高考数学专项复习：圆锥曲线【定点定值】12大题型（解析版）

园锥曲线中的定点、定值问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................3

题型一：面积定值...............................................................3

题型二：向量数量积定值.........................................................11

题型三：斜率和定值.............................................................18

题型四：斜率积定值............................................................23

题型五：斜率比定值............................................................29

题型六：斜率差定值............................................................37

题型七：线段定值..............................................................44

题型八：坐标定值..............................................................52

题型九：角度定值...............................................................57

题型十：直线过定点.............................................................63

题型十一：动点在定直线上.......................................................68

题型十二：圆过定点.............................................................76

03过关测试....................................................................82

方法技巧与总经

1、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量一函数一定值”，

具体操作程序如下：

（1）变量--选择适当的量为变量.

（2）函数-一把要证明为定值的量表示成变量的函数.

（3）定值--化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.

2、求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.

常用消参方法：

①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系尸（左，加）=0,用一个参数表示另外一个参数左=/（加）,

即可带用其他式子，消去参数0

②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值.

③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉.

④参数无关消参：当与参数相关的因式为0时，此时与参数的取值没什么关系，比如：

y-2+kg{x）=Q,只要因式g（x）=0,就和参数人没什么关系了，或者说参数人不起作用.

3、求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方

程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点（%,%）,常利用直线的点斜式方程y-%=Mx-x。）或截距式>=依+6来证明.

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：y=kx+m,此时引入了两个参数，需要消掉一个.

②找关系：找到左和力的关系：加=/（左），等式带入消参，消掉机.

③参数无关找定点：找到和人没有关系的点.

㈤2

臬币日纳与年

//ayu2

题型一：面积定值

2

【典例LD如图所示‘已知椭圆c：?+/=l'“'2是四条直线、=或'/所围成的矩形的两个顶

点.若M,N是椭圆C上的两个动点，且直线(W,ON的斜率之积等于直线CM,。8的斜率之积，试探

求AOIW的面积是否为定值，并说明理由.

丫2

得椭圆C:3+/=l,变为圆。:/+了'2=4.

点、A,B,M,N变换后对应的点分别为4,B',M',N',且4(2,2),8'(-2,2).

'kOB'=2kOA，2kOB=T

从而

,k（）N'=2koM"2kON

k（）A.k（）B=k0M.k°N,：♦k（）A.,卜0用=_、，即OAf'_LON，

于是S.M=JO"||ON[=；X2X2=2,故工好”；4ftMM=1.

即A0W的面积为定值1.

【典例1-2](2024•湖北荆州•三模)从抛物线r=8x上各点向x轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为

(1)求:T的轨迹方程；

(2)45C是「上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点2区厂，

BD

①若AC//DF,求\履的\值；

\8b\

②证明：三角形48C与三角形。E尸的面积之比为定值.

【解析】（1）设垂线段中点坐标为（另团，则抛物线上点坐标为（x,2y）,

代入抛物线方程，则（2y>=8x,即/=2x,

所以「的轨迹方程：/=2x.

（2）①如图，4昆C是「上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点。，瓦厂,

设/仁，必I代,%卜］拳刃,〃（24），£«/5），/伉,乂），

2

则抛物线/=2x上过点A的切线方程为x-^=t（y-yi）,

将切线方程与抛物线方程联立，得：

联立「一会二"'一乂），消去x,整理得/-2”+2%-弁=0,

y2=2x

所以A=（-2f）2-4（2切一y；）=4/一8%+4才=4（/必y=0,

从而有f=%,

2

所以抛物线上过点A的切线方程为x=yiy-^,

22

同理可得抛物线上过点dc的切线方程分别为x=%y-券,X=%了-冷,

两两联立，可以求得交点。，旦尸的纵坐标分别为：

Vj+%vJ+%V一%+%

AD必一”必一%

则

DE乂一次乂+%必+为%一为

22

忸尸L卜一刃|。同_®一%I\AD\=\EF\JDB\

同理可得

卢C仅2-%「忸尸|1%-闾'1\DE\\FC\\BF\

当“//am1^1-\CF\坨即一^^\EF\-\FC\

当"C//Z小时，西一两，故时一向，即回「叩，

k_，一%=22（V2

②易知AB＞；歹；必+%，则直线45的方程为歹一必=------x~^~

T-T必+为12

化简得y=2、？二,即（%+%）,y=2x+必％,

%十%

点c平,％到直线的距离为:

则三角形Z8C的面积W=；|阴•&=：（%-%）（%-乂）（乃

2

由（2）①知切线。E的方程为％=%了-£,

以守，,），颐竽,中）,2竽,中）

乙乙乙乙乙乙

可知\DE\==1Jl+y；|j3-y2|,

点尸到直线E。的距离为

2

%%+%力।%

二222|（%-%）（力一丁）|,

广2/+yf

则外切三角形OE尸的面积邑=（忸刈4=3（%-M）（%-%）（%-%）1.

