函数的概念与性质（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题04函数的概念与性质5题型分类

彩题如工总

题型1:函数的概念与表示

题型5：函数的对称性

题型2：函数的单调性与最值

专题04函数的概念与性质

5题型分类

题型4：函数的周期性

题型3：函数的奇偶性

彩和渡宝库

1.函数的概念

一般地，设A,3是非空的实数集，如果对于集合A中的任

意一个数X,按照某种确定的对应关系方在集合5中都有

概念

唯一确定的数y和它对应，那么就称/：A-3为从集合A到

集合5的一个函数

对应关系y=/(x),

三要素定义域X的取值范围

值域与x对应的y的值的集合伏x）|x©A}

2.函数的单调性

增函数减函数

一般地，设函数五x）的定义域为/,区间DG/,如果Vxi,X2^D

当X1<X2时，都有>y（X2），

当X1<X2时，者B有人X1）</（X2）,那么就

那么就称函数而0在区间D上单

定义称函数汽X）在区间。上单调递增，特别

调递减，特别地，当函数汽X）在

地，当函数次X）在它的定义域上单调递

它的定义域上单调递减时，我们

增时，我们就称它是增函数

就称它是减函数

前提设函数y=/(x)的定义域为/，如果存在实数“满足

(l)Vxez,都有人x)WM；(l)Vx£L都有而

条件

(2)3xoe/,使得次x())=M(2)3xoGZ,使得式xo)=M

结论M为最大值M为最小值

4.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数五x)的定义域为/,如果Vx©/,都有一

偶函数关于y轴对称

X^I,且八一x)=Ax)，那么函数人X)就叫做偶函数

一般地，设函数人劝的定义域为/,如果Vx©/,都有一

奇函数关于原点对称

X^I,且五一x)=一五》)，那么函数人X)就叫做奇函数

5.函数的周期性

周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数7•，使得当x取定义域内的任何值时，都

有/(x+n=/(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称了为这个函数的周期.

彩他题秘籍

(_)

函数的概念与表示

1.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数

称为分段函数.

4.函数的定义域

(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合.

(2)若《¥)的定义域为［a,b］,则复合函数五g(x))的定义域由不等式a4(x)@求出.

(3)若复合函数Hg(x))的定义域为［a,b］,则Hx)的定义域为g(x)在［a,加上的值域.

5.函数解析式的求法

(1)配凑法.

(2)待定系数法.

(3)换元法.

(4)解方程组法.

6.分段函数求值问题的解题思路

(1)求函数值：当出现用(0)的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的

值，切记要代入检验.

题型1：函数的概念与表示

1-1.(2024高二下.宁夏吴忠・学业考试)如图，可以表示函数的图象的是()

【答案】D

【分析】根据函数的概念判断

【详解】根据函数的定义，对于一个x,只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求

故选：D

1-2.(2024高三.全国•课后作业)下列各组函数中，表示同一个函数的是().

A./(x)=lgx2,g(x)=21g无

_l_1

B.f(Jr)=lg:r-g(x)=lg(x+l)-lg(x-l)

X-I

C〃")=旧'g(v)=旧

D./(X)=(A/7),g(x)=E

【答案】C

【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.

【详解】对于A："x)=lgV的定义域为R,g(x)=21gx的定义域为(0,+8).因为定义域不同，所以〃尤)和

g(x)不是同一个函数.故A错误；

对于B：〃无)=lg=的定义域为g(x)=lg(x+l)—lg(x—1)的定义域为(1,+s).因为定

义域不同，所以〃尤)和g(x)不是同一个函数.故B错误；

对于C：〃")=正|的定义域为(fl),g(p)=RZ；的定义域为(-1,1),所以定义域相同.又对应关系也

相同，所以为同一个函数.故C正确；

对于D：〃x)=(4『的定义域为［0,+功，g(x)=G的定义域为R.因为定义域不同，所以和g(尤)不

是同一个函数.故D错误；

故选：C

1-3.(2024.全国•模拟预测)已知函数/。)=\，八，则()

［无一3无一4,x>0'''

A.-6B.0C.4D.6

【答案】A

【分析】

由分段函数解析式，利用周期性求得〃T)=〃l)=-6,进而求目标函数值.

