河北省邯郸市武安市2024-2025学年高三年级上册10月期中考试 数学试题（含答案）

河北省邯郸市武安市2024-2025学年高三上学期10月期中考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={小2>2型={-2,0,1,3},则—）

3

A.{-2,0,3}B.{-2,3}c{0,3}D.{}

2.若复数z满足z0+i）=-3+i（i是虚数单位），则⑸等于（）

7105V5

A.2B.4C.V5D.2

3.已知平面向量力=（5，°）1=（2，T）,则向量&+B在向量B上的投影向量为（）

A.3一3）B.（4一2）C.（2T）D,（，°）

4.记S"为等差数列{"」的前〃项和，若。3+%=14,&%=63,则邑二（）

A.21B.19C.12D.42

5.已知对任意平面向量/'=（'/）,把刀绕其起点沿逆时针方向旋转°角得到向量

AP=（XCOS0-ysin0,xsm0+ycos9），叫做点B绕点、A沿逆时针方向旋转。角得到点尸.已

__71

知平面内点』（°』），点3（0,1-2收），把点8绕点A沿顺时针方向旋转7后得到点尸，贝|

点尸的坐标为（）

A.（TT）B.（T。）C.（T-2）口.（T-3）

6.已知数列的前"项和为S",其中q且$用-2s“=2〃+1,则%（）

369361367365

A.46B.46C.7?D.46

（）

,cos6Z-/7=^,tancif-tan/7=4

7.已知12）,则（）

7171712兀

A.6B.4C.3D.3

32

8.已知正四棱台下底面边长为4夜，若内切球的体积为3",则其外接球表面积是（）

A.49KB.56KC.65兀D.13071

二、多选题

9.如图，在正方体/BO。-44Go中，E,F,MN分别为棱441，MBAB0c的中

点，点尸是面2c的中心，则下列结论正确的是()

A.E,F,MP四点共面B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯

形

C.E尸//平面PACVD.平面〃砂_1_平面

f(x)=血cos[2x+g

10.已知函数，则（）

A.，（X）的一个对称中心为K''°J

3兀

B./（X）的图象向右平移至个单位长度后得到的是奇函数的图象

5兀7兀

C./（X）在区间I8'8」上单调递增

户兀13K

D.若〉=/（、）在区间（°刈）上与k1有且只有6个交点，贝JR2'4-

11.我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在A/BC中的向量关系方+就=就的基础

上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线/与

△4BC的边NC分别相交于点0,E,设/B=c,BC=a,CA=b,ZADE=3,则

下列结论正确的有（）

A

E

A./+Z)2+C2=2abcosC+2bccosA+2cacosB

B.ccosA+acosC=b

Casin(5-6)+6sin(4+8)=csin6

Dtzcos(5-0}+bcos(A+0}=ccos0

三、填空题

12.已知集合{见上一2}(。>0/>0)中的三个实数，按一定顺序排列后可以排成一个等差数

列和一个等比数列，则。+6=.

13.已知函数"x)=sin0x(oeR)在512］上是增函数，且/匕144)之，则

I12J的取值的集合为.

14.已知点o为扇形的弧上任意一点，且乙405=60。，若

℃=M(彳,〃eR),则2+〃的取值范围是.

四、解答题

15.A/BC的内角的对边分别为。，40,已知2a+6=2ccosB.

⑴求角0;

(2)若角0的平分线°交于点D,AD=3岳,DB=岳,求。的长.

16.如图，在四棱锥P-428中，平面尸平面NBC。，PALPD,PA=PD,

ABVAD,AB=1,40=2,AC=CD=

p.

D..........

c

(I)求证：P。，平面^^;

(ID求直线班与平面尸。所成角的正弦值.

17.已知等比数列｛"/的各项均为正数，2%，为，4%成等差数列，且满足%=4嫉，等差数

n

列数列也｝的前项和S”也+a=6,$4=10.

⑴求数列也｝和也｝的通项公式：

-%”5%,〃eN*,｛4｝Tn<\

⑵设％+1%,+3的前”项和北，求证：3.

c-X+J1

18.分别过椭圆，43的左、右焦点用才作两条平行直线，与C在x轴上方的曲

线分别交于点尸，°.

