高考数学专项复习：平面向量（选填题10种考法）

专题03平面向量（选填题10种考法）

考法解读

a+b=(xi+x2,a-b=(x\—x2,yi-yi)

坐

|=皆+".

标=(An,2yi)|a

运

算已知两个非零向量1=(*1，y。，b=(x2,yi),夕为［与b的夹角，则

公

①=期+贯②・

式Ia|aU=xix2+/i^

__—♦—♦

③a_Lb0x1X2=0@cos人啊

W+j彳&+炉

⑤a//bOx^y'：—x^i=0

①a〃b=a=Jib（AW0）是判断两个向量共线的主要依据.

注意特定系数法和方程思想的运用.

②当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，

一

共线向量,

即』，B,C三点共线o石，就共线.

平

-③若二与不共线且;则;.=〃=

面bo.

向匚®OA=jidB+uOC（2,〃为实数），若4,B,C三点共线，则

量

苴忘注当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适

"基辰任用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题

数

量

--坐标法—当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

超

口面此一利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法

儿网法一则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

＜E+无+左=0=0是的重心.

三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点

三的连线与对边垂直

角

形8•方=丽・无=反・万。。是的垂心.

的｛

四三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆

心｛的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

a应+b丽+c友=0=。是"BC的内心.

三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是

｛三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等

|次卜|丽H女I=o是的外心.

典例剖析

考法一平面向量的坐标运算考法六平面向量与四心

考法二平面向量的基本定理考法七平面向量巧建坐标

考法三平面向量的数量积考法八平面向量与奔驰定理

考法四平面向量的共线定理考法九平面向量中的新定义

考法五平面向量中的取值范围考点十平面向量与其他知识综合

考法一平面向量的坐标运算

【例1】（2023・湖南•校联考二模）（多选）已知向量。=（2,-1）,“/人恸=2卜］,c=（l,2）,则（）

A.a_LcB.|a|=|c|C.b=（4,-2）D.b=a+c

【变式】

1.（2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量。=（1,加）力=（2,Y）,则下列说法正确

的是（）

A.若林+=则加=5

B.若〃b,贝!］机=一2

C.若a_Lb，则m=-l

D.若m=1,则向量风。的夹角为锐角

2（2023•广东广州•统考三模）（多选）已知向量〃=（1,2）,b=（-2』），贝！J（）

A.（〃一力）_L（a+Z?）B.（a-b）//（a+b）

C.\a-b\=\a+b\D.人一〃在〃上的投影向量是〃

3.（2023•广西南宁•南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量不=。,加），匕=（2,T）,则下列说法正确的

是（）

A.|a+&|=V10,贝［|：〃=5B.若d回b,则〃z=-2

C.若a，b，则，"=TD.若相=1,则向量q,b的夹角为钝角

考法二平面向量的基本定理

【例2-1】（2023•安徽•校联考二模）如图，在ABC中，点。为线段BC的中点，点£,厂分别是线段上

靠近，A的三等分点，则AO=（）

【例2-2】（2023•河南•校联考模拟预测）在平行四边形A8C£＞中，点E满足就）=48E，

CE=ABA+juBC（A,eR）,则M=（）

333

A.---B.—C.—D.1

16816

【变式】

1（2023•江苏徐州滁州市第七中学校考一模）在平行四边形ABCD中，E、尸分别在边4）、CO上，AE=3ED,

。尸=FC,A尸与8E相交于点G,记A8=a,A£>=/?,则AG=()

E

A.L+nB.%+乜

11111111

4_573,6

C.—ciHbD.—ciHbz

11111111

E是A3的中点，BD=2DC,FC=^AF,EF

2.(2023•海南海口•海南华侨中学校考二模)如图，在&ABC中,

与AD交于点M,则40=（

A

A.-AB+-ACB,—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

3.（2023•湖南娄底•娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯

首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一

部分与这部分之比，黄金分割比为正L如图，在矩形A5CD中，AC与80相交于点。，

2

且点E为线段5。的黄金分割点，则8尸=（）

B.^^BA+^^BG

210

C.^1BA+^^-BGD.+—BG

21025

考法三平面向量的数量积

【例3-1］（2022•全国•统考高考真题）已知向量满足|。|=1,|切=6,1。一2）|=3,则£%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【例3-2］（2023•全国•统考高考真题）正方形45CD的边长是2,E是的中点，则EC-ED=（）

A.75B.3C.26D.5

【变式】

1.（2023•河南•校联考模拟预测）己知等边三角形ABC的边长为2,E分别是BC,AC上的点，且2。=；2C,

2

CE=-CA,则（）

2222

A.2B.—2C.—D.---

99

2.（2023•全国•统考高考真题）已知向量匕满足卜-司=百，,+匕卜卜〃-4,则忖=.

