广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）（含答案）

广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知复数z=l+i,贝畛的虚部为().

.1「in1i

A.——乙B.-乙C.——乙D.—乙——乙

2.对于非零向量心丸"五+3=6”是“五〃力的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知双曲线。宇―3=1的一条渐近线方程为y=x,则爪=().

A.1B.2C.8D.16

4.若过点(2逆,0)与圆好+、2=4相切的两条直线的夹角为明贝hosa=().

A.恪BWC.1D.|

553s

5.在平面直角坐标系中，点48的坐标分别是(—5,0),(5,0),直线AM,相交于点M,且它们的斜率之

积是小则点M的轨迹方程为().

A•看盖=y"5)B,*需=心不±5)

C噌一需=K久力±5)D/-篝=1。於±5)

JTTT

6.设函数/1(%)=COS(3X+忆)(3>0),已知=/(x2)=1，且％-切的最小值为I，则

3=().

A.1B.2C.3D.4

7.已知正四棱台4BCD-4中心。1的体积为竽，AB=2,4/1=1,则与底面4BCD所成角的正切值

为().

A.号B.A/3C.28D.4

8.设函数/(%)=xlnx-(a+h)lnx,若f(x)>0,则5。+5b的最小值为().

A.1B.2C.在D.2在

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知随机变量X服从正态分布，即其阳3,9),贝！］().

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A.E(X)=27B.D(X)=9

C.P(X>S)>P(X<-1)D.P(X<l)+P(X<5)=1

10.过抛物线E：y2=2p%(p>0)的焦点F作倾斜角为。的直线交E于4B两点,经过点4和原点。的直线交抛

物线的准线于点。，则下列说法正确的是().

A.BD//OFB.OA1OB

2

C.以4F为直径的圆与y轴相切D.\AF\\BF\=扁

11.我们知道，函数y=/(*)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/。)为奇函数，有

同学发现可以将其推广为：函数y=/(%)的图象关于点(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数

y=f(x+a)-6为奇函数。已知f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x),若函数y=f(x+1)-1

是奇函数，函数y=9。+2)为偶函数，则下列结论错误是().

A./(I)=1B.g(l)=1

C.y=/(x+2)—1为奇函数D.Ef=i4/(0=1012

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知/+2%-1=0,则比2+义=

13.在砥+当8的展开式中，常数项为.

14.如图，在4X4的格子中，有一只蚂蚁从4点爬到B点，每次只能向右或向上移动一格，则从4点爬到B点

的所有路径总数为,若蚂蚁只在下三角形(对角线力B及以下的部分所围成的三角形)行走，则从2点到

B点的所有总路径数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记△48C内角B,C的对边分别为a,b,c,已知避sin/-cos/=2.

(1)求4

(2)若a=2,JZbsinC=csin2B,求△ABC的周长.

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16.(本小题15分)

如图，在圆锥P。中，4C为圆锥底面的直径，8为底面圆周上一点，点。在线段BC上，AC=2AB=4,

CD=205.

(1)证明:AD1平面BOP;

(2)若圆锥P。的侧面积为8兀，求二面角。-BP-4的正弦值.

17.(本小题15分)

已知函数/(无)=ax-lnx-^.

(1)当a=1时，求曲线y=/(乃在(1/(1))处的切线方程；

(2)若((%)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

18.(本小题17分)

22

在平面直角坐标系中，P为直线y=2上一动点，椭圆E：底+方=l(a>b>0)的左右顶点分别为M(-

W，0),N(后0),上、下顶点分别为7(0,1),S(0,-1),若直线P7交E于另一点4直线PS交E于另一点B.

(1)求证：直线过定点，并求出定点坐标；

(2)求四边形2SBT面积的最大值.

19.(本小题17分)

某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了4和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活

动，顾客可自由选择4和8两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况(单位：千张)的折线

图：

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日用《大a

(1)由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)假设每位顾客选择4套餐的概率为4，选择B套餐的概率为|,其中4包含一张优惠券，8套餐包含两张优

惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了几张优惠券，设其概率为P“求P”；

(3)记(2)中所得概率Pn的值构成数列｛Pn｝(nCN*),求数列｛Pn｝的最值.