(1)当尸为C的上顶点时，求直线P。的斜率；

(2)求四边形3鸟。的面积的最大值.

19.我们称复数列5"为广义等差的，若实数列｛%｝和｛"｝均为等差数列.

Z〃+1_Z〃

⑴若等比复数列｛耳｝(即z“z"T)是广义等差的，证明：4=马；

(2)已知e"=cosO+isinO,若复数列F",｝为广义等差的，求夕的所有可能值；

(3)若复数列2"｝是广义等差的，且Z*Z2,证明：对于任意实数C>2,复数列｛z』中至多

存在两项，使得上7+|z“+l|=C.

参考答案:

题号12345678910

答案BCAACCDCBDBD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】解一元二次不等式求出集合力,然后由交集运算可得.

【详解】解不等式Y-2X>0,得/=(-8,0)U(2,+”)，

所以/c8={-2,3}.

故选：B

2.C

【分析】由复数的除法运算计算可得z=-l+2i,再由模长公式即可得出结果.

2=z3±i=(-3+i)(l-i)=-2+4i=_1+2.

【详解】依题意z(l+i)=-3+i可得1+i(1+i)。一。2,

所以卜=MT)%2。=石.

故选：C

3.A

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

［详解］♦+1=(7，T)，，+B)B=15M="22+(T)2=4,

(a+b)b一

--—b=36=(6,-3)

所以向量N+b在向量b上的投影向量为1^1

故选：A

4.A

【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.

%=616a7=%

【详解】••,{“"}是等差数列,，%+%=2&=14,即％=7,所以7a6

...S7=7X(—3)+殍x2=21

d—ciq-=2,,.Q]—-5d-—3

故选：A

5.C

【分析】根据题意，计算出“尸，再根据向量的坐标运算法则计算出点P的坐标.

【详解】因为后,1-2后)

所以小-2句，

71兀

将向量方顺时针方向旋转4,即逆时针旋转4,

得至产心«*(-20)《"国«一1+(-2亚刖］高

化简得"P=(T一3),

所以「点坐标为(T-2)；

故选：C.

6.C

【分析】由5加-25”=2"+1,采用构造数列的方法，S“+I+2(〃+1)+3=2(S“+2〃+3),则

可以确定数列｛$"+2〃+3｝为等比数列，然后进行求解即可.

【详解】因为'+「2$“=2〃+1,

所以S,+I+2(〃+1)+3=2(5“+2〃+3),

所以数列｛S，+2〃+3｝是首项为6,公比为2的等比数列，

所以S,+2〃+3=6x2",

S]_S]367

即S.=3x2"—2〃一3,所以%S5-S446

故选：C.

7.D

【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的

余弦公式求解即可.

cosa•cos/+sina-sin力=:

sincr-sin/7_

【详解】由已知可得cosacos^

c1

cos6z-cosp=—,

•.c2

sma•sin//=—,

解得

,cos（a+=cosa-CQS/3-sina-sin/7=——

2,

“AIK

:.a+pG（0,7i）

,:.a+/3=y

故选：D.

8.C

【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球

半径即可得解.

【详解】正四棱台/BCD-4用G2下底面边长/8=4应，设其内接球半径为『，则

4兀32

——r3=—71

33,解得r=2,

取“8,8,CQ的中点及尸，昂片，则四边形瓦大耳内切圆是正四棱台内接球的截面大

圆，

则四边形附纥是等腰梯形，班小即+£西而困也斯-劭心四

4®+砧八%斯-砧心（24整理得上耳g6,而…,则

EFi=272,

设°为正四棱台43c2外接球球心，尺为该球半径，则OC=OG=R,

令监N分别为正四棱台"BCD-44c■上下底面的中心，则MG=2,NC=4,MN=4,

2222

OM=$0C；-MC；=A/7?-4,ON=yJoC-NC=\IR-16,

—斤=竺

当球心O在线段MN时，「Rj+dR2一16=4,解得4,球。的表面积为

S=4-nR2=657r.

当球心。在线段"N的延长线时，J炉-4一正一16=4,无解，

所以所求外接球表面积是65兀.

【分析】可得过及三点的平面为一个正六边形，判断A；分别连接£，户和民9,截

面G8M是等腰梯形，判断B；分别取的中点G，0,易证跖显然不平行平面

QGMN,可判断c；平面尸脑V,可判断D.

