高考数学专项复习：三角函数的图象与性质【九大题型】解析版

专题4.4三角函数的图象与性质【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1三角函数图象的识别及应用】.................................................................3

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】............................................................5

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】............................................................7

【题型4三角函数的周期性问题】......................................................................9

【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】.........................................................11

【题型6根据三角函数的单调性求参数】..............................................................13

【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】...........................................16

【题型8三角函数的零点问题】.......................................................................19

【题型9三角函数的图象与性质的综合应用】.........................................................21

►考情分析

1、三角函数的图象与性质

考点要求真题统计考情分析

（1）能画出三角函数的图

象2023年新课标I卷：第15题，

⑵了解三角函数的周期5分三角函数的图象与性质是高考的热

性、奇偶性、最大（小）2023年天津卷：第6题，5分点内容，其中三角函数的周期性、对称

值2024年新课标I卷：第7题，性、奇偶性与单调性之间的关系则是高

⑶借助图象理解正弦函5分考考察的重心.从近几年的高考情况来

2024年新课标II卷：第9题，看，比较注重对三角函数的几大性质之

数、余弦函数在［0,2旬上

6分间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、

的性质及正切函数在2024年全国甲卷（文数）：第填空题的形式呈现，难度中等或偏下.

（-上的性质13题，5分

►知识梳理

【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】

1.三角函数的定义域的求解思路

求三角函数的定义域通常要解三角不等式（组），解三角不等式（组）常借助三角函数的图象.

2.求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型：

⑴形如y=asinx+6cosx+c的三角函数化为y=/sin（0x+0）+c的形式，再求值域（最值）；

（2）形如尸asi/x+bsinx+c的三角函数，可先设sinr=/,化为关于t的二次函数求值域（最值）；

（3）形如y=asinxcosx+6（sinx±cosx）+c的三角函数，可先设?=sirtr±cosx,化为关于t的二次函数求值域（最

值）.

【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】

1.三角函数周期的一般求法

（1）公式法；

（2）不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

（1）对于可化为兀r）=/sin（0x+°）（或加尸/cos（0x+p））形式的函数，如果求人x）的对称轴，只需令

TT

①x+9=5+左兀（左£Z）（或令€OX+（p=kR*G©）,求X即可；如果求外）的对称中心的横坐标，只需令

0X+9=MT（左GZ）（或令0x+°=5+析（后GZ））,求x即可.

（2）对于可化为/（x）=/tan（0x+0）形式的函数，如果求人x）的对称中心的横坐标，只需令（ox+e=今伏GZ））,

求x即可.

3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在尸4sin（ox+9）中代入尸0,

若》=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.

■7T

若了=/$也（<2>+9）为奇函数，则夕=E（左ez）；若尸isin（Ox+9）为偶函数，贝跖=7+版（左GZ）.

【知识点3三角函数的单调性问题的解题策略】

1.三角函数的单调区间的求解方法

求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=/sin（cux+p）形式，再求y=Asm（<a>x+（p）的单调区间，

只需把。x+p看作一个整体代入尸siwc的相应单调区间内即可，注意要先把o化为正数.

2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数。的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的

单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择

题，利用特值验证排除法求解更为简捷.

【方法技巧与总结】

1.对称性与周期性

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T个周期，相邻的对称中心与对

称轴之间的距离是:个周期.

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是3个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

TT

（1）若产/sin（Gx+9）为偶函数，贝师二左乃十2（攵£Z）；若为奇函数，贝1］夕=左兀（左£Z）.

7T

（2）若尸4cos（GX+夕）为偶函数，则夕=左兀（左£Z）；若为奇函数，则片左7十了（左£Z）.

（3）若y=4tan（①x+夕）为奇函数，则夕=左兀（左£Z）.

►举一反三

【题型1三角函数图象的识别及应用】

【例1】(2024•全国•模拟预测)函数/(%)=cos%•ln(2%+2-%)在区间［-3n,3n］上的图象可能是()

【解题思路】判断函数的奇偶性，再根据/(0)>0判断即可.

【解答过程】因为/(第)的定义域为R,且

/(—%)=cos(—%)-ln(2-x+2X)=cosx•ln(2-x+2X)=/(%),

所以/(%)为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A,C.

因为/(0)=ln2>0,故排除B.

故选：D.

