考研笔记 《普通物理学》（第6版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解-220-437

,=20√273m/s=330m/s..数.M证明：将空气看作是理想气体，其摩尔质量为，范德瓦尔斯气体的内能包括所有分子热运动的动能和分子间的引力势能总和.当气体体积膨胀时，分子引力作负功而使得分子势能增大，但分子热运动总动能减小，使得范德瓦尔斯气体膨胀时内压强做负功，使分子势能增加，有：则又因为△E=C..△T,所以(2)气体温度的变化不是由于其内能变化了，而是由于分子热运动总动能变化了，此处分子热运动总动能减小了，因而温度要降低.(3)对于理想气体，由于不考虑分子间相互作用的势能，其内能就是分子热运动的总动能，因此在作真空中的绝热自由膨胀时，温度和内能都不变.6-19设有一以理想气体为工作物的热机循环，如图6-2-3所示，试证明其效率为图6-2-3证明：先求循环的作功量A,A的大小对应于p-V图上循环过程曲线所围部分的面积，b→c是绝热过程，因此有：所以气体对外做功：循环过程中只有a→b等容过程从外界吸热，吸热量：所以该循环的效率：命题得证.6-201mol理想气体在400K与300K之间完成一卡诺循环，在400K的等温线上，起始体积为0.0010m³,最后体积为0.0050m³,试计算气体在此循环中所作的功，以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量.解：设循环的状态点如图6-2-4所示.图6-2-4由卡诺循环的特点可知，循环过程从高温热源吸收的热量等于在高温热源进行等温过程的吸传给低温热源的热量等于在低温热源进行等温过程的放热量：又因为在绝热过程中有：T₁V?'-T₂V?'.6-21一热机在1000K和300K的两热源之间工作.如果(1)高温热源提高到1100K,(2)低温热源降到200K,求理论上的热机效率各增加多少?为了提高热机效率哪一种方案更好?解：由题意可知，原来的效率：(1)当高温热源温度提高到T.-1100K时，热机效率：因此，理论上热机效率增加△一孕=72.7%-70%=2.7%.综上，计算表明，理论上降低低温热源温度可以更多地提高热机效率.但实际中所用低温热源往往是周围的空气或流水，要降低它们的温度是困难的，所以提高高温热源温度以提高热机效率是更行得通的办法.6-22有25mol的某种气体，作图6-2-5所示循环过程(ac为等温过程).P₁=4.15×10⁵Pa,V₁=2.0×10⁻²m³,V₂=3.0×10⁻²m³.求：(1)各过程中的热量、内能改变以及所作的功；(2)循环的效率.图6-2-5解：设该气体为单原子理想气体，有：(1)由图6-2-5可知：①a→b为等压过程，根据理想气体状态非常可推导出：气体对外做功：A=DAV-D.(V₂-V)=4.15×10³×(3.0-2.0)×10'J=4.15=400K的热源2之间.可逆机2吸人可逆机1放给热源2的热量Q₂,转而放热给T₃=300K的热源3.在(1)两部热机效率相等，(2)两部热机作功相等的情况下求T₁.Q解：(1)由题意可知，第一部热机的效,第二部热机效(2)热机2吸热的做功量为：A₂-Q热机1放热&1的做功量为：又两部热机做功相等，A₁=A,则6-24一热机每秒从高温热源(T₁=600K)吸取热量Q₁=3.34×104J,作功后向低温热源(T₂=300K)放出热量Q₂=2.09×104J.(1)它的效率是多少?它是不是可逆机?(2)如果尽可能地提高了热机的效率，每秒从高温热源吸热3.34×10⁴J,则每秒最多能作多解：(1)由热机效率的定义式可得，实际效率：因此，由卡诺定理可知它不是可逆热机.(2)由卡诺定理可知，工作于同温热源和同温冷源之间的所有热机效率以可逆热机效率最所以每秒钟最多能做功：Ax=Q₇=3.34×10°×50%=1.66-25一绝热容器被铜片分成两部分，一边盛80℃的水，另一边盛20℃的水，经过一段时间后，从热的一边向冷的一边传递了4186J的热量，问在这个过程中的熵变是多少?假定水足够多，传递热量后的温度没有明显变化.解：由熵增的微分关系可得，对于温度没有变化的物体熵变故热水的熵增：冷水的熵增：系统的熵增：△S=△S+△S₂=-11.86J/K+14.29J/K=2.43J/K6-26把质量为5kg、比热容(单位质量物质的热容)为544J/(kg·K)的铁棒加热到300℃,然后浸入一大桶27℃的水中.求在此冷却过程中铁的熵变.解：一大桶水的含义是，铁棒入水后，可忽略水温的变化.据题意已知，T₁=(273+300)K=573K.,T₂=(273+27)K=300又dQ=5×544dT,所以铁的熵变为：6-27一固态物质，质量为m,熔点为Tm,熔解热为L,比热容为c.如对它缓慢加热，使其温度从To上升为Tm,试求熵的变化.假设供给物质的热量恰好使它全部熔化.解：该过程分为两个阶段.第一阶段是物质温度从To刚好上升到Tm,还没开始熔化，该阶段熵增：第二阶段是从开始熔化到刚好完全熔化，该过程是在恒温Tm下进行的，其熵增：因此该物质总的熵变：6-28试用“可逆过程中封闭体系的熵不变原理”导出卡诺循环的热效率公式.Q=c,m,(T₂-T,),T₂=273c₁m,(T₂-T,)=m₂[c₂AT100g的水在达到平衡温度时的熵变为：冰的熵变为：冰和水系统的熵变为：AS=AS,+AS₂=-15.3J/K+16.6J/K=1.3J/K6-30一房间有N个气体分子，半个房间的分子数为n的概率为(1)写出这种分布的熵的表达式S=klnW;(2)n=0状态与状态之间的熵变是多少?(3)如果N=6×10²³,计算这个熵差.解：(1)根据玻尔兹曼熵的表达式，时，有6-311kg水银，初始温度为-100℃.如果加足够的热量使其温度升到100℃,问水银的熵变有多大?水银的熔点为-39℃,熔解热为1.17×10⁴J/(kg·K),而比热容为138J/(kg·K).解：整个过程分为三个阶段：升温，熔解，再升温.由题已知T₁=(273-100)K=173KT₂=(273-39)K=234K.,T₁=(273+100)K6-32有2mol的理想气体，经过可逆的等压过程，体积从Vo膨胀到3Vo.求在这一过程中的熵变.提示：设想气体从初始状态到最终状态是先沿等温曲线，然后沿绝热曲线(在这个过程中熵没有变化)进行的.解：根据题意，设气体从初始状态1经等温过程到达状态2,再经绝热过程到达最终状态3,如图6-2-8所示，其压强与体积在1态为P₁、V在2态为Pr、V₂在3态为Pa、V₂.2→3为绝热过程，有p₂V?=p₃V3.6.3名校考研真题详解一、选择题1.一定量的理想气体，分别经历如图6-1(1)所示的abc过程，(图中虚线ac为等温线),和图6-1(2)所示的def过程(图中虚线df为绝热线).判断这两种过程是吸热还是放热().[华南理工大学2011研]图6-1A.abc过程吸热，def过程放热C.abc过程和def过程都吸热D.abc过程和def过程都放热【答案】A查看答案【解析】(1)如图6-2(1),a点和c点处于等温线上，所以有T。=T.对于abc过程由热力学第一定律得：吸热.(2)如图6-2(2)所示，考虑def和df两个过程，由于初末状态相同，所以有：△T=△T对df过程，因为是绝热过程，则有：AQa=△W+△E₄=0,,而df为体积增大，所以△W>0,△Eq<0;且△E=-△W.所以△Q<0,因此def过程为放热.图6-22.一定量的理想气体，从p-V图上初态a经历(1)或(2)过程到达末态b,已知a、b两态处于同一条绝热线上(图6-3中虚线是绝热线),则气体在().