【详解】对于A：如图经过瓦£"三点的平面为一个正六边形£五〃”然，点尸在平面外,

；•£，£“，尸四点不共面，，选项A错误；

对于B：分别连接£，尸和及G,则平面PE尸即平面G2环，截面尸是等腰梯形，

•••选项B正确；

对于c：分别取'4CG的中点G,。，则平面加即为平面QGMV,

由正六边形跳皿可知强IIE尸，所以MQ不平行于所，

又EF,MQu平面EFMHQK,所以好=少，所以斯H平面=

所以斯不平行于平面PW,故选项C错误；

对于D：因为A/EMQBMG是等腰三角形，.•.//ME=/BMG=45。,

ZEMG=90°,EM±MG,

是的中点，易证MN〃/D,由正方体可得NDJL平面A?用4,

MV_L平面,又平面EM±MN,

「MG,MVu平面PAW,屈0平面GAGV,

•.•ENu平面"E尸，平面AffiRL平面尸MV，故选项D正确.

故选：BD.

10.BD

【分析】代入即可验证A,根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B,

cos2xH---——

利用整体法即可判断C,由I412求解所以根，即可求解D.

/[—7Tj=V2cos|—+2X-7I|=V2丰0

【详解】对于A,由（8J（48）,故A错误；

3兀

对于B,/（X）的图象向右平移三个单位长度后得：

y=x--=V2cosx--^+―=V2cosf2x+—=-V2sin2x

'ILV§J4JI2J，为奇函数，故B正

确;

57i7兀小5兀571c

XG,2xH----G,3兀

对于C,当L88」时，则4L2由余弦函数单调性知，/（X）在区间

5兀7兀

8'8」上单调递减，故c错误;

cDTIVZjrTT

由"1cos2x+—=——x=—+kn—+kn,kGZ

对于D,，得l4J2,解得4或2

>="x）在区间（°""）上与〉=1有且只有6个交点,

7i7i5K3K9兀5兀

其横坐标从小到大依次为：彳5彳'万'彳'万，

13K

而第7个交点的横坐标为4,

5兀13兀

/.——<m<----

24,故D正确.

故选：BD

11.ABD

【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值

可判断c错误；设M,在万=%+赤两边同乘向量石，根据数量积定义即可判断

D.

【详解】对A,由余弦定理知,b2+c2-a22bccosA,a2+c2-b2=2accosB

/+/-/=2abcosC,

上述三个等式相力口得/+/+c2=labcosC+2bccosA+2cacosB,A正确；

对B因为sinCeos/+sin/cosC=sin(/+C)=sinB

所以ccosN+acosC=6,B正确；

0=-

对C,当2时，式子左边=-acosB+bcos力，右边二c,

由豆110=5出(/+8)=玩11/««8+««45苗2得,=℃053+6854,

此时，只有当cos3=°时，等式才成立，由于角8的任意性，所以等式不一定恒成立，C

错误；

J,YI-..D...E..

对D,设则网=1,

则m,AC=兀一(4+6),而,CB=6),m,AB=TI-0

因为48=/C+CB,所以成•48=应・/。+而,

即同JCOS（7t-61）=|m|-I^c|cos（兀-（/+8））+\m\-|c5|cos（n-（S-6＞））

整理得ccose=6cos（/+。）+acos（8-夕），口正确.

故选：ABD

12.5

【分析】由已知可得一2是。与b的等比中项，求得仍=4,然后分a>6,a<6再结合等差

中项的概念列式求解。与b的值，即可求解.

【详解】因为所以一2是。与6的等比中项，则g=4,

若a＞b,则6为。与一2的等差中项，可得26=°-2,解得"=4（。＞0）,人=1,

所以a+6=5；

若。＜6,则。为与一2的等差中项，可得2a=6-2,解得心场〉。），。

1,

所以4+6=5；

综上所述：a+b-5

故答案为：5.

13.4

713兀2兀717兀

=2|to|=——=4n+2

【分析】由4可得T,由函数在2'12上是增函数可得

71

\a)\<12

然后对。的取值逐一验证，然后可得12取值.

