数，如

[2,3]=2,m=3,=-3,定义函数f（x）=x-0则下列说法正确的个数是（）

①函数/（X）的定义域为R

②函数〃x）的值域为[0,1]

③函数是增函数

④函数〃尤）是奇函数

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学

家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有"数学王子"之称，高斯一生的数

学成就很多，其中：设xeR,用[x]表示不超过工的最大整数，则＞=[司称为高斯函数，例如：[2.3]=2,

[-2.1]=-3,已知函数〃力=2/-x-2,xe（O,2）,设函数y=[〃x）]的值域为集合。，则。中所有负整

数元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I理科数学试题）高斯（1777-1855）是

德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要

的数学家之一，并享有"数学王子"之称，用其名字命名的高斯函数为：设xeR,用[可表示不超过x的最大

整数，则,=国称为高斯函数，例如：[2.3]=2,[-2』=—3,已知函数/（力=2。一%-2广«0,2）.设函数

y=[/（x）]的值域为集合。，则。中所有正整数元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设xeR,用印表示不超过x的

最大整数，，=[力也被称为“高斯函数"，例如：[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函数/（*）=以+1]-》，下列说法

中正确的是（）

A./⑺是周期函数B.的值域是[0,1]

C./⑺在（0,1）上是减函数D.VxeR,[f(x)]=O

题型六：绝对值函数

指I点I迷I津

绝对值函数：

(1)分类讨论去掉绝对值；(2)大部分绝对值函数，可以遵循翻折变换

翻折变换：x轴翻折，y轴翻折，y=x翻折

1、f(x)=>|f(x)|X轴翻折：X轴下方(负的)翻上去

2、f(x)nf(|x|)y轴翻折：y轴左侧擦除。右侧翻到左侧，成为偶函数

1.(2023春•湖南长沙•高二长沙一中校考阶段练习)定义卜||(xeR)为与X距离最近的整数，令函数尸(力=卜],

如：后)=1则7^)+危+右+矗+7pr)+4u)=---------

2.(2023•天津和平,统考三模)已知函数“无)=——(XX。)，若关于X的方程/(〃X))=2恰有三个不相等

x—a

的实数解，则实数”的取值集合为.

X

3.(2022•浙江•高三模拟)已知函数/(x)=7「(xe(-2,2)),有下列结论：

2-|x|

①Vxe(-2,2),等式/(-x)+f(x)=。恒成立；

②Vme[0,+co),方程|/(x)|=加有两个不等实根；

③％、X2G(-2,2),若x产马，则一定有f(占)工〃々);

④存在无数多个实数k,使得方程/(尤)=履在(-2,2)上有三个不同的实数根.

则其中正确结论序号为.

4.(2023春・上海松江•高三上海市松江一中校考阶段练习)已知/(尤)=x+'-a(aeR),若存在

石，尤2，不，…，斗©乂⑵，使得/(%)+/(无1+…+〃­)=/(相)成立的最大正整数〃为6,则a的取值范围

为,一

题型七：对数绝对值型

指I点I迷I津

对数绝对值型函数

对于f（X）=|lOgaX|,"Oga*尸a若有两个零点，则满足

.0<X[<1<X）

1.1乙

2,X1X2=1

3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”

flx+11%V0

1.（2022•吉林白山・抚松县第一中学校考二模）已知函数/（x）=«og[x；o,若方程/（力=上有4个不同

4/、

的根芯，X》X3,X4,且王<工2〈工3<工4，则一^一次4（项+冗2）的取值范围是（）

—X2+4xxv4

2.（2023春・江苏苏州•高二星海实验中学校考阶段练习）设函数〃x）=]bg@_制;4,若关于天的方程

/（%）=/有四个实根占,3,三，工4（玉<%<%<尤4），则占+%+2%+5X4的最小值为（）

3133

A.——B.16C.——D.17

22

/、|lgx|,x>01、

3.（2020秋・陕西延安•高三校考模拟）已知〃x）=,则函数y=2/2（x）_3〃x）+l的零点个数是

（）

A.5B.4C.3D.2

炉兀V1

4.（2023春•安徽安庆•高三统考模拟）设函数/（x）=；'[若/（西）=/伍）=〃4=/®）（其

|log2（x-l）|,x>1

4

中无1<七〈无3<Z），则一^+（尤1+%+2）尤3的取值范围是（）

%4+1

A.（3,—）B.（4,—）C.（3,—]D.[4,—）

题型八：对数无理型

指I点I迷I津

对数与无理式复合是奇函数：y=log.（《（/a）?+1土可,如y=log.（“域+1+x]

1.（2023春嘿龙江绥化•高二校考期末）已知函数/（x）=log2（4r1-x）,若任意的正数〃，8均满足

71

/（«）+/（3^-2）=0,则4+；的最小值为______.

ab

2.（2023•全国•高三专题练习）已知函数“xHlMTZTT+q+x,若〃2x—1）+〃2—x）＞0,则x的取值

范围是.