【详解】

由分段函数知：当x<0时，周期7=1,

所以/(T)=/(T+5)=/⑴=1-3—4=-6,

所以了(/(T))=/(-6)=/(-6+7)=/(l)=Y.

故选：A

14（2024•北京朝阳•二模）函数［的定义域为______.

Vx+1

【答案】{尤卜训

【分析】解不等式x-120即可得函数的定义域.

【详解】令:二20,可得尤-晚0,解得X2L

X+1

故函数的定义域为何61}.

故答案为:{x|xNl}.

1-5.（2024高三・全国•课后作业）已知函数“X）的定义域为［J,则函数y=/，-x-1的定义域

为.

【答案】

【分析】由题意知-gw无2-x-gwg,解不等式即可求得答案.

【详解】因为函数y=/（x）的定义域为，

所以在函数、=/1/一工一（］中，一］三尤解得1—二WxWO或,

I2J22222

故答案为:

1-6.（2024高一上•湖南邵阳•期末）已知/（x）=ln（f-办+1）的定义域为R,那么。的取值范围为

【答案】（-2,2）

【分析】根据题意可知，炉一分+1>。的解集为R,由公<。即可求出.

【详解】依题可知，/-依+1>0的解集为R,所以A=a2-4<0，解得-2<a<2.

故答案为：（-2,2）.

1-7.（2024高三•全国•专题练习）若函数>=/（x）的值域是［-1,3］,则函数g（x）=3-2/a+l）的值域为

【答案】[-3,5]

【分析】根据y=/(x)的值域是[T3],分步求出g(x)=3-2/(x+l)的值域.

【详解】因为函数>=/(幻的值域是[-1,3],

所以函数y=/(x+D的值域为

则y=-2f(x+l)的值域为[-6,2],

所以函数g(x)=3-2/。+1)的.值域为[-3,5].

故答案为：卜3,5].

1-8.(2024高三•全国•课后作业)函数y=J二三+&7I的值域为.

【答案】[石，指]

【分析】先求函数的定义域，由于yzo,在结合二次函数性质和根式的性质求函数的值域.

-----(------[1-X20

【详解】由丫=正(7+071有意义可得c、八，所以-

[2+x>0

y=Jl—x+42+x的定义域为[-2,1],

y—1冗++x产—J1-%+2+%+2，1-x•J2+；

设.=-[%+工]，贝！)/£一38，丫二/2，+2+3，贝！)y£[月,#].

故答案为：[6,6].

1-9.(2024高一.上海.专题练习)求下列函数的值域

3+x

(1)y=--

4-x

5

(2)

,一2尤2-4无+3；

(3)y=yjl-2x—x；

_x2+4x+3

(4)>x2+x~6'

(5)y=4一，3+2%-九2；

(6)y=x+Jl-2x；

(7)y=(%-3+(5-.；

(8)y=-J-X1-6x-5

3x+l

(9)y二

x—2

2%2—九十1

(10)(%>5).

y=2x-l

【答案】(1)(一°°,—l)u(—1,十°°)；(2)(0,5]；(3)-5，+°°)；(4){y|ywl且(5)[2,4]；(6)；

(7)2]；(8)[0,2]；(9)(—°°,3)U(3,+°o)；(10)A/2+—,+00j.

【分析】(1)先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可;

(2)直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；

(3)先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；

(4)变形得y=l+^-,(x^-3)f即可得解；

x—2

(5)利用二次函数的单调性逐步求值域即可；

(6)令:75万，则》=号，将函数变形为y=-《+f+(jW0,利用二次函数的性质计算可得;

(7)求出函数定义域，y=与+5M平方后利用二次函数的性质求值域即可；

(8)直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；

(9)先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；

(10)先进行换元r=2x-1>0,再利用对勾函数单调性求解值域即可.

