高考数学重难点专练：导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】

重难点05导数常考经典压轴小题全归类【十大题型】

【新高考专用】

►题型梳理

【题型1函数切线问题】.......................................................................3

【题型2导数中函数的单调性问题】............................................................3

【题型3导数中函数的极值问题】..............................................................4

【题型4导数中函数的最值问题】..............................................................4

【题型5函数零点(方程根)个数问题】.........................................................5

【题型6利用导数解不等式】...................................................................6

【题型7导数中的不等式恒成立问题】...........................................................6

【题型8任意存在性问题】.....................................................................6

【题型9函数零点嵌套问题】...................................................................7

【题型10双变量问题】........................................................................8

►命题规律

导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研

究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.

从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查,

难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上,

属综合性问题，解题时要灵活求解.

►知识梳理

【知识点1切线方程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数产/㈤在X=X0处的导数，即曲线产/(无)在点(无尤0))处切线的斜率;

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=yo+f(xoXx-xo).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标不出现加)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

L确定函数单调区间的步骤；

(1)确定函数兀r)的定义域；

⑵求/(尤)；

(3)解不等式/(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

2.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

3.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：y=/(x)在(。,加上单调，则区间(。力)是相应单调区间的子集.

(2加功为增(减)函数的充要条件是对任意的尤都有/(%)>0(/(%)<0),且在(。力)内的任一非空子区间

上，/(无)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知识点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数八X)极值的一般步骤：

(1)确定函数八元)的定义域；

⑵求导数了(劝；

(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验/(无)在/(尤)=0的根xo左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数/(x)在句上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值式a),他)；

③将函数7U)的各极值与八。)，五。)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和

极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

L导数中函数的零点(方程的根)的求解策略

(1)利用导数研究方程根(函数零点)的技巧

①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.

②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置.

③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

(2)已知函数零点个数求参数的常用方法

①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建

关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.

②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,

将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.

2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略

恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题.

如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数

单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函

数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象,

利用导数来求解.

►举一反三

【题型1函数切线问题】

【例1】（2023•全国•模拟预测）若曲线y=（1-灯眇有两条过点430）的切线，贝ija的取值范围是（）

A.(-CO,-1)u(3,+OO)B.(-3,1)

C.(—8,—3)D.(-co,-3)U(1,+oo)

【变式1-1]（2023•陕西咸阳•校考模拟预测）已知函数f（x）=2-1,则曲线y=/（久）在点（一1,/（一1））处

的切线方程为（）

A.ex+y+1=0B.ex—y+1=0

C.ex+y-1=0D.ex—y—1=0

【变式1-2]（2023・四川雅安・统考一模）若直线y=kx与曲线y=Inx相切，贝!=（

A.4B.4D.-

ezezc.-ee

【变式1-3】（2023・四川凉山・统考一模）函数/(x)=|x2+alnx在区间（1,2）的图象上存在两条相互垂直的

切线，则a的取值范围为（）

A.(-2,1)B.C.(-2,0)D.(—3,—2)

【题型2导数中函数的单调性问题】

【例2】（2023•吉林长春・长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间（0,+8）

上单调递增的是（）

A1

A-、=我B.y=e~2xC.y=—x2+1D.y=lg|x|

【变式2-1]（2023•陕西商洛・统考一模）已知函数/（%）=2（%-1比%-％2—3；在/?上单调递增，则a的最大

值是（）

A.0B.-C.eD.3

e

【变式2-2]（2023•全国•模拟预测）已知x=ln].=三定,z=—；,则（）

62556

A.y<x<zB.y<z<xC.z<x<yD.x<y<z

【变式2-3]（2023•河南•模拟预测）已知函数/。）=《等在（0,+8）上单调递增，则实数。的取值范围是

（）

A.[0,+oo）B.（-co,-4]

C.（—8,-4]U[0,+co）D.[—4,0]

【题型3导数中函数的极值问题】

【例3】（2023・四川成都•校考模拟预测）已知函数/（%）=%3_，232+。模+1在％=1处有极小值,则0的

值为（）

A.1B.3C.1或3D.-1或3

【变式3-1]（2023.全国.模拟预测）函数/0）=2%-121!%-豆在区间（一等）的极大值、极小值分别为（）

A.-+1,--+1B.--+1,--+1

2222

，互

C—.-31-1---«1,nY1CD.-------1Y,----3-T-l+,1"