【变式(2024•江苏盐城•模拟预测)函数y=cos%与y=lg|%］的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【解题思路】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【解答过程】函数y=cosx与y=lg|%|都是偶函数，其中cos2n=cos4n=1,lg4n>IglO=1>lg2n,

在同一坐标系中，作出函数y=cos%与y=lg|%］的图象，如下图，

由图可知，两函数的交点个数为6.

故选：D.

【变式1-2］(2024•山东•一模)函数/(久)=勺詈，则y=f(x)的部分图象大致形状是()

【解题思路】根据函数奇偶性以及％e(o,3时函数值的正负，通过排除法得答案.

【解答过程】函数y=f(x)的定义域为R,

(e-x—l)sin(—%)_(ex—l)sinx

/"(-x)==/⑺，

e~x+lex+l

即函数y=/(%)为偶函数，排除BD;

当xe(0,§时，/(久)=%詈竺＞0，排除C.

故选：A.

【变式1-3】(2023•河南郑州•一模)已知函数/(久)=江+e-3g(x)=sin%,下图可能是下列哪个函数的

图像()

A./(x)+g(%)—2B./(%)—g(x)+2

c./(%)-gMD.联

J【町

【解题思路】利用奇偶性和特殊点函数值的正负进行判断.

【解答过程】对于/(%)=e%+e-,但定义域为R,满足/(—%)=e-%+e%=/(%),为偶函数.

同理可得：g(x)=sin%为奇函数.

记九(%)=/(%)+g(x)-2,贝！J/i(一%)=/(-%)+g(-%)-2=/(%)-g(%)-2

所以九(一式)H/i(%)且九(一%)。一h(x),所以/(%)+g(%)-2为非奇非偶函数；

同理可证：/(均-g(x)+2为非奇非偶函数；f(%)•g(x)和菖为奇函数.

由图可知，图像对应函数为奇函数，且0</（l）Vl.

显然选项A,B对应的函数都不是奇函数，故排除；

对C:y=/（%）•g（%）=（ex+e-x）sinx,为奇函数.

当％=1时，（e+：）sinl>（e+Jsin：>^e+1^Xy>eXy>-^>l,故错误；

对D,y=^-=^,为奇函数.

f[x）e"+e*

当％=1时，泮<1.故正确.

（e+2

故选：D.

【题型2三角函数的定义域、值域与最值】

【例2】（2024•广东湛江•二模）函数/（久）=4sin（5x—J在[。，3上的值域为（）

A.[-2,2]B.[-2,4]C.[-2V3,4]D.[-2V3,2]

【解题思路】先求得5X-2的范围，结合正弦函数的性质，即可容易求得结果.

【解答过程】因为xe[。,,,所以-,引，所以sin（5x—e1卜

故f（x）=4sin（5x-习在[o*]上的值域为[―2,4].

故选：B.

【变式2-1]（2024•河南郑州一模）已知函数“久）=2sin（3%—习（3>0）在上的值域为[―1,2],贝必

的取值范围为（）

a[Q]B,[|,1]C,[|,|]D,[|,1]

【解题思路】根据题意可得3乂一？6[--*再利用值域可限定-+2解得3的取值范

oLoZ6J2266

围为居•

【解答过程】由久e[o图及3>0可得3久—V[-2十一引

根据其值域为[—1,2],且2sin（—习=—1,

由正弦函数图象性质可得mwir+g

ZZoo

即可得gw葭w/解得gw3w*

故选：B.

【变式2-2］（2024•安徽安庆•二模）已知函数/（%）=2COS2O）X+sin2cox-13>0）的图象关于点0）对

称，且/（%）在（05）上没有最小值，则3的值为（）

1357

A.-B.-C.-D.-

2222

【解题思路】先化简解析式，根据对称性可得3=2k-gkez,再结合最小值点即可求解.

【解答过程】/（x）=2cos+sin2wx-1=cos2tox+sin2wx=V2sin（23比+：），

因为f（x）的图象关于点g,0）对称，

所以/（?=岳in管+习=0,

故kEZ,即3=2k—；,k£Z,

当23%+:=—］+2MI,即％=—"kEZ时，函数f（汽）取得最小值，

因为/（%）在（05）上没有最小值，

所以篙*,即e

8a38

由3=2々一解得k<3故k=1,得3=j.

ZO1OL

故选：B.