【详解】解：(1)分式函数>=誓=-1-1，

4一九x-4

定义域为{x|x*4},故白;/。，所有>片-1，

故值域为-l)D(-l,+oo)；

57

(2)函数y=-2--------中，分母1=2兀2_4兀+3=2(1-1)+1>1,

2x-4x4-3

则y=；e(0,5],故值域为(0,5]；

(3)函数y=中,令1-2x20得

易见函数y=，l-2x和。=-%都是减函数,

故函数y=5/r^-x在xwg时是递减的，故尤=g时/n=-g，

故值域为

z.xx2+4x+3x+13/、

(4)股算不？=口=1+三，(x~3),

故值域为卜|>21且y片；

(5)y=4-J3+2%-%2=4-(x—I)2+4,X£[-l,3]

ffi]0<-(x-l)2+4<4,XG[0,4],

/.0<7-(.^-I)2+4<2,「.4-244-J-(十-I)?+4W4-0，

即24”4,故值域为[2,4]；

(6)函数y=x+Jl-2x,定义域为卜8,；,令/=Jl-2v=0,

1—r1—产产1

所以X=」_,所以y==+r=-L+r+_Lj20,对称轴方程为r=l,

2222

所以t=l时，函数y1mx=-;+1+；=1,故值域为(一8』；

一fx-3>0

(7)由题思得|,解得3工145,

p-x>0

贝IJ/=2+2j(x-3)(5-x)=2+2J-(x-4『+l,3《尤W5,

故一(x—4)2+le[0,l],2^-(x-4)2+le[0,2],2<y2<4,

由y的非负性知，y[2<y<2,故函数的值域为[a,2]；

(8)函数y=j2-6x-5=J-(x+3)2+4,定义域为-(x+3)2+4e[0,4],故

>=J_(x+3『+4e[0,2],即值域为[0,2]；

(9)函数了=主[=3+二，定义域为卜|尤片2},

故£片0,所有y*3,故值域为(F,3)U(3,+8)；

2X2-X+1=(2X-1『+(2X-1)+2=1^x-l)1

(10)函数>=++2；

2元一12(2x7)

eq1「If2^11

令Af=2x-L则由x>—知，t>0,j=-t+-+-,

22<t)2

根据对勾函数，+/在(0，血)递减，在[①+8)递增，

可知.=3时，Vmin=120+；=拒+；,故值域为0+；,+co).

【点睛】方法点睛：

求函数值域常见方法：

(1)单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域(包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函

数等)；

(2)换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；

(3)判别式法：分式函数分子分母的最高次幕为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，

判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.

1-10.(2024高三•全国•专题练习)求下列函数的解析式：

(1)已知-sinx)=cos。，求〃x)的解析式；

⑵已知小+£|=/+福，求〃x)的解析式；

⑶已知〃x)是一次函数且3〃x+l)—2/(x-l)=2x+17,求的解析式；

⑷已知满足”(x)+〃f)=3x,求/(x)的解析式.

【答案】(D〃x)=2x-x2,XG[0,2]

(2)〃x)=炉-2,X£(-OO,-2]U[2,-K»)

(3)/(x)=2x+7

(4)〃x)=3x

【分析】(1)设l-sinx=f,由换元法可得出答案.

(2)由[一2,由配凑法可得答案.

(3)可设式尤)=亦+优。#)),利用待定系数法可得答案.

(4)将x用-x替换，由方程消元法可得答案.

【详解】(1)设l—sin%=，，te[0,2],则sinx=lT

*.*/(1-sinx)=cos2x=1-sin2x

y(r)=i-(i-r)2=2r-r2,?e[o,2]

即/(x)=2x-x2,xe[0,2]

2

(2)：/(尤+!)=尤2+二=

x+—I—2

XXX

由勾型函数y=X+工的性质可得，其值域为（-8,-2]U[2,+4

X

所以〃%)=尤2一2,xe(-00,-2]u[2,+a?)