[华南理工大学2009研]图6-3A.(1)过程中吸热，(2)过程中放热B.(1)过程中放热，(2)过程中吸热C.两种过程中都吸热D.两种过程中都放热【答案】B查看答案【解析】当沿绝热线由a状态到b状态时，气体对外做功等于内能的减少量.当沿(1)曲线变化时，内能减少量不变，但气体对外做功变小.故要放热，当沿(2)曲线变化时，内能减少量人不变，但气体对外做功增大，故需吸热.3.对于室温下的双原子分子理想气体.在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功A与从外界吸收的热量Q之比A/Q等于().[电子科技大学2008研]D.2/7【答案】D查看答案【解析】由理想气体状态方程可知PV-nRT,则系统对外所作的功为因为等压膨胀，则系统从外界吸收的热(双原子分4.已知在三相点T=273.16K,冰融化为同温度的水时，熔解热L=3.35×105J/kg,则2.5千克的冰化为水时的熵变为().[电子科技大学2008研]【答案】A查看答案【解析】在这个过程中，温度保持不变，即T=273.16K,设冰从273.16K的恒源热源中吸热，过程是可逆的，则5.关于熵，下面叙述中哪一个是正确的?()[电子科技大学2010研]A.熵是为描述自发过程进行的方向而引入的，因此熵是过程量B.熵增加原理表明，任何系统中一切自发过程总是沿着熵增加的方向进行C.熵是热力学系统无序性的量度D.任何过程，熵变都可以用下式来计算：【答案】C查看答案1.某理想气体经历的某过程的方程的微分形式,则此过程应为过程.[南京理工大学2011研]【答案】等温过程查看答案【解析】等温过程的过程方程为：对上式取全微分得：pdV+Vdp=0两边同除以PV得：2.同一种理想气体的定压摩尔热容Cp大于定体摩尔热容Cw,其原因是.[华南理工大学2010研]【答案】升高相同的温度时，定压过程需要对外做功，因此需要吸收更多的热量查看答案3.一气缸内贮有10mol的单原子分子理想气体，在压缩过程中外界作功209J,气体升温1K,此过程中气体内能增量为,外界传给气体的热量为.(普适气体常量R=8.31J/mol.K)[华南理工大学2010研]1.一摩尔的双原子理想气体，从某体积为401的初态先绝热压缩到压强为2atm,体积减半，再等压膨胀至原体积，最后等容冷却回到初态.(1)做出该循环的P-V图；(2)求初态的压强；(3)求该循环的效率.[南京理工大学2011研]解：(1)该循环过程分为三个过程：1→2→3→1,三个过程对应如下：图6-4:绝热过程；:等压过程；:等容过程.(2)1→2:绝热过程有：PV=P₂V(3)温度分别可以算得：2→3等压过程，吸收热量为：Q₂=Cp(T-Z)=1量R=8.31Jmol⁻¹·K¹)[华南理工大学2011研]联立式①~③,可得：代入数据得：3.如图6-5所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程，BED是任意过程，组成一个循环.若图中EDCE所包围的面积为70J,EABE所包围的面积为30J,过程中系统放热100J,求BED过程中系统吸热为多少?[华南理工大学2009研]图6-5解：由题意AB、DC是绝热过程则热量变化为零.CEA是等温过程，BED是任意过程，则CEA过程中系统放热，BED过程中系统吸热，即又由图形可知：4.一摩尔氦气经历如图6-6所示循环过程，其中ab为等压过程，bc为绝热过程，ca为等温过程，已知图6-6解：如图6-7所示，经过三个过程：图6-7①a→b为等压过程，由理想气体的状态方程PV=nRT可得到：T,=2T=600K;同②b→c为绝热过程，由绝热过程方程可知：V?¹=Tv?;这里所以解得：③C→a为等温过程，,可知为放热；所以效率为：5.一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里.此汽缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气).己知气体的初压强P₁=latm,体积V₁=IL(升),现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等体积下加热直到压作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止.(2)试求在整个过程中气体内能的改变.(3)试求在整个过程中气体所吸收的热量.(latm=1.013×105Pa)(4)试求在整个过程中气体所作的功.[南京航空航天大学2008研]解：(1)经分析得到，总共经历了三个过程第三个过程，绝热过程.在P-V图上做的图6-8如下：图6-8即,内能增量为0.(3)对于第一个等压过程，有：由热力学第一定律得：对于第二过程，等容过程，对于第三个过程，绝热过程，有联立①②③式可得：①②③(4)整个过程由热力学第一定律可得：6.一根长为76cm的玻璃管，上端封闭，下端插入水银中，水银充满管子的一部分，管子另一部分封闭有0.1mol的空气，设外界压强保持在76cmHg,空气的定容摩尔热容取(R=8.31J/(mol·K)).若管内空气的温度降低10℃,求：(1)管内空气内能的改变，是增大还是减小?(2)设管子截面积为S,封闭的空气柱的高度为y,水银密大学2011研]图6-10解：(1)在缓慢膨胀的过程中，气柱处于热力学平衡态，水银柱处于力学平衡状态.p(x)=pgl+pg(x-l/2)=pg(x+l/2)(2)膨胀过程中，气体对外做功为根据内能的定义，气体内能增加为由热力学第一定律可以得到膨胀过程中气体从外界吸收的热量第7章静止电荷的电场7.1复习笔记一、物质的电结构库仑定律物体经摩擦后能吸引羽毛、纸片等轻微物体的状态称为带电，即物体带有电荷.电荷量是物体所带电荷多寡的物理量.电荷有正负电荷之分，同性相斥，异性相吸，这种相互作用称为电性力.2.电荷守恒定律起电是指通过某种作用使该物体内电子不足或过多而呈带电状态.(2)电荷守恒定律电荷守恒定律是指在一个与外界没有电荷交换的系统内，系统内正、负电荷量的代数和始终保持不变.(3)电荷相对论不变性电荷是相对论不变量，即电荷量与运动无关.3.电荷的量子化电荷的量子化是指电荷量只能取分立、不连续的量值.(n除可以取整数外还可以取分数值)4.库仑定律(1)点电荷当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比可忽略时，这些带电体称为点电荷.(2)库仑定律矢量.注：库仑定律只适用于点电荷和静电场.(3)真空中的库仑定律式中，常量ε0称为真空电容率(或真空介电常量).(4)静电力的叠加原理静电力的叠加原理是指当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力等于其他各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和.二、静电场电场强度(1)电场是电荷周围存在的一种特殊物质.(2)电场力是指电场对处在其中的其他电荷的作用力.(3)静电场是相对于观察者为静止的电荷在其周围所激发的电场.2.电场强度电场对电荷有力的作用，电荷在电场中移动时电场力要对电荷作功.(1)电场强度试探电荷所受的力与试探电荷所带电荷量之比，用符号E表示，即(2)电场强度的性质①电场强度为矢量，方向和F的方向相同；②电场只与产生电场的场源电荷有关，与试探电荷q0无关.3.