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文档简介

湖北省鄂州市鄂州高中2025届高三第二次调研数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.2.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.3.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.4.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.5.已知函数,若恒成立,则满足条件的的个数为()A.0 B.1 C.2 D.36.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格7.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()A. B. C. D.8.已知函数,,若方程恰有三个不相等的实根,则的取值范围为()A. B.C. D.9.已知F是双曲线(k为常数)的一个焦点,则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为()A.2k B.4k C.4 D.210.定义域为R的偶函数满足任意,有,且当时,.若函数至少有三个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.11.设复数满足,则()A. B. C. D.12.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).14.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为______.15.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.16.角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为.(1)求;(2)若,,求的周长.18.(12分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点.(1)证明:点始终在直线上且;(2)求四边形的面积的最小值.19.(12分)某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据,且作了一定的数据处理(如表),得到了散点图(如图).表中,.(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?(不必说明理由)(2)根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时,烧开一壶水最省煤气?附:对于一组数据,,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(其中为参数),直线的参数方程为(其中为参数)(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,点的坐标为,求的值.21.(12分)已知函数,.(1)若对于任意实数,恒成立,求实数的范围;(2)当时,是否存在实数,使曲线:在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.22.(10分)以直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴,且两坐标系取相同的长度单位.已知曲线的参数方程:(为参数),直线的极坐标方程:(1)求曲线的极坐标方程;(2)若直线与曲线交于、两点,求的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.2、B【解析】

作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.3、C【解析】

对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.4、B【解析】

选B.考点:圆心坐标5、C【解析】

由不等式恒成立问题分类讨论:①当,②当,③当,考查方程的解的个数,综合①②③得解.【详解】①当时,,满足题意,②当时,,,,,故不恒成立,③当时,设,,令,得,,得,下面考查方程的解的个数,设(a),则(a)由导数的应用可得:(a)在为减函数,在,为增函数,则(a),即有一解,又,均为增函数,所以存在1个使得成立,综合①②③得:满足条件的的个数是2个,故选:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属难度较大的题型.6、D【解析】

先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.7、B【解析】

每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算.【详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,,,,,,,构成一个数列,可得数列满足,则,,.故选:B.【点睛】本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.8、B【解析】

由题意可将方程转化为,令,,进而将方程转化为,即或,再利用的单调性与最值即可得到结论.【详解】由题意知方程在上恰有三个不相等的实根,即,①.因为,①式两边同除以,得.所以方程有三个不等的正实根.记,,则上述方程转化为.即,所以或.因为,当时,,所以在,上单调递增,且时,.当时,,在上单调递减,且时,.所以当时,取最大值,当,有一根.所以恰有两个不相等的实根,所以.故选:B.【点睛】本题考查了函数与方程的关系,考查函数的单调性与最值,转化的数学思想,属于中档题.9、D【解析】

分析可得,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可.【详解】当时,等式不是双曲线的方程;当时,,可化为,可得虚半轴长,所以点F到双曲线C的一条渐近线的距离为2.故选:D【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.10、B【解析】

由题意可得的周期为,当时,,令,则的图像和的图像至少有个交点,画出图像,数形结合,根据,求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数,满足任意,,令,又,为周期为的偶函数,当时,,当,当,作出图像,如下图所示:函数至少有三个零点,则的图像和的图像至少有个交点,,若,的图像和的图像只有1个交点,不合题意,所以,的图像和的图像至少有个交点,则有,即,.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用,解题过程中用到了数形结合方法,这也是高考常考的热点问题,属于中档题.11、D【解析】

根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.12、C【解析】

根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到,将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),故可得;再将向左平移个单位长度,故可得.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).14、【解析】

由三角函数图象相位变换后表达函数解析式,再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式,进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则所以,当函数最大,最大值为故答案为:【点睛】本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式,还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值,属于简单题.15、,,【解析】

化简函数的解析式,利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】函数,最小正周期,令,,可得,,所以单调递增区间是,,.故答案为:,,,.【点睛】本题主要考查了二倍角的公式的应用,余弦函数的图象与性质,属于中档题.16、【解析】试题分析:由三角函数定义知,又由诱导公式知,所以答案应填:.考点:1、三角函数定义;2、诱导公式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案;(2)根据两角余弦公式可得,即可求出,再根据正弦定理可得,根据余弦定理即可求出,问题得以解决.【详解】(1)由三角形的面积公式可得,,由正弦定理可得,,;(2),,,,,则由,可得:,由,可得:,,可得:,经检验符合题意,三角形的周长.(实际上可解得,符合三边关系).【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的余弦公式、诱导公式,考查正弦定理,余弦定理在解三角形中的综合应用,考查了学生的运算能力,考查了转化思想,属于中档题.18、(1)见解析(2)最小值为1.【解析】

(1)根据抛物线的定义,判断出的轨迹为抛物线,并由此求得轨迹的方程.设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,由此求得点的坐标.写出直线的方程,联立直线的方程和曲线的方程,根据韦达定理求得点的坐标,并由此判断出始终在直线上,且.(2)设直线的倾斜角为,求得的表达式,求得的表达式,由此求得四边形的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值.【详解】(1)∵动圆过定点,且与直线相切,∴动圆圆心到定点和定直线的距离相等,∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线,∴轨迹的方程为:,设,∴直线的方程为:,即:①,同理,直线的方程为:②,由①②可得:,直线方程为:,联立可得:,,∴点始终在直线上且;(2)设直线的倾斜角为,由(1)可得:,,∴四边形的面积为:,当且仅当或,即时取等号,∴四边形的面积的最小值为1.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线中四边形面积的最值的计算,考查运算求解能力,属于中档题.19、(1)更适宜(2)(3)x为2时,烧开一壶水最省煤气【解析】

(1)根据散点图是否按直线型分布作答;(2)根据回归系数公式得出y关于的线性回归方程,再得出y关于x的回归方程;(3)利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件.【详解】(1)更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型.(2)由公式可得:,,所以所求回归方程为.(3)设,则煤气用量,当且仅当时取“”,即时,煤气用量最小.故x为2时,烧开一壶水最省煤气.【点睛】本题考查拟合模型的选择,回归方程的求解,涉及均值不等式的使用,属综合中档题.20、(1)(2)5【解析】

(1)首先消去参数得到曲线的普通方程,再根据,,得到曲线的极坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线的参数方程中参数的几何意义得解;【详解】解:(1)曲线:消去参数得到:,由,,得所以(2)代入,设,,由直线的参数方程参数的几何意义得:【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化,以及直线参数方程的几何意义的应用,属于中档题.21、(1);(2)不存在实数,使曲线在点处的

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