（3）由Ax）是一次函数，可设«O=ar+b（＜#0）,

/.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b\=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+ll,

a=2,CL—2,

5i=17解得

b=7,

♦'•/(x)的解析式是fl,x)=2x+y.

(4)2/(x)+/(-x)=3x,①

•••将x用-x替换，得2〃T)+"X)=-3X,②

由①②解得Xx)=3x.

函数的单调性与最值

1.函数的单调性

（1）VX1，*2£/且刈#*2,有出@=3＞0（＜0）或的一X2），（X1）—/2）]＞0（＜0）台/（X）在区间/上单

XI-X2

调递增（减）.

（2）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数.

1

(3)y=fM(f(x)>0或/(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.

/)

（4）复合函数的单调性：同增异减.

2.确定函数单调性的四种方法

（1）定义法.

（2）导数法.

（3）图象法.

（4）性质法.

3.函数单调性的应用

（1）比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.

（2）求解函数不等式时，由条件脱去“产，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义

域.

（3）利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式

（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

题型2:函数的单调性与最值

（3a-l）x+4a（x<l）

2-L（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=、，满足对任意的实数为，羽且玉片超，

a尤,刈

都有［『（％）-〃々）］（玉-々）<0,则实数a的取值范围为（）

A•卜Ib-H］c-［?!}口.加

【答案】C

【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出。的范围.

【详解】对任意的实数无产毛，都有"（X）-/（X2）］a—上）<0,即"?成立,

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

3ci—1<0

可得：,

3a-l+^a>a

解得。£—|,

故选：C

2-2.（2024高三上•新疆乌鲁木齐•阶段练习）若函数=在区间［0』上的最大值为3,则实数

m-

【答案】3

【分析】

先分离变量/(何=如?=2+二，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.

X+lX+1

【详解】

••・函数〃f=2+3

由复合函数的单调性知，

当机＞2时，在［0内上单调递减，最大值为〃0)=加=3；

当机＜2时，〃耳=彳詈在［0,1］上单调递增，最大值为〃1)=智=3,

即根=4,显然根=4不合题意,

故实数加=3.

故答案为：3

2-3.(2024•河南.模拟预测)已知函数/(x)为定义在R上的单调函数，且/(〃尤)-2-2%)=10,则/(x)在

［-2,2］上的值域为.

一7-

【答案】--J0

【分析】易知/(尤)一2「2龙是一个固定的数记为/,得至U〃x)=2'+2x+，，进而有了⑺一2'-2/=/,即

/(f)=2,+3/=10,求得t=2,利用函数的单调性求得其值域.

【详解】因为f(x)为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的/eR,使得了⑺=10,

贝i］/(x)-2J2x=r,f(t)-'2!-2t=t,即"。=2'+3t=10,

因为函数y=2'+3/为增函数，且22+3x2=10,所以/=2,

f(x)=2T+2x+2.

易知“X)在［一2,2］上为增函数，且〃一2)=-(，"2)=10,

「7-

则“X)在［-2,2］上的值域为--510.

7

故答案为：-“1。.

2-4.（2024高三下•河南•阶段练习）已知函数/（尤）=优.+3尤+1（。>。且。片1）,若曲线y=〃尤）在点（0,〃。））

处的切线与直线x+2y-l=0垂直，则〃尤）在［-1,2］上的最大值为.

【答案】7+4

e

【分析】求导，根据两直线垂直得到切线在（0,〃0））的斜率为2,得到方程，求出由/（X）是增函

数求出/'（x）2/（-l）=3-e>0,得到了⑺的单调性，得到最大值.

