高考数学专项复习：函数与导数常考压轴解答题

专题07函数与导数常考压轴解答题

【目录】

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....................................................................................................................................................................3

...................................................................................................................................................................3

.................................................................................................................................................................16

考点一：含参数函数单调性讨论.................................................................16

考点二：导数与数列不等式的综合问题..........................................................18

考点三：双变量问题..........................................................................23

考点四：证明不等式..........................................................................27

考点五：极最值问题..........................................................................32

考点六：零点问题............................................................................37

考点七：不等式恒成立问题....................................................................41

考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题.........................................................45

考点九：利用导数解决一类整数问题............................................................51

考点十：导数中的同构问题....................................................................54

考点十一：洛必达法则.........................................................................59

考点十二：导数与三角函数结合问题.................................................................................................................................62

本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存

在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价

转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算量不低.可以说，只要考生

啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养.

考点要求考题统计考情分析

2023年I卷第19题，12分【命题预测】

2023年甲卷第21题，12分函数与导数是高中数学的重要考查内

不等式

容，同时也是高等数学的基础，其试题的难

2023年天津卷第20题，16分

度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数

2022年II卷第22题，12分学试题，分析并归纳出五大考点：

2023年乙卷第21题，12分(1)含参函数的单调性、极值与最值；

极最值

2023年n卷第22题，12分(2)函数的零点问题；

2022年北京卷第20题，12分(3)不等式恒成立与存在性问题；

恒成立与有解2021年天津卷第20题，16分(4)函数不等式的证明.

2020年I卷第21题，12分(5)导数中含三角函数形式的问题

2022年甲卷第21题，12分其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、

隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和

零点问题2022年I卷第22题，12分

不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函

2022年乙卷第20题，12分数与导数压轴题的热点.

含参函数的单调性

极值

函数与导数常考压轴解答题［《:__________________

零占

不等式恒成立与存在性问题

函数不等式

1、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：（1）定函数（极

值点为/）,即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点沏.

（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数"⑴"/⑴一〃2%一"），若证'%》其，则令

尸（x）=/（x）—/（径）

X.

（3）判断单调性，即利用导数讨论“（X）的单调性.

（4）比较大小，即判断函数尸J）在某段区间上的正负，并得出/（X）与/。％0一%）的大小关系.

（5）转化，即利用函数/（%）的单调性，将八＞）与八2%0一%）的大小关系转化为I与2/一”之间

的关系，进而得到所证或所求.

fr\再+“2|玉+/2+%

【注意】若要证明〔21的符.号问题，还需进一步讨论2与X。的大小，得出2所在

的单调区间，从而得出该处导数值的正负.

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内

在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单

调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个

适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能

获得简洁明快的思路，有着非凡的功效

2、应用对数平均不等式Inxi-ln%2证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

X]—x2

②将所得含对数的等式进行变形得到lnx「lnx2.

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

3、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

1.（2023•新高考I）已矢口函数=+。）一%.

（1）讨论/（幻的单调性；

（2）证明：当〃>0时，f（x）>2lna+-.

2.(2023•乙卷)已知函数/(%)=+a)ln(l+x).

x

(1)当a=T时，求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=6对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理

X

由；

(3)若“X)在(0,+8)存在极值，求”的取值范围.

3.(2023•甲卷)已知/(x)=ax-空手，xe(0,-).

cosx2

(1)若4=8,讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围.

4.(2023•天津)已知函数/(x)=d+3加(x+1).

x2

(I)求曲线y=/(x)在x=2处的切线斜率；

(II)当x>0时，求证：/(x)>1；

(III)证明：—<ln(n!)-(n+—)lnn+n„1.

5.(2023•新高考H)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x；

(2)已知函数/(x)=cosax-/〃(l-x?),若x=0为/(x)的极大值点，求a的取值范围.

6.(2022•甲卷)己知函数/(无)=---lnx+x-a.

x

(1)若〃x)...O,求a的取值范围；

(2)证明：若“X)有两个零点再，x2,贝|王9<1.

7.(2022•新高考II)已知函数/(x)=xe"-e"

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)<-l,求a的取值范围；

(3)设联wN*,证明：下L+—=+...+^—>\(〃+1).

8.(2021•天津)已知a>0,函数/'(x)=ax-xe”.

