计算机图形学第五章曲线和曲面

第五章曲线和曲面

5.1曲线的数学表示1）显示表示：y=f(x)2）隐式表示：f(x,y)=03）参数表示：P(t)=[x(t),y(t)]

在曲线、曲面的表示上，参数方程比显式、隐式方程有更多的优越性，主要表现在：（1）容易满足几何不变性（与坐标系的选取无关）的要求。（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。（3）可对参数方程直接进行几何变换，而不需要逐点变换。（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。（5）便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。（7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。5.2曲线分析

1）曲线上的活动坐标架设曲线为P(t)=[x(t),y(t),z(t)]，则：切矢量：P’(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。法矢量：过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢称为主法矢，记为N。副法矢（记为B）B=T×NT(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平面称为从切平面。对于一般参数t，有：2）曲线的曲率和挠率曲率：由于T’(s)与N平行，令T’(s)=κN,κ(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。κ恒为正，又称为绝对曲率。κ曲率的倒数ρ=1/κ，称为曲率半径。挠率：由B(s)·Ｔ(s)=0，两边求导，可得：B‘(s)·Ｔ(s)=0；又由|B(s)|2=1，两边求导，可得：B‘(s)·B(s)=0；所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)，τ(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。 对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：TNB注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选择无关。示例：左旋右旋螺旋线

当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图(ɑ)所示；符合左手为左旋螺旋线，如图(b)所示。(ɑ)右旋螺旋线(b)左旋螺旋线5.3曲面与曲面分析

1）曲面的表示P=P(u,v)，u1≤u≤u2，v1≤v≤v2固定其中一个参数例如v=v0，则曲面变成单参数u的矢函数P=P(u,v0)，表示曲面上的一条以u为参数的参数曲线，简称u线。类似地，P=P(u0,v)表示曲面上的一条v线。所以，参数曲面上存在两组等参数线，即一组u线和一组v线。在曲面上一点P(u0,v0)处，总存在一条u线和一条v线。u线在该点有一个切矢Pu(u0,v0)，称为u向切矢。v线在该点也有一个切矢Pv(u0,v0)，称为v向切矢。这两个切矢的矢量积，决定了该点处的曲面法矢n(u0,v0)。将曲面上的每一点P(u,v)，沿法矢方向n移动一个固定距离d，就得到该曲面的一个等距面P’(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。

如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直纹面。它可以看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为母线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。 在准线ρ=ρ(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量τ(u)。则直纹面方程可以写为P(u,v)=ρ(u)+vτ(u)。当τ(u)为固定时，直纹面为柱面。当τ(u)为变矢量，且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面通常为直纹面。 如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线,法向量平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也是可展的，但机翼的直纹面就不一定。2）直纹面与可展曲面单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面3）曲面的曲率性质研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲面上一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法截线的曲率κn称为法曲率，围绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上一点的法曲率有无穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在的方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算：Κn＝κ1cos2θ＋κ2sin2θ其中θ为该方向与主曲率的κ1所在主方向的夹角。两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称为曲率线。5.4曲线的插值、逼近与拟合

插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,…,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。拟合：插值与逼近统称为拟合。多项式插值：通过n＋1个数据点Pi（i＝0，1，···n）和对应的参数ti（i＝0，1，···n）可以构造n次插值多项式

其中ai是与Pi维数一致的向量，例如三维。 多项式逼近： 随着控制点增多，多项式的次数不断增高，摆动剧烈，稳定性降低。而且常常数据点是带有误差的，没有必要严格通过，这时可以用低阶多项式进行逼近，逼近时采用的方法通常是最小二乘法：

为一组有序的数据点(P0,P1,…Pn)赋予相应的一组参数值(t0<t1<…<tn，每个参数点称为节点)称之对这组数据点实行参数化。对一组数据点(P0,P1,…Pn)实行参数化的常用方法有以下几种：均匀参数化(等距参数化)，在型值点不均匀时不理想。累加弦长参数化，考虑到弧长因素：向心参数化法，又称平方根法：修正弦长参数化法，在四种方法中效果最好：5.5参数化