【详解】由题意得广（x）="lna+3,所以解（0）=lna+3,

因为切线与直线尤+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率为一;，

所以切线斜率为2,即lna+3=2,解得a=J,

所以f（x）=eT+3x+l,且7''（■）=9+3,

显然（（力是增函数,

当xe［-l,2］时，r（x）>r（-l）=3-e>0,

所以〃x）在［-1,2］上单调递增，故"X）1mx="2）=7+士.

e

故答案为：7+—

e

2-5.（2024•天津河西•模拟预测）已知函数y=/（x+2）是R上的偶函数，对任意/，x2G［2,-KO）,且王。马

都有成立.若q=〃iog3i8),b=f(\n(In10、

，贝!J。，Z?,c的大小关系是（）

\7

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

In10

2

【分析】利用奇偶性和对称性判断函数y=/（X）在（2,+⑹上的单调性，再比较10g318,In亚,e大小，结

合y=/（%）的单调性即可得出答案.

【详解】解：因为函数y=/（x+2）是R上的偶函数,

所以函数y=的对称轴为x=2,

又因为对任意七，x,e[2,y),且占都有>0成立.

石-x2

所以函数y=〃x)在(2,+8)上单调递增，

2

2

而3=log327>log318>log39=2,In^Ine—InA/2=2—In\/2<2,e-2__ein7io_>3,

In102

所以e2>log318>2>ln-j=,

所以c>a,

因为函数y=〃x)的对称轴为x=2,

所以b=/=/4-ln=/(2+ln码,

而a="log?18)=/(log?9x2)="2+logs2),

因为In0<log32,

e

所以2<4-ln<log18<3

a3

所以,

所以Z?<a<c.

故选：A.

彩做题秘籍（二）

函数的奇偶性

1.函数的奇偶性

（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性.

（2）偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数奇偶性的判断

（1）定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数.

（2）判断五x）与八一x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性

的等价等量关系式（/00+八一x）=0（奇函数）或人乃一A—x）=0（偶函数））是否成立.

3.函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求

已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

题型3:函数的奇偶性

/、x?—3*,x<0,..

3-1.(2024广东湛江•二模)已知奇函数/(》)=(、,c贝1晨力=________.

g(x)+l,x>0,

【答案】—d+3，-l

【分析】根据奇函数的定义，先求当x>0时，-x<0,/(%)=-/,(-%),再进一步求解g(x).

【详解】当x>0时，f<0,/(x)=g(x)+1=-/(-x)=-[(-x)2-34-x)]=-x2+3\

贝Ug(x)=f2+3-1.

故答案为：-/+3，一1.

3-2.(2024高三.全国.专题练习)已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=-炉+4尤-3,

则函数〃尤)的解析式为.

x2+4x+3,x<0

【答案】〃x)=0,x=。

—尤2+4x—3,尤>0

【分析】利用函数的奇偶性求解即可.

【详解】由于函数〃尤)是R上的奇函数，则〃0)=0.

当x>0时，/(尤)=-x2+4x—3,

设x<0,贝i]-x>0,贝!|/'(一彳)=一无2-4无一3=—/(%),

所以，a)=d+4x+3.

x2+4x+3,x<0

综上所述，〃无)=<0,尤=0.

—x2+4x—3,x>0

尤2+4x+3,尤<0

故答案为：/(元)=<0,尤=。

-x2+4.x-3,x>0

【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤：

(1)设：要求哪个区间的解析式，X就设在哪个区间；

(2)代：利用己知区间的解析式代入进行推导；

(3)转:根据/(*)的奇偶性,把〃-x)写成-/(幻或〃x),从而解出了(%).

3-3.(2024•新疆阿勒泰•一模)若函数〃x)=2e2*+ae%+l为偶函数，贝1］。=.

【答案】2

【分析】由偶函数的概念列方程即可求得.

【详解】•••函数〃力=2e2x++1为偶函数

/./(x)=2e2x+ae-2x+l=f(-x)=2e-2x+tze2x+1

BP(2-a)e2x=(2-a)e-2x

又,/e2x>0,e-2x>0,e2x^e-2x(x^0),.\2-a=0,a=2

故答案为：2

3-4.(2024高三下•江西•阶段练习)若函数〃%)=1。&(16*+1)-依是偶函数，贝打。g.2=.

