2024-2025学年高二上学期期末复习【第二章 直线和圆的方程】十大题型归纳（拔尖篇）（含答案）

2024-2025高二上学期期末复习第二章十大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1由直线与线段的相交关系求斜率范围1．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知A2,0、B2,3，直线l过定点P1,2，且与线段AB相交，则直线l的斜率kA．-2≤k≤1 B．-12≤k≤1 C．k≠1 D．2．（2023上·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点A-1,1,B1,1,C2,3+1，D为△ABC的边ACA．0,33 C．33,33．（2023上·四川巴中·高二校考阶段练习）已知坐标平面内三点A-1,1，B1,1，(1)求直线AC的倾斜角；(2)若D为△ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.4．（2023上·高二课时练习）如图，已知两点A-2,-3,B3,0，过点P-1,2的直线l与线段AB始终有公共点，求直线

题型2题型2直线平行、垂直的判定在几何中的应用1．（2023·高二课时练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对2．（2023·山西运城·康杰中学校考二模）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点CA．-4,0 B．-3,-1 C．-5,0 D．-4,-23．（2023上·高二课前预习）如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

4．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O0,0，P1,t，Q1-2t,2+t，R-2t,2，其中t>0且题型3题型3根据两直线平行、垂直求参数1．（2023下·贵州安顺·高二统考期末）已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x-ay+3=0，其中a∈R，则“a=-1A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）若直线l经过两点A1,2t，B-t,1且与直线l':x+2y-2=0平行，则A．1 B．2 C．-14 3．（2023上·湖南张家界·高二校考阶段练习）已知直线l1：a+1x-2y-1=0，直线l(1)若l1//l(2)若l1⊥l4．（2023下·黑龙江·高二统考期末）已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.题型4题型4三线能围成三角形的问题1．（2023·高二课时练习）若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a=1或a=-2 B．a≠±1C．a≠1且a≠-2 D．a≠±1且a≠-22．（2023上·高二课时练习）使三条直线4x+y-4=0,mx+y=0,2x-3my-4=0不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．（2023上·河北保定·高二统考期中）已知三条直线l1：ax+by+4=0，l2：a-1x+y+b=0，l(1)若l1⊥l2，且l1过点6,-1(2)若b=3，且l1、l2、l34．（2023上·江苏常州·高二校考阶段练习）已知直线l的方程为1+4mx-(1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得△ABO的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由.题型5题型5与距离有关的最值问题1．（2023上·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离．结合上述观点，可得A．42 B．22 C．2+2．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）已知点P到直线l1：x-y-4=0和直线l2：x-y-2=0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为（A．32 B．2 C．323．（2023上·高二课时练习）已知两条平行直线分别过点A6,2和B-3,-1，并且各自绕点A，4．（2023上·河南南阳·高二校联考期中）已知直线l：ax-y+3+a(1)若l不经过第三象限，求a的取值范围；(2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.题型6题型6点、线间的对称问题1．（2022上·河南南阳·高二校考阶段练习）直线l:4x+3y-2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝02．（2023上·湖南益阳·高二校联考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点A2,0处出发，军营所在的位置为B2,3，河岸线所在直线的方程为y=3x+2，则“将军饮马”的最短总路程为（A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．4．