2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）（含答案）

2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1．（24-25高三上·上海·期中）数列an满足：an为正整数，an+1=an2,2．（24-25高三上·全国·自主招生）数列an，a1=2，.3．（2024高三·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和Sn=n4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列an满足：a1=1且anan−1=题型2题型2求数列的最大项、最小项5．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）数列an的通项an=nn2+56．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n22n7．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列an的通项公式an=n−197n−1988．（23-24高二下·广东·阶段练习）在数列an中，an=2n−178n题型3题型3求等差数列的前n项和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=3,a10．（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=15,(n+1)an−nan+1=2n(n+1),n∈11．（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1<0，S6=S2012．（23-24高二上·河南洛阳·期末）首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为S①若S8<S②若S11=0，则③若S13>0,S14<0④若S2=S10，则使其中所有真命题的序号是．题型4题型4求等比数列的前n项和及其最值13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为l的等比数列an满足a1+a3=5，且a1,a3,a2构成等差数列．记S14．（24-25高三上·山东聊城·期中）等比数列an的前n项和记为Sn，若S2=−1,S815．（2024·河北邯郸·模拟预测）记Sn为等比数列an的前n项的和，若a3+a4=1，16．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a5=82，a2⋅a4=81，记数列2an题型5题型5等差、等比数列的综合应用17．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，b5=318．（2024·湖北襄阳·二模）已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.数列an和bn中的所有项分别构成集合A19．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）正项等比数列|an满足a1+a3=54，且2a2,20．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1、a3、a7成等比数列，设bn=a题型6题型6数列的求和21．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an满足2n−1a1+2n−2a2+⋯+2an−122．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设数列an满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−123．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数fx=4x4x+2，数列an满足24．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列an的首项a1=1，且an+1+an=3⋅2n题型7题型7数列不等式25．（24-25高二上·上海·期中）设Sn是数列an的前n项和，a1=14，且对任意正整数m，n，都有am+n=a26．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列an中，a1=1,an+1=3an+427．（2024高二·全国·专题练习）在数列an中，a1=3，3a1a2+3a2a328．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列an的通项公式是an=2n−1，记bm为an在区间m,2mm∈N题型8题型8新情景、新定义下的数列问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若数列an满足1an+1−1an=d（n∈N∗，d为常数），则称数列an30．（2024·北京通州·三模）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn,cn+1]，则称数列{b①存在等差数列{an}，使得{an②存在等比数列{an}，使得{an③存在等差数列{an}，使得{Sn④存在等比数列{an}，使得{Sn31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定义np1+p2+⋯+pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为32．