2222

【变式3-2]（2023•甘肃兰州•校考一模）已知函数/（久）=e，+?—lnx的极值点为与,函数h（x）=翳的最

大值为冷，则（）

A./>冷B.x2>%iC.xr>x2D.x2>%i

【变式3-3]（2023・广东广州•广州校考模拟预测）设函数f（x）=sin（3Jc+§（3>0）,已知f（久）在[0,2g有

且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）

A.3的取值范围是仁滞）

B./（%）在（0,引单调递增

C.若X=翁是f（久）在（O,2ll）上的第一个极值点，则3=y;

D.若比=患是/O）在（0,211）上的第一个极值点，y=一六+?是/（%）的切线

【题型4导数中函数的最值问题】

[例4]（2023•陕西宝鸡•统考二模）函数=/+（a—l）x-31nx在（1,2）内有最小值，则实数a的取值

范围为()

A.(-1,2)B,[-|,2]

C.(一右2)D.

【变式4-1](2023•广西南宁・统考模拟预测)若函数f(x)=2x3-ax2+l(aGR)在(0,+8)内有且仅有一

个零点，则f(x)在上的最大值与最小值的和为()

A.1B.-4C.-3D.5

【变式4-2](2023•广东湛江•校考模拟预测)已知函数〃>)=靖+/+9-3)%+1在区间(0,1)上有最

小值，则实数。的取值范围是()

A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-oo,1-e)

【变式4-3](2023•浙江嘉兴•校考模拟预测)已知函数/(%)=xlnx,g(x)=xex,若存在t>0,使得=

g(%2)=七成立，则%1-2g的最小值为()

A.2—ln4B.2+ln4C.e-ln2D.e+ln2

【题型5函数零点(方程根)个数问题】

【例5】(2023•辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测)已知函数/(久)=产+)产+线-°，若函数g(x)=

f(x)-|kx2-4%|,(keR)恰有4个零点,则左的取值范围()

A.(-OO.-1)u(2V5,+oo)B.(-oo,-V5)U(0,2)

C.(一8,0)U(0,2+2V2)D.(-8,0)U(2+2V^,+8)

【变式5-1](2023•海南省直辖县级单位.校联考二模)已知函数/(X)=D,若函数g。)=/(-*)-

f(x),则函数g(%)的零点个数为()

A.1B.3C.4D.5

【变式5-2](2023•陕西商洛.陕西校考模拟预测)已知函数/⑴=[_穿<七，若关于％的方程产㈤-

LX十乙X,X>U

(2+t)/W+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为()

A.(—8,—BB.(-j,0)C,D.(-e,2)

【变式5-3](2023・四川泸州•泸县五中校考模拟预测)已知函数/(乃=(x2-2x)ex,若方程f(x)=a有3

个不同的实根%<%2V%3)，则的取值范围为()

A.B.[-j,0)C.(-每％0)D.(一岳一四岳夜)

【题型6利用导数解不等式】

【例6】(2023•陕西榆林•校考模拟预测)已知定义在(0,+8)上的函数/(久)满足厂(%)—竽—1>0,且/⑴=

1,则不等式f(e，)-(%+l)d>。的解集为()

A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.(-oo,0)D.(-8,1)

【变式6-1](2023•全国•模拟预测)若函数f(x)为偶函数,且当x>0时,f(x)=炉+2/+3.若/(—9)>

/(a?—2a+1),则实数a的取值范围为()

A.[-2A/3,4]B.[-4,2]C.[-2,4]D.[-4,273]

【变式6-2X2023•陕西西安•校联考模拟预测)设函数((x)是函数f(x)(xeR)的导函数,f(3)=e3,且广(久)-

f(x)>0恒成立，则不等式/O)-^>0的解集为()

A.(0,3)B.(1,3)C.(-00,3)D.(3,+oo)

【变式6-3](2023・四川达州・统考一模)已知/(久)=Inx-ax3,g(x)=xex—In%—x若不等式学之>0

4gw

的解集中只含有两个正整数，贝b的取值范围为()

A[四处)B(—―"Ic[—―>)D(—―"I

,1.27，8)'(27，8)'[.32'271'\32,277

【题型7导数中的不等式恒成立问题】

【例7】(2023•全国•模拟预测)已知函数/⑶=+久)+e*—eT—2x+3,若/'(ae*)+/(Ina-

Inx)>6对于久e(0,+8)恒成立，则实数a的取值范围是.

【变式7-1](2023•陕西咸阳・咸阳校考模拟预测)已知/(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且

f(%)+g(x)=ex,若关于久的不等式2f(x)-ag2(x)>0在(0,ln2)上恒成立，则实数a的最大值是.

