高考数学专项复习：函数的图象【七大题型】

专题2.6函数的图象【七大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1作出函数的图象】........................................................................2

【题型2函数图象的识别】........................................................................4

【题型3根据函数图象选择解析式】................................................................5

【题型4借助动点研究函数图象】..................................................................7

【题型5利用图象研究函数的性质】................................................................9

【题型6利用图象确定零点个数、解不等式】......................................................10

【题型7利用图象求参数的取值范围】.............................................................11

►考情分析

1、函数的图象

考点要求真题统计考情分析

2022年天津卷：第3题，5分

⑴在实际情境中，会根据

2022年全国甲卷：第5题，5

不同的需要选择恰当的方

分

法(如图象法、列表法、函数图象问题主要以考查图象识别

2022年全国乙卷：第8题，5

解析法)表示函数为重点和热点，也可能考查利用函数图

分

(2)会画简单的函数图象象函数性质、解不等式等，一般以选择

2024年全国甲卷(文数)：第

(3)会运用函数图象研究题或填空题的形式出现，难度不大.

8题，5分

函数的性质，解决方程解

2024年全国甲卷(理数)：第

的个数与不等式解的问题

7题，5分

►知识梳理

【知识点1函数的图象的作法与识别】

1.作函数图象的一般方法

(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描

出图象的关键点直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

2.函数图象识别的解题思路

(1)抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

(2)利用函数的零点、极值点判断.

(3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

【知识点2函数图象的应用的解题策略】

1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)

常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略

利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用

的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.

►举一反三

【题型1作出函数的图象】

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知函数/"(%)=|2x+2|+|3x—3].

'I•-II

r****■■""

(1)画出/■(>)的图象；

(2)求不等式/(久)<6的解集.

【变式1-1](2024•陕西西安•三模)已知函数/(%)=|2%+1|+|%+划(其中6€・

(1)在给定的平面直角坐标系中画出爪=-断寸函数的图象；

(2)求函数f(x)的图象与直线y=3围成多边形的面积的最大值，并指出面积最大时小的值.

【变式1-2](23-24高一上•上海・期末)在下面的坐标系中画出下列函数的图像:

⑴y=x~2

(2)y=|2-2|.

【变式1-3](2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数口支)=》+1|-2|久一1|.

(1)请画出函数f(x)的图象，并求/0)21的解集；

(2)VxG(0,+oo),/(x)>ax+b,求a+b的最大值.

【题型2函数图象的识别】

【例2】(2024•陕西安康•模拟预测)函数/(久)=炉cosx的部分图象为()

【变式2-3]（2024・四川•模拟预测）函数外支）=（好―2x—l）ln|x|的大致图象可能为（）

【题型3根据函数图象选择解析式】

【例3】（2024・湖南•二模）已知函数/（X）的部分图象如图所示，则函数7"（%）的解析式可能为（）

2/

B.f(x)

㈤+1

D.八久）=-碧

【变式3-1］（2024•天津・二模）函数/O）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（)

pX_p-X

B.f(x)=—^―

D./(%)=平

【变式3-2］（2024・天津・二模）已知函数y=f（x）的部分图象如图所示，则人光）的解析式可能为（）.

A.&)=/B,/(x)=glC.Ax)=3^D.fQ)=M

【变式3-3］（2024•浙江台州•一模）函数y=f（x）的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的

函数解析式可能为（）

©②

A.丫=/(1-1

C.y=/(4-2x)D.y=-/(4-2x)

【题型4借助动点研究函数图象】

【例4】（2024•山东•二模）如图所示,动点P在边长为1的正方形ABCD的边上沿A-B-C-。运动，x

表示动点P由/点出发所经过的路程,y表示△APD的面积，则函数y=f（x）的大致图像是（）.

【变式4-1］（2024•广东佛山・模拟预测）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P

沿4-8-C-M运动时，点P经过的路程x与aAPM的面积y的函数y=/（%）的图象的形状大致是（）

【变式4-2］（2023•海南省直辖县级单位•三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）

上匀速跑步，他从点4处出发，沿箭头方向经过点B、C、。返回到点4共用时80秒，他的同桌小陈在固定

点。位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为t（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为y（单位：米）,

若y=,则/"（t）的图象大致为（）

【变式4-3］（2024•湖南•一模）图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所

构成.设函数S=S（a）（位0）是图中阴影部分介于平行线y=0及夕=。之间的那一部分的面积，则函数S（a）的

图象大致为（）

【题型5利用图象研究函数的性质】

【例5】（2024・四川南充・二模）已知函数/（久）=：,则函数y=f（x-1）+1的图象（）

A.关于点（1,1）对称B.关于点（—1,1）对称

C.关于点（-1,0）对称D.关于点（1,0）对称

【变式5-1］（23-24高一上•福建泉州•阶段练习）如图所示是函数y=/O）的图象，图中曲线与直线无限接

近但是永不相交，则以下描述正确的是（）

A.函数/（久）的定义域为［-4,4）

B.函数/（＞）的值域为［0,5］

C.此函数在定义域中不单调

D.对于任意的y€［0,+8）,都有唯一的自变量x与之对应

【变式5-2］（23-24高一上•广西钦州•期中）定义在［-5,5］上的偶函数/'（＞）在［0,5］上的图象如下图，下列说

法不正确的是（）

A./（无）仅有一个单调减区间

B.f。）有两个单调减区间

C.f（x）在其定义域内的最大值是5

D.fO）在其定义域内的最小值是-5

【变式5-3］（23-24高一上•湖北黄石・期中）记实数句,％2,…，与中的最大数为max｛%i，X2,…，久„｝，最小数

为min｛久1，久2,…，％n｝，则关于函数/（x）=min｛x+1,/-x+1,-久+6｝的说法中正确的是（）

A.方程/0）—1=0有三个根B./Q）的单调减区间为（―叫。和G,+8）

C./（%）的最大值为（D.八久）的最小值为:

