广东省清远市2025届高三年级上册第一次调研考数学试题（含答案）

广东省清远市2025届高三上学期第一次调研考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合a={x|0<X<P1，B={%||x-I|<多1，则ans=()

133I

A.{x\-<x<-}B.{x|0<%<-}C.{x\x=-}D.0

2.已知i是虚数单位，若i-z=宁，则复数z的虚部为（）

A.4B.2C.-2D.-4

3.已知向量d=(2,3),K=(fc,-4),且五1九则k的值为()

oo

A.-6B.6C.D.|

4.函数/(%)=%+六在区间(l,+8)上的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

5.下列函数中，是偶函数且在(0,+8)上单调递增的是()

A./(%)=—%2+3B./(%)=lg|x|C./(%)=sin%D./(%)=%3

6.设函数f（x）=ax+工在区间（2,3）上单调递减，则正数a的取值范围为（）

11

A.(0,勺B.(0,1]C.(2,3)D.[2,3]

7.记函数/'(久)=、1+sinx+、1—sinx,设a€百争，甲：a€百扪;乙：f(a)=2sinp则甲是乙的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8,已知a=2e-i,6=詈c=磐,贝！1()

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/（无）=3sin（2x+J下列说法正确的是（）

A.函数/'（久）的最小正周期是兀

B.把函数/（久）的图象向右平移g个单位长度可得到函数g（久）=3sin2x的图象

C.函数f(x)的图象关于点(-^,0)中心对称

D.函数f(x)的图象在区间(等，等)上单调递增

10.现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据上，当，…，》39,%40,下列说法正确的是()

A.%!，久2，x3>x39>X40的下四分位数为

B.X2,X3,­■■,比19,X20,%21的中位数为乂11

C.久1,%2,比3，%19，%20的平均数小于久21，“22，x23，…，乂39，乂40的平均数

D.2%i+3,2x2+3,2久3+3,…，2处0+3的方差是x2,x3,■■■,x39,X40的方差的4倍

11.设/(久)与其导函数/''CO的定义域均为R,g(x)=/(%),若/'(3%)=f(2-3%),g(x-2)的图象关于x=

1对称，g(x)在［-1,1］上单调递减，且g(7)=3,则()

A.g(x-l)为偶函数B.9(久+1)的图象关于原点对称

C.g(2041)=3D.g(久)的极小值为3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某市高三年级1万名男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52),则身高超过180cm的男生

约有人.(参考数据：=0.682,P(/i-2(r<X</z+2d)«0.954,P(/z-3(r<

XW〃+3。)=0.997)

13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当久20时，/(x)=x(l+x),则/(一3)=;当无<。时，

f⑺=•

14.已知函数/(久)=2sin(3x+9)(3>0,-1<<0)相邻两条对称轴之间的距离为半且/(?)=V-2,贝U

/(X)在［0,2汨上的零点个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

■2

15.(13分)在△ABC中，角力，B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosA=］,a=4,6sinB=5sinC.

4

(1)求b的值；

(2)求△ABC的面积.

16.(15分)已知每门大炮击中目标的概率都是0.5,现有n门大炮同时对某一目标各射击一次.

(1)当n=5时，求恰好击中目标2次的概率(精确到0.01);

(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要多少门大炮？(lg2=0.301)

17.(15分)如图，在直四棱柱4BCD-ABiCDi中，底面4BCD为矩形，=6,AB=4,力。=2,点

E,F,G分别在棱Bq,上，&E=3,BG=|.

1

(1)若B]F=｝证明：平面4CD1〃平面EFG;

(2)若8/=1,求直线4尸与平面AC%所成角的正弦值.

18.(17分)已知函数/1(x)=炉+lx?-％+0图象的对称中心为(0,1).

(1)求a和6的值；

(2)若对于任意的%>0,都有/(X)+e2*-2mx2/一％+2恒成立，求实数ni的取值范围.

19.(17分)已知椭圆C:盘+，=l(a>b>0)的离心率为亨，短轴长为2,过圆心在原点，半径为，亏的

圆。上一动点P作椭圆C的两条切线P4PB,切点分别为4,B,延长P力与圆交于另一点M,延长PB与圆交

于另一点N.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)假设向量&,3的夹角为。,定义：axb=\a\\b\sm0.

(i)证明：OMxON^0;

(ii)求瓦？X用的取值范围.

参考答案

1.C

2.0

3.B

4.0

5.B

6.A

7.4

8.C

9.ACD

IQ.BCD

11.AB

12.230

13.—12；x(l—x)

14.6

15.解:⑴因为6sinB=5sinC,

所以由正弦定理可得6b=5c,所以6=

O

由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA,

得16=||C2+C2-2X^XCX1,

解得c=6(负值舍去)，所以b=|X6=5.

O

■2

(2)因为cos/=0<A<7i,

4

所以sinA=V1—cos2A=/1—

所以△ABC的面积S=bcsinA=x5x6x，=15y.

LL44

16.解:⑴设5门大炮击中目标的门数为X,则X~B(5,0.5),恰好击中目标2次的概率为

P(X=2)=髭X0.52X(1-0.5)3«0.31.