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到原点P，光线QR经过△ABC的重心G．以点A为坐标原点，以AB为x轴（AB为正方向），建立平面直角坐标系．(1)求△ABC的重心G的坐标，及点P的坐标；(2)求△PQR的周长．题型7题型7圆的切线长及切线方程问题1．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）过点P2,3引圆x2+A．x=2 B．12x-5y+9=0C．5x-12y+26=0 D．x=2和12x-5y-9=02．（2023上·四川内江·高二统考期末）已知P是直线l:x+y-7=0上任意一点，过点P作两条直线与圆C:(x+1)2+y2=4相切，切点分别为A、A．47 B．142 C．23．（2023上·江西吉安·高二统考期末）已知圆M经过A2,4，B(1)求圆M的标准方程；(2)若过点P-1,5的直线l与圆M相切于点E，F，求直线l的方程及四边形PEMF的面积S4．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知△ABC的顶点分别为A(-1,7),B(-4,-2),C(3,-1)．(1)求△ABC外接圆的方程；(2)设P是直线l:4x-3y-25=0上一动点，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ最小值及点P的坐标．题型8题型8求圆的弦长与中点弦1．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知圆C：x2+y2-6x+4y-4=0，则过点MA．x+2y-2=0 B．x-y-5=0C．x+y-3=0 D．x-2y-6=02．（2022上·广东江门·高二统考期末）直线2m+2x+2m-3y+5=0m∈R与圆C:(x-1)2A．6 B．4 C．32 D．3．（2023上·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,-1在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为5(1)求直线l的一般式方程；(2)若直线l与曲线C:x2+y2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4．（2023上·湖南长沙·高二校考阶段练习）已知圆C1:x(1)若直线mx-y+m-1=0m∈R与圆C1(2)是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线题型9题型9直线与圆有关的最值问题1．（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知圆C：x-12+y-22=25，直线l：2m+1x+m+1y-7m-4=0，直线l与圆C交于A．1 B．45 C．2552．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）已知直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y=-mxm∈R和l2：my-x-4m+2=0交于点P，则△MNPA．10 B．5-10 C．22 3．（2022上·四川成都·高二校联考期中）已知圆C过点1,1，且与y轴相切于坐标原点，过直线l:x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，(1)求圆C的标准方程；(2)若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求MCMO4．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作（圆锥曲线论）是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λλ≠1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O0,0、A2,0，动点Px,y满足POPA=22，点(1)求MP的最大值及最小值；(2)求△MCP的面积的最大值．题型10题型10两圆的公切线问题1．（2023上·四川遂宁·高二统考期末）若圆C1:(x-1)2+y2A．14 B．28 C．9 D．-112．（2023上·全国·高二专题练习）已知圆M:x-22+y-12=1，圆A．y=0 B．4x-3y=0C．x-2y+5=0 3．（2023上·吉林长春·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2-4x=0，C2(1)求圆C1和圆C(2)在圆C1上是否存在点P，使得PA24．（2023上·河南信阳·高一统考期末）已知圆C的圆心在直线l：2x﹣y＝0上，且与直线l1：x﹣y+1＝0相切．（Ⅰ）若圆C与圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣76＝0外切，试求圆C的半径；（Ⅱ）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由．