(1)求曲线/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)证明函数/(x)存在唯一的极值点；

(3)若加,使得〃x)„。+6对任意的工€及恒成立，求实数6的取值范围.

考点一：含参数函数单调性讨论

.岬件M结

1、导函数为含参一次型的函数单调性

导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0,导函数的符号易于判断，当一次项系数

不为雪，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调

区间.

2、导函数为含参二次型函数的单调性

当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次

函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况：

(1)若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；

(2)若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判

定导函数的符号，从而判断原函数的单调性.

3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性

当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再

构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器.

在此我们首先要清楚了"（X）、/'（X）、/（X）之间的联系是如何判断原函数单调性的.

（1）二次求导目的：通过了"（X）的符号，来判断/>'（>）的单调性；

（2）通过赋特殊值找到/（x）的零点，来判断/（X）正负区间，进而得出/（x）单调性.

■^题型特训

例1.（2023•河北承德•高三校联考期中）已知函数〃H=x（l-almO（0*0）.

⑴讨论〃x）的单调性；

f（x]=lwc-—ax2-ax（aGR）

例2.（2023•广东广州•高三广东广雅中学校考阶段练习）已知2

⑴讨论“X）的单调性；

例3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=lm+（l-a）x+l（aeR）,讨论函数〃⑼的单调性.

考点二：导数与数列不等式的综合问题

规律总结

在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过

程中要树立“目标意识，，，“需要什么，就求什么“，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到

减少运算量的目的.

题型特训

/(x)=ln(x+l)--------

例4.(2023•辽宁•高三校联考阶段练习)已知函数/x+1.

(1)当a=l时，求/(X)的极值；

(2)若/(go,求。的值;

sin——+sin——+•••+sin—<ln2(〃£N*)

⑶求证：〃+1«+22n7.

例5.（2023•广东•高三校联考阶段练习）设/（x）="/+cosx-l,aeR

⑴当“一兀时，求函数以X）的最小值；

a>]_

⑵当“一2时，证明：/（x"0；

11।14/*一

cos—+cos—+L+cos—>〃——nGN,H>1

（3）证明：23n3V7.

例6.（2023•天津北辰•高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知函数/（x）=x（21nx+l）-ax+a

（1）当。=1时，求曲线，=在点0J⑴）处的切线方程；

⑵当x>1时，求使/（X）>°恒成立的最大偶数a.

,X3

sinx^.x-----/\_-/\

⑶已知当xWO时，6总成立.令g（xbsmx,若在g（町的图像上有一点列

歹gH，=1，2,LeN,”21）..k（i=\2n-1}E左>”7

H12刀,若直线44+i的斜率为5（zT，&求证：/=i6

考点三：双变量问题

・规律总结

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

Mk题型特训

例7.（2023•湖北荆门•高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知函数/（司=111（如^,加是大于。的

常数.记曲线，在点（占'/a））处的切线为/,/在无轴上的截距为4,%>0.

1

V-_

⑴当1e,%=1时，求切线/的方程;

$--->----

(2)证明：1mm

f(x)=lnx-(m+l]x+—mx2

例8.(2023•海南海口•高三海南中学校考阶段练习)已知函数2.

⑴当加＞°时，讨论函数“X)的单调性；

2

g(x)=f(x)--mxv

⑵若函数2有两个零点为，%2,且求证：-e-l(其中e是自然对数的底

数).

1

/(x)=x\nx-x——ax

例9.(2023•广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习)设函数2的两个极值点分

别为X,4(再＜-)

(1)求实数。的取值范围；

(2)若不等式再e恒成立，求正数4的取值范围(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

考点四：证明不等式

・规律总结

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式/（x）＞g（x）（或/（M＜g（x））转化为证明/（x）-g（x）＞°（或

/（X）-g（x）＜0）,进而构造辅助函数〃=

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

/（x）=ln（l+x）+—

例10.（2023•河北-高三校联考期中）已知函数*2.

⑴当xe（0,+co）时，比较与x的大小;

2(小

2

g(x)=cosx+土/e=g(6)T(a>0/>0)证明：/出）+l＞g（°+l）

(2)若函数2,且IJ

例11.（2023•四川达州•统考一模）已知函数-x+1.