（24-25高三上·北京朝阳·期中）对于无穷数列an，若存在常数M>0，使得对任意的n∈N∗，都有不等式a2−a1①存在公差不为0的等差数列an具有性质P②以1为首项，qq<1为公比的等比数列an③若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P，则数列an④若数列an和bn均具有性质P，则数列an其中所有正确结论的序号是.题型9题型9两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线y=x+t是曲线y=lnx−1和y=ax2−3x的公切线，则a+t34．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−1与g(x)=ex+2023−2024的公切线，则35．（2024·北京朝阳·一模）已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点Ax136．（2024·河北邯郸·三模）若曲线y=ex与圆(x−a)2+y2=2题型10题型10函数的单调性问题37．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数fx=sin．38．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=x2+x−2ex−2x+539．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，对任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，设a=2fπ6，40．（24-25高三上·安徽·开学考试）定义在R上的函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，当x∈[1,+∞)时，f(x)=12x2−x题型11题型11函数单调性、极值与最值的综合应用41．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设函数fx=x3+ax2−3x−ba,b∈R在x=x1,x=x242．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数fx=13x3−x243．（23-24高三下·浙江·开学考试）设x1，x2是函数fx=12ax2−e44．（23-24高二下·北京·期末）已知函数fx①当a≥0时，y=fx在0,+②当0<a<12时，③当a≤0时，y=fx④若函数存在两个不同的极值点x1，x2，则其中所有正确结论的序号是．题型12题型12利用导数研究函数的零点（方程的根）45．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x2−12lnx46．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数f(x)=x⋅ex,x<1lnxx,x≥1，方程47．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）已知函数fx=x2,x≤0xex−1,x>0，若关于x48．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex,x≤0lnxx,x>0题型13题型13利用导数研究恒成立、存在性问题49．（24-25高三上·上海·期中）已知k为常数，若关于x的不等式(x−k)2exk≤1e对任意的x∈(0,+50．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数fx=5ex+alnx+1−a+5x−5，若51．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于x的不等式x2−mx+3m−2≥0在区间1,2上有解，则实数m的取值范围是52．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数fx=lnx2+1,gx=题型14题型14利用导数研究双变量问题53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数fx=12x2,gx=54．（24-25高二·全国·课后作业）若函数fx=x3−3ax2+12xa>055．（2024·江苏南通·二模）已知函数fx=lnx,x≥11−x2,x<1，若Fx=f56．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数fx=12x2+1−ax−xlnx有两个极值点x1,x2题型15题型15利用导数解决实际应用问题57．（23-24高二下·上海·期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为可使爆破体积最大．

