六年级数学上册 第12讲 进位制与取整符号（教师版）全国通用

第12讲进位制与取整符号典型问题兴趣篇1.将下面的数转化为十进制的数：，，，。【分析】；；；；2.请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制的数。【分析】90÷2=45余0,45÷2=22余1,22÷2=11余0,11÷2=5余1,5÷2=2余1,2÷2=1余0；1÷2=0余1。所以90转化为二进制后是：；90÷7=12余6；12÷7=1余5；1÷7=0余1，所以90转化为七进制后是：；由于90÷16=5余10,5÷16=0余5。所以80转化为十六进制后为：3.请将七进制数化成五进制的数，将五进制数化成七进制的数。【分析】转化为十进制为：；而199÷5=39余4,39÷5=7余4；7÷5=1余2,1÷5=0余1。所以；将转化为十进制为：，而103÷7=14余5,14÷7=2余0。而2÷7=0余2。所以转化为七进制数后为：；4.（1）在二进制下进行加法：；（2）在七进制下进行加法：；（3）在九进制下进行加法：。【分析】在二进制下，逢2进1，则有：；在七进制下，逢7进7，则有：；在九进制下，逢9进1，则有：；5.用、、、、分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果，，，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是什么？【分析】由，，，是由小到大排列的连续正整数可知b=0,c=4,e=3，而a=2,d=1.所以；6.记号表示进制的数，如果是的2倍，那么，在十进制表示的数是什么？【分析】由于；，则有：+2=4k+10.所以k=8.则7.一个自然数的四进制表达式是一个三位数，它的三进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。请问：这个自然数的十进制表示是什么？【分析】根据题意，有：。从而有：，又由于a,b,c均为小于3的数字，所以，，。所以这个自然数在十进制中为：8.计算：。【分析】原式==9.计算：。【分析】方法一：对他们两两配对，得到：；两两配对，均能得到15。共有8组，所以他们的和为：15×8=120；方法二：根据题意，有：，由于任意两个相邻的数的分子的差均为16，所以其不超过1。所以有0到15均能表示。题中刚好有16个数，所以他们的和为：；10.求方程的解的个数。【分析】根据题意，有：，则应在0到4之间进行选择，有5种选法；拓展篇1.（1）请将下面的数转化为十进制的数：、；（2）请将十进制101转化为二进制的数，641转化为三进制的数，1949转化为十六进制的数。【分析】根据题意，；；101÷2=50余1；50÷2=25余0；25÷2=12余1；12÷2=6余0；6÷2=3余0；3÷2=1余1；1÷2=0余1；所以101化为二进制数后为：；641÷3=213余2；213÷3=71余0；71÷3=23余2；23÷3=7余2；7÷3=2余1；2÷3=0余2。所以641化为三进制数后为：；（3）1949÷16=121余13；121÷16=7余9；7÷16=0余7。所以将1949转化为十六进制后的数应为2.请将三进制数化成九进制的数，将八进制数化成二进制的数。【分析】（1），将其转化为九进制即变为：132÷9=15余7；15÷9=1余6；1÷9=0余0；所以三进制数化成九进制的数为：；（2）；由于482÷2=241余0；241÷2=120余1；120÷2=60余0；60÷2=30余0；30÷2=15余0；15÷2=7余1；7÷2=3余1；3÷2=1余1；1÷2=0余1。所以八进制数化成二进制的数为：3.（1）在七进制下计算：、；（2）在十六进制下计算：。【分析】根据题意，在七进制下，根据知：在七进制下，知：在十六进制下，10用A表示,11用B表示，12用C表示，13用D表示，14用E表示，15用F表示，则根据题意，有：4.算式是几进制数的加法？是几进制数的乘法？【分析】（1）根据题意，7+8=9+6，所以该数是9进制的加法；根据可知，20÷8=2余4。而由题意知：所以乘法是8进制下的乘法；5.自然数化为二进制后是一个7位数。请问：等于多少？【分析】根据题意，有：则有：，解之得：a=1,b=0,c=0。所以x为100。6.一个自然数的七进制表达式的一个三位数，它的九进制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。这个自然数的十进制表示是多少？【分析】根据题意，，则有：，则：当c=1时，无合适解；当c=2时，无解；当c=3时，a=5,b=0.所以这个自然数为：49×5+3=248。7.某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0至5，即从第一页开始这本书的页码依次为1，2，3，4，5，10，11，12，13，14，15，20，…。那么这本书的第365页的页码是多少？【分析】根据题意，有：所以第365页的页码是：1405。8.如果，，。求：（1）的所有可能值；（2）的所有可能值。【分析】（1）根据题意，令x=3+a;y=b,由于，所以的取值可能为2,也可能为3。根据题意，x=3+a;y=b；.则有：有答案：（1）2，3；（2）1，2，39.计算（结果用表示）：（1）；（2）。【分析】由题意知，原式=原式==10.计算：。【分析】两个一个组合配对，有：；；其他类似，共有：20组，所以其之和为：22×20=440。11.解方程：（1）；（2）。【分析】（1）令的整数部分是a，小数部分是b。则有：，即可得：。所以a=0,此时b=0;a=1，此时。所以或者；令x的整数部分是a，小数部分是b。则有：。由于，则必然有：。所以12.解方程：，其中是整数。【分析】根据题意，；即；而，则有：所以或者。则当时，得到：；当时，得到：。所以