高二上学期期末复习第二章十大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1由直线与线段的相交关系求斜率范围1．（2023上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知A2,0、B2,3，直线l过定点P1,2，且与线段AB相交，则直线l的斜率kA．-2≤k≤1 B．-12≤k≤1 C．k≠1 D．【解题思路】设直线l与线段AB交于点Q2,y，其中0≤y≤3，利用斜率公式可求得k【解答过程】设直线l与线段AB交于点Q2,y，其中0≤y≤3所以，k=y-2故选：A.2．（2023上·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点A-1,1,B1,1,C2,3+1，D为△ABC的边ACA．0,33 C．33,3【解题思路】作出图象，求出AB,BC的斜率，再结合图象即可得解.【解答过程】如图所示，kAB因为D为△ABC的边AC上一动点，所以直线BD斜率k的变化范围是-∞故选：D.3．（2023上·四川巴中·高二校考阶段练习）已知坐标平面内三点A-1,1，B1,1，(1)求直线AC的倾斜角；(2)若D为△ABC的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.【解答过程】（1）由A-1,1，C2,3因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是0,π，所以直线AC的倾斜角为π（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时kCD由kAC增大到kBC，又kAC=33即直线CD的倾斜角的取值范围为π64．（2023上·高二课时练习）如图，已知两点A-2,-3,B3,0，过点P-1,2的直线l与线段AB始终有公共点，求直线

【解题思路】根据题意结合图形求出直线AP的斜率kAP，直线BP的斜率kBP，即得直线【解答过程】根据图形，∵直线AP的斜率是kAP直线BP的斜率是kBP∴过点P的直线l与线段AB有公共点时，直线l的斜率的取值范围是-∞,-题型2题型2直线平行、垂直的判定在几何中的应用1．（2023·高二课时练习）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对【解题思路】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论.【解答过程】kAB=3-5-4-2=所以AB//CD,AD与BC不平行，k因此AD⊥AB故构成的图形为直角梯形.故选：B.2．（2023·山西运城·康杰中学校考二模）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点CA．-4,0 B．-3,-1 C．-5,0 D．-4,-2【解题思路】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【解答过程】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为2+m3,4+n3代入欧拉线方程得：AB的中点为（1，2），kAB=4-00-2=-2即x-2y+3=0．联立x-2y+3=0x-y+2=0解得∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A.3．（2023上·高二课前预习）如图所示，已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

【解题思路】通过计算得到kAB=kCD，【解答过程】由已知可得AB边所在直线的斜率kABCD边所在直线的斜率kCDBC边所在直线的斜率kBCDA边所在直线的斜率kDA因为kAB=kCD，kBC因此四边形ABCD是平行四边形.4．（2023·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为O0,0，P1,t，Q1-2t,2+t，R-2t,2，其中t>0且【解题思路】可借助斜率验证四边形OPQR对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解【解答过程】由斜率公式，得kOPkQRkORkPQkOQkPR∴kOP=k∴OP//QR，∴四边形OPQR为平行四边形.又kOP⋅k又kOQ⋅kPR≠-1∴四边形OPQR为矩形.题型3题型3根据两直线平行、垂直求参数1．（2023下·贵州安顺·高二统考期末）已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x-ay+3=0，其中a∈R，则“a=-1A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用两直线垂直求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x-ay+3=0，由l1⊥l所以“a=-1”是“l1故选：C.2．（2023上·贵州铜仁·高二统考期末）若直线l经过两点A1,2t，B-t,1且与直线l':x+2y-2=0平行，则A．1 B．2 C．-14 【解题思路】根据直线平行，即斜率相等，结合斜率两点式列方程求参数即可.【解答过程】由题意2t-11+t=-1可得t=1故选：D.3．（2023上·湖南张家界·高二校考阶段练习）已知直线l1：a+1x-2y-1=0，直线l(1)若l1//l(2)若l1⊥l【解题思路】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求.【解答过程】（1）由l1//l2，则所以a=0或a=5，当a=0，l1:x-2y-1=0，当a=5，l1:6x-2y-1=0，综上，a=5（2）由l1⊥l2，则所以(2a+5)(a-1)=0，即a=-52或4．（2023下·黑龙江·高二统考期末）已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.