电场强度的计算(1)点电荷的电场强度设在真空中有一个静止的点电荷q,则距q为r的P点的电场强度：(2)电场强度叠加原理和点电荷系的电场强度电场叠加原理是指点电荷系在空间任一点所激发的总电场强度等于各个点电荷单独存在时在该点各自所激发的电场强度的矢量和，即(3)连续分布电荷的电场强度①体分布、面分布或线分布的电场强度②求解连续分布电荷的电场强度的步骤a.在带电体上任取一电荷元dq;b.写出该电荷元dq在所求场点的电场表达式dE;c.分析不同电荷元在所求场点的电场方向是否相同，若不同须将dE分解；d.写出dE在具体坐标系各坐标轴方向上的分量式，并作积分运算；e.将分量结果合成，得到所求点的电场强度矢量E.4.电场线电场强度通量(1)电场线电场线是为了直观形象地描述电场分布，在电场中引入的一些假想的曲线.其特点有：①曲线上每一点的切线方向和该点电场强度的方向一致；②曲线密集的地方电场强度强，稀疏的地方电场强度弱.(2)静电场的电场线的性质①电场线起自正电荷(或来自无限远处),终止于负电荷(或伸向无限远处);②不会在没有电荷的地方中断(电场强度为零的奇异点除外);③电场线不能形成闭合曲线；④任何两条电场线不会相交.(3)电场强度通量(E通量)图7-1①平面E通量b.当0为钝角时，cos<θ<0,ψE为负值；②曲面E通量a.在电场线从曲面之内向外穿出处E通量为正；b.在电场线从外部穿入曲面处E通量为负.三、静电场的高斯定理1.静电场的高斯定理(1)静电场的高斯定理在静电场中，通过任一闭合曲面的E通量等于该曲面内电荷量的代数和除以E₀,即(2)适用范围不但适用于静止电荷和静电场，也适用于运动电荷和迅速变化的电场.2.高斯定理的应用当电荷分布具有某些特殊的对称性，从而使相应的电场分布也具有一定的对称性时，就有可能应用高斯定理来计算电场强度.四、静电场的环路定理电势1.静电场力作功试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与试探电荷的大小以及路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关.2.静电场的环路定理(1)静电场的环路定理在静电场中，静电场力作功与路径无关，场强沿任一闭合路径的线积分恒等于零，即(2)保守力场(势场)①保守力场是指具备场强的环流为零的特性的力场；②综合静电场的高斯定理和环路定理可知，静电场是有源无旋场.(1)电势式中，W为电势能；电势VM是标量，单位为J/C,称为伏特(V).电势零点的选取是任意的.(2)电压电压是指在静电场中，任意两点M和N的电势差.电场力所作的功可用电势差表示：(3)电子伏特4.电势的计算计算电势有两种方法：(1)积分计算法已知电场强度E的分布函数，利用公式作一积分运算.(2)叠加计算法根据电势的叠加原理求任意电荷分布的电势.①点电荷电场中的电势②点电荷系电场中的电势③连续分布电荷电场中的电势5.等势面(1)定义等势面是指电势值相等的各点连起来所构成的曲面.(2)性质①电场强度与等势面必定处处正交；②等势面愈密处电场强度愈大.五、电场强度与电势梯度的关系1.电势梯度电势梯度是指沿法线en方向的电势变化率.2.电场强度与电势梯度的关系静电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值，即电势梯度gradV在直角坐标系中可写成六、静电场中的导体1.导体的静电平衡(1)静电感应静电感应是指在外电场的作用下导体中的电荷在导体中重新分布的现象.静电感应使导体内的电场强度都等于零.(2)静电平衡状态①定义静电平衡状态是指导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态.②静电平衡的必要条件导体静电平衡的必要条件为导体内任一点的电场强度都等于零.③相关推论a.导体是等势体，其表面是等势面；b.导体表面的电场强度垂直于导体表面.2.导体上的电荷分布(1)电荷分布当带电导体处于静电平衡状态时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布于导体的外表面上.(2)带电导体附近的场强与该表面的电荷面密度成正比，电场强度的方向垂直于表面，即(3)孤立导体的电荷分布孤立导体的电荷分布由导体表面的曲率决定.①凸出而尖锐的地方，曲率大，电荷面密度较大；②平坦的地方，曲率小，电荷面密度较小；③凹陷的地方，曲率为负，电荷面密度最小.3.空腔导体内外的静电场与静电屏蔽(1)导体空腔内的电荷分布①空腔内无带电体内表面上处处没有电荷，电荷只能分布在壳的外表面上.②空腔内有带电体内表面上带有与带电体符号相反的等量电荷，腔内的电场由带电体及壳的内表面上的电荷分布所决定.(2)静电屏蔽静电屏蔽是指导体空腔内的电场不受外界的影响或利用接地的空腔导体将腔内带电体对外界的影响隔绝的现象.七、电容器的电容1.孤立导体的电容电容是表征导体储电能力的物理量，表示使导体升高单位电势所需的电荷量，即电容是标量，只与导体的大小、形状和周围介质有关，单位是法拉(F),且1F=1C/V.2.电容器的电容(1)电容器极板的电势差V无关.(2)充有电介质的电容器的电容C(3)几种典型电容器的电容设极板的面积为S,两极板的距离为d,电介质的相对电容率为8r设内、外圆柱的半径RA和RB,长为1,电介质的相对电容率为8r设导线的半径为a.长为1,两根导线的中心间距为d(d<<a),电介质的相对电容率为83.电容器的串联和并联(1)串联电容器(2)并联电容器八、静电场中的电介质1.电介质的电结构(1)有极分子有极分子是指正、负电荷的中心不重合的分子，等效于一个电偶极子.(2)无极分子无极分子是指正、负电荷的中心重合的分子，其等效电偶极矩等于零.2.电介质的极化①电介质的极化是指在外电场的作用下，在电介质中出现极化电荷的现象；②极化电荷是指不能离开电介质，也不能在电介质中自由移动的电荷；③自由电荷是指在电场作用下能移动一宏观距离的电荷.(2)电介质极化的两种类型①无极分子电介质的位移极化无极分子的极化在于正、负电荷中心的相对位移，又称位移极化.极化程度取决于外电场的强弱.②有极分子电介质的取向极化有极分子的极化即等效电偶极子转向外电场的方向，又称取向极化.取向程度取决于外电场的强弱和环境温度.3.电极化强度单位体积内分子电偶极矩的矢量和，即4.电极化强度与极化电荷的关系介质极化所产生的极化电荷密度等于电极化强度沿介质表面外法线的分量，即5.介质中的静电场(1)电极化率式中，xe和电介质的性质有关，称为电介质的电极化率.满足上式极化规律的电介质称为各向同性的线性电介质.(2)相对电容率8r (3)电容率ε(介电常量)6.铁电体压电体永电体(1)铁电体①铁电性是指一些电介质在一定的温度范围内电容率随电场强度变化，在撤去外电场后，仍留有剩余的极化的性质；②铁电体是具有铁电性的电介质.(2)压电体①压电效应是指某些离子型晶体的电介质在发生机械变形时产生的电极化现象；②压电体是具有压电效应的电介质.电致伸缩是指在晶体带电时或在电场中时，晶体的大小会伸长或缩短的逆现象.(3)永电体①永电体是指在外界条件撤销后，仍能长期保留其极化状态，且不受外电场影响的一类物体，又称驻极体.②性质类似永磁体，分割后表面同时出现并保持正负电荷.九、有电介质时的高斯定理电位移1.有电介质时的高斯定理电位移(1)电位移D=e₀E+P电通量是指垂直于电位移线的单位面积上通过的电位移线数目，是D的量值.(2)有电介质时的高斯定理式中，9o表示封闭面内所包围的自由电荷.(3)对高斯定理的几点说明①电位移线是从正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；②电场线起讫于各种正、负电荷，包括自由电荷和极化电荷.