初中数学几何模型(七)蝴蝶模型(蝴蝶定理)

初中数学几何模型（七）蝴蝶模型（蝴蝶定理）1、任意四边形：结论1：S∵S1=12×BO×∴S=∵S2=12×BO×∴S2×S4∴S1结论2：S△ABDS△CBD2、梯形：在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点O。结论1：S1×结论2：S△ABDS△CBD结论3：S1结论4：如果AD=a，BC=b，那么S1∶S3∶典型例题：例1、如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△CEF的面积是4平方厘米，△CEB的面积是6平方厘米。问：四边形AEFD的面积是多少平方厘米？略解：连接AF，（构造蝴蝶模型）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∴S△∴S△∴S△AEF=S△CEB设S△ABE=x，根据蝴蝶模型，可得：S△AEFS△ABE∴S△ABE=9（cm2）；∴S矩形ABCD=（9+6）∴S四边形AEFD=S矩形ABCD-S△ABE-S答：四边形AEFD的面积是11平方厘米。例2、如图，点E、F在矩形ABCD的边CD、AB上，连接AE、DF交于点G，连接BE、CF交于点H，如果S△ADG=11，S略解：连接EF，（构造两组蝴蝶模型）在梯形ADEF中，S△EFG=S在梯形BCEF中，S△EFH=S∵S四边形EGFH=S△EFG+∴S四边形EGFH=11+23=34。答：四边形EGFH的面积为34。例3、如图，正方形ABCD的边长为1，BE=2EC，CF=DF，求△AEG的面积。略解：方法一：连接EF。∵BE=2EC，CF=DF，又∵正方形ABCD的边长为1，∴CE=13，DF=12，∴S△DEF=12×13×由蝴蝶模型得，S△AEDS△DEF=AGGF，∴AGGF=1∴S△AGD=6S△GDF，∴S△AGD=67S△ADF=67×12×∵S△AEG=S△AED-又∵S△AED=12S∴S△AEG=12-314=方法二：延长BC、AF交于点M。易证，△ADF≌△MCF（ASA）∴AD=MC=BC，∵BE=2EC，∴EC˸BC=1˸3，∴EC˸AD=EC˸CM=1˸3，∴EM˸AD=4˸3，∵△EMG∽△DAG，∴EG˸GD=4˸3，∴EG˸ED=4˸7，∴S△AEG˸S△AED=4∴S△AEG=47S△AED，∵S△AED∴S△AEG=47×12例4、平行四边形ABCD的对角线交于点O，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6。求：（1）△OCF的面积；（2）求△GCE的面积。略解：（1）∵△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6，∴S△BCD=S△CEF+S△OEF∵平行四边形ABCD的对角线交于点O，∴S△OCD=1∵S△OCF=S△OCD-（2）过点E作EM⊥OC于点M，过点F作FN⊥OC于点N。∵S四边形OECF=S△CEF+∴S四边形∵S△OCF=4，∴S∵△OCF和△OCE的底边都是OC，∴S△OCE˸S△OCF=EM˸FN=2˸4=1易证，△EMG∽△FNG，∴EGFG=EMFN=∴S△GEC˸S△GFC=1˸2，∴S△GEC=13S△CEF例5、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？解：设△AOD的面积为x平方千米。由蝴蝶模型，可得：S△BOCS△AOB=S∵S△BOC为2平方千米，S△AOB为1平方千米，∴21=3x，解，得：x=1.5。∴S∴S四边形ABCD=1+2+3+1.5=7.5（平方千米）∴S人工湖=S四边形ABCD-S陆地答：人工湖的面积是0.58平方千米。例6、如图，矩形ABCD的面积为48，E是AD的三等分点，AE=2DE，连接BE交AC于点M，连接CE交BD于点N，则四边形OMEN（阴影部分）的面积为_____________。略解：连接OE。∵AE=2DE，∴12S△CAE=S△CDE，∴在四边形OCDE中，ONND=S△COES△CDE=12∴在四边形OBAE中，OMMA=S△BOES△BAE=12∵AE=2DE，∴S△OED=