⑴若MH在（°，"上有唯一零点，求加的取值范围；

（2）若MH训/）对任意实数x恒成立，证明：加%（%）>-.+3加-1

例12.（2023•安徽安庆•高三安徽省太湖中学校考阶段练习）已知函数/（x）=-G2+3+21nx

⑵若函数的极大值为2,求实数。的值;

.z<0

（3）在（2）的条件下，方程/（力=加存在两个不同的实数根三何，证明：I2J

考点五：极最值问题

利用导数求函数的极最值问题.解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最

值.只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，

确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新

函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操作.

题型特训

例13.（2023•江苏•统考一模）已知实数。函数/（x）=xln"-"lnx+（x-e）-,e是自然对数的底数.

⑴当a=e时，求函数〃x）的单调区间;

（2）求证：/（X）存在极值点%,并求方的最小值.

2

f(x\=x\nx-—x+(a-\]X,记X。为函数“X）的极值

例14.(2023•全国•模拟预测)已知。＞1,函数2

点.

--</

（1）若%是极小值点，证明：2

⑵若为是极大值点，证明：V2«-l<x0<2（2a-l）

例15.（2023•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知函数厂I无）有三个极值点

再，％2，*3且项<%2<刍

（1）求实数上的取值范围;

/（-一/（占）之卜

（2）若2是A”的一个极大值点，证明：三一%e

考点六：零点问题

规律总结

函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴（或直线歹=左）在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

题型特训

f（x}=-\nx-ax（a>0）

例16.（2023•广东•高三校联考阶段练习）己知x,e为自然对数的底数.

（1）若函数/（X）在x=e处的切线平行于x轴，求函数/（x）的单调区间;

（）若函数（）在

2/X上有且仅有两个零点，求实数。的取值范围.

例17.（2023•全国•模拟预测）己知函数一

⑴当。T时，求曲线”X）在点（1J⑴）处的切线方程.

（2）若〃x）有两个零点，求实数。的取值范围.

例18.（2023•北京顺义•高三校考阶段练习）已知函数/（x）=xe'.

⑴求曲线，=〃x）在点（0J（0））处的切线方程和“X）的极值；

⑵证明""一e一或在（1，+°°）恒为正；

⑶证明：当阳门时，曲线G：V=与曲线02：V=lnx+x+m至多存在一个交点.

考点七：不等式恒成立问题

■L规律总结

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

ci）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（I）VxeZ）；m</（x）<»w</（x）min；

（2）Vxe。，〃壮

（3）3xeDt””（“）0〃7</（%濡；

（4）=

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数>=/（乂），xe[。，句，V=g（x）,xe[c,d]

⑴若可右口旬，气中，力，有〃xJ<g（X2）成立，则/（X）111ax<g（XLm；

（2）若与e[。㈤，*2有/（X）<g（*2）成立，则/（Ma；

（3）若明叫4，'力，有/5）<g（x2）成立，则/（Um<g（Mmax;

（4）若依右皿句，*2e[c，d],有〃xj=g（电）成立，则/（X）的值域是g（x）的值域的子集.

例19.（2023•河北张家口•高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知函数

g（x）=（%2+1）,巴1£R

⑴求函数户g（x）在（°名⑼）处的切线方程.

|g（xj-g（x2）|

<

।（2x---------2x\2加-1

⑵对任意9/€（0，+°°）,当再时，不等式（e"-尸）恒成立，求实数％的取值范围.

f(x\=--ax2+6zx-ex,g(x)=(x-l)ex

例20.(2023•河南•高三校联考期末)已知函数2''

（1）若/（X）的图象在点（°J（°））处的切线平行于无轴，求/（X）的单调区间;

⑵若当QO时，〃x）4g（x）恒成立，求实数。的取值范围.

例21.（2023•浙江湖州•高三校考期末）已知函数/（x）=，"«-lnx在定义域内有两个不同的零点

^，々（演<X1）

，•

2

0<m<—

（1）求证：e

⑵已知左>0,若存在不等式而.庶>3+”对任意的否,马总成立，求上的取值范围.

考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题

规律总结

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性.若函数/（X）在”处取得极值，且函数了=/（灯与直线了=6交于4%/），8（出涉）两点，则

初的中点为〃（可㈤而往往…丁.如下图所示.