③通过电介质中任一闭合曲面的电通量等于该面所包围的自由电荷量的代数和.2.D、E、P三矢量间的关系对于各向同性电介质，有或D=gE十、静电场的能量1.静电场的能量密度静电场的能量密度是单位体积内静电场所具有的能量.式中，能量密度的单位为J/m³.2.静电场的能量在体积V中，总静电能量为3.几种典型带电体的静电能(1)真空中均匀带电球体(半径为R、球体带q电量)(2)真空中均匀带电球面(半径为R、球面带电q)7.2课后习题详解一、复习思考题7-1-1一个金属球带上正电荷后，该球的质量是增大、减小还是不变?答：理论上质量减小，但仍可认为该球的质量没有变化.因为金属球带正电荷实际上是失去了负电子，所以理论上质量减小，但由于一个电子的质量me=9.1×10-3¹kg,所带电荷量为-1.6×10-19℃,金属球失去了1C的负电荷相当于失去了所以仍可认为该球的质量没有变化.7-1-2点电荷是否一定是很小的带电体?什么样的带电体可以看作是点电荷?答：(1)不是，因为点电荷是研究带电体电性质时提出的一个理想模型，“大小”是一个相对的概念，所以点电荷也只具有相对的意义，它本身不一定是很小的带电体.(2)可以看作是点电荷的带电体有以下两种情况：①相对所论点的位置距离，即当带电体的几何大小相对它至所论点的距离小很多，可忽略时，②某一点至一带电体的距离，或者两带电体之间的距离只有在带电体可以当作“点”处理时才有确切的意义，此时带电体的形状、大小和电荷分布都可以不予考虑，而仅当作有一定电量的几何点.如：在一般情况下，半径为R,电荷面密度为σ均匀带电圆盘轴线上与盘心相距为x的任一给定点P处的电场强度是仅当若x>>R时，上式可以简化为这正是点电荷的电场强度公式，它说明当点P离开圆盘的距离远远大于圆盘本身的大小时，点P的电场强度与电荷量q集中在圆盘的中心的一个点电荷在该点所激发的电场强度相同，即此时带电圆盘可以看作是点电荷.但若R>>x,即在点P处看来均匀带电圆盘可认为是无限大，则点P的电场强度又可化简为无限大均匀带电平面所激发的电场由此可见，同一带电体是否能看作点电荷完全由所讨论的问题决定.7-1-3在干燥的冬季人们脱毛衣时，常听见噼里啪啦的放电声，试对这一现象作一解释.7-1-4带电棒吸引干燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒.试解释此现象.答：(1)木屑被吸引移向带电棒的原因：力，所以木屑总是被吸引移向带电棒.(2)木棒剧烈地跳离带电棒的原因：棒上的正电荷排斥，便又立即跳离带电棒.即木屑总是先被吸引，接触到棒以后，又剧烈地跳离带电棒.7-2-1判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)电场中某点电场强度的方向就是将点电荷放在该点处所受电场力的方向；(2)电荷在电场中某点受到的电场力很大，该点的电场强度E一定很大；(3)在以点电荷为中心、r为半径的球面上，电场强度E处处相等.答：(1)不一定，这取决于该点电荷所带的电荷量.有以下两种情况：电场力方向就更不能说是所在点的电场方向.(2)不一定.原因如下：量有关，即F=qE;a.该电荷可以当作是点电荷处理b.该点电荷不能当作点电荷处理该电荷在电场中的线度比较大，此时所受到的电场力就无法说明是哪一点的电场强度.(3)不准确.电场强度是一矢量，既有大小也有方向.②方向不同同一球面上不同的点其径向不同，所以就电场强度方向来说不同点有不同的方向(电场强度方向沿半径方向).因此，电场强度E并不处处相等.722根据点电荷的电场强度公式当所考察的场点和点电荷的距离r→0时，电场强度E→0,这是没有物理意义的，对这似是而非的问题应如何解释?答：当场点和电荷距离很近时，该电荷已不能再看作是点电荷了，即在r→0时点电荷的模型不成立，那么点电荷的电场强度公式也不能用，即推不出E→0.7-2-3点电荷q如只受电场力的作用而运动，电场线是否就是点电荷q在电场中运动的轨答：不一定.(1)在一般情况下，电场线并不能代表点电荷q在电场中的运动轨迹电场线上任一点的切线方向反映了该点电场方向，是点电荷q在该处受到的电场力方向，也即加速度的方向.而电荷运动轨迹上任一点的切线方向是电荷在该点的速度方向.加速度的方向并不总是和速度的方向一致，因此点电荷q不可能总是沿电场线运动.如：一正点电荷q以初速度vo入射一平行板电场，如图7-1-1所示，其电场线由上板指向下板，即电场力(加速度)方向总是垂直向下，而运动轨迹是一条曲线，电子速度沿其切线方向，与加速度方向并不重合.(2)在某些特殊的情况下，点电荷也有可能沿电场线运动①初速度为零的正点电荷q在平行板电场中的运动轨迹就与电场线重合；②在点电荷Q的非均匀电场中，初速度为零的正点电荷q沿径向电场线运动.上述两种情况速度与加速度方向一致，电场线都是直线，运动轨迹也是直线.图7-1-1正点电荷q在平行板电场中的运动7-2-4在正四边形的四个顶点上，放置四个带相同电荷量的同号点电荷，试定性地画出其电场线图.答：可分为两个步骤：(1)画出两个带相同电荷量的同号点电荷的电场线图正电荷的电场线总是从电荷出发呈辐射状的，对于两个正电荷的系统，它们的电场线在空中相遇不能相交，只能相互排斥改变路径.同时在两个正电荷连线的中点电场强度为零，即该处的电场线密度为零.因此两个正电荷系统的电场线可描绘如图7-1-2(a)所示.(2)画出四个带相同电荷量的同号点电荷的电场线图当一正四边形的四个顶点上都放上正点电荷时，边线中点的电场强度不再为零，此时对角线中点电场强度为零，即正四边形中心处电场线密度为零.由此正四边形的四个顶点上都放上正点电荷系统的电场线可描绘如图7-1-2(b)所示.图7-1-2正点电荷系统的电场线7-3-1如果在高斯面上的E处处为零，能否肯定此高斯面内一定没有净电荷?反过来，如果高斯面内没有净电荷，能否肯定面上所有各点的E都等于零.答：(1)能肯定此高斯面内一定没有净电荷.因为若在高斯面上的E处处为零，那么穿过该高斯面的E通量必定等于零，即又根据高斯定理,所以相等，净电荷为零.(2)不能肯定面上所有各点的E都等于零.原因如下：①若高斯面内没有净电荷，即只能说明穿过该高斯面的总E通量必定等于零，即,此时没有电场(E=0)或进入高斯面的E通量等于从高斯面穿出的E通量，E通量总和为零，在这种情况下面上所有各点的E就不一定等于零；变量一定等于零.7-3-2(1)一点电荷q位于一立方体的中心，立方体边长为1.试问通过立方体一面的E通(2)如果把这个点电荷移放到立方体的一个角上，这时通过立方体每一面的E通量各是多答：(1)方体的E通量为其包围的中心电荷q除以Eo.由图，利用对称性，可知通过每个面的E通量是总E通量的六分之一，即图7-1-3点电荷位于大立方体的中心(2)如果把这个点电荷移放到立方体的一个角上，那么可以添加七个相同的立方体，构成如图7-1-3所示边长为21的大立方体，此时该点电荷位于大立方体的中心，通过大立方体的E通量仍为大立方体共有24个以1为边长的面，其中原立方体有3个边长为2的面暴露在这个边长为21的立方体外面，那么通过它们每一面的E通量各是另有3个面在大立方体内，由q发出的电场线均与它们相切，即没有E通量通过它们.7-3-3一根有限长的均匀带电直线，其电荷分布及所激发的电场有一定的对称性，能否利用高斯定理算出电场强度来?答：不能.因为当电荷分布具有某些对称性时，相应的电场分布才具有一定的对称性，只有找到以下两种闭合面才能应用高斯定理求解电场强度：(1)电场强度垂直于这个闭合面，且大小处处相等的高斯面；(2)在闭合面的某一部分上电场强度处处相等且方向与该面垂直，另一部分上电场强度与该面平行，因而通过的E通量为零的高斯面.