【解题思路】（1）根据点P分别在直线l1和直线l2上，代入这两条直线方程，解方程组即可求得m,n；（2）由l1∥l2可得m·m－8×2＝0得m＝±4,然后分别代入检验排除掉两直线重合的情况；（3）由l1⊥l2可知m·2＋8·m＝0，从而求得m,然后再根据l1在y轴上的截距求得n.【解答过程】解：(1)∵m2－8＋n＝0且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7.(2)由m·m－8×2＝0得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0得{即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2，又－n8∴n＝8.故当m＝0且n＝8时满足条件．题型4题型4三线能围成三角形的问题1．（2023·高二课时练习）若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a=1或a=-2 B．a≠±1C．a≠1且a≠-2 D．a≠±1且a≠-2【解题思路】先排除平行与重合情况a≠±1，再排除交于一点的情况a=-2，最后给出答案.【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点.①若l1//l2，则由②若l2//l3，则由③若l1//l3，则由当a=1时，l1,l2与l3④若三条直线交于一点，由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得将l2,l3的交点解得a=1（舍去）或a=-2.所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠-2.故选：D.2．（2023上·高二课时练习）使三条直线4x+y-4=0,mx+y=0,2x-3my-4=0不能围成三角形的实数m的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若4x+y-4=0,mx+y=0平行，则4m=1若mx+y=0,2x-3my-4=0平行，则m2若4x+y-4=0,2x-3my-4=0平行，则42=1若三条直线交于一点，4x+y-4=0mx+y=02x-3my-4=0，可得m=2经检验知：m∈{-1,-16,故选：B.3．（2023上·河北保定·高二统考期中）已知三条直线l1：ax+by+4=0，l2：a-1x+y+b=0，l(1)若l1⊥l2，且l1过点6,-1(2)若b=3，且l1、l2、l3【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解.（2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解.【解答过程】（1）因为l1：ax+by+4=0，l2：a-1x+y+b=0，且l又直线l1过点6,-1，所以6a-b+4=0，所以b=6a+4即aa-1+6a+4=0，即a所以a=-1b=-2或a=-4（2）因为b=3，则l1：ax+3y+4=0，l2：①当l1∥l2时，由此时l1为3x+6y+8=0，l2为x+2y+6=0，l3为2x+3y+5=0，l②当l1∥l3时，由3a=6得a=2，此时l1为2x+3y+4=0，l2为x+y+3=0，l3③当l2∥l3时，由3a-3=2得a=53，此时l1为5x+9y+12=0，l2为2x+3y+9=0，④当l1，l2，l3交于一点时，a≠3所以l1与l2的交点M-52a-3,-a+42a-3，将综上所述：b=3时，l1，l2，l3三条直线能围成三角形时a4．（2023上·江苏常州·高二校考阶段练习）已知直线l的方程为1+4mx-(1)证明：无论m为何值，直线l恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线l使得△ABO的面积为9.若存在，求出直线l的方程；若不存，请说明理由.【解题思路】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A、B的坐标，根据△ABO的面积为9，求出m的值，可得结论.【解答过程】（1）直线l的方程为1+4mx-即m4x+3y-14令4x+3y-14=0，可得x-2y+2=0，求得x=2，y=2，可得该直线一定经过4x+3y-14=0和x-2y+2=0的交点2,2.（2）若直线l与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则A14m-21+4m,0、B0,，∴m<-14，或则△ABO的面积为12即2×7m-12=9∴m=52，或故存在直线l满足条件，且满足条件的出直线l的方程为22x+11y-66=0，或x+2y-6=0.题型5题型5与距离有关的最值问题1．（2023上·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离．结合上述观点，可得A．42 B．22 C．2+【解题思路】利用两点间距离公式可将问题转化为x轴上一点Px,0到点A-2,-2与点B2,2的距离之和的最小值，当A,P,B【解答过程】∵y=f(x)=x