超越篇

1.、是自然数，进制数和进制数相等，的最小值是多少？【分析】根据题意，有：；；则有：，由于出现了数字7，则a与b均必须大于等于8。，当b=9时，a=15.所以a+b的最小值为：24。2.现有一个百位为3的三位数（十进制），把它分别化成九进制的数和八进制的数后，仍然是三位数。且首位数字分别为4和5。这样的三位数中最大的是多少？最小的是多少？一共有多少个？【分析】化成九进制数后百位为4的最小数为：，最大数为：；化成八进制后百位为5的最小数为：；百位为5的最大数为：所以最大是383，最小是324，共有：383-324+1=60个；3.在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的。符合这样要求的等差数列有多少个？【分析】根据题意，由于两位数最小为10，化成五进制后为：；两位数最大为99，由于是依次增大的公差为6的等差数列，所以最小的数最大为87，化为五进制后为，由于加上数之后数字和是依次减少的，则必然发生进位，而且这种进位只能发生在个位或者十位。则分两种情况：若第一次进位在个位，则第二次进位在十位由于在六进制下，，第一次要在个位发生进位，则个位只能是4，第二次要在十位发生进位，则十位只能是2.，在六进制下的加法满足下列：，，；共有3个；若第一次进位在十位，则第二次进位在个位。由于在六进制下，，第一次要在十位发生进位，则十位位只能是4，第二次要在个位发生进位，则十位只能是3，在六进制下的加法满足下列：，，所以符合要求的等差数列共有6个。4.现有六个筹码，上面分别标有数值：1，3，9，27，81，243。任意搭配这些筹码（也可以只选择1个筹码）可以得到多少个不同的和？将这些和加起来，总和为多少？将这些和从小到大排列起来，第45个是多少？【分析】（1）方法一：我们知道1，3，9，27，81，243都是3的若干次幂，写成3进制依次为：，，，，，，则从中任意选取若干个数，且不重复，那么它们的和在3进制中都只是由1和0组成．但是在3进制中，并不是所有的数字都是只由0，1组成，这就给计数造成了困难．而2进制中所有的数字都是只由1和0组成．于是，我们想到使用2进制。很显然，这些数的组合可以构成到之间的任何一个数，化为十进制即到之间的数都可以构成。也就是得到了个不同的和。方法二：；方法三：根据题意，每一项都有取与不取，除去全部不选的共有：个；根据乘法原理，对于每一个已经选好的数，共有：种选法，所以所有的和等于：；（3）通过上一题我们可以知道一共有个不同的和。在2进制中的第45个非零自然数，即将10进制中的45转化为2进制，应记为：．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第45个也是，将其转化为10进制，有．即其中第39个数是280．5.计算：。【分析】根据题意，两个配对，有：；；……；；；；；所以其之和为：。6.计算：。【分析】方法一：原式=；方法二：由于；则有：=7.一副双色牌中，红、黑两种颜色各有12张牌，每种颜色的牌上分别写着1，2，4，8，16，…，2048这12个数。小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和。（1）若算出的和为2008，则小梁最多可能抽取了多少张牌？（2）若算出的和为183，则小梁共有多少种抽取牌的方法？（3）如果小梁有3种抽牌的方法使得和为某个正整数，求的值。答案：（1）17张；（2）184种；（3）2或81888.（1）在，，，…，中共出现了多少个互不相同的数？（2）在，，，…，中共出现了多少个互不相同的数？【分析】（1）根据题意，，而，所以从开始每两个相邻的与不可能相同，从到共有1004个数。而，所以0到