3.（2023•河北保定•统考二模）在ABC中，点。在边AB上，CO平分/ACB,若=1,口目=2,/ACB=60。,

贝1CD48=.

考法四平面向量的共线定理

uiun/F

【例4-1】（2023•山西临汾•统考一模）已知a、b为不共线的向量，AB=a+5b，BC=-2a+Sb，CD^3\^a-bj,

贝U（）

A.AB,C三点共线B.AC,。三点共线

C.AB,。三点共线D.B,C,。三点共线

【例4-2］（2023•河北沧州•校考模拟预测）在ASC中2E=gEC,2尸=g（2A+BC）,点P为AE与昉的交

点，AP=AAB+juAC,贝—（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【变式】

1.（2023•广东广州•统考模拟预测）在ASC中，/是AC边上一点，且AM=：MC,N是在上一点，若

AN=：AC+,〃3C,则实数优的值为（）

1111

A.——B.——C.-D.-

3663

2.（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）如图，在ABC中，M为线段3C的中点，G为线段AM上

一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线A5,AC于尸，。两点，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）,

41

则一+—7的最小值为（）.

xy+1

44一

3.（2023•四川成都•石室中学校考模拟预测）q,g是两个不共线的向量，已知45=2弓+3，CB=e^3e2f

C0=2q—弓且A氏。三点共线，则实数k=.

考法五平面向量中的取值范围

【例5-1】（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形ABC。中，

1—x

ZBAD=60°,AE=XAB+-^AD,XG[0,1],则。的最小值为（）

421

A.-2B.——C.——D.——

332

【例5-2]（2023•山东潍坊•昌乐二中校考模拟预测）己知平面向量a、b、c满足卜|=1，b-c=0,a-b=l，

a-c=-l，贝1]卜+。]的最小值为（）

A.1B.72C.2D.4

【变式】

1.（2023•河南开封・统考模拟预测）折扇又名"撒扇"、"纸扇"，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做

扇面的能折叠的扇子，如图L其展开几何图是如图2的扇形其中ZAO8=120。，OC=2,Q4=5,

点E在CO上，则E4.的最小值是.

图1图2

2.（2023.0川成都,校联考二模）平面向量o,6满足|a|=|b|,且|"361=1,则cos〈b,3b-a）的最小值是

3.（2023•河南郑州•统考模拟预测）已知一ABC中，AB^AC=242,|AB+lBc|mn=2（AeR）,AM=^MB,

JIJIII__

AP=sin2a-AB+cos2a-AC，aG，则附尸的取值范围为（）

_oJ11

A.孚?B.[|4]

「姮历][4画]

c

-斤=]D-[I亍」

4.（2023•全国•统考高考真题）已知（。的半径为L直线必与O相切于点A,直线PB与O交于8,C

两点，。为BC的中点，若怛。|=0,则P4P。的最大值为（）

A1+V2R1+2忘

22

C.1+V2D.2+V2

考法六平面向量与四心

【例6】（2023春•福建莆田•高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知。，N,P,/在4ABe所在的平

面内，则下列说法不正确的是（）

A.若|。4卜]。4=|。4,则O是ABC的外心

B.^CBIA^ACIB=BAIC=O^贝!1/是：ABC的内心

C.PAPB=PBPC=PCPA,则尸是,ABC的垂心

D.若NA+NB+N（j=0,则N是，ABC的重心

【变式】

1.（2023春・河南濮阳・高一统考期末）点O,G,P为.ABC所在平面内的点，且有

|OA|2+|BC|2=\OB\+|CA|2=|oc|2+1AB|2,GA+GB+GC=O,

（PA+PB\AB=（PB+PC）BC=（PC+PA]CA=O,则点O,G,P分别为ABC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

/\

ARAQ

2.（2023春•广东珠海）（多选）在ABC所在平面内，点满足AP=2+~，其中X«0,+oo）,相，

nn\AC7\^7

neR,m^O,〃wO,则下列说法正确的是（）

A.当机网=小牛1时，直线AP一定经过ABC的重心

B.当机=〃=1时，直线AP一定经过ABC的外心

C.当机=cos5,〃=cosC时，直线AP一经过.ABC的垂心

D.当机=sin5,〃=sinC时，直线AP一定经过，ABC的内心

3.（2023春・湖北）（多选）在ABC所在的平面上存在一点P,AP=XAB+〃AC（4,〃£R）,则下列说法

错误的是（）

A.若4+〃=1,则点尸的轨迹不可能经过ABC的外心

B.若4+〃=-2,则点尸的轨迹不可能经过.ABC的垂心

C.若2+〃=：,则点P的轨迹可能经过ABC的重心

D.若几=〃，则点尸的轨迹可能经过ABC的内心

4.（2023春•江苏扬州）（多选）已知直角三角形A3C满足A=90。，AB=3,AC=4,则下列结论正确的是

（）

A.若点。为ABC的重心，贝!JAO=—AB+—AC；

’33

B.若点。为.ABC的外心，则AO=-AB+-AC；

22

169

C.若点。为ABC的垂心，则AO=——A3+——AC；

2525

D.若点。为,ABC的内心，贝!|AO=-AB+-AC.