则fx可看作x轴上一点Px,0到点A-2,-2与点B则可知当A,P,B三点共线时，PA+即PA+故选：A.2．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）已知点P到直线l1：x-y-4=0和直线l2：x-y-2=0的距离相等，则点P到坐标原点距离的最小值为（A．32 B．2 C．32【解题思路】由两直线平行可判断点P所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.【解答过程】因为直线l1：x-y-4=0和直线l2：x-y-2=0平行，且点所以点P在直线l:x-y-3=0上，当OP⊥l时，点P到坐标原点距离的最小，为-3故选：C.3．（2023上·高二课时练习）已知两条平行直线分别过点A6,2和B-3,-1，并且各自绕点A，【解题思路】首先求出AB，即可求出距离的范围，求出最大距离，此时两直线和直线AB垂直，求出kAB【解答过程】两条平行直线分别过点A6,2、B-3,-1，并且各自绕点A，且AB=故这两条平行线之间的距离d的变化范围为d∈0,3这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为310此时的两直线和直线AB垂直．∵直线AB的斜率kAB=2+1则两平行直线分别为y-2=-3(x-6)、y+1=-3(x+3)，即3x+y-20=0和3x+y+10．4．（2023上·河南南阳·高二校联考期中）已知直线l：ax-y+3+a(1)若l不经过第三象限，求a的取值范围；(2)求坐标原点O到直线l距离的最小值，并求此时直线l的方程.【解题思路】（1）将直线方程转化为斜截式，从而得到关于a的不等式组，解之即可得解；（2）利用点线距离公式，结合基本不等式即可得解.【解答过程】（1）直线l的方程可化为y=ax+3+a要使直线l不经过第三象限，则必须有a≤0a解得a≤0，故a的取值范围是-∞（2）设原点O到直线l的距离为d，则d=3+当且仅当2a2+1所以原点O到直线l的距离的最小值为22此时直线l的方程为x-y+4=0或x+y-4=0.题型6题型6点、线间的对称问题1．（2022上·河南南阳·高二校考阶段练习）直线l:4x+3y-2=0关于点A1,1对称的直线方程为（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【解题思路】首先设对称直线上任意一点Px,y，得到Px,y关于A1,1对称点为2-x,2-y【解答过程】设直线l:4x+3y-2=0关于点A1,1对称的直线上任意一点P则Px,y关于A1,1对称点为又因为2-x,2-y在4x+3y-2=0上，所以42-x+32-y故选：B.2．（2023上·湖南益阳·高二校联考阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点A2,0处出发，军营所在的位置为B2,3，河岸线所在直线的方程为y=3x+2，则“将军饮马”的最短总路程为（A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】确定A关于y=3x+2的对称点A'，设饮马点为C，利用|AC|+|BC|≥|【解答过程】若A'(x,y)是A关于y=3x+2的对称点，则设饮马点为C，如下图示，

由图知：|AC|+|BC|=|A'C|+|BC|≥|所以(|AC|+|BC|)min故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．【解题思路】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，由题得x'把x＝4，y＝5代入（3）（4）即得解；（2）用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y即得解；（3）在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，求出其关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，又对称直线的斜率为3，即得解.【解答过程】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，因为kPP′·kl＝－1，即y'又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，所以3×x'由（1）（2）得x把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．(2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l对称的直线方程为-4x+3y-95化简得7x＋y＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，所以x'+02=1，x′＝2，y'l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3，所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.4．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A,B的一点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到原点P，光线QR经过△ABC的重心G．以点A为坐标原点，以AB为x轴（AB为正方向），建立平面直角坐标系．(1)求△ABC的重心G的坐标，及点P的坐标；(2)求△PQR的周长．