【答案】1

【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得。的值即可.

【详解】••"(X)为偶函数，定义域为R,

•••对任意的实数X都有了⑺寸(T),

x

即log2(16*+1)-方=log2(16~+1)+or,

Y-vx

2ax=log2(16+-logo(16+l^=log216=4x,

由题意得上式对任意的实数无恒成立，

*,*2。=4,解得〃=2,所以logq2=1

故答案为：1

3-5.（2024高一上.安徽蚌埠•期末）已知定义在R上的函数/（力,g（x）满足:①“0）=1；②g（x）为奇函

数；③Vxe(0,4<o),g(x)>0；④任意的x,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

（1）判断并证明函数〃x）的奇偶性;

（2）判断并证明函数八%）在（0,+?）上的单调性.

【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）/（%）在（0,+?）上单调递增，证明见解析.

【解析】⑴取x=y结合以0）=1得出g（o）=。，再由〃T）=〃0—x）=〃0）〃x）-g（0）g⑺证明函数

“X）的奇偶性；

(2)由奇偶性得出〃x+y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),再由函数单调性的定义结合

〃尤2)-〃%)=(迨会+玉尹竹土-三尹)证明函数”X)在(0,+?)上的单调性.

【详解】解：(1)依题意,f2(x)-g2(x)=/(x)/(x)-g(x)(x)=/(x-x)=/(0)=1.

⑼_g?(0)=g⑼=o

/(-X)=/(0-x)=/(O)/(%)-g(O)g(%)=/(x),

又因为y(x)的定义域为R,所以函数/'(X)为偶函数.

(2)由④知,〃x+y)=/(x)〃-y)—g(x)g(-y)=/(x)〃y)+g(x)g(y)

VXj,X2G(0,+oO),Xj<x2

号BY三一

•/x1,x2>0,x1<x2,^^>0

即/(x)在(0,+?)上单调递增.

【点睛】关键点睛：在证明奇偶性时关键是利用/(X-y)=/(x)〃y)-g(x)g(y)求出g(O)=O,再由定义

证明函数/(X)为偶函数；在证明单调性时，关键是由

/伉)一〃%)=(里+号]-7[8一号)结合/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y),

/(x+y)=〃x)〃y)+g(x)g(y)证明了⑺在(。,+?)上单调递增.

—(四)

函数的周期性

i.函数周期性常用结论

(1)若/(x+a)=—f(x),则T=2a(a>0).

1

(2)若/(x+a)=x，则T=2a(a>0).

Jvx)

2.函数的周期性

(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.

(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已

知区间上，进而解决问题.

题型4:函数的周期性

4-1.(2024高一下•全国•课后作业)在如图所示的>=/(尤)的图象中，若了(0.005)=3,则”0.025)=.

【分析】根据图象确定函数周期，利用函数的周期求值即可.

【详解】由图象知：周期为0.02,

所以/(0.025)=/(0.005+0.02)=/(0.005)=3.

故答案为：3

4-2.（2024高一上•陕西宝鸡・期末）已知是定义在R上的函数，对任意实数尤都有/（彳+4）=/（无），且

当0<x<4时，/(x)=log4x,则/(2022)=

【答案】1/0.5

【分析】先求出函数/（X）的周期，再通过周期以及。<x<4时的解析式可得了（2022）.

【详解】由/（x+4）=/（x）得〃x）的周期7=4,

/(2022)=/(4x505+2)=/(2),

又当0<%<4时，/(x)=log4X,

f(2022)=/(2)=log42=1,

故答案为：；

43（2024高三•全国•对口高考）已知〃无）是定义在R上的偶函数，并且满足了"+2）=-；^,当2Vx<3

时，/（x）=x,则〃105.5）等于（）

A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5

【答案】B

【分析】推导出函数/（X）为周期函数，确定该函数的周期，结合函数/（X）的周期性和奇偶性可求得了（105.5）

的值.