58．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y=lnx−x−12x+959．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，某城市公园内有一矩形空地ABCD，AB=300m，AD=180m，现规划在边AB，CD，DA上分别取点E，F，G，且满足AE=EF，FG=GA，在△EAG内建造喷泉瀑布，在△EFG内种植花奔，其余区域铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当时，栈道EG最短.60．（2024·广东茂名·二模）修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足AC⊥MN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛建三段栈道AB、BD与BE，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，则需要修建的栈道总长度的最小值为百米.题型16题型16导数中的新定义问题61．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0给出定义：设f′x是函数y=fx的导数，f″x是函数f′x的导数，若方程f62．（2024·全国·模拟预测）定义：设函数y=fx在a,b上的导函数为f′x，若f′x在a,b上也存在导函数，则称函数y=fx在a,b上存在二阶导函数，简记为y=f″x.若在区间a,b上f″x<0，则称函数y=fx63．（23-24高二下·吉林·期中）已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x①f(x)=x2

②f(x)=e−x

③64．（23-24高二上·全国·期末）如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有∠AOB≤α成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：y=xex-1+1，x>0，116x2+1，x≤0(其中2024-2025学年高二上学期期末复习填空题压轴题十六大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1根据数列的递推公式求数列的项、通项公式1．（24-25高三上·上海·期中）数列an满足：an为正整数，an+1=an2,【解题思路】利用递推关系式可推得数列an是周期为3【解答过程】因为an+1=a所以a2=3a1+1=4，a以此类推，可知an+3=an，即数列所以a=674×1+4+2故答案为：4723.2．（24-25高三上·全国·自主招生）数列an，a1=2，−7080.【解题思路】由递推关系式求前几项的值，易判断an【解答过程】由题意可得a1故数列an则a2022=a故2022a故答案为：−7080.3．（2024高三·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和Sn=n【解题思路】当n≥2时，由已知的等式可得Sn−1=n−12n−3a【解答过程】由于数列an中，a1=13所以当n≥2时，Sn−1两式相减可得：an所以n−12n−3n−12n−3所以2n−3a所以an所以a=1a1因此an故答案为：an4．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列an满足：a1=1且anan−1=【解题思路】根据累乘法求数列通项公式即可.【解答过程】因为an所以a2累乘可得a2即ana1当n=1时，a1所以an故答案为：an题型2题型2求数列的最大项、最小项5．（23-24高二下·安徽亳州·阶段练习）数列an的通项an=nn2+5【解题思路】由作商法求出数列an的单调性，可得a1<【解答过程】因为an=n则an+1令an+1an>1，即解得n=1，所以a2令an+1an所以a1故数列an中的最大项为a2，其值为故答案为：296．（23-24高二上·上海杨浦·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n22n【解题思路】通过列举法进行观察，然后利用差比较法比较求得正确答案.【解答过程】依题意，an则a1当n≥5时，an+1所以当n≥5时，an+1所以数列an的最大项为第3故答案为：3.7．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知数列an的通项公式an=n−197n−198【解题思路】分离常数，然后利用数列单调性求最小项.【解答过程】an当n>198时，a当n<198时，a又当n<198时，a所以当n=14时，a14故答案为：14.8．（23-24高二下·广东·阶段练习）在数列an中，an=2n−178n【解题思路】利用作商法，结合n∈N∗，判断得【解答过程】因为an所以an+1an又n∈N∗，所以当1≤n≤7时，an+1>a所以a8最大，则n=8故答案为：8.题型3题型3求等差数列的前n项和及其最值9．（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知等差数列an的前n项和为Sn,a1【解题思路】根据等差数列的基本量运算得出通项公式，再根据通项的正负得出和的最大值.【解答过程】设公差为d，因为a1所以d=−1，即an因为n≤3,an所以Sn故答案为：6.10．（2024高三·全国·专题练习）已知数列an满足a1=15,(n+1)an−nan+1=2n(n+1),n∈【解题思路】化简得到an+1n+1−ann=−2，得出a【解答过程】由数列an满足(n+1)an又由a1=15，可得a11=15，所以数列a所以an令ann≥0，即17−2n≥0，解得n≤所以，当1≤n≤8,n∈N∗时，ann>0所以数列ann的前n项和的最大值是故答案为：64.11．