2o

S；|（了2-%）（%一%）（%-%）|

故£=-j------------------------=2.

2豆|（%一必）（力一必）（力-%）|

因此三角形/3C与外切三角形DE厂的面积之比为定值2.

【变式1-1】已知椭圆£:£+《=1(。>6>0)的左、右焦点分别为片(-1,0)、凡(1,0),“在椭圆£上，且

ab

△儿用工面积的最大值为百.

(1)求椭圆E的方程;

(2)直线/：y=履+%与椭圆E相交于P,0两点，且41+3=4/，求证：△OP。(。为坐标原点)的面

积为定值.

【解析】(1)根据题意，c=l.

M在椭圆E上下顶点，△儿阴马面积的最大值.

此时邑町IIM。1=6=6.

22

所以/=62+°2=4,则求椭圆石的方程二+二=1.

43

(2)如图所示，设尸(再,多),。(芍,第2),

y=kx+m,

22得(左2)%2左+加2二°,

联立直线/与椭圆E的方程xy3+4+87nx4-12

[43

22

A=64左2加2-4(3+4左2)(4/-12)=192A:-48m+144=48(4左2-m2+3)>0.

8km4m2-12

再+%2=一二--，七%2二------7

3+477/T1-3+4/

又|PQ|=Jl+/|再_引

28kmI,W-12

=y/1+k-4x-----------

3+4左213+4公

"48(4^-苏+3)

y/1+k2

3+4左2

Tm

因为点。到直线P0的距离且4〃+3=4疗,

71+k

222

r-cr.c1।DZi।,1[l一方,48(4:2+3)\mI6m6m6m3

所以S62o=7x|PQ|xd=-XV1+A--^-A——LxJ।=

2

223+4左2V17F3+4后23+4后24m2

3

综上，△OP0的面积为定值

【变式1-2](2024・重庆・三模)已知尸(2,0),曲线C上任意一点到点尸的距离是到直线x=g的距离的两

倍.

⑴求曲线C的方程；

(2)已知曲线C的左顶点为A,直线/过点尸且与曲线C在第一、四象限分别交于N两点，直线/M、

/N分别与直线x=:交于尸，H两点,。为尸〃的中点.

(i)证明：QF【MN；

(ii)记XHNQ,的面积分别为E，S,,邑，则与民是否为定值？若是，求出这个定

值；若不是，请说明理由.

【解析】(1)设曲线C上任意一点坐标为(X/),则由题意可知：

(x-2)2+y2=4[x-n——4X+4+)2=4x2-4x+1x2一^~=1,

2

故曲线C的方程为x2-匕=1.

3

(2)(i)设直线MN：x=my+2,N(%2,y2)，

1

%庐

£4

其

中

且1

-33再>1

x=my+2

2-1))2+12my+9=0,

3X2-/-3=0

12m9

故%+为=3加2_］，y,y2~3m2-1

'故7i卷/

y=^—（川），当"时，尸”

直线2M：

芭+1

同理项—3%、

,Q为PH中点,

7

,,_13=3%（％+1）+%（网+1）

故为=531%+1飞+1

4（再+1）5+1）

9m2-36?n2+9（3m2-l）_9

（占+1）卜2+1）=（〃沙+13）（〃%+3）=m2yy+3加®+%）+9=（*

x23m2-13m2-1

18m-36m18m

%（々+1）+%（再+1）=M（叩2+3）+%（叩i+3）=2加+3（必+%）=

3m2-1-3m2-1

,,318m3m目门二13m33m

故&=了b=《"，即025V,则尸。=2'V

（加，1）,7匝=一1+1=0,故QFLMN.

直线MN的方向向量3=

144小一36（3苏-1）6717版

（ii）法一：|%一%|=一4=2（**）

（3加2_1\-3rn1

2

6（1+m23m3川+

故\MN\=y11+m21必-%|=;邮=卜;I+fo-

1-3/2

2

9（l+m2）?