713兀7171

=2〃7+3GZ

【详解】由44可知,2442,得2几十1

H=y4几+2

所以

7兀

又函数"x)=sins(@eR)在

,12上是增函数,

〉兀

T771-T"

所以212212,即6,所以b<12

所以，。的可能取值为±2，±6，±1°.

兀717i2kn兀2kji

-----F2^71WCOXW---F2左兀-----1----<X<----1----，左£Z

当切〉o时，由22解得2coco2a)co

经检验，0=2,6,10时不满足题意;

兀717i2kji7i2kn

-----F2^71WCOXW---F2后兀---1----<X<-----1----，左£Z

当。＜0时，由22解得2coCD2G①

经检验，0=-2,-6时满足题意.

7t.兀1

fsin—=I

所以，12的可能取值为2

故答案为:

【点睛】本题综合考查了三角函数的单调性、最值、周期之间的关系，关键在于能从已知

中发现周期的所满足的条件，然后根据周期确定。的可能取值，再通过验证即可求解.

【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示4+〃，最后应用三角恒等变换及三角函数

值域求范围即可.

【详解】方法一：设圆。的半径为1,由已知可设为x轴的正半轴，。为坐标原点，过

。点作x轴垂线为y轴建立直角坐标系，

Or1

A不,7-,8（l,0）,C（cos6»,sin。）ZBOC=0,0e0,-

其中I力，其中13」

由OC=AOA+juOB（Z,//GR）

。,。)=)

(cossin4+4(1,0-2+//=cos^—2=sin0

即7,整理得22

°2sin。八sin0

/t=------j=-,[d—COSU--------r=^

解得J3V3

2sin/9sin3VJ.243.(兀)「兀

%+〃=-^-+cosc/----j=-=——sine/+cost/=------sin”+一0,—

则J3J333I3J3

八兀「兀2兀].(n71^百1

0+—E—.——.sin6+—G——,1

333I3)2

X+〃£1,——

所以

方法二：设'+〃=",如图，当C位于点A或点8时，48C三点共线，所以上=4+〃=1；

当点C运动到48的中点时,

⑵8=3

【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到Gc°sC+l）sinS=°,再利用三角

形的内角及正弦函数的性质即可求解；

（2）利用正弦定理得出6=3。，再由余弦定理求出。=4,6=12,再根据三角形的面积建

立等式求解.

【详解】（1）由2a+6=2ccos8,

根据正弦定理可得2siM+sin5=2sinCcosB,

则2sin（8+C）+siaS=2sinCcos5

所以2sinScosC+2cosBsinC+sinB=2sinCcos5,整理得（2cosC+l）siiiS=0,

因为SC均为三角形内角，所以瓦C«0,*,sinB#0,

cosC=--C=—

因此2,所以3.

（2）因为是角C的平分线，"。=3后,。8=后，

ADCDBD_CD

sin工-si/§出色一sinB

所以在A/CO和△BCD中，由正弦定理可得，33,

sinB_AD_

因止匕siMBD,gpsinB=3siiL4,所以6=3Q,

2222222

又由余弦定理可得c=a+b-2abcosC,即（4而）=a+9a+3a；

解得。=4,所以6=12.

a_,c,—absmZACB--b-CD-smZACD+-a-CD-sinzfBCD

又—。cACD+QBCD，即222

即48=16CD,所以CD=3.

V3

16.（I）见解析；（ID3.

【详解】分析：（1）先证明/81PD,P/，尸。，再证明平面"20）利用向量方

法求直线与平面尸四所成角的正弦值.

详解：（I）因为，平面P4D，平面/5C。，AB1AD,

所以平面P/。，所以481PZ）,

又因为PNLP。，所以尸。，平面尸22；

（II）取4。的中点°,连结尸0,CO,

因为Q4=P。，所以「。，/。.

又因为尸。u平面P4D,平面P4D,平面/BCD,

所以P。，平面/8C£）.

因为COu平面4BC。，所以尸。，。。

因为“C=CD,所以C。，/。.

如图建立空间直角坐标系。-kz,由题意得，

/（0,1,0）5（1,1,0）C（2,0,0）0（0,-1,0）P（0,0,1）

设平面PCD的法向量为五=（x/，z）,则

n-PD=0f—y—z=0

n-PC=0gp[2x—z=0

令z=2,则x=l,P=-2.

