广东省广州2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题（含解析）

广州2024学年第一学期期中考试

数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

［已知全集。={0,1,2,3,4},1={1,2,3},5={0,1,3},则下列结论正确的是（）

A.BjAB.立2={0,4}C.ZU5={1,3}D.AC\B={0,2}

2.设小)=I则/[/(-2)]=()

A.3B.0C.-1D.1

3.命题pWxW5},x2-4x>5,则命题2的否定是()

A.£{mWxW5},x2-4x^5B.3xe{邓WxW5},x?-4xW5

C.X/xe{x|lWxW5},x2-4x5D.\/xe{x|lWxW5},X?-4xW5

JQ—]

4.己矢口p：-----<0,q-.-2WxW1,则〃是g的（）

x+2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列关系中正确的是（）

ax+5,xW1

6.己知函数/（%）=<是R上的单调函数，则。的范围是（）

一,x〉1

、X

A.[-4,0)B.[-4,+co)C.(-00,-4)D.(-oo,0)

7.广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区

同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田

赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛

和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（）人.

A.3B.9C.19D.14

8.甲、乙两人给小车加油时有不同的习惯，甲每次加92汽油250元，乙每次加92汽油a升。如果甲、乙

两人同时加油两次，两次的加油价格不同，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问甲、乙两人谁更

合算？（）

A.甲B.乙C.一样D.与a的取值有关

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.所有的素数都是奇数B.VxeR,x+\x\^O

C.不存在整数"，使1+1是4的倍数D.V〃eZ,为偶数。

1y2

10.设/（x）=f,则下列结论成立的是（）

1X

A./(-x)=/(x)

C./(2x)=2/(x)

11.若实数加，〃>0,满足2加+〃=1,以下选项中正确的有（）

A.加〃的最大值为一B.—I—的最小值为4

8mn

C.mn+加+〃+2的值不超过3D.4m2+n2最小值为—

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数天二x号—1」的定义域是一

闵-2

13.已知事函数/（"=（加2—5〃?+7）/'的图象关于），轴对称，则实数加的值是.

14.已知命题：'TxeR,ax2-ax-2^0）,为假命题，则实数a的取值范围是；若命题

“Vxe[1,4],x2>m',是假命题，则实数m的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.本题共3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第三小题5分，共13分

J__2

（1）已知（1.5厂+（2；）_兀0_（3|）3的值；

±

（2）已知10“=3,10夕=4.求10。+夕及10a2的值

16.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分

已知集合Z=1x|(x+2)(x-l)<o|,B=^x|2x2+(m-2)x-m<0^.

(1)当加=1时，求NU5

(2)已知“xe4”是“xe8”的必要条件，求实数m的取值范围

17.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题8分，共15分

某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，"(〃W16且〃eN*)年内的总维修保养费用为

C(〃)=B?+40〃(％eR)万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第〃16MweN*)

年年底，该项目的纯利润(纯利润=累计收入一累计维修保养费一投资成本)为1(〃)万元.已知到第3年

年底，该项目的纯利润为128万元.

(1)求实数k的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；

(2)到第几年年底，该项目年平均利润(平均利润=纯利润+年数)最大？并求出最大值.

18.本题共三个小题，第1、2小题各6分，第3小题各5分，共17分

已知/(x)为R上的奇函数，当尤>0时，/(X)=X2-2X.

(1)写出/(-2)的值，求/(x)的解析式；

(2)画y=/(x)的草图，并通过图象写出y=/(x)的单调区间.

(3)实数先取何值时，方程/(x)=2"-3有3个不相等的实数根？

19.本题共2个小题，第1小题7分，第2小题10分，共17分

定义在。上的函数/(x),若对任意xeD,存在常数/>0,都有/(x)|WM成立，则称/(x)是。

1_.Y

上的有界函数，其中M称为函数/(x)的上界.已知函数/(x)=］+2工(冽1).

(1)若/(x)是奇函数，判断函数/(x)(xeR)是否为有界函数，并说明理由；

(2)若/(%)在［1,3］上是以为。上界的函数，求加的取值范围.

参考答案

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1.【答案】B

【详解】由题可知。={0,1,2,3,4},幺={1,2,3},所以屯4={0,4},因为21"={1,3},A[]B=

{0,1,2,3},故选：B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

ax+5,xW1

【详解】易知函数/(x)=1是R上的减函数,

—9x>1

a<0

则〈、，解得-4WQ<0.故选A

a+5三1

7.【答案】C

【详解】设只参加射击的人数为x,同时参加射击和径赛比赛的人数为歹，只参加径赛的人数为z,则由韦

恩图得：

x+y+3=8x=2

<y+z+3=14,解得<y=3,所以只参加一项比赛的有x+z+9=19人，

x+y+z+15=28z=8

8.【答案】B

【详解】由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为丁元，则乙两次加油共需付款Q(X+日元，甲两次

250250250(x+y)_

能加——+——=——~~工升TI油

%y肛

设甲两次加油的平均单价为M元/升，乙两次加油的平均单价为N元/升，

2,500a(x+y)_x+y

则M=——彳----?N=，且xwy,1,y>0,

250(x+.y)x+y2a2

9

2

2xy_(x-v)

所以N—匕』>0,即N>M,

2x+y2(x+y)