5.6几何连续性

设计一条复杂形状曲线时，一般是通过多段简单曲线的拼接完成的。这就涉及曲线在拼接处的连续性问题。拼接曲线的连续性（或称光滑性）有两类度量方式：一类称为参数连续性：如果曲线函数对表达它的特定参数（并非所有参数）具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶参数连续性，简称Cn连续。另一类称为几何连续性：如果曲线函数对弧长参数具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶几何连续性，简称Gn连续。 曲线光滑度的两类度量并无因果关系，都能描述曲线的光滑性。由于弧长是几何量，所以几何连续性更能够代表曲线的光滑性。5.6几何连续性（续） 对于一般参数表达的多项式曲线的拼接，要想达到G2连续，在连接点处必须满足：G0连续：即两段曲线首尾相接。G1连续：要求两条曲线在首尾相接处的切矢方向相同。 因为两条曲线对弧长参数的导数都是单位矢，再加上方向相同，就意味着两条曲线在首尾相接处的弧长参数一阶导矢连续。G2连续：要求曲率相同，并且副法矢方向相同。 曲率相同保证了在首尾相接处弧长参数的二阶导矢大小相同，副法矢方向相同又保证了弧长参数的二阶导矢方向（主法矢）相同，即在首尾相接处弧长参数的二阶导矢连续。对一般参数来说，主法矢是副法矢与切矢的矢量积。5.7参数三次样条曲线（插值）

通过n+1数据点Pi（i＝0，1，···n）的一条分段连续的3次多项式曲线，如果在两个数据点之间表示为一个三次多项式，各段多项式在数据点处（连接处）保持C2连续性，这种曲线称为参数三次样条曲线，这种样条曲线使用非常普遍。 具体实现时，设其参数分割为u0<u1<…<un，并假设在端点处的切矢为P’0,P’1,…P’n。则每段曲线的方程可表示为：5.7参数三次样条曲线（续）为了求出P’i，对参数u两次求导得：5.7参数三次样条曲线（续）将上式中的下标i换成i-1，得：由二阶导数连续得三切矢方程：这里有n+1个未知量（P’i,i＝0，1，···n），n-1组方程，再加两个边界条件（往往是关于导数的），就可以解出未知量，从而得到参数三次样条曲线。5.8Bezier曲线1）定义：给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是:其中，Pi(i=0,1,…,n)构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)(i=0,1,…,n)是n次Bernstein基函数：这里规定：00=1,0!=1。2）Bernstein基函数的性质正性：端点性质：权性：对称性：递推性：导函数：最大值：升阶公式：积分性质：Bernstein基函数的图形(n=5)（基函数的递推）3）Bezier曲线的性质

端点性质：曲线端点就是特征多边形端点；端点切线与特征多边形的起始和终止边走向一致（r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关，与更远点无关）。对称性：将控制顶点编号进行对调，生成的Bezier曲线，形状不变，走向相反。凸包性：对于空间分布的点，可以想像一封闭的橡皮膜包住这些点，任其弹性收缩所形成的空间区域既是该点集的凸包。几何不变性：Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点Pi(i=0,1,...,n)的位置有关，不依赖坐标系的选择。变差缩减性：Bezier曲线与任意平面的交点数不多于它的特征多边形与该平面的交点数。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。仿射不变性：在仿射变换(保持“直线性”和“平行性”的变换。一般的变换，例如：旋转、平移、放大等都属于仿射变换，但透视投影就不是)下，Bezier曲线的形式不变，即对任意的仿射变换A：4）Bezier曲线的递推算法

计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用deCasteljau（德卡斯特里奥）递推算法则要简单得多，实际上该算法先于曲线方程：上式中：Pi0=Pi是定义Bezier曲线的控制点，P0n即为曲线P(t)上具有参数t的点，k+max(i)=n。几何递推：给定参数t∈[0,1]，就把定义域分成长度为t:(1-t)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点Pi1(i=0,1,...,n-1)，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点Pi2(i=0,1,...,n-2)。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点P0n即为所求曲线上的点P(t)。5）Bezier曲线的拼接

Bezier曲线是由n+1个顶点控制的n次多项式。由于多项式曲线的次数不易过高，所以当n较大时，通常采用分段设计的方法，将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,...,n)和Qi(i=0,1,...,m)，则：（1）要使它们达到G0连续，充要条件：Pn=Q0

（2）要使它们达到G1连续，充要条件：Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线。（3）要使它们达到G2连续，必要条件：Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线（G1连续）。Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2五点共面，且Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直线的同一侧。更高阶的连续要求更多…1）定义：设Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)为(m+1)×(n+1)个空间点，则m×n次的Bezier曲线为：写成矩阵形式：5.9Bezier曲面

uv2）Bezier曲面的性质

Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即：P(0,0)=P00，P(1,0)=Pm0，P(0,1)=P0n，P(1,1)=Pmn。Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关；其跨界二阶导矢只与定义该边界的顶点及相邻两排顶点有关。几何不变性：只依赖顶点Pij(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)，不依赖坐标系的选择。对称性：将控制顶点编号进行对调，生成的Bezier曲面形状不变。凸包性：曲面在凸包内。递推性：使用曲线的递推方法，先在u方向的n+1个控制多边形上（每个多边形上m+1个点）确定n+1个m阶Bezier曲线点，然后再利用这n+1个点使用曲线递推的方法最后确定曲面上的点。先v方向再u方向也一样。对曲面片的拼接要求条件较高（G0除外）。5.10B样条曲线