【详解】因为函数/（X）是定义在R上的偶函数，并且满足了（x+2）=-焉,

1卜=〃

/(x+4)=-x)

则I7小+2）

所以，函数/（X）是周期为4的周期函数,

且当2Vx<3时，/(x)=x,则〃105.5)=〃4x26+1.5)=〃1.5)=〃L5_4)

=/(-2.5)=/(2.5)=2.5.

故选:B.

4-4.（2024高一下•全国•课后作业）函数y=/（x）是以4为周期的周期函数，且当xe[-2,2）时，/（x）=|+l,

试求当xe[4,8）时，〃力的解析式.

x-2

,4<x<6

【答案】〃无)=2

x-6

,6<x<8

【分析】根据函数的周期性求得正确答案.

【详解】依题意，函数y=F(x)是以4为周期的周期函数,

当4K%<6时，04无一4<2,

所以/(尤)=/5一4)=甘+1=辞，

当6<xv8时，—2x—8<0,

所以/(尤)=/"-8)=1+1=^，

——-,4<x<6

综上所述，〃尤)=2

口6工尤<8

I2

彩傅甄祕籍

函数的对称性

1、函数自身的对称性

⑴函数y=/(%)的图像关于点A(a,3对称的充要条件是：

f(x)+f(2a-x)=2b,BPf(a-x)+f{a+x)=2b,>

推论：函数y=/(x)的图像关于原点。对称的充要条件是/(%)+/(-x)=0。

(2)函数y=/(x)的图像关于直线x=。对称的充要条件是：

f(a+x)=f(a-%),即/(x)=/(2a-x)。

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是/(x)=/(-x)。

2、不同函数对称性

(1)函数y=/(a+x)与y=/(6-x)的图像关于直线工=一成轴对称。

推论1:函数y=于(a+%)与y=f(a-x)图象关于直线x=。对称

推论2:函数y=/(x)与y=f(2a-x)图象关于直线x=a对称

推论3:函数y=/(-x)与y=f(2a+x)图象关于直线x=-a对称

题型5:函数的对称性

5-1.(2024高三上•湖北武汉•期末)已知函数y=g(x)的图象与函数y=sin2尤的图象关于直线x=万对称，

将g(x)的图象向右平移?个单位长度后得到函数y=〃x)的图象，则函数y=在xe/g]时的值域为

()

A--当当B.一1，与C卜争]D.[0,1]

【答案】C

【分析】由对称性先求出g(无)的解析式，再由平移得出y=/(x)的解析式，再由正弦函数的性质得出其值

域.

【详解】设(％y)为g(x)的图像上一点，则点(x,y)关于直线工=万对称的点为(2%-x,y)

由题意点(2万一x,y)在函数y=sin2x的图象上，则y=sin2(2;r—尤)=-sin2x

所以g(x)=-sin2x,贝f(x)=_sin2(x-]j=-sin12x一

当xe0,—时，2x--—e---,贝Ijsml2x---Je-I,—

所以—与

故选：C

5-2.(2024.全国.模拟预测)已知函数〃x)=(f-2x)(x2+依+6)+6,且对任意的实数x,/(x)=/(4-x)

恒成立.若存在实数4，”…，x„e[0,5](〃eN*),使得2〃匕)=£/&)成立，则w的最大值为()

i=l

A.25B.26C.28D.31

【答案】B

【分析】求解本题的关键：一是根据已知条件得到"4)=/⑼，/(3)=/(1),从而求出函数的解析

式；二是根据函数“X)的解析式的结构特征换元求得xe[0,5]时六力的值域；三是根据题意得到

【详解】由题意得〃/4、)"(0/)、,〃/3、)=/(/1、),所以1命8(16++4.a+)b)[+66=r6,+»)+6解得[[a=-6,所以

=(炉—2x)(x?-6x+8)+6=x(x-4)(x-2)2+6=(x-2)4-4(x-2)~+6

=[(X-2)2—2,+2.