本例中电荷分布和相应的电场分布都具有一定的对称性，但其电场线除带电线表面处外，大多不是垂直于带电线的直线，特别是在靠近带电直线的两端，电场线弯曲十分明显，不能找到满足上述条件的高斯面，因此不能利用高斯定理来计算电场强度.如图7-1-4所示，如果作一以有限长均匀带电直线为中心的圆柱面为高斯面，无论在该高斯面的上下底面还是侧面的电场强度方向都不与之垂直或平行，明显地不符合用高斯定理求电场强度的条件.图7-1-4有限长的均匀带电直线的电场线7-3-4如果点电荷的库仑定律中作用力与距离的关系是Fα1/r或F×1/r²+8(δ是不等于零的数),那么还能用电场线来描述电场吗?为什么?答：不能.因为电场线起自正电荷(或来自无限远处),终止于负电荷(或伸向无限远处),不会在没有电荷的地方中断或产生.由高斯定理可知，通过任一闭合曲面的E通量(电场线的条数),只取决于该曲面内电荷量的多少，而与闭合曲面的形状大小无关.因此对一点电荷电场应用高斯定理，仅当δ=0时，才能用电场线来描述电场.假如有两电荷q与qo,则库仑定律中作用力与距离的关系是那么点电荷q的电场应该为这时通过以q为中心半径为r的球面的E通量为显然，此时通过半径为r的闭合球面的E通量与半径为r有关.如果8=-3,则如：分别以r=1m和r=2m为半径作两个球面，那么通过r=1m的球面的E通量是而通过r=2m的球面的E通量是通过后者的电场线的条数翻了几番.这多出的电场线是在电场空间中自然生长出来的.如果仍用电场线密度来表示电场强度，那么在r=1m处的电场强度是,处的电场强度,,得到“点电荷q的电场强度随着r的增大而增强”的荒唐结果，因此用这样的“电场线电场就毫无意义了.不难演算，只要δ≠0,通过闭合球面的电场线条数就不会是常数.所以，库仑定律中作用力与距离的关系必须是作用力与距离平方的反比关系(δ=0),这样，一定的电荷发出的电场线才不会在空中自然生长或自然消失，使得高斯定理成立，保证了用电场线正确地描述电场.§7-4静电场的环路定理电势7-4-1比较下列几种情况下A、B两点电势的高低.(1)正电荷由A移到B时，外力克服电场力作正功；(2)正电荷由A移到B时，电场力作正功；(3)负电荷由A移到B时，外力克服电场力作正功；(4)负电荷由A移到B时，电场力作正功；(5)电荷顺着电场线方向由A移动到B;(6)电荷逆着电场线方向由A移动到B.答：A、B两点电势差(VA-VB)与电场力把电荷q0从A点移到B点所作的功AAB的关系是(4)此时电场力作正功，由于qo<0,即AAB(5)此时场力作正功，由于qo>0,即AAB>0,所以有VA>VB,因此A点的电势高于B点；点.7-4-2(1)如图7-1-5(a)和(b)所示的两电场中，把电荷+q从点P处移到点Q电场力是作正功还是作负功?P、Q两点哪点的图7-1-5不同的电场②由(b)图可知P点的电势比Q点低(电场线指向电势低方向),因此电场力把电荷+q②在图(b)的电偶极子电场中，同一等势面上各点处的等势面间距不相同，电场强度大小也不相等(各图中虚线表示等势面，实线表示电场线，每相邻的两个等势面之间的电势差都是相等的).③在两电荷连线之间的等势面间距最小，说明电势梯度大，电场强度就大，在两电荷连线的中垂线上等势面间距最大，说明电势梯度较小，电场强度就小.从图中可以看到等势面越密处电场强度越大，等势面越疏处电场强度越小，由此就能将电场中电场强度与电势之间的关系直观地表示出来.§7-5电场强度与电势梯度的关系7-5-1(1)已知电场中某点的电势，能否计算出该点的场强?(2)已知电场中某点附近的电势分布，能否算出该点的场强?答：(1)不能.因为静电场中各点的电场强度由该点电势梯度的负值来决定，即而不是由该点的电势值决定，所以仅知道电场中某点的电势是不能计算出该点的场强的.(2)能.因为可以利用该点处电势分布函数的梯度，来计算该点的电场强度.7-5-2根据场强与电势梯度的关系分析下列问题.(1)在电势不变的空间，电场强度是否为零?(2)在电势为零处，场强是否一定为零?(3)场强为零处，电势是否一定为零?(4)在均匀电场中，各点的电势梯度是否相等?各点的电势是否相等.答：由场强与电势梯度的关(1)是.因为空间中电势恒定不变，则其梯度等于零，所以电场强度为零.如：一个带电的金属球，其电势是一常数，恒定不变，而球内各点的电场强度为零.(2)否.因为决定电场强度的是该点附近的电势分布，而不是该点的电势值.如：电偶极子中垂线上各点的电势均为零，但电场强度都不为零.(3)不一定.因为如果该点附近的电势没有变化是一常数值，那么电势梯度为零，电场强度必定为零，而电势仍可以是一相对零电势点很高的值.如：一个带电的金属球，其内部各点的电场强度均为零，但各点的电势可以是一不为零的常数值.(4)①各点的电势梯度相等因为在均匀电场中，各点的电场强度值相等，电势梯度为一常数；②各点的电势不一定相等因为在不同的方向上，电势变化率是不一样的，在沿电场方向电势空间变化率为最大，也就是说在这个方向上的电势在作最大的线性增加；在垂直于电场线方向上电势空间变化率最小为零，在这个方向上各点的电势相等.例如：平行板电容器内的电场是一均匀电场，各点的电场强度大小相等，在垂直平行板方向上各点的电势随距离线性增加，而在平行于平行板方向上各点的电势有相同的大小，但不同的平行面上有不同的电势值.7-5-3试用说明改变零点电势的位置并不会影响各点电场强度的大小.答：在静电场中，确定了零点电势位置后，每一点都有确定的电势值，这个电势值就是该点相对于零点电势位置的电势差.如果改变零点电势的位置，那么电场空间中任一点的电势只会产生一恒定的电势变化，即Vo是新零点电势位置相对原零点电势位置的电势差值，是个常量.将上式代入有可见电势梯度值没有发生变化，即电场强度的大小不受影响.§7-6静电场中的导体7-6-1将一电中性的导体放在静电场中，在导体上感应出来的正负电荷量是否一定相等?这时导体是否是等势体?如果在电场中把导体分开为两部分，则一部分导体上带正电，另一部分导体上带负电，这时两部分导体的电势是否相等?答：(1)一定相等，因为导体放在静电场中后，静电感应只使导体中的电荷重新分布，并没有失去或得到电子，所以，从整体看感应出来的正负电荷量仍旧相等.(2)是等势体，因为静电场中的导体，在静电平衡条件下，尽管导体表面分布有不同的电荷，但并没有电荷的移动，所以导体是一等势体，表面是一等势面.(3)不相等，因为此时破坏了原来的静电平衡，分开的两部分重新建立了自己的静电平衡状态，但一部分导体带正电，另一部分导体带负电，所以它们的电势不再相等.7-6-2一个孤立导体球带有电荷量Q,其表面附近的场强沿什么方向?当我们把另一带电体移近这个导体球时，球表面附近的场强将沿什么方向?其上电荷分布是否均匀?其表面是否等电势?电势有没有变化?球体内任一点的场强有无变化?答：(1)此时球外任一点的电场方向或者沿径向(Q>0),或者沿径向相反的方向(Q<0),导体球表面附近的电场强度方向也如此；(2)球表面附近的电场强度将是导体球的电场与另一带电体的电场的叠加，叠加后的电场强度方向将依然垂直于导体球表面，根据导体球所带电荷的正负，电场强度的方向或者沿径向(Q>0),或者沿径向相反的方向(Q<0);(3)此时整个空间的电场分布将会发生变化，导体球表面的电荷分布也将发生变化，不再是均匀的了；(4)由于整个空间的电场E发生了变化，导体球的电势也不同.