所以万=（1,-2,2）,

又而®。所以”妙稿常

所以直线尸8与平面PC。所成角的正弦值为3.

点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考

查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.（2）直线和平面所成的角的求法方法一：

（几何法）找一作（定义法）“证（定义）"指"求（解三角形），其关键是找到直线在，平

•司

sin6Z=——..1

面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）同，其中

次是直线/的方向向量，”是平面的法向量，。是直线和平面所成的角.

（2）证明见详解

【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；

,2«+5（1YJ____1____________1_____-

⑵由⑴可得"伽+1）（2"+3）⑴[（2"+1）2伽+3>2"+[,利用裂项相

消法求和得证.

【详解】（1）由题%>°,设数列｛4｝的公比为4（4>°）,｛%｝的公差为d,

J2aA=2a5+4a6a4=a4^q+2q~

由1%=4a；,即、4.4=4a；

\b2+b4=6J24+4d=6

▽[84=10ar,[4^+6d=10

F=i

解得3=1,

所以数列｛｝的通项公式为“”

4，数列｛勾｝的通项公式为a=".

〃2»+5(1Yc11

(2)由(1)得"(2"+1)(2〃+3)0［伽+1)2(2"+312叫，〃eN*,

1)(1

T“=2---------H----------F-------------------

n+1

9x16)(伽+112"(2«+3)-2>

所以

1111

6-(2n+3)-2"+1-§一伽+3).2"

,•-------------------->0,--------------------------<——

■(277+3)-2""3(2〃+312"3

T<-

所以3.

_V3

18.(1)4

(2)3

【分析】（1）结合图形，易得尸（°，道），求得咫的斜率，由直线凿与椭圆的方程联立,

,即得直线尸。的斜率;

（2）结合图形，由对称性可知，四边形网SQ是平行四边形，四边形尸£石。的面积是

口「Rs。面积的一半，设直线户尺的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出口力和

点B到直线/”-叩+1=°的距离d,得到四边形尸片工。的面积函数式，利用换元和对勾

函数的单调性即可求得面积的最大值.

C・二+匕=1L厂

【详解】⑴由43可知片（一1，°），尸2（1，0）,椭圆上顶点为（0,8）,即P（O,G）,

直线咫的斜率为右，则直线”的方程为：V=g（xT）,

„.x2/_8

将其代入43整理得，5X2-8X=0,解得，x=。或5,

底3A/3

V3--

色吗P2-_84

因点。在x轴上方，故得点5'5,于是直线尸。的斜率为：5

(2)

如图，设过点刊声的两条平行线分别交椭圆于点尸小和0，、

利用对称性可知，四边形PRS。是平行四边形，且四边形尸的面积是口PRS。面积的一

半.

显然这两条平行线的斜率不可能是o(否则不能构成构成四边形)，可设直线网的方程为

I:x=my-1,

22

。•土+匕=1

代入,43，整理得：(3苏+4)/-6叩-9=°,显然A>°,

6m

3m2+j4

<9

设尸(网,必)，丑12,%),则-3加2+4,

_____________________r-------3I36加236

于是，立，|=&+〃?2,+%y-4必力+m|(3加2+4>+3/+4

+14412(m2+l)

=V1+m2

'4)23m2+4

d=.2

点8到直线八龙一叩+1=0的距离为J/+1

则四边形助耳。的面积为223m+4J/+13m+4

⑵nt12

S=

3(r-1)+43/+13Z+1

令t=J而+1，则经1,且加2=»_],代入得,

y=3t—=3(/H—)「1、y=3fH—

因函数t3t在[1,+向上单调递增，故，当f=l时，./取得最小值为

4,此时，由=3

19.(1)证明过程见解析

0、{6\3=2kn,keZ}

(3)证明过程见解析

【分析】（1）由题意只需证明4=4=°,结合z；=z/3以及复数运算即可得证；

（2）先由（1）中结论可得COS。=cos26,求出对应的。的可能值，再验证是否满足

Icos6=cos2。=…=cosn®=…

[sin8=sin2。=•••=sin=•一艮口可.

（3）根据等差数列的几何意义以及椭圆的定义、复数模的概念，以及直线与椭圆的位置关

系即可