考法七平面向量巧建坐标

【例7】（2023•陕西商洛•镇安中学校考模拟预测）在R348C中，?B90?,AB=^,BC=2,若动点尸

满足,尸|=&,则8尸C尸的最大值为（）

A.16B.17C.18D.19

【变式】

1（2022・北京・统考高考真题）在ABC中，AC=3,3C=4,NC=9（r.P为ABC所在平面内的动点，且PC=1,

则PA-PB的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2.（2023•重庆,统考模拟预测）在正方形ABCD中，动点E从点B出发,经过C,£>,到达A,AE=AAB+//AC,

则4+〃的取值范围是（）

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,2]D.[0,2]

3.（2023•广东东莞•统考模拟预测）如图所示，梯形ABCD中，AB//CD,且AB=2AD=2CD=2CB=2,

点尸在线段2C上运动，^AP=xAB+yAD,则f+y2的最小值为（）

13

D.

♦-4

考法八平面向量与奔驰定理

【例8-1】（2023春•江苏盐城）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应

的图形与“奔驰"轿车（Mercedesbewz）的/ogo很相似，故形象地称其为"奔驰定理".奔驰定理：已知。是.ABC内

一点，BOC,AOC,^。台的面积分别为、,％-©,则SA-O4+SB-O3+SC-OC=0,。是—ABC内的一

点，0BAC,BABC,回ACB分另I］是ABC的三个内角，以下命题IE项的有（）

A.若20A+302+40C=0，则臬：:%=4:3:2

B.若|O4=|Oq=2,ZAOB=y,且2OA+3OB+4OC=0,则S4ABC=^

C.若。4.03=08.OC=OCOA，则。为ABC的垂心

TT

D.若。为ABC的内心，且50A+1202+130C=0，贝UZACB=-

S4

【例8-2】（2023春•宁夏银川）己知点。是.ABC内一点，满足。4+203=根0。，产^=亍，则实数加

为.

【变式】

1.（2023秋•福建厦门•高二厦门一中校考开学考试）已知。为ABC的外心，AB=4,AC=6,

14

AO=-AB+-AC,贝ijABC的面积为（）

69

A.12B.12^/3

C.6D.66

2.（2023秋•河北保定•高三校联考阶段练习）（多选）"奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为

这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为"奔驰定理奔驰定理：已知。是ABC

内一点，BOC,%AOC,AO3的面积分别为与，SB,SC,贝ijS4-OI+SB-OB+Sc•OCuO.设。是ABC

内一点，AFC的三个内角分别为A,B,C,,BOC,AOC,AOB的面积分别为%,SB,Sc,若

30A+40B+50C=0，则以下命题正确的有（）

A

A.SA:%：%=3:4:5

B.。有可能是_ASC的重心

C.若。为，ABC的外心，则sinA:sin3:sinC=3:4:5

D.若。为ABC的内心，贝UABC为直角三角形

3.（2023秋，江西宜春）（多选）"奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与

"奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为"奔驰定理”.奔驰定理：已知。是ABC内的一点，BOC,

AOC,A05的面积分别为力、SB、SC,则有SAQ4+SB6®+SCOC=0,设。是锐角.ASC内的一点,

ZBAC,ZABC,NAC8分别是,ABC的三个内角，以下命题正确的是（）.

A.若OA+OB+OC=0，则。为一ABC的重心

B.若04+208+300=0,则%：SR:k=1：2:3

C.若。为ABC（不为直角三角形）的垂心，贝UtanNBACOA+tanNABCQB+tanNACROCuO

D.若|OA|=|OQ=2,ZAOB=^,20A+30B+40C=0,则B科c=:

考法九平面向量中的新定义

【例9】（2023•江西鹰潭•贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量♦与b的夹角为凡定义。㊉Tosine+Zws.