不过此时导体球仍处于新的静电平衡状态，其电势虽然会发生变化，但仍为一等势体，其表面是也依然是等势面；(5)在静电平衡状态下，导体内任一点的电场强度总是零，所以即使把另一带电体移近这个导体球，球体内的电场强度也还是零，没有变化.7-6-3如何能使导体(1)净电荷为零而电势不为零；(2)有过剩的正或负电荷，而其电势为零；(3)有过剩的负电荷而其电势为正；(4)有过剩的正电荷而其电势为负.答：(1)在一原来不带电的导体球壳的中心放一个带电荷量q(设q>0)的导体小球，如图7-1-7(a)所示.此时由于静电感应，球壳内外表面分别带有-q和+q的电荷，但整体上说导体球壳的净电荷为零，如果选取无限远处为零电势位，那么球壳的电势为(2)导体球壳接地，如图7-1-7(b)所示.此时球壳外表面的电荷将流入大地，导体球壳内表面有-q的净电荷，而球壳的电势因接地而等于零；(3)令导体球壳带Q的电荷，如图7-1-7(c)所示.此时设Q<0,为负电荷，且|q>IQ|,如果选取无限远处为零电势位，那么球壳的电势为,为正电势；(4)此时如果导体球壳带正Q的电荷，而中心导体小球带负电荷量q,且|q>IQ|,如果选取无限远处为零电势位，那么球壳的电势为,为负电势.图7-1-7球壳在不同情况下的电势7-6-4如图7-1-8所示，在金属球A内有两个球形空腔，此金属球体上原来不带电，在两空腔中心各放置一点电荷qi和q2,求金属球A的电荷分布.此外，在金属球外很远处放置一点电荷q(r>>R),问qi、q2、q各受力多少?答：(1)①球体外表面电荷分布由于静电感应，在两空腔内表面和球体外表面都会产生感应电荷，其中q₁所在的空腔内表面有-q1的感应电荷，q2所在的空腔内表面有-q₂的感应电荷，当金属球外没有其他电荷时，在球体外表面有qi+q2的感应电荷；②空腔内表面的感应电荷分布由于点电荷qi和q2分别置于两空腔中心，所以空腔内表面的感应电荷-qi和-q2是均匀分布③球体外表面的感应电荷分布由于金属球体内的电场为零，感应电荷-q₁和-q₂相当于被屏蔽起来了，对外不产生作用，所以球体外表面的感应电荷qi+q₂也是均匀分布的.(2)由于在静电平衡条件下金属球内的电场为零，所以qi、q2与q三个电荷之间以及电荷qi、q₂与球体外表面的感应电荷qi+q₂之间都不存在相互作用力，但电荷qi+q₂与外电荷q之间存在相互作用力.在r>>R的条件下，金属球在r处的电场可以看作是点电荷的电场强度,所以点电荷q所受到的电场力为7-6-5一带电导体放在封闭的金属壳内部，(1)若将另一带电导体从外面移近金属壳，壳内的电场是否会改变?金属壳及壳内带电体的电势是否会改变?金属壳和壳内带电体间的电势差是否会改变?(2)若将金属壳内部的带电导体在壳内移动或与壳接触时，壳外部的电场是否会改变?(3)如果壳内有两个带异号等值电荷的带电体，则壳外的电场如何?答：(1)①否，在静电平衡条件下，导体内的电场强度总等于零，因此移动金属壳外的带电导体，金属壳体内的电场强度最终总是零，即壳内的电场维持不变；②是，金属壳及壳内带电体的电势并不由哪一点或者哪一局部区域的电场决定的，根据电势的公式,其中的E是P点至无限远(零电势位)任一路径上的电场分布，一带电导体在金属壳外面移动时，金属壳外的电场会不断发生变化，因此金属壳以及壳内的电势均会有变化；③否，从求电势差的公式可知，A与B两点之间的电势差由它们之间的电场强度E决定，当一带电导体在金属壳外面移动时，壳内的电场维持不变，因此金属壳和壳内带电体之间的电势差也不会改变.(2)否，因为金属壳体内的电场强度总是零，它不会影响到金属壳外表面的电荷分布，所以壳外的电场没有变化.(3)壳外没有电场，因为如果壳内有两个带异号等值电荷的带电体，那么在金属壳外表面的感应电荷为零，此时壳体本身内的电场强度为零，壳外也没有电场.§7-7电容器的电容7-7-1(1)一导体球上不带电，其电容是否为零?(2)当平行板电容器的两极板上分别带上等值同号电荷时与当平行板电容器的两极板上分别带上同号不等值的电荷时，其电容值是否不同?答：(1)不为零，因为导体的电容取决于导体本身的大小、形状以及导体周围的介质，而与导体是否带电无关，所以导体球即使不带电，其电容仍客观存在；(2)相同，因为平行板电容器的电容仅取决于平行板的面积、两板之间的距离以及两板之间的介质，与平行板电容器的两极板上带电还是不带电，或者带多少电、什么符号的电量无7-7-2两个半径相同的金属球，其中一个是实心的，另一个是空心的，电容是否相同?答：相同.原因有以下两点：①导体的电容只与导体的大小、形状和周围介质有关，在真空中一个半径为R的孤立球形导体的电容C=4πE₀R,只取决于球的半径R,所以两个半径相同的金属球，不论是实心的还是空心的，电容都相同；②电容是储存电荷的器件，而金属球带电时，其电荷仅分布在金属球表面，所以将实心球挖空变成空心球，其储存电荷的能力和其他静电性质(如电势)都没有发生什么变化.7-7-3有一平板电容器，保持板上电荷量不变(充电后切断电源),现在使两极板间的距离d增大.试问：两极板的电势差有何变化?极板间的电场强度有何变化?电容是增大还是减小?答：(1)电势差的变化：两极板间的电势差正比于两极板间的距离d,即U=Ed,如果两极板间的距离d增大，两极板间的电势差也就成正比的增加；(2)电场强度的变化：在平板电容器两极板间的距离远远小于平板面积的线度的情况下，(3)电容的变化：平板电容器的电容反比于两板之间的距离d,为,所以两极板间的距离d增大时，平行板电容器的电容将会减小.7-7-4平板电容器如保持电压不变(接上电源),增大极板间距离，则极板上的电荷、极板答：(1)极板上的电荷的变化：电容器极板上的电荷与电容有关，Q=CU,在保持极板上电压U不变的情况下，其电荷量Q因电容C的减小而减少；(2)极板间的电场强度的变化：极板间的电场强度,将随电荷量Q的减小而减弱.或者从另一方面说，由极板间的电场强度E与极板上电压U与两极板间距离d的关系可以直接看出，在电压U保持不变时，电场强度E随间距d的增加而减弱；(3)平板电容器的电容变化的变化：由于平板电容器的电容与其带电状态无关，所以在平板电容器两极板间的距离远远小于平板面积的线度的情况下，只要增大极板间距离d,其电7-7-5一对相同的电容器，分别串联、并联后连接到相同触及极板较为危险?说明其原因.电体的电压并非十分高(人体的安全电压仅为36V),但在人体内流过的电流产生的热量仍足以烧伤人体.(1)不断开电源时如果不断开电源(图7-1-9(a)),在本题所讨论的情况下，这对电容器不管是串联还是并为此时它们的电压都稳定地等于电源电压.在图7-1-9(a)中用虚线表示人体去触摸电路人体的等效电阻为R.由电路分析可知，加在人体上的电压和流过人体的电流都是一样的.当然如果触摸串联电容器的B板，由于其电压仅为电源电压的一半，危险性也将减小一半.(2)断开电源时并联的这对电容器更危险，因为如果这对电容器充电后断开电源(图b),并联的这对电容器的等效的电容量(C并=2C)比这对电容器串联时的等效的电容量(C用=C/2)大，相应并联时的电能是串联时的4倍，因此去触摸它们时，并联电能更多，也就有更大的危险性.图7-1-9电容器串联、并联与人体的等效电路(1)电介质在电场中极化时，在电介质表面层或在体内会出现极化电荷，它们是电介质的(2)电介质极化后，电介质内的电场强度不为零，而导体静电感应时其内部的电场强度总为零.7-8-2如果把在电场中已极化的一块电介质分开为两部分，然后撤除电场，问这两半块电介质是否带净电荷?为什么?下发生相对位移(无极分子)或分子电偶极矩沿电场取向排列(有极分子)的结果.电介质分子的这种微观移动不仅发生在电介质表面层，而且发生在整个分开为两部分，撤除电场后每一部分也不会出现净电荷.7-8-3(1)将平行板电容器的两极板接上电源以维持其间电压不变，用相对电容率为ε的均匀电介质填满极板间，极板上的电荷量为原来的几倍?