河北省衡水中学2022届高三上学期高考模拟卷（一）数学试题 含解析

新高考单科模拟检测卷（一）数学本试卷满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】∵，故选：B．2.已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由奇函数定义域的对称性得，然后可得函数解析式，计算函数值．【详解】因为幂函数在上是奇函数，所以，所以，所以，故选：A．3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出三角形的三个内角，然后由正弦定理得结论．【详解】因为且，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故选：D．4.已知，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为，，，所以则，，的大小关系是，故选：B5.设向量，，则“”是“”的A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充要条件的判断方法进行判断即可.【详解】若，则，，则；但当时，故“”是“”的充分但不必要条件.选A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.6.在2020中俄高加索联合军演的某一项演练中，中方参加演习的有5艘军舰，4架飞机；俄方有3艘军舰，6架飞机．若从中、俄两方中各选出2个单位（1架飞机或一艘军舰都作为一个单位，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同），且选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有（）A.51种 B.224种 C.240种 D.336种【答案】C【解析】【分析】按中方选一架飞机或俄方选一架飞机分类讨论，每类再分步选择即可得．【详解】不同的选法有：（种）．故选：C．7.已知，均为锐角，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将变形，配角利用两角差的正弦公式展开化简计算，可得关于的一元二次方程，根据列不等式求解的取值范围，即可得最大值.【详解】∵，∴，即，∴，即，又因为为锐角，所以该方程有解，即，解得．又为锐角，∴．所以的最大值是.故选：C8.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线定义求，再代人求，最后根据条件列方程，解得结果.【详解】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，即，因为，所以，选A.【点睛】凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．即若为抛物线上一点，则由定义易得.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知，分别为直线的斜率与纵截距，复数，则（）A. B.C. D.复数在复平面上对应的点在第四象限【答案】BC【解析】【分析】由直线方程得，然后由复数乘除法运算求得，判断各选项．【详解】∵，分别为直线的斜率与纵截距，∴，∴，∴，复数在复平面上对应的点为，在轴的负半轴上．故选：BC．10.已知直线与圆有两个交点，则实数值可能是（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得的范围．【详解】圆的圆心为，半径为，依题意得，解得．故选：ABC．11.设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法不正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】由面面平行性质定理和判定定理判断A，根据空间直线与平面间的位置关系判断BD，由线面垂直的判定定理，线面平行的性质定理判断C．详解】若，，作两个相交平面分别与平面相交于直线，与相交于直线，与相交于直线，，如图，则，，所以，，由得，同理，又是内两相交直线，所以，A正确；若，时，可以有，B错；，过作平面与相交于直线，如图，则，又，则，因此，C正确；，，也可能有，D错．故选：BD．12.已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．3.271.570.260.4200.070.260.210.200下列关于函数的叙述正确的是（）A.为奇函数 B.在上没有零点C.在上单调递减 D.【答案】ACD【解析】【分析】根据函数解析式，，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点据区间，然后结合各函数值得变化趋势，确定的正负．【详解】∵，∴，所以为奇函数；又，，所以在上必有零点，所以在上必有零点；另一零点在上，根据已知数值，的情况下，越大，函数值越小，结合三次函数的性质可以确定，同时在上单调递减．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.展开式中，所有项的系数和等于________．【答案】【解析】【分析】令，代入计算，即可得所有项的系数和.【详解】令，得，故展开式中所有项的系数和等于．故答案为：14.已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量的模为________．【答案】【解析】【分析】根据向量数量积公式的变形公式代入计算在方向上的投影向量的模长.【详解】在方向上的投影向量的模为．故答案为：15.