3.（2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数"x）=x+ln（A/?TT-x）-5

（xe[-2016,2016]）的最大值为最小值为机，则〃+机=.

4.（2023•全国,高三专题练习）已知函数"xHlnk+VZTTj+l,若正实数满足〃4。）+“4）-1）=2,

则工+1的最小值为________.

ab

题型九：对数反比例型

;指I点I迷I津

:形如对数与反比例复合型，是奇函数：

1m-wc1m+nx,1-x,1-kx,x-1

y=1og^--y=iog-----，如：iog—,io——,iog—

am+nxam-nxa1+xga1+kxax+1

1.（2024•江苏泰州•模拟预测）已知函数/（x）=log2（“-Wj+〃，若函数f（x）的图象关于点。，0）对称，

则log/=（）

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

2.（21-22高三上・云南曲靖•阶段练习）设定义在区间[-左，灯上的函数/（尤）=1g，竺是奇函数，且

g）w/（g）.若田表示不超过X的最大整数，%是函数g（x）=lnx+2x+"6的零点，则田=

A.1B.1或2C.2D.3

3.（2024•山东荷泽•模拟预测）己知函数〃到=111呼号?-2（相＞0）是定义在区间（区。）上的奇函数，则实

数》的取值范围是（）

A.(0,9]B.(0,3]

1

4.（23-24高三上•浙江宁波・模拟）已知〃x）=ln--------a+b是奇函数，则a+e"=()

x+1

3

A.1B.-C.2D.

22

题型十：指数反比例型

指I点I迷I津

指数型“反比例函数”：

优+1优-11—（Jx1+优

Ly=77，y=F7，y=hr，y=；一7

a—1ci+11+a1—ci

2以上几个类型都是奇函数

变化

指数型”反比例函数”：

F优+tt—优t+优

Ly=-r~?y=-^7，y=7Tv，y=；~7

a—1a+11+tz1—t?

2以上几个类型都是对称中心函数，对称中心在y轴上

怎么找中心？

1.如果x=0有意义，直接（0,f（0））就是中心

2.如果x=0无意义，则（0」（T）+f⑴）是中心，即特殊值法

2x+l_m

1.（23-24高三上•河南•模拟）已知函数/（x）=彳*/是定义在R上的奇函数，且对任意xe[l,2],不等式

++恒成立，则实数.有（）

A.最大2值B.最小值-3白C.最小2值D.最大值-白3

916916

2.（23-24高三上•安徽铜陵•阶段练习）已知函数/（x）=/+三/若实数〃力满足/（片）+/（2k—3）=2,

则外/1+方的最大值为（）

D.逑

A.迥B.0C.还

444

QX+1

3.（21-22高三上•辽宁锦州•模拟）已知函数/"）=/口的图像与过点（-U）的直线有3个不同的交点

（西,yj,（^2,y2）,（泡,力），贝1]（%+%+*3）2+（%+%+%）2=（）

A.8B.10C.13D.18

4.(2024•河北衡水•模拟预测)设〃若函数/(x)=|j5|+'logj4rz-%)是偶函数，则。二()

13

A.-B.-C.2D.3

22

题型十一：抽象函数模型：过原点直线型

指I点I迷I津

/(x+y)=/(x)+/(y)一过原点直线型f(x)=kx

有以下性质：

l.f(0)=0

2.奇函数:y=-x,则/•(x-x)=F(x)+〃-x)=0

3.可能具有单调性(结合其他条件)

1.(23-24高三上•山东泰安•模拟)已知函数“X)对于任意的x,〉eR,都有〃x+y)=〃x)+/(y)成立，则

(多选)

A./(0)=0

B.“X)是R上的偶函数

C.若〃2)=2,则"1)=1

D.当x>0时，/(%)<0,则〃x)在R上单调递增

2.(23-24高三上•江苏•阶段练习)已知函数y=/(x),xeR,对于任意x,yeR,/(x+y)=/(x)+/(y),

且当x>0时，均有/(x)>0,贝U(多选)

A./(0)=1

B./(3无)=3/(无)

C./(-x)+f(x)=0

3

D.若/(%+1)+/。力+2)<0,则相<一一

2

3.(23-24高二下•广东深圳•阶段练习)定义在R上的函数“X)满足〃x+y)=/(x)+〃y),当尤<0时，

/(无)>0,则函数“X)满足()

A."0)=1B.y=/(x)是偶函数

c."X)在［〃?,”］上有最小值/⑺D.〃xT)>。的解集为(L+S)

4.(2023•广西玉林•三模)函数7'(无)对任意尤，yeR总有/(x+y)=〃x)+/(y),当尤<0时，/(x)<0,

/(l)=g，则下列命题中正确的是()

A.〃x)是偶函数B.“X)是R上的减函数

C.在［F6］上的最小值为-2D.若/(x)+/(x-3)»-1,则实数尤的取值范围为［3,+s)