【解题思路】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心G的坐标；设Pa,0，P关于直线BC,AC的对称点分别设为P1,P2，表示出P（2）根据对称知识可知△PQR的周长即为P1【解答过程】（1）如图所示：以A为坐标原点，以AB,AC为x,y轴建立平面直角坐标系，则A0,0故△ABC的重心G的坐标为0+4+03,0+0+4设Pa,0，P关于直线BC,AC的对称点分别设为P则P2-a,0，设直线BC的方程为x+y-4=0，则y解得x0=4y由光的反射原理可知P1,P故4-a-04--a=43故点P的坐标为43（2）由（1）可得a=43，所以P14,4-a即为P1由题意可知PQ=故△PQR的周长为PQ+题型7题型7圆的切线长及切线方程问题1．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）过点P2,3引圆x2+A．x=2 B．12x-5y+9=0C．5x-12y+26=0 D．x=2和12x-5y-9=0【解题思路】根据题意，分析圆的圆心和半径，分切线的斜率是否存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案．【解答过程】解：根据题意，圆x2即x-12+y+22=1过点P2,3引圆x若切线的斜率不存在，切线的方程为x＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k，则有y-3=kx-2即kx－y＋3－2k＝0，则有5-k1+解得k=12此时切线的方程为y-3=12即12x－5y－9＝0．综上：切线的方程为x＝2和12x－5y－9＝0．故选：D．2．（2023上·四川内江·高二统考期末）已知P是直线l:x+y-7=0上任意一点，过点P作两条直线与圆C:(x+1)2+y2=4相切，切点分别为A、A．47 B．142 C．2【解题思路】当PC⊥l时，|PC|取得最小值，根据切线长的表达式可知，|PA|最小，此时四边形PACB面积S=PA【解答过程】圆C:(x+1)2+当PC⊥l时，|PC|取得最小值，即|PC|的最小值为点C到直线l的距离d=|-8|∵PA=PC2-AC∵四边形PACB面积S=PA∴四边形PACB面积S的最小值为47故选：A．3．（2023上·江西吉安·高二统考期末）已知圆M经过A2,4，B(1)求圆M的标准方程；(2)若过点P-1,5的直线l与圆M相切于点E，F，求直线l的方程及四边形PEMF的面积S【解题思路】（1）设出圆的一般式方程，根据在两坐标轴上的四个截距之和是6，以及韦达定理和圆过A，B坐标，列出方程组即可求解；（2）设切线方程为x=ty-5-1，由直线与圆相切列出方程求出t即可得切线方程；求出PM2，根据四边形PEMF的面积S=2【解答过程】（1）设圆M与x轴的交点为(x1,0),(x2设圆M:x2令y=0，得x2+Dx+F=0，则令x=0，得y2+Ey+F=0，则∵圆M在两坐标轴上的四个截距之和是6，∴D+E=-6，∵圆过A2,4，B∴将A,B代入方程得4+16+2D+4E+F=025+1+5D+E+F=0，即2D+4E+F=-20解得：D=-4,E=-2,F=-4，故得圆M:x∴圆M的标准方程为x-22（2）由（1）得圆M的圆心为M2,1，半径r=3过点P-1,5斜率为0的直线方程为y=5直线y=5与圆x-22+y-1不妨设过P-1,5的圆的切线l的方程为x=t即x-ty+5t+1=0，则d=2-t+5t+1t2解得t=0或t=-24故切线l方程为x=-1或7x+24y-113=0.又PM2则四边形PEMF的面积S=2S4．（2023上·广东清远·高二统考期末）已知△ABC的顶点分别为A(-1,7),B(-4,-2),C(3,-1)．(1)求△ABC外接圆的方程；(2)设P是直线l:4x-3y-25=0上一动点，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ最小值及点P的坐标．【解题思路】（1）设出圆的一般方程将A,B,C三点坐标代入，利用待定系数法即可求得△ABC外接圆的方程；（2）根据切线长公式可知，当P与圆心之间的距离最小时，切线长PQ最小，根据点到直线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.【解答过程】（1）设△ABC外接圆的方程为x2将A,B,C分别代入圆方程可得50-D+7E+F=020-4D-2E+F=010+3D-E+F=0，解得所以△ABC外接圆的方程为x2（2）△ABC外接圆(x+1)2+(y-2)2=25因为PQ=PM2-R当PM⊥l时，PM最小，所以PMmin所以PQmin设P(x0,解得x0即点P的坐标为P23题型8题型8求圆的弦长与中点弦1．（2023下·甘肃白银·高二校考期末）已知圆C：x2+y2-6x+4y-4=0，则过点MA．x+2y-2=0 B．x-y-5=0C．x+y-3=0 D．x-2y-6=0【解题思路】根据垂径定理，分析出圆心和M4,-1连线的直线垂直于直线l【解答过程】

由于42+(-1)x2+y如图，设CH⊥l，垂足为H，设直线l和圆的交点是A,B，根据垂径定理，AB=2为使得AB最小，必须CH最大，显然CH≤H,M重合的时候取得等号，此时CM⊥l，由于kCM所以直线l的斜率为-1，故直线l的方程为y--1即x+y-3=0.故选：C.2．（2022上·广东江门·高二统考期末）直线2m+2x+2m-3y+5=0m∈R与圆C:(x-1)2A．6 B．4 C．32 D．【解题思路】先求出直线经过的定点P，再由弦长公式AB=2r2-d【解答过程】因为2m+2x+2m-3y+5=0令2x+y=02x-3y+5=0所以直线AB恒过定点P(-1,1)，该点在圆内，因为AB=2r2-d2，所以要求AB的最小值，即求圆心显然当AB⊥PC时，d=PC最大，AB又因为圆C:(x-1)2+(y+2)2=16，所以圆心故此时AB=2故选：D.3．