令(x-2)2=f,若xe[0,5],则fe[0,9].

4/I(?)=(?-2)2+2,re[0,9],故/z(r)e[2,51],即当xe[0,5]时，〃力42,51].存在耳，巧，…，王目0,5]

(“eN*)使得2〃%)=f/(%)成立，即存在不，巧，…，X„G[0,5](MN*),使得

i=l

1/'(4)=1/■(%)+〃/)+…+/D，由xe[o,5]时,“X)的最小值为2,最大值为51,得

51>f(xn)=f(x1)+f(x2)+^-+f(xn_1)>2(n-l)f得〃号,又〃N*,所以可得〃的最大值为26.

故选：B.

5-3.(2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的图象连续的函数〃x)的导数是用尤)，f(x)+f(-2-x)=0,

当x<T时，(x+l)"(x)+(x+l)r(x)]<0,则不等式的解集为()

A.(-1,1)B.C.(L+?)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】A

【分析】由题设，易知〃x)+(x+l)/'(x)>0,构造产(x)=(x+l)〃x),利用导数研究其在(-8,-1)上的单

调性，并确定对称轴，进而得到(-1,+⑹的单调性，由#(X-1)>〃0)等价于尸(X-1)>尸⑼，即可求解集.

【详解】当x<-l时，(x+l)[/(x)+(x+l)r(x)]<0,即有〃x)+(x+l)「(x)>0.

令尸(x)=(x+l)/(x),则当X<-1时,F(x)=/(x)+(x+l)/,(x)>0,故/(x)在(-00,-1)上单调递增.

•.•尸(一2—尤)=(-2—尤+1)/(—2—同=(一1一尤)[一7•(*)]=尸(x),

•••尸(力关于直线》=-1对称，故厂(%)在(T+8)上单调递减，

由4■(%-1)>〃0)等价于户(-1)>f(0)=尸(—2),则—2<x—1<0,#-1<X<1.

^(x—1)>〃0)的解集为(-M).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：首先确定/'(可+(尤+1)((尤)符号，构造函数尸(x)=(x+l)/(x)研究单调性、对称性,

由#(x-l)>/(O)等价于F(x-1)>尸(0)求解集.

5-4.(2024•贵州毕节・三模)已知定义在R上的函数/(盼满足：对任意xeR,都有〃x+l)=一x),且当

15

了€(-8,1)时，。-1)"'(》)>0(其中/(X)为/(x)的导函数).设a=/(log23),&=/(10&2),c=/(2),

则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【答案】c

【分析】由已知确定函数的对称性与单调性，然后把“了”后面自变量的值转化为同一单调区间上，可得大小

关系.

【详解】由/(%+1)=/(1-%),得>=/(%)的图象关于直线％=1对称，又时，(1-1)-(%)>0,所以

ru)<o,即/⑺在(-8/)上单调递减，所以在a+8)上单调递增，

9

1<log23<2,2>5>2,log32<1,/(log32)=f(2-log32)=/(log3-),

l3Q/-3Q

log23>log22V2=1<log3-<log33V3=-,所以I<log35<log23<2i5,

所以

故选：C.

炼习与桎升

一、单选题

1.(2024高三.全国.专题练习)函数y=/(x)的图象与直线x=l的交点个数()

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个或多个

【答案】B

【分析】利用函数的定义判断.

【详解】若1不在函数式x)的定义域内，y=/(x)的图象与直线x=l没有交点，

若1在函数40的定义域内，y=/(x)的图象与直线x=l有1个交点，

故选：B.

2.(2024高一上•湖南•期中)下列四组函数中，表示同一个函数的一组是()

A.y=|.r|,M=Vv^B.y=\[^,s=E)。

*2_]_____________

C.y=-,m=n+lD.y=Cx+l-Jx-l,y=Jx?-1

x-\''

【答案】A