【变式2-3］（2024•内蒙古包头一模）已知函数/（%）=Asin（ajx+力（4>0,3>0,［如<的最大值为2,

其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为全且/⑸的图象关于点（-2。）对称，则f（x）在区间［o图上的最

小值为（）

A.-V3B.-1C.-2D.0

【解题思路】利用题目条件求出f（x）的解析式，然后讨论f（x）在［上的单调性即可.

【解答过程】由条件知4=2,2=3,sin（―53+9）=0,

从而/=3=2,sin（0-］）=0,

所以夕——=ku,kCZ,即0=fcii+—,kGZ,

66

又因为i/ivm，故A：=o,w=g

LO

这说明f(x)=2sin(2x+J,该函数在［O局上递增，在［黑］上递减.

又八0)=1,/g)=-1,所以f(x)在区间［(J,"上的最小值为一L

故选：B.

【题型3三角函数的奇偶性与对称性问题】

【例3】(2024•全国•模拟预测)已知函数/O)=3sin(3x+J+l,则下列结论不正确的是()

A.f(x)的图象关于点借,1)对称

B.若f(x+t)是偶函数，贝=g+

C.f(x)在区间［0,4上的值域为［―9,|］

D./(尤)的图象关于直线x对称

【解题思路】代入验证法判断函数n>)的图象的对称中心和对称轴，进而判断选项AD；求得/的值判断选

项B；求得/O)在区间仅，9上的值域判断选项C.

【解答过程】对于A：/g)=3sin(3xg+g+l=l,

则f(x)的图象关于点偌,1)对称，故A正确.

对于B：因为/'(%+t)=3sin［3(x+t)+弓+1=3sin(3x+3t+§+1是偶函数，

所以3t+F=kn+三,keZ,即t="+g,keZ,故B正确.

6239

对于C：当［o，l时，3x+。低,胃sin(3x+§e昌,1|,

所以/(%)=3sin(3x+J+1e

即f(x)在区间［0图上的值域为卜”］,故C错误.

对于D：当x=E时，3%+E=3XE+E='

96962

则f(x)的图象关于直线》=］对称，故D正确.

故选：C.

【变式3-1］(2024・贵州黔南•二模)若函数f(x)=cos为偶函数，贝切的值可以是()

A.—B.—C.TTD.-

632

【解题思路】由题意可知：x=0为函数f(x)的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.

【解答过程】由题意可知：*=0为函数f(x)的对称轴，

则-g+0=/CTC^/CG,则0=ku+]GZ»

对于选项A：令0=加+合乎解得/c=.Z,不合题意；

对于选项B：令3=所1+]二手解得/c=l€Z,符合题意；

对于选项C：令3=出1+]=71,解得k=|《Z,不合题意；

对于选项D：令0=而+2=?解得/c=j£Z,不合题意；

32.6

故选：B.

【变式3-2](2021甘肃陇南・一模)下列函数图象的对称轴方程为刀=三+k11水€2的是()

A./(x)=sin§B./(x)=cos(x+g)

C./(%)=sin(2x—D.f(x)=cos(2%§

【解题思路】

根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴,

利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.

【解答过程】对于A,7'(x)=sin(x-§,令x—]=]+kir,keZ,即久=聋+/rrr,keZ,

即f(%)的对称轴方程为x="+kn,keZ,A错误；

对于B,/(%)=cos(%+詈)，令％+g=n+/rn,k€Z,即％=]+/m,kEZ,

即/(%)的对称轴方程为％=]+/nr,kEZ,B正确；

对于C,f(%)=sin(2%—：),令2%—£=]+/m,k€Z,即％=]+g/rn:,kEZ,

即n>)的对称轴方程为％=c错误；

对于D,/(%)=cos(2%+勺，令2x+三=kgkE,Z,即％=—已+k€Z,

即/(%)的对称轴方程为久=->ifc^/cGZ,D错误；

oZ

故选：B.

【变式3-3](2024•广东佛山•二模)已知函数f(x)=sin(s+5®〉0)在糖，当有且仅有两个零点，且

34L

"?)=/(半)，则"久)图象的一条对称轴是()

OO

.7ncIlir_13ir八15TI

A.x=——B.x=——C.x=——D.x=——

121288

【解题思路】由函数的零点情况，求出3的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.