电场为原来的几倍?(2)若充电后切断电源，然后再填满介质，情况又如何?答：(1)设电源电压为U,未填满电介质时的电容为Co.此时电容器的两极板仍与电源相接，电压不变，那么极板上的电荷量为与a.由于极板电压不变，两板之间的距离也没有变，所以两极之间的电场强度也没有b.虽然填满电介质后会削弱电场强度，但因为填满电介质后极板上的电荷量也相应地增加了，电场强度又应该增加，而者的效应抵消了，维持电场强度不变.(2)①电荷量固定不变若充电后切断电源，极板上的电荷量Qo=C₀U固定不变；由公式口可知电容器的电容量C和电势差U都发生了变化，即电容增加为原来的占εr倍，而电压减少至原来的1/cr倍.此时两板之间的距离没有变，所以填满介质后电场强度将削弱为原来电场强度的1/cr倍.§7-9有电介质时的高斯定理电位移7-9-1在一均匀电介质球外放一点电荷q,分别作如图7-1-10所示的两个闭合曲面S₁和S₂,求通过两闭合曲面的E通量、D通量.在这种情况下，能否找到一合适的闭合曲面，可应用高斯定理求出闭合曲面上各点的场强?图7-1-10答：不能.该均匀电介质球置于点电荷q的电场后，电介质球表面分别产生了极化电荷+q'和-q',因此按高斯定理通过闭合曲面S₁的E通量是在S₁内没有包围任何自由电荷，所以通过闭合曲面S₁的D通量是对于闭合曲面S₂来说，它所包围的电荷有极化电荷+q'和-q'以及自由电荷qi因此通过S₂的E通量是此时闭合曲面S₂内有自由电荷q,所以通过闭合曲面S₂的D通量是无论在闭合曲面S₁、S₂上，或者空间其他地方的电场都是+q'、-q'和q共同激发的结果，这个电场分布没有什么对称性，找不到一个合适的高斯面，因此无法应用高斯定理求出闭合曲面上各点的场强.7-9-2在球壳形的均匀电介质中心放置一点电荷q,试画出电介质球壳内外的E和D线的分布.在电介质球壳内外的场强和没有介质球壳时是否相同?为什么?答：假定电介质球壳内外半径分别是R₁和R2,在电介质球壳内外的场强和没有介质球壳时是相同的.(1)可以用高斯定理来证明：在电介质球壳内以点电荷q为中心作一球形高斯面，由于对称性，高斯面上的电场强度处处相等，方向沿球面的径向，利用高斯定理得出介质球壳内(r<R₁)的电场强度为,电介质球壳的存在并没有影响到介质球壳内的电场分(2)同样地，在电介质球壳外(r>R₂)也以这样的方法作一球形高斯面，它包围了点电荷q和介质球壳内外表面的极化电荷，但因介质球壳内外表面的极化电荷总和为零，通过高斯面的E通量仍为,这样介质球壳外的电场强度还是与不存在介质球壳的情况一样.需要说明的是，在介质球壳壳体内(R₁<r<R₂)的电场强度是削弱了，为由上述分析可画出电介质球壳内外的E和D线的分布图，如图7-1-11所示.由图可看出，D线起始于中心的点电荷q(假定它是正电荷),由于介质球壳上没有自由电荷，所以所发出的D线伸展至无限远；E线也发自中心的点电荷q,一部分终止于介质球壳内表面的负极化电荷，另一部分伸展至无限远，同时介质球壳外表面的正极化电荷也发出E线并伸展至无限远.图7-1-11电介质球壳内外的E线和D线§7-10静电场的能量7-10-1电容分别为C,和C₂的两个电容器，把它们并联充电到电压U和把它们串联充电到电压2U,在电容器组中，哪种形式储存的电荷量、能量大些?答：并联充电到电压U储存的电荷量更多.(1)将两电容并联充电到电压U时两电容器并联的等效电容为C=C₁+C₂,把它们充电到电压U后所储存的电荷量和能量分别是(2)将两电容串联充电到电压2U时两电容器串联的等效电容为把它们充电到电压2U后所储存的电荷量和能量分别是两种情况所储存的电荷量和能量的比值分别是由分析可得，无论C₁和C₂为何值，比均大于1,所以有q>q",即并联充电到电压U储存的电荷量更多.对于储存的能量似不能直观地看出，我们编写MATLAB程序段，令C₁=0.1C2,0.2C₂,…,10C₂,画出W'W”(程序及图中为W1/W2)的变化曲线如下：plot(k,p)xlabel('C1/C2');ylabel('W由曲线可见，仅当C₁=C₂时，W'=W",即两种情况所储存的能量一样多；在其他任何C₁≠C₂时，都有W>W",即并联充电到电压U储存的能量更多.7-10-2一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化?如果在灌油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化?答：(1)容器储存的能量降为原来的1/sr,因为电容器充电并切断电源后极板上的电荷没有变化，而灌人煤油后，由电容器能量公知，电容增加了εr倍，所以电容器储存的能量降为原来的1/sr;(2)电容器储存的能量增加了Er倍，因为如果在灌油时电容器一直与电源相连，那么电容器两极板的电势差保持不变，由可知，电容增加了εr倍，所以电容器储7-1在真空中，两个等值同号的点电荷相距0.01m时的作用力为10-⁵N,它们相距0.1m时的作用力为多大?两点电荷所带的电荷量是多少?解：(1)根据题意，设两点电荷相距"1时的库仑力的大小为F,相距2时的库仑力的大小为F₂,由库仑定律，两个点电荷间作用力的大小为：(2)由,可得：q=√4πerF₂=3.33×10-c7-2在边长为2cm的等边三角形的顶点上，分别放置电荷量为qi=1.0×10-6C、q2=3×10-6C(1)哪一个点电荷所受的力最大?(2)求作用在q₂上力的大小和方向.解：(1)根据题意，建立坐标系如图7-2-1所示.点电荷91坐标为(-1,0),92坐标为(1,0),93坐标为(0.√5),图中标明了三电荷各Fq₃q₁=Fq₁q₃.又因为q₁`q₃电量大小相等，所以：Fq:9:=Fq:a而Fq₃9与Fa₂911夹角,Fq₂93与Fq₁93夹角由余弦定理知93所受合力大于92所受合力.(2)由题意可得点电荷1、93对92的库伦力分别为：由图7.1可知上述二力夹角,所以92所受合力为67.5N,方向延X轴正方向.的实验：两相同的金属小球用两根相同长的悬线吊在0点上(见图7-2-3),如果它们均带图7-2-3解：根据题意，以带电小球为研究对象，其受力情况如图7-2-4所示.图7-2-4设小球受库仑力为,当小球受力平衡时，有Frsinθ=F,F-cos8=mg,可得解将已知条件代入上述方程可得：解对上式等号两边取对数，可得：7-5粒子快速通过氢分子中心，其轨迹垂直于两核的连线，两核的距离为d,如图7-2-5所示.问α粒子在何处受到的力最大?假定α粒子穿过氢分子中心时两核移动可忽略，同时忽略分子中电子的电场.图7-2-5解：沿水平方向建立X轴，取向左为正向，如图7-2-6所示.图7-2-6α粒子总是位于两核连线的中垂线上.当它与连线的距离为x时受力情况如图7-2-6所示，7-6在直角三角形ABC的A点，放置点电荷qi=1.8×10C,在B点放置点电荷q₂=-4.8×10-9C.已知BC=0.04m,AC=0.03m.试求直角顶点C处的电场强度.解：根据题意，建立直角坐标系Oxy,取C为原点，如图7-2-7所示根据场强的叠加原理，C点的合场强为：Ec的大小为：Ee=√Ei+E{=3.Ec与水平方向夹角为：7-7如图7-2-8所示的电荷分布称为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成.证明在电四极为这种电荷分布的电四极矩.,题目得证.图7-2-97-8长1=15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为λ=5×10-⁹C/m的电荷(如图7-2-10).