以Bernstein基函数构造的Bezier曲线或曲面有许多优越性，但有两点不足：Bezier曲线或曲面不能作局部修改。Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂。

B样条方法，在保留Bezier方法几乎全部优点的同时，克服了Bezier方法的弱点。1）B样条曲线的定义

其中，Pi(i=0,1,...,n)为控制顶点(又称德布尔点)，Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k次B样条基函数，其中每一个称为B样条。每个B样条是由同一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列T（t0≤t1≤…≤tn+k+1，共(n+1)+(k+1)个）所决定的k次分段多项式。由于其连续性，也称为k次多项式样条。 由于B样条基是多项式样条空间中具有最小支撑的一组基，故被称为基本样条（basisspline），简称B样条。

B样条有多种等价定义，标准算法是deBoor-Cox（德布尔－考克斯）递推定义（基函数的递推），又称为deBoor-Cox公式（约定0/0=0）： 这个递推公式表明：欲确定第i个k次B样条Ni,k(t)，需要用到ti,ti+1,...,ti+k+1共k+2个节点，称区间[ti,ti+k+1）为Ni,k(t)的支承区间，在此区间外Ni,k(t)为零。曲线方程中，n+1个控制顶点Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1个k次B样条Ni,k(t)。它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]。(5.1)(5.2)记忆方法：K次B样条Ni,k(t)可以由两个k-1次B样条Ni,k-1(t)与Ni+1,k-1(t)递推得到。其线性组合系数分别是两个系数的分母恰好是两个K-1次B样条的支撑区间的长度，分子恰好是参数t把第i个k次B样条Ni,k(t)的支撑区间划分成两部分的长度。1）B样条曲线的定义（续）Ni,1零次B样条：平台函数一次B样条：山形函数二次B样条ti-1titi+1ti+2Ni,0ti-1titi+1ti+2Ni,0Ni+1,0ti+3ti+3Ni,1ti-1titi+1ti+2ti+3Ni+1,1Ni,22）B样条举例111n＝5时的均匀二次B样条基：t0t1t2t3t4N0,22）B样条举例（续）1t5t6t7t8N1,2N2,2N3,2N4,2N5,23）B样条基性质（1）递推性：即deBoor-Cox公式（2）规范性（权性，在定义区间中）：（3）局部支撑性质（包含了非负性）：（4）可微性：在节点区间内部无限次可微；在节点处k-r次可微（r为节点重复度，至少为1）。4）B样条曲线的性质

局部性由于B样条的局部（支撑）性，K次B样条曲线上参数t∈[ti,ti+1)的一点P(t)至多与k+1个控制顶点Pj(j=i-k,...,i)有关，与其它控制顶点无关；移动该曲线的第i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间[ti,ti+k+1)上那部分曲线的形状，对曲线的其余部分不发生影响。连续性

P(t)在r重节点ti(k≤i≤n)处的连续阶不低于k-r，整条曲线P(t)的连续阶不低于k-rmax，其中rmax表示节点的最大重数。定义域节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]所包含的n+k+1个区间并非都是曲线的定义域，其中两端各k个节点区间不能作为B样条曲线的定义区间，即B样条曲线的定义域为：t∈[tk,tn+1)凸包性P(t)在区间[ti,ti+1），k≤i≤n上的部分位于k+1个点Pi-k,……,Pi的凸包Ci内，整个曲线则位于这n-k+1个凸包的并集内。所以B样条曲线比Bezier曲线更贴近控制点。分段参数多项式P(t)在区间[ti,ti+1），k≤i≤n上都是次数不高于k的参数t的多项式，P(t)是参数t的k次分段多项式。变差缩减性B样条曲线与任意平面的交点数不多于它的特征多边形与该平面的交点数。几何不变性及仿射不变性B样条曲线的形状与坐标系的选择无关；先生成曲线再作仿射变换与先对控制点进行仿射变换然后再生成曲线等价。造型的灵活性通过节点重复、控制点调节等手段，用B样条曲线可以构造出直线段、尖点等。