【解答过程】由函数f(x)=sin(3x+])在匕号]有且仅有两个零点，

得w与*〈齐，解得re©,由，则金,

又/■©)=/(牛)，而牛—筝当T=TT时，3=2,f(x)=sin(2x+》

oooo3

由3w[%当,得2%+md年],当2%+；n,2n,3n时，/(%)=0,

423033

即函数/(x)在K，手]有3个零点，不符合题意，

因此久==是函数/(X)图象的一条对称轴，即g3+9=9+kTt,keN,解得3="臀，

o83221

当々N2时，60>y,当k=o时，O)=-^-<p均不符合题意；

当忆=1时，3=1,得7=手，则/(%)图象的对称轴为X=』+!=等.

3ZoZo

故选：C.

【题型4三角函数的周期性问题】

【例4】(2024・天津•一模)下列函数中，以]为周期，且在区间(%§上单调递增的是()

A./(%)=sin|x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|x|D./(x)=|cos2%|

【解题思路】结合函数周期性的定义与正弦函数及余弦函数的单调性逐项判断即可得.

【解答过程】对A：f(0)=sin|0|=0,/停)=sin司=1w/(0),故/(%)=sin㈤不以/为周期，故A错误;

对B：/(%+])=|sin(2%+n)|=|sin2x|=/(%),故/(%)=|sin2%|以'为周期，

当以时，2xG由丫=sin%在&穹上单调递减，

且丫=$也%>0,故/(久)=|sin2%|在(H)上单调递减，故B错误；

对C：/(0)=cos|0|=1,/g)=cos司=0W/(0),故/(%)=cos|%|不以'为周期，故C错误；

对D：+^)=|cos(2x+TT)|=|cos2x|=/(x),故/Xx)=|cos2x|以］为周期,

当％G(若)时,2久式鸿)，由y=cosx在上单调递减，

但y=cosx<0,故％G(H)时，/(%)=|cos2x|=—cos2x,

故f(x)=|cos2%|在G，9上单调递增，故D正确.

故选：D.

【变式4-1](2023・湖南长沙・一模)已知函数/(%)=sin(a)x-(1<o)<2),若存在汽力冷eR,当%一%2I=

2冗时，f(血)=(3)=。，则函数/(%)的最小正周期为()

A.—B.—C.2nD.4互

33

【解题思路】由题意可得出结合1<a<2,可得3=|,再由三角函数最小正周期的公式即可

得出答案.

【解答过程】因为存在％1，第2ER,当|%1—第21=2互时，/(%1)=/(%2)=0，

所以k,—=k,—=2JT,kEZ,即3=—,/CEZ,

20)2

又因为1V3<2,则k=3,所以3=g,

所以函数/(%)的最小正周期为：T=^=y,

2

故选：B.

【变式4-2](2024•安徽马鞍山•三模)记函数/(%)=sin(3%+£)3>0)的最小正周期为T,若]<TVn,

且/(%)<(*,则3=()

C84

10一--

B.33D.3

【解题思路】由最小正周期]<7<n可得2<3<4,再由/⑴W1⑶即可得於+]=]+k7T,keZ,即

可求得3=1

【解答过程】函数f(x)的最小正周期]<7<m贝%<§<n，解得2<3<4；

又了⑶<\f⑶,即x=券函数f(x)的一条对称轴,

所以2to+—=—+kn,keZ,解得3=—+8fc,/cGZ.

8623

又2<3V4,当k=0时，to=1.

故选：C.

【变式4-3］（2023•内蒙古赤峰•三模）定义运算如果，［=ad—bc,f（x）=厅5山（』+切（3>。，。<

0满足等式bsin。=cos“，函数/'（x）在（0,习单调递增，则3取最大值时，函数/（x）的最小正周期

为（）

A.3nB.TTCfD.2n

【解题思路】求出函数f（X）的解析式，根据已知条件求出0的值，利用正弦型函数的单调性可得出关于3的

不等式组，解出3的取值范围，可得出3的最大值，利用正弦型函数的周期公式可求得结果.

1oS

【解答过程】/（x）=2sin（3x+（p）=10sin（3%+<p）-10,

因为Vising=cos/,所以，tanw=—,

而OVgV/所以0=*即/（%）=lOsin（3%+习一10,

当久C（0,5时，^<a）x+^<^a）+^,

K.ITIT

{yD，解得0<3号，

当3取最大值现寸，/O）的最小正周期T=生=3TT,

3

故选：A.