（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1<0，S6=【解题思路】根据S6=S20，利用等差数列前n项和公式推得175d=−14a1，结合【解答过程】由题意知a1<0，S6=S则6a1+15d=20因为a1<0，故d>0，即等差数列又由S6=S即7(a13+即等差数列an故Sn取最小值时，n=13故答案为：13.12．（23-24高二上·河南洛阳·期末）首项为正数，公差不为0的等差数列an，其前n项和为S①若S8<S②若S11=0，则③若S13>0,S14<0④若S2=S10，则使其中所有真命题的序号是②③④．【解题思路】①由题意可以推出a9>0，不能推出a10>0，判断①错误；②由题意可得a1+a【解答过程】若S8<S9，则a9若S11=0，则S11=11(若S13>0,S所以a7>0,a8<0若S2=S即2a因为首项为正数，则公差小于0，则a6则S11=11(则使Sn>0的故答案为：②③④．题型4题型4求等比数列的前n项和及其最值13．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知公比不为l的等比数列an满足a1+a3=5，且a1,a3,a2构成等差数列．记S【解题思路】利用等差数列的性质与等比数列的通项公式求出a1,q，再利用等比数列的前【解答过程】设等比数列an的公比为q，且q≠1因为a1+a∴a1+∴S∴Sk=∴831−当k为偶数时，−1所以k为奇数，设k=2m−1,m∈N则−122m−1即14m>所以正整数m≤2，所以m的最大值为2，此时k的最大值为3，所以使Sk>23故答案为：3.14．（24-25高三上·山东聊城·期中）等比数列an的前n项和记为Sn，若S2=−1,S8【解题思路】由题意知公比q≠1，设首项为a1，根据等比数列公式，由S8=17S4求出q，再代入【解答过程】设首项为a1因为S8=17S所以a1所以1−q8=17⋅所以q4=16，解得又因为S2=−1，所以当q=2时，a1=−1当q=−2时，a1=1故答案为：−21.15．（2024·河北邯郸·模拟预测）记Sn为等比数列an的前n项的和，若a3+a4=1，【解题思路】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【解答过程】设等比数列an的公比为q，由题意可得q≠1由4S6=7S2又a3+a4=1同理a5+a6=12因为S12所以S12故答案为：631616．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列an为正项的递增等比数列，a1+a5=82，a2⋅a4=81，记数列2an【解题思路】由下标和性质得到a1⋅a5=81，从而求出a1、a5，即可求出a【解答过程】因为数列an为正项的递增等比数列，所以a又a1所以a1、a5是关于x方程解得x1=1，所以a1=1a设公比为qq>1，则q4=a5a所以an=3所以Tn=2所以202413Tn−1又函数fx=3x在定义域上单调递增，f5所以n≤6，故正整数n的最大值为6.故答案为：6.题型5题型5等差、等比数列的综合应用17．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，b5=3【解题思路】利用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，并求出{an}的通项，进而有c【解答过程】令{an}的公差为d，{则b1q4所以cn所以数列{cn}的前n故答案为：3n18．（2024·湖北襄阳·二模）已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.数列an和bn【解题思路】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，由题意可得{cn}【解答过程】设等差数列{an}的公差为d和等比数列{由a1=5，b1=2，a2=2b解得d=4，q=2，则an=5+4(n−1)=4n+1，由a15由{an}和{bn}中无公共项，可得则S20故答案为：557．19．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）正项等比数列|an满足a1+a3=54，且2a2,【解题思路】先由题意列出关于a1,q的方程，求得an的通项公式，再表示出(【解答过程】设an公比为q，且q>0∴a3=得：2×1∴2×1∴q∵q>0，∴q=2，∴a∴a1=14∴b∴=2∴n=2时，上式有最小值2−4故答案为：2.20．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1、a3、a7成等比数列，设bn=a【解题思路】设等差数列an的公差为d，则d≠0，根据a32=a1a7求出【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d≠0因为a1、a3、a7成等比数列，则a即5−d2=5−3d5+3d，因为所以，an所以，bn对任意的k∈N∗，b4k−2=4k−1b4k所以，b4k−3因为2024=4×506，故数列bn的前2024项和为2×506=1012故答案为：1012.题型6题型6数列的求和21．