乙的加油方式更合算.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9【答案】BCD

10.【答案】AB

12.【答案】AD

【详解】解：2加+w=1,2m+〃=1三2,2mn，即加当且仅当2加=〃，即加=’,n=—

842

时，等号成立，.•.加〃的最大值为工，故选项A正确，符合题意；

8

(L+L]X1=[L+L]X(2加+〃)=3+3+也22点+3当且仅当—,即2-V2

nJn)mnmn2

〃=后-1时，等号成立，.•.’+』的最小值为2血+3,故选项B错误，不符合题意；

mn

+〃=；.2(加+1)+(〃+1)=4,：.2(机+1)+(〃+1)>212(切+1)(〃+1),

即(加+1)(〃+1)W2,mn+m+n+2=/n(〃+l)+〃+l+l=("+l)(m+l)+lW3,

当且仅当2(加+1)="+1即相=0,”=1时，等号成立，与比,”>0矛盾，

故选项C错误，该选项不符合题意；

V2m+n-1,(2m+H)2=1=4m2+4mn+n2,4m2+n2=1-4mn,mn,4mnW—,

2

11,,111

-Amn；2：——,1-4mn：5"—,即4加~+〃~最小值为一，当且仅当加=—,〃=—时，等号成立，

22242

故选项D正确，符合题意；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】,卜》1且*/2}

13.【答案】2

【详解】由/(x)为累函数，贝的2_5〃?+7=1,解得加=2,或加=3,

当〃?=2时，/(x)=x2,其图象关于y轴对称，当机=3时，f(x)^x3,其图象关于(0,0)对称，因此

m-2,

14.【答案】(—8,0],[l,+oo)

【详解】•.,命题“*eR,ax?一一220"为假命题，命题“VxeR,at?一。'一2<0”为真命

题，当a=0时，-2<0成立,

〃<0

—

当QW0时，贝卜,解得:8<Q<0,

A=+8。<0

综上Q的取值范围是(-8,0].

因为命题“Vx£[1,4],J〉相”是假命题，所以x2m,即只需加三任)=1,所以,

实数机的取值范围是[1,+8).

(3)根据定义证明函数/(x)=x+L在区间(0,1)上单调递减。

X

四、解答题：本题共5小题，共77分.

15.【详解】解：

(2)【详解】因为10。=3,10夕=4,所以l(f+夕=10“xl(/=3x4=12.

10矜=竺二=」_=3=3

1U_P_~1-~2,

101(10师.

(3)【答案】略

16.【答案】

(1)|x|-2<x<l|

(2)-2W加W4

【详解】

(1)由(%+2)(%-1)<0,解得一2<%<1,所以4=何一2<、<1},

加=1时，B—1x|2x2—x—1<o1,

由2X2一1一1<0,解得—所以8=<x-工<》<1>,

22

所以41_]8={可一2<%<1}.

(2)因为“xe/”是“xe3”的必要条件，所以314.

由2x?+(m-2)x-m<0,可得(％—1)(2%+〃?)<0，

vrjYYl

若——〉1,B=\x\<x<——>，不满足8=2,则不符合题意；

212,一

若---=1即加=-2时，B=0,符合题意；

2

-yyiT¥!

若——<1,则8——<x<lk

212

ryi

因为8uN,所以—2W——<1,解得-2<〃？W4,

一2

综上，一2W加〈4.

17.解：

（1）依题意可得，£（〃）=200〃—（而？+40〃）—280=—而2+160〃—280,

已知£（3）=—9左+160x3—280=128,

:・k=8,

L（n）=-8n2+160/7-280（«^16_&neN*）

令L（n）=—8/+160〃—280三232,解得4W〃W16.

・・・neN*,

・•・该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元

zx止五小工H、门在£(扑)—8/+160〃—280f35

(2)年平均利润为」/=-----------------=160—8〃+一，

nnyn)

35

令/(〃)=〃+—(“W16且〃EN*),

则函数/(x)=x+生在(0,屈)上单调递减，在(、国,+8)上单调递增,

X

71

又•••45)=12,/(6)=-</(5),

/■〃))_1(6)_196

••-------------------

、n)63

\/max

196

工到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为——万元

3

18.【答案】

x2-2xx>0

(1)f(-2)=0；/(%)=<0x=0；

——2xx<0

(2)作图见解析，增区间为(—oo,—1)和(1,+oo),减区间为(-1,1)

【详解】

(1)因为/(x)为R上的奇函数，当x>0时，/(X)=X2-2X,所以/(—2)=—/(2)=0.

因为/(X)为R上的奇函数，所以/(—x)=—/(x).

令x=0得：/(—0)=_/(0),所以/(O)=O.

任取xe(-co,0),则一xe(0,+co).所以/(-x)=(-x)2-2x(-x)=x2+2x.

由/(—x)=—/(x)，所以/(x)=*-2x.

x2-2xx>0

综上所述：/(x)=<0x=0

-—2xx<0

(2)作出y=/(x)的图象如图所示:

从图象可以看出：/(x)的增区间为(-叫-1)和(1,+oo),减区间为(-1,1).(单调区间各1分，共4分)

(3)由(2)知，一1<2为一3<1,

即2<2*<4,

解得：{和<《<2}

19.【答案】

(1)函数/(x)(xeR)为有界函数，理由见解析

-113一

(2)一,—

[832J

【详解】

⑴解法一：若/(x)是奇函数，则/(—x)+/(x)=0,

.\-m-2x1-m-2T1-m-2X2A-m

则n--------+---------

1+2*l+2-x1+2X1+2X

所以(加—1)(2、+1)=0恒成立,

所以/