又QF1MN,故禺=；|"¥卜|0叫=

2（l-3m2）

S11

I+$2=；|尸。一；+

22

-12m2+9m2-33（1+加2

国+%2-1=加（必+>2）+3=

3m2-1l-3m2

3乂（工2+1）—%（再+1）

\pH\=3%3%

2（%i+l）2（X2+1）2（xj+l）（x2+1）

3乂（切2+3）-%（冲i+3）_9%一%

2（再+1）（马+1）2（芯+1）（%2+1）

I611+.2

由（*）知|（再+1）（《+1）|=]_：〃2,由（**）知

故四CTs

3(l+m2)9(1+加2产

故E+凡=：3.1+加2

1-3加2-4(1-3叫2,

法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，|"F|=2（再同理|液|=2k2-;

+m

故5+$2=3PHi（西+^2-i）=||^|-（MM）=\^\，

4oo

又例,故詈=:翳

又那用系"，

9

且由（*）知I力加卜g医」=g，记直线尸〃与X轴相交于点K,

3m2—1

..9...,,分LTA

由区加卜W可得归K|・|川|=|四1］2，即局=谒，即△尸KFSAPF”，

故PF1HF；

又0为尸〃的中点，故|09卜；「川，即亨^=；*=：

【变式1-3］（2024•广东广州•模拟预测）已知工（-1,0）,5（1,0）,平面上有动点P,且直线NP的斜率与直

线AP的斜率之积为1.

（1）求动点P的轨迹。的方程.

（2）过点N的直线与。交于点”（〃在第一象限），过点8的直线与O交于点N（N在第三象限），记直

线8N的斜率分别为瓦，k2,且左=4内.试判断A/MN与ABAW的面积之比是否为定值，若为定值,

请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

【解析】（1）设P（x,y）,xw±l,

2

由题意可得：以％=工•工='=\，整理得

APBPx+lx-lx2-l

故求动点P的轨迹方程为--=1（尤w±1）.

（2）由题息可知：kAM-kBM=1,且如M=4左BN,可得心V・及BM=Z，

显然直线MN的斜率不为0,设直线的方程为x=7町+(w±l),MQi，%),/V(x2,y2),

[x=my+t(、、、

联立方程j=i，消去X得(，/-l)/+2加卬+/9-1=0,

2mt

%+为=一一2一7

m-1

则加2W1,A>0,可得

t2-l

必力二Fmf-1

则^BN,为必=M2

X2-1/-I（叩i+/_1）（加歹2+/一1）4

整理可得（疗-4）乃%+加”1）（必+%）+（1）2=0,

则（苏-"2T）_2二;”1）丁0,

m2-1m2-1

因为/片±1,则/170,可得（加2—4）（/+1）_2^+0,

m2-1m2-1

3

整理可得，=-y，

所以直线九W方程为》=叼-|,即直线过定点

贝小NT|=_：+l=）,[8T|=l+（=g,

此时SAZA/N=D|/T|，|加-"|,S—A/N=],忸丁卜|加-》N|,

V\AT\1

Q"MN

所以c而为定值.

3BMN

题型二：向量数量积定值

【典例2』】(2。24・高三江苏盐城・开学考试)已知椭圆C：，(。/)，过点A的动直线,与椭

圆C交于尸、0两点.

（1）求线段尸。的中点M的轨迹方程；

（2）是否存在常数，使得2万.而+而.而为定值？若存在，求出X的值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）①当直线/存在斜率时，设尸（再,弘）、。（尤2,%）、"0,

22

+

54_22L-

，两式联立作差得：（七一人）（』+%）+（.-%）（%+%）O

则应用点差法：，2<

々

4一+2-

(%-%)(%+%)

kP0

(占72)(占+々)xx-x2玉+x2

又・・•kpQ=kMA=――,

%

.•.%■」•久■=-；，化简得'+2歹；-2%=0（%。0）,

X。X0/

②当直线/不存在斜率时，M（0,0）,

2

11

综上，无论直线是否有斜率，〃的轨迹方程为/+2y

22

（2）①当直线/存在斜率时，设直线/的方程为：>=区+1,

y=kx+l

联立并化简得:(2/+1)/+4&-2=0,

I42

4k2

A>0恒成立，%+X,=------——，x,-x

-2k*2+1~22r+1'

又不=(芭,七士)，14Q=(x2,k-x2),op=(xl,k-xl+l),OQ=(x2,k-x2+l),

AAP-AQ+OP-OQ=4（1+左）X[,X2+（1+左2）-X1•%+后（再+3）+1,

_-2（X+l）（l+/）4左2_2（2+2）/+22+l

2F+12k2+\―2k2+\

若使2万•而+而・丽为定值，

只需2（九+2）="±1,即几=1,其定值为-3,

21

②当直线/不存在斜率时，直线/的方程为：x=0,则有尸（0,⑹、2（0,-V2）,

又方=（0,直-1）,而=（0,-夜-1）,历=（0,也），诙=（0,-垃），

■■.AAPAQ+OPOQ^-A-2,当4=1时，2万.而+而.丽也为定值一3,

综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数4=1,

使2万•通+历•而为定值-3.