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列an满足2n−1a1+2n−2a2+⋯+2an−1【解题思路】根据所给递推关系，得出2n−2【解答过程】当n=1时，a1=3⋅22n−1当n≥2时，2n−2①−2×②得an所以an当n=1时，a1=2也适合综上，ancnT=n+2故答案为：n+2−22．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设数列an满足a1+3a2+5a3+⋯+2n−1【解题思路】由a1+3a2+5相减可得an【解答过程】因为a1所以当n=1时，a1当n≥2时，a1（1）−（2）可得：2n−1an=2当n=1时，a1所以an=所以2n记数列2nan的前n则Tn所以2T①-②可得：−T所以−T所以Tn故答案为：2n23．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数fx=4x4x+2，数列an满足【解题思路】由函数f(x)的解析式，求出数列{an}的通项公式，将n=2019代入即可得到a【解答过程】依题意，函数fx=4x4数列an满足a所以an=fnan设此数列前2019项的和S2019S2019S2019所以2S2019=1×2019故答案为：2019224．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列an的首项a1=1，且an+1+an=3⋅2n【解题思路】根据题意，推得an+1−2n+1=−an【解答过程】因为an+1+an=3×2n所以数列an−2n是首项为所以an−2可得2n+1⋅则Sn记Tn则−T由①-②得2T即2Tn=−3+2×记Mn=3×2所以Sn故答案为：n+1⋅题型7题型7数列不等式25．（24-25高二上·上海·期中）设Sn是数列an的前n项和，a1=14，且对任意正整数m，n，都有am+n=a【解题思路】根据给定条件，由任意性可得数列an为等比数列，求出公比及前n【解答过程】在数列an中，对任意正整数m，n，都有am+n=am则有an+1=a1⋅an则Sn=14[1−所以实数a的取值范围为a≥1故答案为：a≥126．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在数列an中，a1=1,an+1=3an+4【解题思路】利用构造法分析得数列an+2是等比数列，进而求得an+2，从而将问题转化为k≥3n−5【解答过程】由an+1=3an+4故数列an+2为首项为3，公比为所以an则不等式kan+2≥3n−5可化为当n=1时，fn<0；当n≥2时，又fn+1则当n=2时，f3>f2，当n≥3所以fn≤f3=3×3−533故答案为：42727．（2024高二·全国·专题练习）在数列an中，a1=3，3a1a2+3a2a3【解题思路】在已知等式中用n−1替换n得另一等式（n≥2），两式相减得3anan+1，然后用累乘法求得通项公式an，不等式λ【解答过程】因为a1=3，3a所以当n≥2时，有3a两式相减可得3anan+1=当n=1时，3a1a2=1+所以an而a1=3也满足该式，故由于λan≥由于cn+1当n=4时，c4当n<4时，cn+1cn当n>4时，cn+1cn所以c1故数列cn最大项为c4=故答案为：3208128．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列an的通项公式是an=2n−1，记bm为an在区间m,2m【解题思路】分别谈论m为奇数和偶数时，bm+1−b【解答过程】由m≤2n−1<2m⇒当m为奇数时，bm当m为偶数时，bm所以当m为奇数时，bm+1−bm=2由2m−1−1>2062⇒当m为偶数时，bm+1−bm==由2m−1>2062⇒又m为偶数，所以m≥14综上可知：m的最小值为13.故答案为：13.题型8题型8新情景、新定义下的数列问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若数列an满足1an+1−1an=d（n∈N∗，d为常数），则称数列【解题思路】根据题设易知正项数列bn为等差数列，公差为d，应用等差数列前n项和公式得b1+【解答过程】由题意，正项数列1bn为“调和数列”，则bn+1所以正项数列bn为等差数列，公差为d则b1+b则b1b2022所以b1故答案为：100.30．（2024·北京通州·三模）若数列{bn}、{cn}均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得bm∈[cn,cn+1]，则称数列①存在等差数列{an}，使得{an②存在等比数列{an}，使得{an③存在等差数列{an}，使得{Sn④存在等比数列{an}，使得{Sn【解题思路】对于①取an=n分析判断，对于②④取【解答过程】对于①：例如an=n，则{an}所以an+1−a故{an}取m=n(n+1)2，则am所以{an}是{对于②，例如an=2n−1>0，则{所以an+1−a故{an}取m=n+1，则am=a所以{an}是{对于③，假设存在等差数列{an}，使得{Sn设等差数列{an}因为{an}又因为{Sn}为严格增数列，所以Sn+1−取n0∈N∗，满足an又因为{S所以对任意正整数m≥n0+1，则有S对任意正整数m≤n0，则有Sm故当n=k+1时，不存在正整数m，使得ak+1对于④，例如an=2n−1>0，则{an所以an+1−a故{an}取m=n，则Sm=S所以{Sn}是{故答案为：①②④.31．（23-24高二下·安徽宿州·期中）定义np1+p2+⋯+pn为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为【解题思路】根据数列新定义可求得Sn=n2，继而求得an【解答过程】设数列an的前n项和为Sn，则nS当n=1时，a1当n≥2时，an=S故an所以bn=a故数列1bnbn+1的前故答案为：nn+132．