B样条曲线的节点矢量对曲线形状是有影响的，它对节点矢量的基本要求是非递减。由等距节点构造的B样条曲线称为均匀B样条曲线。但节点可以是非均匀的，这包含两个含义：①节点区间的长度不等；②重节点，即节点区间的长度为零。 （注意：节点矢量的整体平移和整体比例变换对B样条曲线的形状是没有影响的。） 我们把顺序r个节点相重称为该节点具有重复度r或称该节点为r重节点，它具有以下性质：（1）在B样条曲线定义域内的内重节点，重复度每增加1，曲线段数减1，样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降1。因此，k次B样条曲线在重复度为r的节点处是Ck－r连续的。一条位置连续的曲线，其内节点所取的最大重复度等于曲线的次数k，端点的最大重复度为k＋1。使用这一性质，可以在B样条曲线内部构造尖角（零次连续）。（2）当端节点的重复度为k＋1时，k次B样条曲线就具有k次Bezier曲线相同的端点几何性质。（3）由节点矢量U＝[0,…,0,1,….,1]（k+1个0，k+1个1）构造的B样条曲线就是Bezier曲线。（4）内节点为均匀分布，端节点有重复度k＋1的节点向量称为准均匀的。5）重节点对B样条曲线的影响6）B样条曲线举例零次B样条：就是控制顶点点列本身。一次B样条：在节点不重复的情况下，一次B样条曲线就是控制多边形自身。二次B样条：7）B样条曲线的生成Ⅰ）生成第一段曲线： 从n＋1个控制顶点中选取前k＋1个控制点Pi(i=0,1,...,k)；从节点矢量（共n＋k＋2个节点）中选取前2k＋2个节点ti(i=0,1,...,k,...,2k+1)；按定义可以构造一条B样条曲线： 其定义域为[tk，tk+1)。(5.3)Ⅱ）生成第二段曲线： 从n＋1个控制顶点中再选取k＋1个控制点，其编号为Pi(i=1,...,k,k+1)；从节点矢量中再选取2k＋2个节点，其编号为ti(i=1,...,k,...,2k+1,2k+2)；按定义又可以构造一条B样条曲线。 这段曲线的定义域是[tk+1，tk+2)。它与前一段曲线是首尾相接的，在连接点处有k-1次的连续导数，原因是它与第一段曲线有大量相同的控制点和节点。7）B样条曲线的生成（续）Ⅲ）生成n－k＋1段曲线 如此反复进行，每次k＋1个控制点和2k＋2个节点的编号向后移动一，并构造一段B样条曲线，直到用完所有的控制点和节点（不能向后移了），则一共生成光滑连接的n－k＋1段曲线。它们的定义域依次相连但不重叠，并集为[tk,tn+1)。Ⅳ）生成的n－k＋1段连续曲线就是一条B样条曲线 由于支撑区间的存在，由所有n+1个控制点和n+k+2个节点按定义构造的，在定义域[tk,tn+1)上的B样条曲线，与上面分段构造的光滑连接的n-k+1段曲线是同一条曲线。8）deBoor曲线递推算法

给定控制顶点Pi(i=0,1,...,n)及节点矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]后，就定义了k次B样条曲线。欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用式(5.1)或(5.3)计算该点的坐标，但是采用deBoor算法，计算更加快捷。deBoor算法的导出即是说：（1）每次递推共有k－r＋1个区间（即控制点），所有区间长度均为k－r＋1（特别地，第一次递推共有k个区间，区间长度为k）。每次递推区间个数和长度减一，最后一次递推区间长度为1。（2）第一区间的右端点为j＋1，第二区间将第一区间右推一次，以后依次右推，直到最后区间的左端点为j。（3）每个区间用来进行插值的两个数据点对应区间的左端点i和其左侧的一个点i-1。举例：生成3次B样条(k=3)，这时第一段的定义域为[t3,t3+1)，j=3;r=1时，共有三个区间，区间长度为3r=2时，共有两个区间，区间长度为2r=3时，共有一个区间，区间长度为1②deBoor算法的几何意义