(2)由题意,"门大炮同时对某一目标各射击一次，

击中0次的概率为(1-0.5)"=0.5,则至少击中一次的概率为l-0.5n,

贝l-0.5n>80%,即7ilg0.5<lg0.2,

1-0.301

解得心黔甯=寄。«2.3,

0.301

因为吒N*,所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要3门大炮.

17.解：（1）由题得，在直四棱柱48CD-中，AAt=6,AB=4,AD=2,ArE=3,BG

1

B/=P

所以/E=JBI4=1,BiF另B©="BiG=；BiB=',

44Z4Z

所以EF〃&Q,GF//BCr,

又因为力C〃&C「ADJ/BJ

^EF//AC,GF//ADr.

又因为EFr\GF=F,ACCtAD1=A,

所以平面ACDi〃平面EFG.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则。式0,0,6),

4(2,0,0),C(0,4,0),F(1,4,6),

则取=(2,0,—6)，D^C=(0,4,-6).

设平面力CDi的法向量元=(x,y,z),

则(元•D1A=2%—6z=0

(n-—4y—6z=O'

o

令z=l,得％=3,y=-.

,2

又•；AF=(-1,4,6),

・.|cos<n，AF>\-™

故直线4F与平面ACDi所成角的正弦值为嚅1

18.解：(1)由/(%)=x3+bx2—%+a,可得1(%)=3%2+2bx—1,

令g(%)=/'(%)=3x2+2bx—1,

则g'(%)=6x+2b,

令g'(x)=6%+26=0,得x=

因为函数f(%)=%3+bx?一%+。图象的对称中心为(0,1),

因此]§一°解得。=1,b=0.

1/(0)=1

可得/(%)=x3—x+1；

(2)由(1)/(%)=%3—%+1,

对于任意的久>0,都有/(%)+e2x—2mx>%3—%+2恒成立，

即对于任意的第>0,e2x—2mx>1恒成立.

令h(%)=e2x—2mx,可得八'(％)=2e2x—2m,

令"(％)=0,即Ze2%—2m=0,BPe2x=m,

①当相40时，hf(x)>0,则九(%)在(0,+8)上单调递增，h(x)>h(0)=1,符合题意；

②当0<m<1时，e2x=m,则％=；lnzn40,则//(%)>0,/i(x)在(0,+8)上单调递增，/i(%)>ft(0)=

1,符合题意；

③当相>1时，e2x—m,则冗=1lnm>0,

i1

当％G(0,'lmn)时，〃(%)<0,则九(%)在(Oqlnm)上单调递减，

11

当久e(]1口771,+8)时，〃(%)>0,则%(%)在Glnm,+8)上单调递增，

所以/i(%)>/i(1-lnm)=elnm—2m•-1Inm=m—mlnm,

令k(jn)=m—mlnm,m>1,贝Uk'(m)=—Inm<0,

所以ZcQn)在(1,+8)上单调递减，

所以/c(?n)<Zc(l)=1,不合题意；

综上所述，m6(-oo,1].

19.解：(1)椭圆C：^+，=l(a〉b>0),短轴长为2,所以6=1,

离心率e=£=丹，又炉=a2—c2,解得a=2,

a2

2

.1椭圆C的标准方程为a+y2=l.

(2)(i)证明：设PQo，y。)，

①当直线P4PB的斜率都存在时，设过P与椭圆相切的直线方程为y=一1o)+y。，

联立直线与椭圆的方程匕:日工一龙?+/，

+4y‘-4=0

222

整理可得(1+4fc)%+8fc(y0—fcx0)x+4(y0—fcx0)—4=0,

2222

4=64fc(y0-fcx0)-4(1+4fc)[4(y0-fcx0)一旬,

2

由题意可得4=0,整理可得(4-XQ)/C+2xoyok+1-羽=0,

设直线P4PB的斜率分别为自，心，所以以矽=黑，

又亚+据=5,所以ifT)=写=—1，

PM1PN,即MN为圆。的直径，

sin<OM，ON>=0>

.■.OMxON^O.

②当直线P4或P8的斜率不存在时，不妨设P(2,l),

则直线PB的方程为久=2,

所以N(2,-1),M(—2,1),也满足sin<而，ON>=0,

所以丽乂而=0.

综上，OMxON=0-

(江)设点4(山,、1),3(*2，%)，

当直线P2的斜率存在时，设直线P4的方程为y=七(久-xj+为,

联立直线P力与椭圆的方程『2]?(:—?)

1%/+4yz—4=0

2

消y可得(1+4幅)％2+8kl(yi-/ci%i)x+4(yr-krx^-4=0,

4=64蜉(yi—k]X])2—4(1+4之苫)[4(月——4],

由题意4=0,整理可得(4—好)蜉+23]丫也1+1—资=0,

由求根公式得自=-浮一％1丫1=X1

T1—X]4必一4yl

X

所以直线P4的方程为丫=一初Q—巧）+乃,

化简可得%i%+4yly=4yf+就，即半+y1y=1,

经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线P4的方程为1=2或久=一2也满足华+yiy=1,

4

同理可得直线PB的方程等+y2y=1，

4

（竽+y，o=i

因为PQo