（24-25高三上·北京朝阳·期中）对于无穷数列an，若存在常数M>0，使得对任意的n∈N∗，都有不等式a2−a1①存在公差不为0的等差数列an具有性质P②以1为首项，qq<1为公比的等比数列an③若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P，则数列an④若数列an和bn均具有性质P，则数列an其中所有正确结论的序号是②③④.【解题思路】对于①，可使用反证法证明①错误；对于②，取M=q−1⋅11−q【解答过程】对于①，假设存在公差为dd≠0的等差数列an具有性质P，则存在常数使得对任意的n∈N∗，都有不等式则对任意的n∈N∗，都有但这对大于Md的正整数n对于②，设an是以1为首项，qq<1为公比的等比数列，则a所以正实数M=q−1⋅1a=q−1对于③，若由数列an的前n项和构成的数列Sn具有性质P，则存在常数使得对任意的n∈N∗，都有不等式从而正实数a1+2M满足对任意的a==a对于④，若数列an和bn均具有性质P，存在常数M1都有不等式a2−a使得对任意的n∈N∗，都有不等式从而正实数b1M1a≤≤k=1≤k=1≤=≤b故答案为：②③④.题型9题型9两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·辽宁·期中）已知直线y=x+t是曲线y=lnx−1和y=ax2−3x的公切线，则a+t【解题思路】利用导数的几何意义求解即可.【解答过程】令fx=ln因为直线y=x+t是曲线y=ln所以由f′x=1所以fx在2,0处的切线为y=x−2，所以t=−2又y=x−2是y=ax联立y=x−2y=ax2令Δ=16−8a=0解得a=2所以a+t=0，故答案为：0.34．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知直线y=kx+b是曲线f(x)=ex−1与g(x)=ex+2023【解题思路】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在y轴上的截距相等即可求解.【解答过程】设直线y=kx+b与f(x)的图象相切于点P与g(x)的图象相切于点P2又f'(x)=e曲线y=f(x)在点P1x1曲线y=g(x)在点P2x2故ex解得x1故k=y故答案为：1.35．（2024·北京朝阳·一模）已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点Ax1【解题思路】利用导数的几何意义，结合条件可知，cos2【解答过程】f′x=即cos2x1⋅cos2x2=−1或cos2x1=−1cos2x所以x1−x2=−所以x1−x故答案为：π2(答案不唯一)36．（2024·河北邯郸·三模）若曲线y=ex与圆(x−a)2+y2=2【解题思路】易得曲线y=ex在点x0,y0处的切线方程为y−ex0=ex0x−x0，再根据切线与圆x−a2【解答过程】解：曲线y=ex在点x0由于直线y−ex0=e因为曲线y=ex与圆即方程e2令gx=e2xx−a−1显然，g′当x∈−∞,a−1时，g′x>0，当x∈a−1,a+2所以，gx在−∞,a−1上单调递增，在a−1,a+2且当x→−∞时，gx=x−a−12因此，只需ga−1>2g解得a>1.故答案为：1,+∞题型10题型10函数的单调性问题37．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知函数fx=sin2π3，【解题思路】利用导数判断函数的单调性即可.【解答过程】f′x=令f′x=2cosx+12+当x∈0,2π3时，f′当x∈2π3,4π3当x∈4π3,2π时，f综上可知，函数fx的单调递减区间为2故答案为：2π38．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数fx=x2+x−2ex−2x+5【解题思路】根据题意可知y=f'x【解答过程】由题意知f'因为fx在区间2m−1,3m+2上不单调，即y=f'x在区间2m−1,3m+2有变号零点，又ex+2>0，所以所以x=1在区间2m−1,3m+2内，所以2m−1<13m+2>1，解得−13<m<1，即故答案为：−139．（2024高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数fx的导函数为f′x，对任意x∈0,π，有f′xsinx>fxcosx，设a=2fπ6，【解题思路】构造函数Fx【解答过程】构造函数Fx=fxsin则x∈0,π时，所以函数Fx在0,于是Fπ即2fπ所以a<b<c，故答案为：a<b<c.40．（24-25高三上·安徽·开学考试）定义在R上的函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，当x∈[1,+∞)时，f(x)=12x2−x【解题思路】根据给定条件，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，再利用导数求出f(x)在[1,+∞【解答过程】依题意，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[1,+∞)时，f′(x)=x−ln函数f′(x)在[1,+∞)上单调递增，f′不等式f(3x−1)≥f(0)化为|3x−1−1|≥|0−1|，解得x≤13或所以不等式f(3x−1)≥f(0)的解集为(−∞故答案为：(−∞题型11题型11函数单调性、极值与最值的综合应用41．