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数'=/（"）在区间（生切内只有一个极值点看,方程/（X）的解分别为

为、X?,且（1）若2、°,则称函数了=〃»在区间（西户2）上极值点工。偏移;

（2）若2°,则函数>=/（x）在区间（三，%）上极值点/左偏，简称极值点%。左偏；（3）若

X1+X2<3

2°,则函数了=〃>）在区间（为户2）上极值点％0右偏，简称极值点/右偏.

^题型特训

/（x）=XH---

例22.（2023•江西•统考模拟预测）已知函数1.

⑴讨论"X）的单调性；

（2）若占A%,且/（石）=/（%2）=2,证明：0<m<e,且再+工2<2

例23.已知函数/（x）=2历1—3%2—15.

（1）求曲线>=/（x）在点（1,/（1））处的切线方程；

（2）若关于x的不等式/（%）,,（〃-3）工2+（2。-13）工-2恒成立，求整数4的最小值;

（3）若正实数石,%满足/（X）+/（X2）+4（X；+工；）+12（%+%）=4,证明:玉+々…2.

例24.（2023•陕西汉中•高三西乡县第一中学校联考期中）己知函数,*-x,g（x）=lnx-x

⑴求函数g（x）的极值；

⑵若“（x）=/（x）-g（x）,求函数〃（X）的最小值;

⑶若"有两个零点多，“2,证明：Xlx2<l

例25.（2023•重庆渝中•高三统考期中）已知函数/（x）=xlnx-a/+x,"eR

（1）若函数/（X）是减函数，求。的取值范围；

8

（2）若,（X）有两个零点不历，且％2>2W，证明：

考点九：利用导数解决一类整数问题

一规律放结

分离参数、分离函数、半分离

题型特训

例26.（2023•贵州黔东南•高三校考期末）已知函数〃x）=xlnx+2,g（x）=ax2+2ax

（1）当。=1时，求证：〃x）+g（x）>4x；

⑵若尸（X）是函数“X）的导函数，且"'（X）4g（x）在定义域（°，+8）内恒成立，求整数0的最小值.

例27.（2023•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中）已知函数〃x）=e'+si"-xsinx,xe[一私0]

⑴求/（X）的零点个数；

⑵若初一/（x）*°恒成立，求整数上的最大值.

f（x\-aex~2g（“）XH---F2

例28.（2023•浙江•高三校联考阶段练习）已知函数,（叼,X

为自然对数底数.

lnx<-——

（1）证明：当'>1时，22尤；

⑵若不等式〃x）>g（”对任意的xe（°，+°°）恒成立，求整数。的最小值.

考点十：导数中的同构问题

规律总结

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式

2、同构式的应用:

（1）在方程中的应用：如果方程，（"）二°和/伍）二°呈现同构特征，则aU可视为方程

/（尤）=°的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进

而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.〈同构小套路>

①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数"：/（x）=e，±x；寻找“亲戚函数，，是关键;

③信手拈来凑同构，凑常数、3参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.

（3）在解析几何中的应用：如果'（苞/1）''卜2/2）满足的方程为同构式，则48为方程所表示曲

线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线力8的方程

（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与（4T〃一0的同构

式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

题型特训

例29.已知函数/（x）=x+2+〃历（冰）.

（I）求函数/（x）的单调区间；

（II）设a>0,tE[3,4],若对任意％],x2e（0,1],且再，々，都有I/（再）一/（工2）1<...—I?求实

%1X2

数4的取值范围.

例30.已知函数/(x)=x-e3x

（1）求曲线歹=/（x）在点（0,/（0））处的切线方程;

(2)若对任意的x＞0,/(X)-历X...(Q+2)x+l恒成立，求实数Q的取值范围.

例31.已知函数/(%)="-QX和g(x)=qx-加:有相同的最小值.

(1)求Q；

(2)证明：存在直线＞=其与两条曲线＞=/(%)和〉=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三

个交点的横坐标成等差数列.

考点十一：洛必达法则

・规律总结

法则1、若函数〃x)和g(x)满足下列条件:

⑴吧〃汴°及吧g(、)=°

(2)在点°的去心邻域(。一口a)u(a，a+s)内,/⑴与g(x)可导且g'(x)H0；

而44

lim