（2023上·江西萍乡·高二统考期末）已知直线l过点P1,-1在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆(x+1)2+y2=5相切；②倾斜角的余弦值为5(1)求直线l的一般式方程；(2)若直线l与曲线C:x2+y2注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）选①，先得到点P在圆(x+1)2+y2=5上，从而根据垂直关系求出直线l的斜率，得到直线l的一般式方程；选②，求出tanα=2，从而得到直线l的一般式方程；选③，根据直线（2）求出圆心C到直线l的距离，利用垂径定理求出弦长.【解答过程】（1）若选①：因为(1+1)2+-12=5且圆心-1,0与P连线的斜率为-1-01-因为直线l与圆(x+1)2+y所以直线l的一般式方程为2x-y-3=0；若选②：设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，由cosα=故直线l的斜率k=tan所以直线l的一般式方程为2x-y-3=0；若选③：因为直线l的一个方向向量为a=-2,-4，所以l的斜率所以直线l的一般式方程为2x-y-3=0;（2）曲线C:x2+故C为圆，圆心为C3,1，半径为r=2则圆心C到直线l的距离为d=6-1-3所以弦长MN=24．（2023上·湖南长沙·高二校考阶段练习）已知圆C1:x(1)若直线mx-y+m-1=0m∈R与圆C1(2)是否存在点P，满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线【解题思路】（1）求出直线所过的定点M，根据圆的几何条件可得AB取最小值时，AB⊥C（2）由题意可得直线l1,l2的斜率都存在且都不等于零，设直线l1的斜率为k，则l2的斜率为【解答过程】（1）直线mx-y+m-1=0m∈AB取最小值时，AB⊥CC1∴ABmin（2）设Pa,b由题意可得直线l1设直线l1的方程为y-b=kx-ak≠0则直线l2的方程为y-b=-1k圆C1:x2+圆C2:(x-4)2+则圆心C10,-2到直线l1圆心C24,0到直线l2因为直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C所以d1即2-ak+bk2+1整理得a2-b所以a2-b2=0所以存在点P1,1或3,-3题型9直线与圆有关的最值问题题型9直线与圆有关的最值问题1．（2023下·广西南宁·高二南宁三中校考期末）已知圆C：x-12+y-22=25，直线l：2m+1x+m+1y-7m-4=0，直线l与圆C交于A．1 B．45 C．255【解题思路】根据直线过定点，结合垂直关系求解弦长的范围，即可由二倍角公式结合二次函数的性质求解.【解答过程】直线l：2m+1x+m+1y-7m-4=0令2x+y-7=0和x+y-4=0，解得x=3,y=1，所以直线l恒过定点D3,1，D点在圆C内部，当AB垂直于CD时，AB最短，此时CD=5sin∠ACB=2sin∠ACB2cos∠ACB2=2×故选：B.2．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）已知直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y=-mxm∈R和l2：my-x-4m+2=0交于点P，则△MNPA．10 B．5-10 C．22 【解题思路】根据l1,l【解答过程】根据题意可知，动直线l1:mx+y=0过定点O0,0，动直线l2：my-x-4m+2=0，即因为m×(-1)+1×m=0，所以无论m取何值，都有l1所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为1,2，半径为12设Px,y，则点P的轨迹方程为x-1圆心到直线l的距离为1+2+22=522，则P由题可知M-2,0，N0,-2，则所以△MNP的面积的最小值为12故选：B.3．（2022上·四川成都·高二校联考期中）已知圆C过点1,1，且与y轴相切于坐标原点，过直线l:x-y+1=0上的一动点P引圆C的两条切线l1，l2，切点分别为A，(1)求圆C的标准方程；(2)若点M为线段AB的中点，点O为坐标原点，求MCMO【解题思路】（1）根据圆C且与y轴相切于坐标原点，设圆心为c,0，再根据圆C过点0,0，1,1，可得c的值与半径，即可得圆C的方程；（2）设A，B两点的坐标分别为x1,y1，x2,y2，点P为a,a+1，得直线AC，【解答过程】（1）解：∵圆C与y轴相切，∴可设圆心C的坐标为c,0；又∵圆C过点0,0，1,1，∴c2解得c=1，∴圆心C为1,0，半径为1，∴圆C的标准方程为x-12（2）解：如图，设A，B两点的坐标分别为x1,y1，x2直线AC的方程为y1又∵l1过点A，且与直线AC垂直，∴l1为又知l1过点P，得到x整理可知点A满足：a-1x同理点B满足：a-1x∴直线AB的方程为a-1x+∴直线AB恒过定点12,1由题意可知当点M与点Q不重合时，MC⊥MQ，点M在以CQ为直径的圆上（不包括点C），当点M与点Q重合时也在该圆上，∴点M的轨迹为x-342+y-MCMO当xM=12时，MCMO又∵2yM+12xM-1进而2xM-1综上：MCMO∈0,2，∴4．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作（圆锥曲线论）是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λλ≠1的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点O0,0、A2,0，动点Px,y满足POPA=22，点(1)求MP的最大值及最小值；(2)求△MCP的面积的最大值．【解题思路】（1）求出