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）设函数fx=x3+ax2−3x−ba,b∈R在x=x1,x=x2【解题思路】利用导数求函数的单调性及极值，结合韦达定理求参数a，再分类讨论b的范围计算即可.【解答过程】由已知得f′x=3可得Δ=4则x2可得fx=令f′x>0，解得x<−1或x>1；令f易知fx=x3−3x−b在−故当x∈0,2时，0,1上单调递减，1,2而f1当−b<0<2−b，即0<b<2时，M=f当b=0时，M=f当b≥2时，M=f当b<0时，M=f显然对于∀b∈R，当b=0时，M故答案为：2.42．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）若函数fx=13x3−x2【解题思路】求得函数的导数，判断单调性，确定函数极值，结合函数值情况，列出使得函数fx在区间−2,1+a【解答过程】由fx=1当x<0或x>2时,f′x>0；当0<x<2即fx=13x故x=0为函数的极大值点，且f0令fx=13x故要使函数fx=13x需满足0<1+a≤3,∴−1<a≤2，故答案为：(−1,2].43．（23-24高三下·浙江·开学考试）设x1，x2是函数fx=12ax2−e【解题思路】根据极值点定义可将问题转化为y=a与gx=exx有两个不同交点x1,x2；化简得到ex2−x【解答过程】∵f′x=ax−e∴x1,x2即ex1=ax1，ex2所以ex2−x1令ℎ(t)=lntt−1令u(t)=1−1t−所以u(t)在[2,+∞)上单调递减，所以所以ℎ(t)在[2,+∞)所以a=e令φ(x)=exx所以φ(x)在(0,ln2]故答案为：2ln44．（23-24高二下·北京·期末）已知函数fx①当a≥0时，y=fx在0,+②当0<a<12时，③当a≤0时，y=fx④若函数存在两个不同的极值点x1，x2，则其中所有正确结论的序号是②④．【解题思路】根据导函数的正负，即可判断①,极值点的定义，结合函数的单调性即可判断②③，根据极值点，构造函数ga【解答过程】fx=xf′当a≥0时，2x2−2x+a=2x−1若y=fx存在两个极值点；则2x2−2x+a=0有两个相异的正实数根，所以当a≤0时，令f′x=0,则2x2则x1x2当x∈0,x2所以fx在0,x2因此当x=x2时，由②知若函数存在两个不同的极值点x1，x2，0<a<1令ga由于y=2a,y=lna−1均为所以g′a=2a+lna−1为0<a<12故ga为0<a<12上的单调递减函数，当a趋近于0时，ga也趋向于于0，因此故答案为：②④.题型12题型12利用导数研究函数的零点（方程的根）45．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知函数fx=x2−12lnx【解题思路】根据题意转化为fx=x2−12lnx【解答过程】因为函数fx=x2−12所以fx=x所以a>lnx2设gx=ln因为x>2，lnx2>0，可得1−所以gx在区间2,+∞上单调递减，所以gx所以，实数a的取值范围为[−2,+∞故答案为：[−2,+∞46．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数f(x)=x⋅ex,x<1lnxx,x≥1，方程【解题思路】分x<1和x≥1两种情况，分别求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极值，从而得到函数图象，由方程fx【解答过程】因为fx当x<1时fx=x⋅e当x<−1时f′x<0，当−1<x<1所以fx在−∞,−1上单调递减，在−1,1上单调递增，fx在x=−1当x≥1时,fx=当1≤x<e时,f′x>0，当所以fx在1,e上单调递增，在所以fx在x=e取得极大值，令lnx=t，若x≥1，则t≥0，从而ln当t→+∞时，ln所以fx

方程fx由图可知当且仅当a∈−故答案为：−147．（23-24高三上·黑龙江鸡西·期末）已知函数fx=x2,x≤0xex−1,x>0，若关于x【解题思路】求得f′x=1−xe【解答过程】当x>0时，fx=x当x∈(0,1)时，f′x>0当x∈(1,+∞)时，f′x<0画出函数y=fx关于x的方程f2令fx=t，令则gx=0在则满足Δ=−m2所以实数m的取值范围为(1故答案为：(1

48．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex,x≤0lnxx,x>0【解题思路】题目转化为函数y=fx与函数y=x−a=x−a,x≥aa−x,x<a【解答过程】函数gx则函数y=fx与函数y=作出函数y=fx

当x≤0时，fx=ex，则故曲线fx=ex在x=0处的切线方程为当x>0时，fx=lnxx故曲线fx=lnxx在x=1综上所述：实数a的取值范围为−∞故答案为：−∞题型13题型13利用导数研究恒成立、存在性问题49．（24-25高三上·上海·期中）已知k为常数，若关于x的不等式(x−k)2exk≤1e对任意的x∈(0,+【解题思路】分析可知k<0，整理可得xk−12ex【解答过程】显然k≠0，若k>0，当x趋近于+∞，y=(x−k)2可知k<0，因为(x−k)2ex由x>0，可得xk<0，令t=x原题意等价于t−12et构建ft=t−1令f′t>0，解得t<−1；令f可知ft在−∞,−1则ft≤f−1所以实数k的取值范围为−1故答案为：−150．