【典例2-2】(2024•上海闵行•二模)已知点片、匕分别为椭圆「：］+丁=1的左、右焦点，直线/：/=依+/与

椭圆r有且仅有一个公共点，直线F\M工心工1,垂足分别为点M、N.

⑴求证：/=2*+i；

(2)求证：柳•瓦讨为定值，并求出该定值；

【解析】(1)联立/：>=奴+1与「：^~+，=1得：(2%2+1卜~++21—2=°,

由直线与椭圆有一个公共点可知：△=(4fe)2-4(2廿+*22)=0,

化简得：r=2产+i；

(2)由题意得：片(-1,0),笈(1,0),

因为片用N，/,所以故耳市•第=|而］J耳历,

其中矿二岛I—k+1\’F.房|左+%|，

府•可为定值，该定值为1;

22(/y

【变式2-1］(2024•陕西宝鸡一模)椭圆CJ+A=l(a>b>0)经过点尸1,十,且两焦点与短轴的两

ab.

个端点的连线构成一个正方形.

(1)求椭圆c的方程;

⑵设过椭圆C的右焦点尸作直线/交C于A、3两点，试问：疝.标是否为定值？若是，求

出这个定值；若不是，请说明理由.

【解析】(1)因为椭圆C的两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，该正方形的边长为

两条对角线长分别为筋、2c,则6=c,所以，°=病了/=&6，

22

所以，椭圆C的方程可表示为。+2=1,、

2b2b2

将点尸的坐标代入椭圆C的方程可得12可得6=1，则。=后，。=1，

----------------——1

2b2b2

故椭圆C的标准方程为—+/=1.

2-

(2)当直线/与x轴重合时，则A、3为椭圆长轴的顶点，不妨设/(0,0)、5(-72,0),

则疝=[&_：,()),标=[一④一：,()1,此时必•荻=(：]-2=-^；

易知点尸(1,0),当直线/不与x轴重合时，设直线/的方程为x=.y+l,设点/(士,%)、8(%,”),

联立可得(加2+2)了2+2加了一1=。,A=4m2+4(m2+2)=8(m2+l)>0,

2m|

由韦达定理可得%+%=一-=一一?

m+2m+2

MA^\再一:,必|=|myl--,y1,MA^\x2--,y2|=|my2--,y2

疝・标=（叼］一;］（加%—+外力=（加2+1）弘％一;以他+了J+］

-^m2+i^+-m-2m1一；（加？+2）】1

—_____4___।_=_2____।_=__■

m2+216m2+21616

综上所述，MA-MB=--.

【变式2-2](2024•高三・河南南阳•期末)尸为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M,交

直线y=-°x(。>6>0)于。，过P作y轴的垂线，垂足为N,交直线>=一2X于灭，若4OMQ,△

aa

ONR的面积之和为.

(1)求点尸的轨迹C的方程；

(2)若。=2,6=1,/(-4,0),G(〃,0),过点G的直线/交C于。，£两点，是否存在常数〃，对任意直

线/，使石.荏为定值？若存在，求出〃的值及该定值，若不存在，请说明理由.

【解析】(1)

ba

设P(%,y)，则y=一一x,XR=--y,

Qab

由题意可得，+；广=4，即.+与二1，

2\aJ2\b)2a1b2

22

故点P的轨迹c的方程为5+4=1；

ab

（2）由（1）可知C—+/=1

4

假设存在常数小使瓦.次=4（常数），

设直线/:x=my+n,代入C,整理得（病+4）/+2加町+（/-4）=0,

设。（再，必），£（工2，歹2）

2mn“2—4

则y,+y

2加2+4'%%一疗+4

所以4DZE=(X]+4,%)一(%2+4,%)

=(X]+4)(X2+4)+=("3+"+4)(加％+”+4)+

="+1)乂%+机(〃+4)(必+%)+(n+4)一

_(m2+1)(«2-4)2:岛?(〃+4)+(〃+

4):2

m2+4加2+4'

整理化简得：(12-2)〃/+5”?+32"+60-42=0对\/加eR恒成立.

