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1PAGE第10页绝密★启用前2024—2025学年上学期高二年级期中考试数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线的倾斜角为,且经过点,则的方程为()A. B.C. D.2.在空间直角坐标系中,直线过点且以为方向向量,为直线上的任意一点,则点的坐标满足的关系式是()A B.C. D.3.若圆过,两点,则当圆的半径最小时,圆的标准方程为()A. B.C. D.4.在四面体中,为棱的中点,为线段的中点,若,则()A. B.1 C.2 D.35.若直线与圆相离,则点()A.在圆外 B.在圆内C.在圆上 D.位置不确定6.已知直线经过点,且与圆:相交于,两点,若,则直线的方程为()A.或 B.或C.或 D.或7.曲线的周长为()A. B. C. D.8.如图,在多面体中,底面是边长为1的正方形,为底面内的一个动点(包括边界),底面底面,且,则的最小值与最大值分别为()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是()A.,, B.,,C.,, D.,,10.已知直线的方程为,则下列结论正确的是()A.点不可能在直线上B.直线恒过点C.若点到直线的距离相等,则D.直线上恒存在点,满足11.如图,在三棱锥中,平面分别为的中点,是的中点,是线段上的动点,则()A.存在,使得B.不存点,使得C.的最小值为D.异面直线与所成角的余弦值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在空间直角坐标系中,点与关于原点对称,则点的坐标为__________.13.若圆关于直线对称,则点与圆心的距离的最小值是__________.14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数()的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,为直线:上的动点,为圆:上的动点,则的最小值为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆圆心在直线和直线的交点上,且圆过点.(1)求圆的方程;(2)若圆的方程为,判断圆与圆的位置关系.16.如图,在四棱锥中,四边形是矩形,为的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角正弦值.17.已知直线:.(1)若直线与.平行,且之间的距离为,求的方程;(2)为上一点,点,,求取得最大值时点的坐标.18.如图,在斜三棱柱中,平面平面是边长为2的等边三角形,为的中点,且为的中点,为的中点,.(1)设向量为平面的法向量,证明:;(2)求点到平面的距离;(3)求平面与平面夹角的余弦值.19.在平面直角坐标系中,定义为两点,的“切比雪夫距离”,又设点P及直线上任意一点Q,称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”,记作.(1)已知点和点,直线:,求和.(2)已知圆C:和圆E:(i)若两圆心的切比雪夫距离,判断圆C和圆E的位置关系;(ii)若,圆E与x轴交于M,N两点,其中点M在圆C外,且,过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A,B两点,记直线为,直线为,证明:.2024—2025学年上学期高二年级期中考试 数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】A7【答案】B8.【答案】A二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.【答案】BD10.【答案】ABD11.【答案】BCD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【分析】(1)先求出两直线的交点,结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解;(2)由题意知的圆心为,半径,结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由,得,即圆心坐标为.,圆的方程为.【小问2详解】由(1)知,圆的圆心为,半径.圆的方程可化为,则圆的圆心为,半径.,,圆与圆相交.16.【分析】(1)根据已知数据结合勾股定逆定理可证得,,然后利用线面垂直的判定定理得平面,再由线面垂直的性质可证得结论;(2)由题意可得两两垂直,所以以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明:,,.,,.平面,平面,又平面,.【小问2详解】解:四边形是矩形,,平面,平面,,所以以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为n=x,y,z则,令,可得,平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为,则,直线与平面所成角的正弦值为.17.【分析】(1)设出直线m的方程,利用平行线间距离公式列式求解.(2)求出点关于直线的对称点坐标,结合图形,利用线段和差关系确定点位置,进而求出其坐标.【小问1详解】由直线m与平行,设直线m方程为,由m,之间的距离为,得,解得或,所以直线m的方程为或.【小问2详解】设点关于直线:的对称点为,则,解得,即,而,当且仅当三点共线时取等号,直线的方程为,即,由,解得,点,所以取得最大值时点P的坐标.18.【分析】(1)先建立空间直角坐标系,应用面面垂直性质定理得出平面,进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可;(2)应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可;(3)应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图,连接.,平面平面,平面平面平面,平面.是边长为2的等边三角形,.以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.是平面的一个法向量,令.,,.【小问2详解】.设平面的法向量为,则令,可得,平面的一个法向量为,点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为,则令,可得,平面的一个法向量为.由(2)可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为,则,平面与平面夹角的余弦值为..19.【分析】(1)根据新定义直接计算,设是上一点,分类讨论计算出,再确定最小值得;(2)(i)求出圆心坐标,根据切比雪夫距离的定义,由或求得参数,并检验是否满足题意,然后根据圆心距判断两圆位置关系;(ii)由已知求出,得出两点坐标,设直线方程为,,直线方程代入圆方程后,应用韦达定理得,从而证明,得直线与关于轴对称,然后由直线上任意一点与直线上点关于轴对称,它们是一一对应的关系,且,则其最小值也相等,从而证得结论成立,【小问1详解】,,,所以,直线方程为,是上一点,,当,即时,,当t-1>2,即或时,,所以的最小值是2,所以;【小问2详解】(i)圆标准方程是,圆心为,半径为2,圆的圆心为,半径为,,若,则或,时,,不合题意,时,,满足题意,此时,,因此两圆内切;若,则或,时,,不合题意,时,,满足题意,此时,,两圆内切.所以圆C和圆E内切;(ii)圆E与x轴交于M,N两点,则方程,即(*)有两个不等
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