【题型5求三角函数的单调区间、比较大小】

【例5】（2024•青海•模拟预测）下列区间中，函数/（X）=3sin（%+；）单调递增的区间是（）

A-M）B.尊书

C管为D.5,2皿）

【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.

【解答过程】令2kn—2Wx+工W2/CTT+2，fcGZ,2/cir——<x<2kir+/cGZ,

24244

当k=0时，增区间是卜与用，当k=l时，增区间是降胃

其中只有管蓍）是增区间的子集.

故选：C.

【变式5-1］（2023•陕西•模拟预测）已知函数“无）=5皿（2%+卬）在％=?处取得到最大值，则/"（>）的一个单

调递增区间是（）

A-（8泻）B.（冷）C,信若）D,得穹

【解题思路】根据函数的最值结合正弦函数性质可得9=2皿+标eZ,即/O）=sin（2%+J）,进而求/（x）

的单调递增区间，结合选项分析判断.

【解答过程】因为八%）=sin（2x+/在x=］处取得到最大值，则/=sing+<p）=l,

可得U+（p=2fcii+*,kGZf解得0=2/CTTkGZ,

所以/（%）=sin（2x+2fcn+］）=sin（^2x+：）,々EZ,

令2/CTC——2%+”<2fen+—,fcGZ,解得/CTT—U<%<ku-{■—,kGZ,

26236

所以f（x）的单调递增区间是（kir-g,kTT+力，k€z,

令k=。3可得（一篇，管1），

故ABC错误，D正确.

故选：D.

【变式5・2】（2023•贵州,模拟预测）已知a=sinl,b=sin-,c=sin2,贝（J（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解题思路】根据诱导公式，得到sin2=sin（n-2）,结合y=sin%在（04）上是增函数，即可求解.

【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得sin2=sin（7i—2）,

因为0V1V冗一2V|V》且丫=sin汽在（0弓）上是增函数

所以sinl<sin（ir-2）<sin|,即a<cVb.

故选：D.

【变式5-3］（2024・全国・模拟预测）已知函数/（%）=sing-%）,g（%）=cos（'一则使得/（g（%））和g（/（%））

都单调递增的一个区间是（）

A.信）B.（籍）C.（鸿）D.（碧）

【解题思路】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.

【解答过程】当X从m增加至哈时，f(x)从0递减到-39(久)从。递增到1,

63LZ

所以/(0(%))从sing-苧)递减到sin仁一1}g(f(%))从g递减到cos(-1一》A错误；

当久从净加到削寸，/(%)从一捷减到—争g(%)从1递减到今

所以/(9(%))从sin偿-1)递增到sing-亨)，从cos递减到cos(-手-1),B错误;

当%从净加到争寸，/(%)从一手递减到-1,g(%)从日递减到去

所以/(g(%))从sing—斗)递增到sin(］—1!)，g(/(%))从cos(-§递减到cos(—1—］),C错误；

当％从争曾加到整时，/(%)从・1递增到-金g(%)从播减到0,

362Z

所以/'(。⑼从sin(己一3递增到(，g(f(x))从cos(-1一§递增到cos(-苧一§,D正确；

故选：D.

【题型6根据三角函数的单调性求参数】

［例6］(2023•天津・二模)若函数/(%)=2sin(3x+f(3>0)在区间［-鼠］上具有单调性,则3的最大值

是()

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】由第的范围确定3%+£的范围，分别讨论/(%)单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单

调性的判断方法可构造不等式组求得3的范围，进而确定最大值.

【解答过程】当久£卜(用时，3%+£E［―+1;

广/+合冶+25

若/(久)在卜,3上单调递增，则(keZ),

I加+1号+2kn

解得：窗二；耍口幻，又3>。，.•・若不等式组有解,

解得：Y<k<3］卜=0,则。<3W2；

63

n»

/1T.1T.—1T.2kn

——6co4-6->-+

若汽x)在卜,3上单调递减，2(kGZ),

则1T।IT_3TT.»-»j

-o)+-<——F2/cn

662

解得：^-<8；12k又口>。，•诺不等式组有解，贝总21啜；。°

解得：—|<上<一，，与kez矛盾，.•"(>)在［—晨］上单调递减不成立;

综上所述：36（0,2］,则3的最大值为2.