故12-2=0,5/+32〃+60—4/1=0

"=12,5«2+32«+12=0

2

•••"=-］或一6（舍去）

当直线/为x轴时通.在=12

综上，存在常数〃=-；2,对任意直线/,使近.左=12（为定值）

22

【变式2-3］（2024・高三・天津河北•期末）设椭圆E:二+q=1俗>6>0）的左右焦点分别为耳,巴，短轴的

ab

两个端点为45,且四边形耳/月3是边长为2的正方形.G。分别是椭圆的左右顶点，动点"满足

MDLCD,连接交椭圆E于点P.

⑴求椭圆E的方程；

(2)求证：丽.历为定值.

222

【解析】(1)由题设|与/|=a=2,6=c,a=b+c,得/=2,/=4,

22

椭圆的方程为土+二=1.

42

(2)

由(1)知C(-2,0),。(2,0),由题意知，直线C"的斜率存在且不为0,

y=左(％+2)

设直线CM的方程为了=后(》+2),联立X?/,

142

消去y得(1+2於+8〃x+8公一4=0,其中C是直线与椭圆一个交点,

8k2-42-4k24k2-4k24k、

所以—2xp=贝Ixp=代入直线得力故?

1+2左21+2左21十K1+2左2'1+2/,,

又MDLCD,将x=2代入了=M》+2),得力,=4左，则M(2,4左).

-4k4―8后2+16左2

所以。M•。尸=2・^——-+4左-----7=4,为定值.

1+2左21+2左21+2左2

22

【变式2-4】已知椭圆。:a+}=1(«>6>0)的左、右顶点分别为48,右焦点为尸，且|万1=3,以尸

为圆心，。尸为半径的圆尸经过点8.

(1)求C的方程；

(2)过点A且斜率为左(左二0)的直线/交椭圆C于P,

OH4加

⑴设点尸在第一象限，且直线/与V=-x交于若=r=Y-sin/，4。，求后的值;

PH5

(ii)连接尸尸交圆尸于点7,射线4P上存在一点。，且0，的为定值，已知点。在定直线上，求。所在

定直线方程.

【解析】(1)•••以尸为圆心,。尸为半径的圆厂经过点8,二忸尸|=|。尸|=c,即|O8|=a=2c,

:卜百=a+c=3c=3,c=1,a=2,b2=a2-c2=3>

r2v2

•••椭圆。的方程为：土+匕=1.

43

(2)(i)由(1)得：4(一2,0),可设/:>=左(％+2),P(Xp,yp)(xp>0,yp>0),

2k

x=--------

y=k(x+2)k+\(2k2k}

得：,即〃,

y=~x2kci+ir+ij

y=------

k+\

y=左(x+2)

22

由工2/得:(3+4A:)X+16FX+16F-12=0,

----F—=1

I43

1642-12

...A=48(3+4F-4F)=114>0—2xp

3+442

22

6-8k/6-8公)12kn(6-Sk12k}

在△M4O中，由正弦定理得：=」_L

sinZHAOsinNHOA

TTOH

•.・ZHOA=-f

4sinZHAO।।

则由号=叫“。得：昌Y容西

.•阿=m叫.•.网=:网，即而=/,

:屈，含)石=131谆盗4

216

人+1-3(3+4-)

，解得：

2k16k

k+\3(3+4/)

(ii)由题意知：圆尸方程为：(x-l)2+v2=l；尸(1,0),8(2,0)；

不妨令P位于第一象限，可设/尸:y=E（x+2）,

若直线尸产斜率存在，则原尸=4[k?，..・直线内:x=」1-4P^y+l,

1一444k

1一4左2

X=------V+124k]

由,4k得：T4左2+1Z左2十J

（x-1）2+y2=1.屈（含P岛）

—4mA：2+2-加一4（机+2）左3+（2—加）左

设。（在后（切+2））,则方=

4/+1~~4左2+1

8k2（4加左之一2+加）一16（加+2）左4+（8-4加）左之万（4加-8乂4左2+1）_H（4m-8）

:.QT-Jf=

（4左2+1）2（4左2+1）24^2+1

当4加-8=0时，5•市=0为定值，此时％=2,则。（2,4左），此时。在定直线x=2上;

当4机-840时，5•而不为定值，不合题意；

若直线尸尸斜率不存在，贝1「尸"，£|，7（”），8（2,0），

此时如=:，则直线/尸：/=g（x+2）,设0,,；（加+2））

则次=1_%/一;（〃?+2）],丽=（一1,1）,:.QT-BT=^m-\,

则加=2时，QTBT=Q,满足题意;

综上所述：点。在定直线x=2上.