参考数据：£7=1%=16.17,万=1&%=68.35,J£：=i(%-y)2=0.72,々=2.646

参考公式：相关系数「飞案:，熹吃乙2

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参考答案

l.A

2.2

3.5

4.C

5.4

6.D

7.C

8.D

9.BD

IQ.ACD

ll.BCD

12.6

13.70

14.70；14

15.解：(1)由避sin力一cosA=2得，

孝sirLA-jcosA=1,即sin(4—菅)=1,由于46(0,兀)得4一.€(-45,

兀兀27T

•A————,A—----

6~2'3

(2)由题设条件和正弦定理他bsinC=csin2B

得裾sinBsinC=2sinCsinBcosS,

又B,CG(0,7r),贝!JsinBsinC力0,进而cosB=#,得到B=于是C=n—A—B—

sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=";避，

由正弦定理得对1=磊=肃即急=品=病

解得6=吟c="—乎，

故△ABC的周长为2+避+坐

16.1?：(1)•••P01平面48C,BA1BC,故以B为坐标原点，

瓦?为无轴正方向，而为y轴正方向，与而同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，

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设|0P|=x,故8(0,0,0),4(2,0,0),

。(1,8,0),P(l,包)，。(0,宇0),

而=(-2,宇0),BO=(l(A/3,0),丽=(1,舟),

■■AD-BO=-2+2^0,AD-JP=-2+2=0,

故BO,AD1BP,•••BPCBO=B,BP,BOu平面BOP,

.­.AD1平面BOP；

(2)v侧面积S=2TIxPA=8兀，PA=4,

OP—x—2平,

由(1)可知，而为平面BOP的法向量，设平面ABP的法向量为访=(a,瓦c),而瓦?(2,0,0),故

\m-BP=a+俎b+2避c=0'

令c=-1,则m=(0,2,—1),

由硬-2x°+与〉2+°x(-1)_工

则cos(7n/D)

\m\■|AD|J(_2)2+(攀)2+02xJ02+22+(-1)25

所以二面角。—BP—a的正弦值为写.

17.解：(1)当a=1时，则〃尢)=x—lnx—1,(⑴=1—§可得/⑴=0,/⑴=

即切点坐标为(1,0),切线斜率为k=0

所以切线方程为y=0；

(2)/。)定义域为(0,+8),且/Q)=a-p

若a<0,则((X)<0对任意xG(0,+8)恒成立.

所以八支)在(0,+8)上单调递减，无极值，不合题意,

若a>0,令f'O)>0,解得x>1,

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令/。)<0,解得x<《可知f(x)在(0。上单调递减，弓,+8)上单调递增则照)有极小值，/$=1+In

a-：,无极大值，

由题意可得：f—1+Ina——<0,即1+lna—£<0,

令g(a)=1+Ina--(a>0),

g'(G=，+白>°，g(a)在(。,+8)上单调递增，

又g(l)=1,不等式1+Ina—|<0等价于g(a)<g(l),解得a<1,又a>。，综上a的取值范围

0<a<1.

18.解：由题意知。=典b=1,椭圆E[+y2=i,

设P(t,2),

(1).当t力。时，设直线P4y+1,

代入/+2y2=2得号4;2+3=。今办=m羽，从而均=含方，点4(旨：建；；)，

设直线PB:y=|x-l,

代入/+2/=2得*/一生=。"=告/从而"=-丹|，点/晶一急令),

由对称性知，定点在y轴上，设为G(o,m),

m—[-2m+广181

由k/G=kBG，即——_i2t18>化简得租(4*+24)=22+12=TH=2，

t2+2t2+18

所以直线4B过定点漏■)；

当t=0时，直线4B也恒过定点(03.

综上，直线AB也恒过定点谒).

(2)可知四边形的面积为S=l\ST\\xA-xB\=\XA-XB\=|备+西七|=16|」崇;361

,|t+|l“|t+!|

16，

=161t2+1+20|=|(t+1)2+8|

令m=|t+自N2也当且仅当t=±m时等号成立，

016m16

S=^Ts=m+^

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而y=x在（2",+8）上单调递增，而TH>2^/6,

从而当2逆时，四边形2SBT面积有最大值S=黑个8=也

19.解：由折线图中数据和附注中参考数据得

—1+2+3+4+5+6+7.

t=-------------------=4,

27=1G一。2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,

7

W(%-歹产072

Ji=l

Sr=i(ti-t)Oi-y)=}=1与%