题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型

:指I点I迷I津

f{x+y)=/(x)+/(y)+b(b带正负，即是+b或者-b)

c/(x)=kx-b

；证明如下：

/(x+y)+b=/(x)+b+/(y)+b

c"同构"：h(x)=/(x)+b

6h(x+y)=h(x)+h(y)------h(x)是过原点的直线

厂-［施丁石3五谪三石应力展就访葭■万丁丽薮7面稀忌一商演妻薮:「中甄看〜

/(x+y)=/(尤)+/(，)一4且当x>0时，/(》)>4.设8(刈=/(刈一4.则下列命题正确的是()

A./(—2023)+/(2023)=8B.函数『⑺有对称中心(0,4)

C.函数g(无)为奇函数D.函数g(无)为减函数

2.(多选)(23-24高三上•辽宁朝阳•模拟)若定义在R上的函数〃x)满足〃x+y)=〃x)+〃y)+2,且

当x>0时，f(%)>-2,贝!］()

A./(0)=-2

B./(x)+2为奇函数

C.“X)在R上是减函数

D.若〃1)=2,则不等式/(X2+X)+〃1-2X)>8的解集为{x|-l<x<2}

3.(23-24高三上•湖南株洲,模拟)已知函数〃x)对Vx,yeR,都有〃x+y)=/(x)+/(y)-2,若

尸(x)=2L+〃x)在［-2022,2022］上存在最大值加和最小值机，则M+〃z=()

1H-COSX

A.8B.4C.2D.0

4.(23-24高三下•河南周口•开学考试)已知定义在R上的函数/'(x)满足

Vx,yeR,〃x+y)=〃x)+/(y)-2024,若函数g(x)=城竺二三+

的最大值和最小值分别为,则M+〃］=.

题型十三：抽象函数模型：正切型

指I点I迷I津

J(x)+/(y)?R、_f④+于⑼

f(x+y)=/(«p)------------------------

1-/W/(y),1-/(«)/(^)

所以复合f(x)=tan(kx)o(k根据其余条件待定系数)

1.(20-21高三上•浙江宁波•模拟)已知函数〃x)的图象是连续不断的，其定义域为(-U),满足：当x>0

时，〃x)>0；任意的x,ye(-1,1),均有〃x+y)[l—〃x)〃y)]=y(x)+〃y)芾/(lnx)>/[；],贝l]x

的取值范围是()(e是自然对数的底数)

2.(山东•高考真题)给出下列三个等式：/(孙)=/(尤)+/日)，/(x+y)=/W(y),

“x+y)=下列函数中不满足其中任何一个等式的是()

1-7(W(y)

X

A.f(x)=3B.f(x)=sinxC./(x)=log2xD./(x)=tanx

3.(多选)(2023•全国•模拟预测)己知函数〃无)的定义域为{尤|g4人+2,获Z},且〃尤+封=昔昔工

"1)=1,则(多选)

A.〃。)=。

B.“X)为偶函数

C.“X)为周期函数，且4为〃x)的周期

D./(2023)=-1

4.(20-21高三上,浙江宁波•模拟)已知函数八%)的图象是连续不断的，其定义域为(-U),满足：当x>。

时，/(x)>0；任意的x,ye(-1,1),均有/口+门口一八月“月b外月+八月港“加了)〉/]3,则x

的取值范围是()(e是自然对数的底数)

题型十四：抽象函数模型：一元二次型

:指I点I迷I津

/(尤+y)=/(x)+/(y)+2ajqy-c

；则/'(x)=ax。+bx+c.

〃x+y)=a(x+y)2+b(x+y)+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy

=ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(x)+/(^)+2axy-c

:此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认。

1.(23-24高三上•上海普陀・模拟)已知对于任意的整数N、>、n,〃>0,f(x+y)=f(^)+f(y)+2xy+l

成立，且〃-2)=1,则〃2力)=

2.(23-24高三上•内蒙古赤峰•开学考试)已知函数的定义域为R,/(x+y)+2xv=/(x)+/(y),/(1)=2,

则下列说法不正确的是()

A.f(O)=。B./(-2)=-10

c.>=/(彳)+%2是奇函数D.y=/(x)-f是偶函数

3.(23-24高三上•吉林长春•模拟)函数“X)满足：任意〃eN*,/(n)>5n._a/(x+y)=/(x)+/(y)+10xy.

10

则的最小值是()

1=1

A.1775B.1850C.1925D.2000

4.(23-24高三上•河北保定•模拟)已知函数了(力满足：Vx,"Z,/(x+y)=/(x)+/(y)+2盯+1成立，

M/(-2)=l,则”2〃)(〃eN*)=()

A.4n+6B.8n-lC.4n2+2n-lD.8n2+2H-5

题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型

"旨I点I迷I津

〃x+y)=〃x)+〃y)+3axy(x+y),

u：_则f_(_x)=_ax_3+b_x,_(其中_b可_以借_助_其他_条件待_定_系_数)___________