【题型6利用图象确定零点个数、解不等式】

【例6】（2023•全国•模拟预测）已知函数/0）的定义域为［-2,4］,其图象如图所示，则的解集

A.[x\—2<x<—1]B.{%|-1<%<0]

C.{%|1<%<3}D.{%|0<%<4}

【变式6-1］（2024•河南商丘•三模）已知定义在R上的奇函数/（%）在［0,+8）上的图象如图所示，则不等

式%2/（%）>2/（%）的解集为（）

A.(-V2,0)U(V2,2)B.(-00,-2)U(2,+oo)

C.(-OO,-2)u(-V2,0)U(V2,2)D.(-2,-V2)U(0,V2)U(2,+oo)

【变式6-2](2024•四川攀枝花•模拟预测)已知定义在R上的奇函数/(%)恒有1)=/(x+1),当%£[0,1)

时，/(%)+^X,已知ke(-5,一白)，则函数仪比)=/■(»-k久一;在(-1,6)上的零点个数为()

A.4B.5

C.3或4D.4或5

(%+工,Xcfo,三)

【变式6-3](2023•重庆沙坪坝•模拟预测)已知函数/(%)=(2L?、，则/(%)>Ilog2M

[2_小_|),辿|,+8)

的解集是()

4CHB.(1,2)

C.&2)D.G，1)U(1,2)

【题型7利用图象求参数的取值范围】

【例7】(2024•河北石家庄•三模)给定函数/(%)=M+%],g(%)=%+%用M(%)表示/(%),g(x)中的较大

者，记M(%)=max{/(%),g(%)}.若函数y=M(%)的图象与y=。有3个不同的交点，则实数Q的取值范围是

fex+1,%<0

【变式7-1](2024・陕西西安•一模)f(x)=1%>0，若3/=/(八»+1)—人有两个零点，则上的取

Ixf

值范围是.

【变式7-2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(久)=:1，若关于x的方程fO)=m有3

个不相等的实数根，则小的取值范围是.

【变式7-3】(2024・天津红桥•一模)设函数“%)=产°82y一:"3,若人%)=。有四个实数根的,

I(%—4),%>3

%2，%3，%4，且久1V%2V%3V%4，则+%4)%1+工的取值范围是______.

4%2

►过关测试

一、单选题

1.（2024・天津•模拟预测）下列图象中，不可能成为函数/（0=必+：的图象的是（）

2.（2024•江苏盐城•模拟预测）函数y=cos%与y=lg|%］的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

%>0,

1,\g（x）=/（-%），则函数g（%）的图象大致是

一>X<U,

4.（2023・全国•模拟预测）函数y=/（x）在区间［-3,3］的大致图象如图，则函数/⑺的解析式可能为（）

2xsinx2xcosx

A.B.f(x)=

/(%)=x2+lx2+l

4xcosx

C./)=含D.

fM=x2+l

5.（2024・安徽•模拟预测）如图，直线I在初始位置与等边△4BC的底边重合，之后I开始在平面上按逆时针

方向绕点A匀速转动（转动角度不超过60。），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间t的函数.这个函

数的图象大致是（）

C

6.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点P从点。出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动

一周，。、尸两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（

P

A.OB.0

p

\p

7.(2024・重庆•模拟预测)已知函数/(%)是定义在R上周期为4的奇函数，且f(x)={_，

则不等式—1)<0在(—2,2)上的解集为()

A.(—2,—1)B.(—2,—1)U(0,1)

C.(一1,0)U(0,1)D.(-1,0)U(1,2)

8.(2024・四川•模拟预测)已知函数y=f(x-2)的图象关于直线1=2对称，对任意的％eR,都有/(X+3)=

/(%-1)成立，且当黑€成2,0]时,/(%)=-x,若在区间(一2,10)内方程/(%)-loga(%+2)=。有5个不同

的实数根，则实数。的取值范围为()

A.(2,2©B.(2,2V2]C.(2短2⑹D.(2短2网

二、多选题

9.(2024・安徽合肥•一模)函数/(%)=%3-^(mGR)的图象可能是()

11.（2024•山东日照•三模）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形力BCD沿x轴滚动（无

滑动滚动），点。恰好经过坐标原点，设顶点8（x,y）的轨迹方程是y=/（久），则（）

A.方程/（久）=2在［-3,9］上有三个根

B./（-x）=-/（x）

C./（x）在［6,8］上单调递增

D.对任意尤GR,都有/（久+4）=—

三、填空题

12.（2024・上海宝山•一模）设a、b为常数，若a>Lb<-1,则函数y=谈+b的图象必定不经过第象

限.

13.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（久）=