2025届浙江省名校高考数学三模试卷含解析

2025届浙江省名校高考数学三模试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．2．已知为抛物线的焦点，点在上，若直线与的另一个交点为，则()A． B． C． D．3．已知，若则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知函数，若，，,则a，b，c的大小关系是（）A． B． C． D．5．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）A． B．C． D．6．已知数列是公比为的等比数列，且，若数列是递增数列，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为()A． B． C． D．8．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（）A． B． C． D．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A． B． C． D．10．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（）A． B． C． D．11．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．12．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列的前项和为，数列的前项和为，满足，，且.若任意，成立，则实数的取值范围为__________.14．已知函数.若在区间上恒成立.则实数的取值范围是__________．15．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.16．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列满足，，其前n项和为，数列的前n项积为.（1）求和数列的通项公式；（2）设，求的前n项和，并证明：对任意的正整数m、k，均有.18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.（1）求角的大小；（2）求的值.19．（12分）已知（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数有两个极值点，且存在满足，令函数，试判断零点的个数并证明．20．（12分）已知函数.（1）若是函数的极值点，求的单调区间；（2）当时，证明：21．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.22．（10分）已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.2、C【解析】

求得点坐标，由此求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得点坐标，进而求得【详解】抛物线焦点为，令，，解得，不妨设，则直线的方程为，由，解得，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.3、C【解析】

根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，【详解】因为，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因为，所以，即，可化为，因为，所以的解集包含，所以或，解得，故选：C【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，4、D【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，又由，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，其导数函数，则有在上恒成立，则在上为增函数；又由，则；故选：．【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．5、D【解析】

首先将转化为，只需求出的取值范围即可，而表示可行域内的点与圆心距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为，则,过作直线的垂线，垂足为B，显然，又易得，所以，，故.故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.6、D【解析】

先根据已知条件求解出的通项公式，然后根据的单调性以及得到满足的不等关系，由此求解出的取值范围.【详解】由已知得，则.因为，数列是单调递增数列，所以，则，化简得，所以.故选：D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据之间的大小关系分析问题.7、B【解析】

首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.【详解】的最小正周期为，那么(∈)，于是，于是当时，最小值为，故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.8、C【解析】

由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】，，或（舍）.，，.当，时；当，时；当，时，，所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.9、D【解析】

先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.【详解】根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：由三视图知：，所以，所以，所以该几何体的最长棱的长为故选：D【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.10、C【解析】

根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.【详解】根据循环程序框图可知，则，，，，，此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.11、A【解析】

化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。12、C【解析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

当时，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根据定义求出，再借助单调性求解．【详解】解：当时，，则，，当时，，，，，，（当且仅当时等号成立），，故答案为：．【点睛】本题主要考查已知求，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．14、【解析】

首先解不等式，再由在区间上恒成立，即得到不等组，解得即可.【详解】解：且，即解得，即因为在区间上恒成立，解得即故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.15、【解析】

一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为,所以容器体积的最小值为.16、11【解析】

根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.【详解】复数z，∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案为：1，1．【点睛】此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），证明见解析【解析】

（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论．【详解】（1），，得是公比为的等比数列，，，当时，数列的前项积为，则，两式相除得，得，又得，；（2），故.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．18、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．详解：（1）∵，∴，∵为锐角，∴；（2）由余弦定理得：.点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19、（1）（2）函数有两个零点和【解析】试题分析：（1）求导后根据函数在区间单调递增，导函数大于或等于0（2）先判断为一个零点，然后再求导，根据，化简求得另一个零点。解析：（1）当时，，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立．[来源:Z&X&X&K]函数的对称轴为．①，即时，，即，解之得，解集为空集；②，即时，即，解之得，所以③，即时，即，解之得，所以综上所述，当函数在区间上单调递增．（2）∵有两个极值点，∴是方程的两个根，且函数在区间和上单调递增，在上单调递减．∵∴函数也是在区间和上单调递增，在上单调递减∵，∴是函数的一个零点．由题意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的两个根，∴，,∴∵函数图像连续，且在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增∴当时，，当时，当时，∴函数有两个零点和．20、（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析【解析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.【详解】（1）函数可求得，则解得所以，定义域为，在单调递增，而，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时是函数的极小值点，的递减区间为，递增区间为（2）证明：当时，，因此要证当时，，只需证明，即令，则，在是单调递增，而，∴存在唯一的，使得，当，单调递减，当，单调递增，因此当时，函数取得最小值，，，故，从而，即，结论成立.【点睛】本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.21、（1），，表示以为圆心为半径的圆；为抛物线；（2）【解析】

（1）消去参数的直角坐标方程，利用，即得的直角坐标方程；（2）由直线与抛物线相切，求导可得切线斜率，再由直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，可求解得到切点坐标，即得解.【详解】（1）消去参数的直角坐标方程为：.的极坐标方程.∵，.当时表示以为圆心为半径的圆；为抛物线.（2）设切点为，由于，则切线斜率为，由于直线与圆相切，故切线与圆心与切点连线垂直，故有，直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22、（1）（2）【解析】

（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；（2）通过对的导函数分析，确定有唯一