故选：B.

【变式6-1］（2024•全国•模拟预测）已知函数/（久）=5也（3刀+§（3>0）的周期为7,且满足T>2m若

函数/Q）在区间色,力不单调，则3的取值范围是（）

A.口)B.

C.(”)D.&1)

【解题思路】由函数f（x）在区间自（）不单调，转化为在弓,｛）上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式

组求解即可.

【解答过程】已知/(久)=sin(3%+§(3>0),

.-IT-n-._ku-}--

殳3x+—=ku+—(fc6Z),解倚％=---,(fcGZ)

32o)

则函数/(X)对称轴方程为尤=*,(keZ)

•••函数f(x)在区间(屁)不单调，

*,•—<-----<—,(kGZ),解得4/cH—VtoV6k+1,/c€Z,

6(x)43

又由T>2n,且3>0,得0V3V1,

故仅当k=0时，|<3<1满足题意.

故选：C.

【变式6-2](2024•浙江•模拟预测)已知函数/(%)=4sin(3x+(p)(a)>0,\(p\<]),f(x)<f(x)+

f管—久）=0,f（x）在停工）上单调，则3的最大值为（）.

A.3B.5C.6D.7

【解题思路】根据/0）<可知直线X=，为f（x）图象的对称轴，根据/（X）+/得—x）=0可得/'（X）

的对称中心为管,0）,结合三角函数的周期性可得3=2k+l,kEN,再根据f（x）在C，居）上单调，可得0<

co<12,逐一验证当3取到最大值11,9,7时，求解隼，检验在上单调性看是否满足，即可得答案.

【解答过程】V/（X）<上仁）|,...直线X=］为f（x）图象的对称轴,

+—=0，・,•/（尤）的对称中心为管,。），

2TT一

・•・-l-+--2-kTF=--------IT=-£,k7ETV“,r

4362

・•・rTr-r=-2-1T=—2TT,k7GNn,«

2fc+l3

，3=2k+1,kEN.

又/（X）在写鬻上单调，42"V=3

T——之一，，0<3<12,

36

又3=2k+1,kEN,

・••当3=11时，/（久）=Zsin（ll%+0）,因为直线％£为八式）图象的对称轴,

6

所以11x—+(p=—+kn,k£Z,

解得<p=—g+kir,fcGZ,又|如<],所以0=-],则/'(x)=Asin(llx—

当久")时，11%冶e(等,等)，则((久)在尊为上不单调，舍去；

当3=9时，/(x)=Xsin(9x+(p),因为直线x=三为f(x)图象的对称轴，

6

所以9X：+(p=]+fell,fc6Z,

解得cp=-IT+/CR,fcGZ,又101VM所以0=0,M/(x)=i4sin9x,

当时，9xe(3n,等)，则所)在&用上不单调，舍去；

.•.当3=7时，/(x)=Asin(7x+W),因为直线x=三为/(x)图象的对称轴，

所以7x：+年=1+kivfk£Z,

解得叩=-g+E,fc6Z,又|@|v],所以9=泉则/(%)=4sin(7x+§,

当女(瑞)时，7%+频得芳)，则用)在(獴)上单调.

则3的最大值为7.

故选：D.

【变式6-3](2023•浙江•模拟预测)定义min{a,/?}={，：：：设函数/(%)=min{sin3%,cos3%}(3>0),

可以使n>)在(工()上单调递减的3的值为()

A.B.[2,3]c.加D.[3,4]

【解题思路】分段写出函数f(x)解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.

._r3n,2/CTTTI,2k.it、

sintox,xG------1-----,----1-----)

4coo)4a)

【解答过程】依题意，以x)=

_TT,2kn5ir_2Mi、''

COS60X,XGR----1-----,----1-----)

4a)343o)

函数〃>)的递减区间是［―券+码，一方+也］，［:+码,工+码］,kez,

4a)a)2834a)333

~r曰TI2knTT2kn_p.5nTT_n,2knTV,2/kCTuT—0

于是(五，5)=【一3直+,工，一亮+_工]n或Sz，5)Er^+―<^+—nkeZ，

o)

一1"1------7724k9(0<a)<4k—1]

即4：工*kez,解得/一三34轨一1,由24k9^..1,得乂k<l,无解；

(一五+丁及(55

^-+—<24k3CO<a)<4k+2i7

或《髭2M:，k£Z,解得学+|<3<轨+2,由24k3」此「，得一3<k〈j则k=。或k=l,

2L_|_Z"71>E55--r-十/24

<COCJL)2

当k=0时，|<(D<2,当k=l时，y<(D<6,选项C满足，ABD不满足.