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知函数fx=5ex+alnx+1−a+5x−5，若【解题思路】就a>0、a≤0分类讨论，前者再就0≤a≤5,a>5分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【解答过程】当a>0时，f′设gx=5因为a>0，故y=5ex,y=−故g′x在若5−a≥0即0<a≤5，则g′x>0故gx在0,+∞上为增函数，故故fx为0,+∞上为增函数，故故0<a≤5符合，若5−a<0即a>5，此时g′0=5−a<0故存在x0∈0,且∀x∈0,x0，g′x故∀x∈0,x0，gx<g故fx当a≤0时，设sx=x−ln故sx在0,+∞上为增函数，故sx设tx=etx在0,+∞上为增函数，故tx而a≤0，故5e即5ex+alnx+1综上，a≤5，故答案为：a≤5.51．（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）若关于x的不等式x2−mx+3m−2≥0在区间1,2上有解，则实数m的取值范围是−2,+∞【解题思路】分离参数可得m≥2−x23−x在区间【解答过程】∵x∈1,2∴不等式x2−mx+3m−2≥0，即m≥2−设g(x)=2−x2则g(x)=−令t=3−x,t∈1,2设ℎ(t)=−t+7tℎ′(t)=−1−7t故ℎ(t)min=ℎ(1)=−2故要使m≥2−x23−x在区间即实数m的取值范围是−2,+∞故答案为：−2,+∞52．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数fx=lnx2+1,gx=【解题思路】根据题意得fx【解答过程】由题意，可得fx当−1≤x≤1时，f′由f′x<0，可得−1≤x<0，由f所以函数fx在−1,0上单调递减，在0,1上单调递增，所以f因为gx=1ex−a，所以所以0≥1e2−a，解得a≥1故答案为：1e题型14题型14利用导数研究双变量问题53．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知函数fx=12x2,gx=【解题思路】由f′x1=gx2得【解答过程】因为f′x=x，若f′令ℎx=3x−当x∈0,13时，ℎ当x∈13,+∞时，ℎxmin=ℎ故x2−x故答案为：1+ln54．（24-25高二·全国·课后作业）若函数fx=x3−3ax2+12xa>0【解题思路】根据极值点定义可知x1,x2为f′x=0的两根，由Δ>0可求得a>2，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将fx【解答过程】由题意知：fx的定义域为R，f∵fx有两个极值点x1,x2∴Δ=36a2−144>0，又a>0，解得：a>2∴fx1+fx2=x令ga=−4a∴当a>2时，g′a<0恒成立，∴g∴ga<g2=−4×8+24×2=16，则故答案为：−∞55．（2024·江苏南通·二模）已知函数fx=lnx,x≥11−x2,x<1，若Fx=f【解题思路】先运用分段函数的解析式，得出F(x)=f(f(x)+1)+m的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得x1【解答过程】当x≥1时,f(x)=lnx≥0,∴f(x)+1≥1,当x<1，f(x)=1−x综上可知：F(x)=f(f(x)+1)+m=ln则f(x)+1=e−m，f(x)=e−m−1有两个根x当x≥1时,lnx2=e−m令t=e−m−1>12,则lnx2=t，x2设g(t)=et(2−2t)，t>12,所以g′(t)=−2t∴g(x)的值域为(−∞,e),∴x故答案为：(−∞,e56．（2023·湖南郴州·模拟预测）已知函数fx=12x2+1−ax−xlnx有两个极值点x1,x2【解题思路】由f(x)有两个极值点x1,x2，得f′(x)有两个变号零点，构造函数ℎx=x−lnx−a，利用导数研究函数的性质，得函数的草图，利用草图列式可求出【解答过程】f(x)的定义域为(0,+∞)，由已知得x1,x令ℎx=x−ln当x∈0,1时，ℎ′x<0,，ℎ(x)单调递减，当x∈1,+所以函数f′x在0,1上单调递减，在当x→0时，lnx→−∞，−ln当x→+∞时，lnx→−∞，−如图：由图可知，只需f′xmin即实数a的取值范围是1,+∞若3x1≥x2由已知a=x1−则tx1−x1所以lnx令mt=t+1令φ(t)=−2lnt+t−1所以函数φ(t)在t∈(1,3]上递增，又因为φ(1)=0，所以当t∈(1,3]时，φ(t)>0，即m′所以函数m(t)在t∈(1,3]上递增，所以m(t)≤m(3)=2ln所以lnx1+故答案为：1,+∞；2题型15题型15利用导数解决实际应用问题57．（23-24高二下·上海·期末）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为33R

【解题思路】先将圆锥的体积转化为关于深处ℎ的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得V的最大值点，从而得解.【解答过程】结合图形，可知圆锥的体积为V=1又因为R2=ℎ所以V=13πR2令V′≥0，得0<ℎ<33R所以V=13πR2所以在ℎ=33R所以炸药包要埋在33故答案为：3358．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式y=lnx−x−12【解题思路】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值.【解答过程】依题意y=lnx−x−12y′=