题型三：斜率和定值

【典例3-1】已知椭圆〃。/=15>1）与双曲线.2_/_=1的离心率的平方和为*

⑴求q的值;

⑵过点。弓,o］的直线/与椭圆”和双曲线N分别交于点A,

B,C,D,在x轴上是否存在一点T,直

中的斜率分别为凝%,k,k,k,使得/-+/-+1+/-为定值？若存在，请

线Z4,TB,TC,TBTCTD

^TA^TB^TC^TD

求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）由已知得=空，BP4a4-15a2-4=0,二/=4,a=2；

Q14

22

（2）由（1）得椭圆M：L+/=I与双曲线N:x?一匕=1,

4-4

由已知得直线I的斜率不为零，设直线I的方程为x=my+^,

4（孙y。,B（x2,y2）<C（x3,y4）,B（X4,J4）,T（Z,0）,

—+y2=l

4m2+4）y2+y—~^-=0,

将直线与椭圆联立m

1

x=my+—

lYl__15

2

A=16m+60>0,必+>2=-------2T，弘>2=一4"+4），

m+4

将直线与双曲线联立4］得（4〃/-1）/+4叼-3=0,

x=my+-^

31

由A=64机2-12>0得加2>；7，又％

164

11114加/c\4加/r\4加Jc/\

...——+——+——+——=——(8-/)+——(2-/)=—(18-6/)

v7v7v

kTAkTBkTCkTD15315九

1111c

当t=3时，—+—+—+—=

^TA^TBGeMD

故在x轴上是存在一点r（3,0）,使得/-+/-+/一+，一为定值o.

KTAMB^TC^TD

22

【典例3-2】（2024・河南・二模）已知椭圆C：r+与=15>6>0）的焦距为2,两个焦点与短轴一个顶点构

ab

成等边三角形.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设尸（3#，过点P的两条直线4和4分别交椭圆c于点2E和点U和4.不重合），直线4和4的

斜率分别为占和&若1PMi尸户内，判断勺+与是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.

【解析】（1）由题焦距2c=2,解得c=l,

由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知b=6c=C,则/=3,

所以a?=b2+c2=4,

已知尸（3j）,设。（占,弘）,E（X2，%）,M（X3，%）,N（X4，”），

，直线4的方程为了—=匕（》-3）,即歹=冷-3左+f,

22

代入?+《=1并整理，得（4储+3）/+（8卬-24奸）x+4（f-3《）2-12=0,

A=（8卬-24-了_4（4k；+3）［4（Z-347一121>0,

_24甘_8年_4（/-3^,）*2-312

12"<+3'12--

\PM\\PN\^\PD\\PE\,

•.•P,D,E三点共线，且方与而同向，

;=PD,PE=（再—3,%—/）.（工2—3,%—

=（占一3）（9-3）+（M一）（%T）=（占一3）（%-3）+左（西一3）.左仁一3）

4（-3%）2-1224k-8W

4k+3一—3x嵋+3+9

（肝+1）（4?-24卬+36^-12-72k；+24卬+36k+27）（^2+1）（4/2+15）

4k+3—4.+3

（居+1）（4/+15）

同理可得1PM||PM=

4代+3

（将+1乂4/+15）（^+l）（4r+15）

化简得行=片,

4M+3-4代+3

优]+左2乂与一左2）=。,+"'=0，

所以与+质为定值0.

22

【变式3-1】椭圆C：5+看=1（八6>0）的左焦点为卜后0）,且椭圆C经过点P（O,1）,直线

ab

y=/a+2k-l（左片0）与C交于A,8两点（异于点P）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）证明：直线尸/与直线尸5的斜率之和为定值，并求出这个定值.

【解析】（1）

由题意得：c=\[2,b=1,JJJ!）a2=Z>2+c2=3,

故椭圆C的方程为二+/=1；

3'

（2）解法一（常规方法）：设>（西次）,85必）,

V2=

联立一化简可得：（3/+1卜2+6乂24-1b+12左他-1）=0,

y=kx+2k—\

由于直线7=h+2左-1（后片0）与椭圆C交于43两点且异于尸,

2

所以A=36k之（2k-I）-481（左—1）（3〃+1）=—12左（左一4）＞0且左w1,

角军得：0＜左＜4且左

6M2斤-1）12k（k-l）

Xl+X2=3F+1=3丁