已知一元二次不等式的解集为，则函数的单调增区间为________．【答案】【解析】【分析】求，由可得的单调增区间.【详解】由可得因为一元二次不等式的解集为，所以可得，所以的单调增区间为，故答案：16.等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.【答案】①.12②.【解析】【分析】空1：根据等差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组，最后根据等差数列的通项公式进行求解即可；空2：常变量分离，根据等差数列的前项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进行求解即可.【详解】空1：设等差数列的公差为，因为，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，设，，显然当时，，当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，，所以数列的最大项为，因为中有2个元素，所以不等式只有两个不同正整数根，而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项和为，，是否存在正整数，使得，，成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】存在；．【解析】【分析】首先根据求出；然后假设存在正整数，使得，，成等比数列，根据即可求得的值.【详解】因为，，所以，所以，，假设存在正整数，使得，，成等比数列，则，即，解得或(舍去)，故存在，使得，，成等比数列．18.已知：中，角，，所对的边分别为，，，且．（1）求角的大小及的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合二倍角公式可求得；（2）由得，然后由诱导公式、两角和的正弦公式计算．【小问1详解】中，由正弦定理，又由得，，所以，∵，∴．∴．【小问2详解】由及得，则，所以．19.为了解高中生使用手机社交软件聊天情况，随机抽取了100名学生进行调查.如图是根据调查结果绘制的学生每天使用手机上网平均所用时间的频率分布直方图.将时间不低于40分钟的学生称为“手机控”.（1）样本中“手机控”有多少人?（2）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“手机控”与性别有关?非手机控手机控合计男女1055合计100参考数据：0.100.052.7063.841【答案】（1）人；（2）列联表见解析，没有95%把握认为“手机控”与性别有关.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算即得解；（2）完善2×2列联表，再利用独立性检验求解.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机控”有人.（2）由题得列联表如下：非手机控手机控合计男301545女451055合计7525100假设：“手机控”与性别没有关系.将2×2列联表中的数据代入公式，计算得当成立时，.因为3.030<3.841，所以没有95%把握认为“手机控”与性别有关.20.如图，在三棱锥中，△是等边三角形，．（1）证明：；（2）若，且平面平面，求三棱锥体积．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】（1）取中点，连接，，证明平面，得线线垂直；（2）作，垂足为，连接．得证平面，利用全等三角形的性质得是中点，求得各线段长后，由体积公式计算体积．【小问1详解】证明：因为是等边三角形，，所以，可得．如图，取中点，连接，，则，，,平面，所以平面，又平面，所以．【小问2详解】解：作，垂足为，连接．因为，所以，．平面，所以平面，由已知，平面平面，故．在中，，，．在中，，∵，∴．∴在中，．∴．∵平面，∴三棱锥体积．21.已知函数．（1）若，证明：在定义域内是增函数；（2）若在上的最小值为，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，由恒成立得证；（2）求出导函数，根据的大小分类讨论求出的最小值，由最小值求得．【小问1详解】由题意知的定义域为，．∵，∴，故在上是单调递增函数．【小问2详解】由（1）可知，．①若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，∴，∴（舍去）；②若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，∴，∴（舍去）；③若，令，得，当时，，∴在上为增函数，当时，，∴在上为减函数，∴，∴．综上所述，．22.已知椭圆E：的焦点在x轴上，抛物线C：与椭圆E交于A，B两点，直线AB过抛物线的焦点．（1）求椭圆E的方程和离心率e的值；（2）已知过点H（2，0）的直线l与抛物线C交于M、N两点，又过M、N作抛物线C的切线l1，l2，使得l1⊥l2，问这样的直线l是否存在？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线的方程求出点的坐标，代入椭圆的方程，即可求得的值，进而得到离心率的值；（2）设直线的方程为，由抛物线的方程得，则，所以切线的斜率分别为，，有题设条件得，再由直线的方程和抛物线的方程联立，利用韦达定理，得，即可求得，得到直线的方程.【详解】（1）∵x2＝2py，∴，∴代入得∴代点A到得t＝4．∴椭圆E：，a＝2，b＝1，∴，∴离心率．（2）依题意，直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k（x－2），M（