【变式7-2X2023•陕西咸阳•武功校考模拟预测)已知/(久)是定义在(0,+8)上的可导函数，若x尸(久)-/(%)=

?/(I)=-|>且x>1时，f(xe')<f[x+Inx-a)恒成立，贝！|a的取值范围是.

【变式7-3](2023•宁夏石嘴山•平罗中学校考模拟预测)已知函数/(久)=e，+ax-2,其中a€R,若对于

任意的与,％2e[2,+8),且%1<%2,都有%2/(久1)一万1/(乂2)<a(%i-％2)成立，则实数a的取值范围是-

【题型8任意存在性问题】

【例8】(2023•四川乐山•统考二模)若存在而6[-1,2],使不等式久0+伯2-1)111心得+62久0-2成立，

则a的取值范围是()

A。[卷]]B.七田C.[^,e4]D-[|<e4]

【变式8-1](2023•四川南充・统考三模)已知函数人>)=：炉，=ex_lx2_x)3X1)久26[1,2]使

IgOJ—9(右)1/(叼)11为常数)成立，则常数k的取值范围为()

A.(―oo,e—2]B.(―co,e—2)C.(-8,^^]D.(-8,^^)

【变式8-2](2023・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数f(x)=>0.若存在实数a£[0,1],使

得/(2—5)三口3一之小―2a+e-i成立，则正实数小的取值范围为()

A.g.l]B.[|,1]C.(0,1)D.(0,1]

x

【变式8-3】式023•贵州•校联考二模)已知函数/'(%)=xe+2a,g(x)=等，对任意/e[1,2],3x2G[1,3],

都有不等式f(与)>g(>2)成立，则a的取值范围是()

A.[-e2,+oo)B.[号，+0°)

C.卜…)D.[|-e2,+co)

【题型9函数零点嵌套问题】

【例9】(2023•四川成都•石室中学校考一模)已知函数/(久)=(lnx)2—+有三个零点比1、冷、*3

且均<%2<%3,则3+3+3的取值范围是()

%2*3

A-(一W，°)B.(-。0)C.(―微,0)D.(-|,0)

【变式9-1](2023•四川成都・四川校考模拟预测)已知a>L与,乂2，修为函数/(久)=谟-久2的零点，久】<

%2<%3，若%1+%3=2%2，贝U()

A.—<21naB.—=21na

%2%2

C.—>21naD.坦与21na大小关系不确定

X2比2

%—1

【变式9-2](2023•河南郑州•统考模拟预测)已知函数f(x)==+手七+a,若f(x)=0有3个不同的

解%1，%2，%3且%1<%2V%3，则‘1-F--的取值范围是()

X1x2X3

A.(e,+8)B.[2e,+8)

C.(-8e,+8)D.(e,2e)

【变式9-3](2023•江西南昌・统考二模)已知正实数〃使得函数/(%)=(ex-ax)(%-aln%)有且只有三个

不同零点久L%2，%3，若则下列久3的关系式中，正确的是()

A.+%3=2%2B.+%2=迎%3

C.%1%3=-y%2D.11%3=%2

【题型10双变量问题】

【例101(2023下•福建福州•高二校考期中)已知函数/(%)=(%-2)e\若/(%1)=/(%2)，且%i丰%2，%1，%2>

0,贝IJ()

13

A.>~B.冷V£C.%i%2>1D./+久2V2

【变式10-1](2023•广西河池•校联考模拟预测)若实数x,y满足41nx+21n(2y)+8y—4,则()

A.xy=—B.%+y=V2

C.%+2y=1+V2D.x2y=1

【变式10-2](2023下・河南信阳•高二淮滨高中校考阶段练习)设函数/(%)=ex(x-aex)(其中e为自然

对数的底数)恰有两个极值点%<&)，则下列说法中正确的是()

1

A.0<a<-B.0<x<1

3z2

c.-|</(0)<0D.f(X1)+f(x2)>0

【变式10-3】(2023•全国•高三专题练习)已知a>6>0,blna=alnb,有如下四个结论：

®b<e；®b>e；③b满足a•b<e2；@a-b>e2.

则正确结论的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

1.(2023•全国•统考高考真题)曲线y=持在点(1,；)处的切线方程为()

Ae「e八e,e「e,3e

A.zy=4-xB.yz=-2xC.yy=-4%+-4D.yz=-%24——4

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(%)=aex-In%在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

3.(2023•全国•统考高考真题)函数/(%)=炉+。％+2存在3个零点，则Q的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(—4,—1)D.(—3,0)

4.(2022.全国•统考高考真题)当％