(1)在导线的延长线上与导线一端B相距d=5cm的点P处的电场强度；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d=5cm处的Q点的电场强度.图7-2-10解：(1)以P为原点，直导线AB为X轴建立坐标系，取PA为坐标轴正方向，取AB上一段微元dx,其对P点的场强为积分得合场强为：(2)以直导线AB中点为原点，AB为X轴建立坐标系，如图7.11所示.由对称性可知Q点场强X轴分量为0,合场强分布在y轴，E=E取AB上一段微元dx,有由图7.-2-11可知,代入上式有积分得合场强：图7-2-117-9一电偶极子原来与一均匀电场平行，将它转到与电场反平行时，外力作功0.1J.问当此电偶极子与电场强度成45°角时，作用于它的力偶矩有多大?解：在均匀的电场中，电偶极子受力矩大小为M=p,Esinθ.由题意可知，在θ由0°转到180°的过程中，外力作功：当θ=45时，作用于它的力偶矩为：7-10用细绝缘线弯成的半圆形环，半径为R,其上均匀地带正电荷Q,求圆心O点处的电场强度.解：根据题意，建立坐标系，如图7-2-12所示.图7-2-12由题意可知Q>0,在半圆形环上任取一电荷元dq=λdl,则该电荷元在圆心O点处的电场,方向如图7212所示，式中，,dl=Rde.因为电荷的对称分布，所以圆心0点处的电场强度方向沿X轴正方向，其大小为：半径为rsinθ,环心在-x处.E指向X轴正方向.处为-6×10-8C.计算通过以(0,0)为球心，半径为5m的球面上的总E通量.解：由题意可知，三个电荷均在半径为5m的高斯面包围之中，则高斯定理：7-14如图7-2-14所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆形平面.设q在垂直于平面并通过圆心O的轴线上点A处，点A与圆心O的距离为d.试计算通过此平面的E通量.通过球冠面S的E通量即通过圆形平面的E通量为：中、=[E·dS=ES可得：7-15图7-2-15中电场强度的分量为E,=bx²,E,=E₂=0,式中设(1)通过立方体表面的总E通量；(2)立方体内的总电荷量.图7-2-15解：(1)由题意可知，通过立方体表面的总E通量，数值上与通过立方体左右两个侧面的E通量相等：屮，=中+出，=E₁·S+E₂·S=(E₂-E₁)S=(b√2d-b/d)d²=1.05Nm²/C(2)根据高斯定理可得立方体内包围的电荷量：7-16(1)地球的半径为6.37×10⁶m,地球表面附近的电场强度近似为100V/m,方向指向地球中心，试计算地球带的总电荷量；(2)在离地面1500m处，电场强度降为24V/m,方向仍指向地球中心.试计算这1500m厚的大气层里的平均电荷密度.解：(1)根据题意，取地球表面作为高斯球面，由高斯定理有：(2)在距地面1500m处作一高斯球面，由高斯定理有：大气层体积为：大气层里的平均电荷密度为：7-17在半径分别为10cm和20cm的两层假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度为解：(1)如图7-2-16所示，以O为球心，由题意知高斯面内电荷为0,因此离球心5cm处的场解：(1)当r<R时，以r为半径作高斯面，有高斯定理(2)当r>R时，有高斯定理因此可得场强分布作出的E-r曲线如图7-2-17所示.图7-2-177-19厚度为0.5cm的无限大平板均匀带电，电荷体密度为1.0×10-C/m³.求：(1)薄层中央的电场强度；(2)薄层内与其表面相距0.1cm处的电场强度；(3)薄层外的电场强度.解：(1)由对称性可知，薄层中央电场强度为0.(2)如图7-2-18(a)所示，做高斯面，有：由图7-2-18(a)可知：,pV=pSd则由高斯定理，有：代入已知条件，有：(3)做圆柱形高斯面，如图7-2-18(b)所示，由高斯定理，有：可得：图7-2-187-20在半径为R,电荷体密度为P的均匀带电球内，挖去一个半径为r的小球，如图7-2-19所示.试求：O、O'、P、P'各点的电场强度.0、O'、P、P'在一条直线上.图7-2-19解：设大、小带电球体的场强分别为E1和E2,则各点的合场强为：:E=E₁+E,.根据高斯定理，对大球和小球分别可得E1和E₂为：式中，I表示从O点出发的矢径大小，表示沿矢径向外的单位矢量，表示从O点出发的矢径大小，表示沿矢径向外的单位矢量.在O点时，由于r"=0,故E=0,在P点时，有EE+E,是大球在P点产生的场强，E₂是小球在P点产在p"点时，有E=E+E,是大球在P"点产生的场强，E₂是小球在P"点产7-21半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为p,求电场强度分布，并作E-r曲线.解：当r<R时，在圆柱体内取半径r,高的同轴闭合圆柱面S1,对圆柱面S₁应用高斯定所以，圆柱体内电场强度大小为：当r>R时，在圆柱体外，取半径r,高l的同轴闭合圆柱面S₂,对圆柱面S₂应用高斯定理因此，圆柱体外电场强度大小为：图7-2-207-22点电荷q₁、q₂、q₃、q4的电荷量各为4×10⁻9C,放置在一正方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心点O的距离均为5cm.(2)将一试探电荷qo=10-⁹℃从无穷远移到O点，电场力作功多少?(3)问(2)中所述过程中qo的电势能的改变为多少?解：(1)由电场强度的叠加原理可知，0点的合场强为零，即E。=0.由电势的叠加原理可知，0点的电势为：(2)电场力作功为电势能的变化：W=qUn-qU.=q0-2.88×10³)=-2.(3)由(2)可知，电势能增加2.88×10-⁶J.7-23如图7-2-21所示，已知r=6cm,d=8cm,qi=3×108C,q₂=-3×108C.求：(1)将电荷量为2×10-⁹℃的点电荷从A点移到B点，电场力作功多少?(2)将此点电荷从C点移到D点，电场力作功多少?A=q₀(VA-Vs)=2×10⁻⁹×(1.8×10A=q₀(Vc-Vp)=2×10-(-1.8×10图7-2-237-25半径为2mm的球形水滴具有电势300V.求：(1)水滴上所带的电荷量；(2)如果两个相同的上述水滴结合成一个较大的水滴，其电势值为多少(假定结合时电荷没有漏失)?解：(1)设水滴带电量为q,由均匀带电球面的电势,可得到水滴带电量：(2)设合成的水滴电势为U1,则7-26两个同心球面，半径分别为10cm和30cm.小球面均匀带有10-8C正电荷，大球面带有1.5×10-8C正电荷.求离球心分别为20cm、50cm处的电势.解：设一球面半径为R1、带电量为q1,另一球面半径R2、带电量为q2,由高斯定理可得处的电势为：7-27电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，试证离球心r处(r<R)的电势为证明：以r为半径作球面，带电球体可以分割成半径为r的球体和厚度为(R-r)的球壳的两由带电球体表面的电势知，半径为r的球体V₂是厚为(R-r)带电球壳在其内表面的电势，因为带电球面内的电势等于表面的电势，看将球壳分割为无数厚度为dr的微元薄球壳，则r处在微元每个薄球壳的内部.每个薄球壳所带的电荷量为dg=p4π²dr,电势为,因此：那么,离球心R处的电势：7-28如图7-2-24所示，在边长为1m的正方形的左上角有一点电荷qo=10-¹²C,左下角有一点电荷q₁=-10-¹2C,电荷量为q2=10-¹'