t0t1t2t3t4t5t6t7r=1r=2r=3tP0P1P2P3P11P12P13P33P22P23三次B样条的实际递推过程，t0,t7用不上说明： 两个端点节点用不上意为着它们可以任意选取，它们的意义在于数学公式的表达，而不在于曲线的形状。 由控制点计算B样条曲线时，端点节点t0和tn＋k＋1是用得上的；由控制线段计算B样条曲线时，这两个节点用不上。9）反算B样条曲线的控制顶点虽然控制顶点（和节点）决定B样条曲线的形状，但B样条曲线通常不透过控制顶点。使构造的B样条曲线通过指定的点，即反算插值曲线的B样条控制顶点，称为B样条曲线的逆过程或逆问题。为了使一条k次B样条曲线通过一组数据点di(i=0,1,…,n)，反算过程一般使曲线首末端点分别与首末数据点一致，使曲线的分段连接点分别与相应的内数据点一致。因此数据点di将依次与B样条曲线定义域内的节点一一对应，即di点有节点值tk+i(i=0,1,…,n)。该B样条插值曲线将由n+k个控制顶点Pi(i=0,1,…,n+k-1)定义，节点矢量对应为T(t0,t1,…,tn+2k)，定义域为[tk,t(n+k-1)+1)。首先需要确定与数据点di对应的参数值tk+i(i=0,1,…,n)，其实需要确定整个节点矢量T(t0,t1,…,tn+2k)。然后就可以给出以n+k个控制顶点为未知矢量的由n+1个矢量方程组成的线性方程组：因方程数小于未知顶点数，还必须补充k-1个由合适的边界条件给出的附加方程，才能联立求解。在实际工作中常采用C2连续的三次B样条曲线作为插值曲线。5.11B样条曲面

给定参数轴u和v的节点矢量U=[u0,u1,···,um+p+1]和V=[v0,v1,v2,···,vn+q+1]，p×q次B样条曲面定义如下：

其中，Pij(i=0,1,···,m;j=0,1,···,n)是给定的空间(m+1)(n+1)个点列，构成一张控制网格，称为B样条曲面的特征网格。Ni,p(u)和Nj,q(v)是B样条基，分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。B样条曲线的一些几何性质可以推广到B样条曲面。

5.12NURBS曲线与曲面

B样条方法在表示与设计自由型曲线、曲面形状时显示了强大的威力，然而在表示与设计初等曲线、曲面时却遇到了麻烦。因为B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线；B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表出。 提出NURBS（非均匀有理B样条）方法的首要理由是：为了找到与描述自由型曲线、曲面的B样条方法相统一，又能精确表示二次曲线与二次曲面的数学方法。1）NURBS曲线的定义

NURBS曲线是由分段有理B样条基函数定义的：

其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）称为k次有理基函数；Ni,k(t)是k次B样条基函数；Pi（i=0,1,…,n）是特征多边形控制顶点位置矢量；wi是与Pi对应的权因子，首末权因子w0，wn>0，其余wi≥0，以防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致权因子而退化为一点；节点矢量为T＝[t0,t1,…,ti,…,tn+k+1]，节点个数是m=n+k+2（n＋1为控制项的点数，k为B样条基函数的次数）。2）NURBS曲线有理基函数的性质Ri,k(t)具有k次B样条基函数类似的性质：3）NURBS曲线的性质

NURBS曲线与B样条曲线也具有类似的几何性质(1)局部性质：k次NURBS曲线上参数为t∈[ti,ti+1)⊂[tk,tn+1)的一点P(t)至多与k+1个控制顶点Pj及权因子ωj，j=i-k,i-k+1,…,i有关，与其它顶点及权因子无关；另一方面，若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所联系的权因子，将仅仅影响定义在区间[ti,ti+k+1)⊂[tk,tn+1)上那部分曲线的形状，对NURBS曲线的其它部分不发生影响。(2)变差减小性质。(3)强凸包性：定义在非零节点区间∈[ti,ti+1)⊂[tk,tn+1)上那一曲线段位于定义它的k+1个控制点Pi-k,Pi-k+1,…,Pi的凸包内。整条NURBS曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子大于零保证凸包性质的成立。(4几何不变性及仿射不变性。(5)在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。(6)如果某个权因子ωi为零，那么相应控制顶点Pi对曲线没有影响。(7)若ωi→∞，则当t∈[ti,ti+k+1)时，P(t)=Pi。(8)非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况。4）NURBS曲线的几何意义以二维NURBS曲线为例：

根据每个数据点（xi，yi）（i=0,1,…,n）的权值wi将它表示为其次坐标（wi·xi，wi·yi，wi）。在其次坐标空间中，作出数据点的B样条曲线：

显然，将得到的三维空间中的B样条曲线，从齐次坐标返回原来的二维空间，得到的就是NURBS曲线。 很容易将二维情况推广到n维，这种几何解释也被称为NURBS曲线的齐次坐标表示。 据此，可以通过研究其次坐标空间中的B样条曲线性质，研究NURBS曲线。5.13NURBS曲面

1）NURBS曲面的定义

由双参数变量、分段有理多项式定义的NURBS曲面是：