已知向量a为单位向量，W=0,k-0=1,则。㊉人二（）

A.—B.eC.—D.20

22

【变式】

1.（2023•辽宁•校联考模拟预测）定义：、6|=同心由。，其中夕为向量a与8的夹角.若同=2,忖=5,

ab=-6>则人可等于C）

A.6B.-6C.-8D.8

2.（2023•河南•校联考模拟预测）向量的夹角为6,定义运算"③"：。区6=卜加卜ind,若

°=（6,1）,6=卜6,1）,则a（g）6的值为.

3（2022秋•重庆北倍•高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量“，b的夹角为6,定义运算

a*6=WJ4sin0.下列叙述正确的是（）

A.若Q*匕=0,贝！Jallb

B.若同M=l,则（a*%n=-l

C.设在ABC中，AB=a,AC=b>贝U2s

D.a*（b+c^=a*b+a*c（c为任意非零向量）

考点十平面向量与其他知识综合

【例10-11（2023•江苏苏州・苏州中学校考模拟预测）已知”（sin%］一4cos20/=（l,3sina-2）:e1’?

【例10-2】（2023•河北衡水・衡水市第二中学校考模拟预测）复数z在复平面内对应的点是A,其共轨复数］

在复平面内对应的点是8,。是坐标原点.若A在第一象限，且0408=0,则士=（）

Z—Z

A.iB.-iC.2iD.-2i

【变式】

1（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）己知点A，&,4，,A”和数列｛%｝,｛2｝满足

uuuuur（uuuuuruuuuuuir

44用=30$亍疝丁川"*）”44包+*4+42=（。也），若q=16,工分别为数列｛4｝,也｝的前〃

项和，贝U§60+2"o=（）

A.—20B.24A/3C.4873-20D.0

cos[e+^],sin(e+.2兀

2.（2023•浙江•统考一模）（多选）己知。为坐标原点，点A（cosasine）,B

3

《cos[e+/,sinp+yH,则()

A.\AB\=\BC\B.OA+OB=CO

Ulluuu

c.OA1OB0D.OA-OB+OC>0.

3.（2023•全国•模拟预测）已知在财8C中，0BAC=6O°,点。为边的中点，E,尸分别为8。，。。的中点,

若AZ）=1,则ARA尸+ACAE的最大值为

强化训练

一、单选题

1.（2023・北京・统考高考真题）已知向量”，〃满足〃=（2,3）,a—》=（—2,1）,则⑷2一历『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2023•全国•统考高考真题）已知向量a=（1,1）,。=（1，一1）,若（a+几。）_L，则（）

A.4+〃=1B.%+4=—1

C.加=1D.沏二一1

3.（2022•全国•统考高考真题）已知向量。=(3,4)/=(1,0),。=。+历，若<a,c>=<dc>,贝()

A.-6B.-5C.5D.6

rr

4.（2022•全国•统考高考真题）已知向量。=(2,1)0=(-2,4),贝|〃一4()

A.2B.3C.4D.5

5.（2022•全国•统考高考真题）在ABC中，点。在边上，BD=2DA.记CA=m,C0=几，则C3二（

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

6.（2023•四川绵阳,四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若向量a=（x,2）/=（-1,2）,且（a+2b）//6,则问=

A.1B.5C.V29D.75

7.（2023•贵州•校联考模拟预测）已知向量Q=b=（l,-1）,若（〃+劝）〃（/m+。），贝（J（）

A.丸+〃=1B.4+//=TC.M=1D.〃/二-1

8.（2023•全国•统考高考真题）已知向量。=（3,1）,〃=（2,2）,贝ljcos（a+b,a-/?）=（）

1V17

A.—B.立平

17~n~

TT

9.（2023•浙江・模拟预测）已知平面向量。力的夹角为三,同=2,|“=1,若（Q+劝）J_Z?,则,+刊=（）

A.573B.2A/3C.V2D.2V2

10.（2023・贵州六盘水•统考模拟预测）已知〃）是相互垂直的单位向量.若向量04=〃—力，OB=2a+b，则

向量。4在向量AB上的投影向量为（）

—

B.

5555

C.2/

D.

5555

11.（2023•福建龙岩•统考二模）已知向量a=（—3,0）,6=（2,1）,c=（A,-l）,2GR,若（a+2b）j_c,则匕在

c上的投影向量为（）

2（迈_4£\6_3（6753后

A.5，-5B.C.5，-5D.

