惠州市2018届高三第二次调研考试(理数)

PAGEPAGE4惠州市2018届高三第二次调研考试数学（理科）全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限（2）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）(A)(B)(C)(D)（3）设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（） ①若，则与相交；②若则； ③若||，||，，则；④若||，，，则||. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4（4）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）(A)(B)(C)(D)（5）设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（

）(A)7(B)6(C)5(D)4（6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）(A)(B)(C)(D)（7）已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为（）(A)(B)(C)(D)（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（）(A)24(B)18(C)16(D)10（9）已知，为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（）(A)(B)(C)(D)（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为()(A)(B)(C)(D)（11）函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（）(A)在上是减函数(B)在上是增函数(C)在上是减函数(D)在上是增函数（12）函数是定义在上的奇函数,当时,，则函数在上的所有零点之和为（）(A)8(B)(C)(D)0二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（13）已知，且，则____________．（14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．（15）已知数列满足，则数列的通项公式为．（16）在四边形中，，已知，与的夹角为，且，，则___________．数学（理科）参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ADCCBBBDDCBA1．【解析】由题意知，其对应点的坐标为，在第一象限．2．【解析】集合，由可得，.3．【解析】②错，①③④正确.4．【解析】“不等式在上恒成立”即，，同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“”符合.5．【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为，又，与关于对称，，即.6．【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，转化为十进制数的计算为7．【解析】由及等差数列通项公式得，又，，，，，8．【解析】第1种：甲在最后一个体验，则有种方法；第2种：甲不在最后体验，则有种方法，所以小明共有.9．【解析】设双曲线方程为，不妨设点M在第一象限，所以，，作轴于点，则，故，，所以，将点代入双曲线方程，得，所以.10．【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P­ABC(如图所示)，其中底面ABC是直角三角形，，面ABC，，，，因此，当且仅当，即时取等号，因此xy的最大值是64.11．【解析】由题意，，，又，有，，即，且，即，解得，，，单调递增.解得.所以选项B符合.12．【解析】令，所以求的零点之和和的交点横坐标之和，分别作出时，和图象，如图由于和都关于原点对称，因此的零点之和为0，而当时，，即两函数刚好有1个交点，而当时的图象都在的上方，因此零点之和为8.二．填空题：本题共4小题，每小题5分。13．14.1615.16.213．【解析】；，由且可得.14．【解析】由题意得，需要从56人中分成4组，每组的第2位学号为抽出的同学，所以有.15．【解析】由两边同除可得，又，成以为首，公差为的等差数列，，.16．【解析】，，，又，，代入式子可得三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：（1），由正弦定理可得…………2分，即又，，，即.…………6分（2）由余弦定理可得，…………9分又，，，的面积为.………12分18.解：（1）取中点，连接、、，∵四边形是边长为的菱形，∴．∵，∴是等边三角形．∴，．……2分∵，∴．∵，∴．∴．……4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．……5分（2）∵，∴．由（1）知，平面平面，∴平面，∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，则．∴．……6分设平面的法向量为，由，得，取，得，……8分设平面的法向量为，由，得，取，得，……10分∴，由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为．……12分19.解：（Ⅰ）当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首；由可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，此时的概率为：；……4分（Ⅱ）∵的取值为10，30，50，又，，∴，……6分，……8分……10分ξ3050∴的分布列为：∴．……12分20.解：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，……2分，，……3分故点的轨迹方程是……4分（2）设直线，直线与圆相切联立……6分……7分……8分……9分……10分所以为所求.……12分21.解：（1），的图象在处的切线与轴平行，即在处的切线的斜率为0，即，……4分（2）f′(x)＝2(ex－x＋a)，又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．……5分①当a≥－1时，f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而必须满足f(0)＝5－a2≥0，解得－eq\r(5)≤a≤eq\r(5)，又a≥－1，∴－1≤a≤eq\r(5).……8分②当a<－1时，则存在x0>0，使h(x0)＝0且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即f′(x)<0，即f(x)单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)单调递增．∴f(x)min＝f(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2ex0－(ex0)2＋3≥0,解得0<x0≤ln3.由ex0＝x0－a⇒a＝x0－ex0，令M(x)＝x－ex，0<x≤ln3，则M′(x)＝1－ex<0，∴M(x)在(0，ln3]上单调递减，则M(x)≥M(ln3)＝ln3－3，又M(x)<M(0)＝－1，故ln3－3≤a<－1.……11分综上，ln3－3≤a≤eq\r(5).……12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）解：（1）曲线C：可化为，其轨迹为椭圆，焦点为和．…………2分经过和的直线方程为，即，……4分极坐标方程为.…………5分（2）由（1）知，直线AF2的斜率为，因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，所以的参数方程为（t为参数），…………6分代入椭圆C的