故选：C.

【题型7三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】

【例7】(2024•河南新乡,三模)已知函数/(%)=cos(cox+@)(0<o)<10,0<(p<n)图象的一个对称中心

是力信0),点B(04)在/㈤的图象上，下列说法错误的是()

A./(%)=cos(2x+§B.直线x=称是/(x)图象的一条对称轴

O

C.”X)在博节］上单调递减D./(%+()是奇函数

【解题思路】

由『(0)=曰可得W=5由对称中心力&0)可求得3=2,从而知函数f(x)的解析式，再根据余弦函数的图

象与性质，逐一分析选项即可.

【解答过程】因为点B(O,?)在f(X)的图象上，所以/0)=COS0=f.又0<a<m所以a=；.

因为/⑶图象的一个对称中心是4保0),所以爷+：="—kEZ,

则3=2+8k,卜62.又0<3<10,所以3=2,则/(无)=cos(2久+9，A正确.

，管)=cos多=0,则直线”='^不是/'(x)图象的一条对称轴，B不正确，

当为€片,啕时，2x+?e［2U,3可，f(x)单调递减，C正确.

/(%+己)=cos(2"+9=—sin2K,是奇函数，D正确，

故选：B.

【变式7-1](2024•天津•模拟预测)已知f(x)=sin(3%+打9)(3>0,|初<§为偶函数,。(久)：sin(3%+

⑼，则下列结论错误的个数为()

①3=

②若g(x)的最小正周期为3m则3=|；

③若g(x)在区间(0,元)上有且仅有3个最值点，则”的取值范围为刻；

④若g(；)=圣则3的最小值为2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据正弦函数的性质一一判断即可.

【解答过程】对于①：若/(%)=sin(3x+]+0)(3>0,lw[<])为偶函数，

贝哈+3=,+k",k€Z,即<p=，+kir,kEZ,又|*|<—,所以w=*故①正确；

对于②：若g(x)的最小正周期为3TT且3>0,则7=空=3冗，所以3=$故②正确；

对于③：由％E(0,71),60>0,得3%+2E1,371+当，

6\66/

若9(%)在区间(0m)上有且仅有3个最值点，

则mV371+解得gV3工学，故③正确；

对于④：因为g(%)=sin(3%+J,若gg)=singa+§=今

贝《3+/=]+2/rn或=-y+2/CTT,/CGZ,

解得3=I"+8/c或3=2+8/c,kcZ,

又3>0,所以3的最小值为I，故④错误.

故选：A.

【变式7-2](2024•河北唐山•一模)已知函数/(%)=|sina%|+cosa)x(a)>0)的最小正周期为兀则()

A./0)在卜会[单调递增B.(子,0)是f(x)的一个对称中心

C./(久)在[-沅]的值域为[1,@D.x是/(%)的一条对称轴

【解题思路】由函数f(x)的最小正周期为兀，求出3=2,再代入化简/(X),画出f(x)的图象，再对选项一一

判断即可得出答案.

【解答过程】因为函数/(%)的最小正周期为兀，所以3=2,

sin2x+cos2xfxE[fcn,-+fcn]

所以函数/(久)=|sin2x|+cos2x=­,2

—sin2x+cos2%,xGQ+kuji+fcnj

fV2sin(2x+^-\,xG\kn,~+fcul

即六x)="A2」1,作出函数/(x)的图象，

I—V2sin\2x--j,%e(彳+kn,ir+/cnj

如下图所示：

对于A,由图可知，/⑺在卜精]单调有增有减，故A错误；

对于B,由图象可知，f(x)无对称中心，故B错误；

对于C,由图象可知，(0)为偶函数，当xe[o,Q,

2%+旨片胃所以sin(2x+£)6怜1],

所以&sin(2x+£)e[l,回，所以/(久)在卜沅]的值域为[1阀，故C正确；

对于D,由图象可知，f(x)的对称轴为x=孩,keZ,故D错误.

故选：C.

【变式7-3](2024•陕西西安•模拟预测)已知函数f(x)=cosx-工，现给出