155J

12.（2023•海南•海南中学校考三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心,

以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒

JT

洛三角形中，已知至=2,尸为弧AC上的一点，且=则5PC尸的值为（）

6

B.4+V2

c.4-273D.4+2为

13.（2023・重庆巴南•统考一模）如图所示，正方形ABCD的边长为2,点E,F,G分别是边BC,CD,AD

的中点，点尸是线段E尸上的动点，则GPAP的最小值为（）

2327

A.—B.3C.D.48

8T

14.（2023•四川•校联考模拟预测）已知向量Q=,b=（cose,sine）（0<e<7i）,则下列命题不正确的是（）

A.忖=1B.若〃//人贝！Jtan6=l

c.存在唯一的夕使得卜+q=|。-qD.卜+q的最大值为百

15.（2023•浙江•模拟预测）在ABC中，石是上靠近5的四等分点，=2OC,£C与AD交于点M,

则AM=（）

3373-

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

105105

3272

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

75105

16.（2023・重庆•统考模拟预测）已知在三角形ABC中，AB=3,AC=2,NA=60。，点M,N分别为边A3,

uuiiuuuuumuum..

AC上的动点，AN=yAC，其中x,y>。，x+y=l,点p,Q分别为MN,8C的中点，则|尸。|

取得最小值时，AP=（）

4331344-1

A.-AB+——ACB.-AB+——ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

7147147777

17.（2023•全国•模拟预测）已知正方体ABCD-A耳64的棱长为2,动点P满足|必+尸耳+PG+尸，|=4,

则器混的取值范围为（）

A.[0,4+25/2]B.[0,2+2夜]

C.[4-2立4+2@D.[2-2^,2+272]

18.（2023・河南•校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABC。中，加,双分别为48,4。上的点，且

4.2

AM^-AB,AN^-AD,连接AC,MV交于P点，若AP,AC，则几的值为（）

19.（2023•安徽滁州•安徽省定远中学校考一模）在J1BC中，点。在边BC上，且8D=2CD,AB-AD=

4ACAD,记BD,CD中点分别为E,F,且AE=所，贝Ijcos/£AF=（）

1岳岳

A.-DR.-----rD.2

484I

20.（2023・全国•统考高考真题）已知向量。涉,c满足同=网=1,卜|=0,且。+6+<?=0，贝!Jcos〈a-c,Z?-c〉=

()

21.（2023・福建•校联考模拟预测）设向量°与单位向量e满足，对任意feR都有卜Te3a-e|,贝*+e|的

最小值为（）

A.73B.2C.3D.4

22.（2023・福建厦门•厦门一中校考二模）在AOB中，已知卜&，网=1,ZAOB=45°,若OP=2OA+pOB,

且力+2〃=2,Ae[0,l],则OA在OP上的投影向量为％e（e为与。尸同向的单位向量），则相的取值范围

是（）

23.（2023・湖南长沙•周南中学校考二模）已知菱形ABC。的边长为1,ABAD=~,G是菱形ABC。内一

点，若GA+GB+GC=0,贝!iAG.A3=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

24.（2023•河南郑州•校联考二模）在ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=60°,尸是ABC的外接圆上的一

点，AP=mAB+nAC则”?+”的最小值是（）

111

A.-1B.——C.一一D.——

236

25.（2023春•黑龙江牡丹江•高一牡丹江一中校考阶段练习）若。是AABC所在平面上一定点，H,N,。在

'AR&C1

△ABC所在平面内，动点尸满足0P=。4+力—+-~,2G（0,-H»）,则直线”一定经过A5C的

U阴lACU、——

心，点H满足|〃4卜|/汨卜|”@,则”是，ABC的心，点N满足NA+A®+NC=0，则N是—/1BC的

心，点。满足Q4QB=QBQC=QCQ4,则。是_ABC的心，下列选项正确的是（）

A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心

C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心

26.（2023•全国・高三专题练习）在，ASC中，sinABAC-PA+sinZABC-PB+sinZACB-PC=0>则点尸是

A5c的（）

A.重心B.内心C.垂心D.外心

27.（2023•河南开封•统考三模）已知q、02为单位向量，,模卜道，非零向量“满足k-Ze2]=1,则上「《

的最小值为（）

A.A/7B.J7-1C.6D.V3-1

28.（2023•陕西渭南•统考一模）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如

图1,这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2,其中大圆半径R=3,小圆半径r=2,

点尸在大圆上，过点尸作小圆的切线，切点分别是E,F,则所，尸=（）

5

B.一C.4D.5

9

29.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）已知点A，4，A，，.，4，和数列｛见｝,｛。“｝满足

uuuuur（7r?7r.uuuuuruuuuuuir

4A+i=（cos亍,sin亍J（九eN*）,anAnAn+l+%始A.=（0也），若q=1,S0,7；分别为数列｛q｝,也｝的前〃

项和，则无+2no=（）

A.-20B.24A/3C.48^-20D.0

30.（2023・福建厦门•统考模拟预测）已知定点加在边长为1