高考数学解答题专项复习：圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题（含定值、最值、范围问题）（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

（含定值、最值、范围问题）

（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、弦长公式

|=-—々J+（%一%）2

22

\AB|=7（l+k）（xt-%2）

=J（l+k2）［（尤］+/）2—（最常用公式，使用频率最高）

2,三角形面积问题

直线AB方程：y=kx+m

11ViTF

Z77

网-yo+|'TA|fct0-y0+m|

SMBP=扣加d=JJ1+4夸2^j

3,焦点三角形的面积

直线AB过焦点八,的面积为

=^lF2\-\yl-y2\=c\yl-y2\=^-

，4。%2（/42+尸62-。2）

22|C|

SMOB=^\AB\d=^A+B

a^+b^B27A2+B2

―双面笛-C）d

a2A2+b2B2

注意：4为联立消去x后关于y的一元二次方程的二次项系数

4、平行四边形的面积

直线为丁二丘+m，直线CO为了=自+生

d=\CH\J^^

11

2

\AB\=J1+左]9-%2|=J1+/+9)2-4%无2=Vl+VJ(-^)-4—=J]+/含

\AA|A

q=|AB|,d=

^uABCD可花量—一H

注意：4为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.

5、范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式cr+b2>2ab(a,beR)

变式：a+b>2-Jab{a,beR+);ab<(Q+^)2(a,Z>e7?+)

'2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

，S。=--2-t-=--2--

(1)产+64164(注意分t=Oj>Oj<O三种情况讨论)

t

网2=3+412■:—=3+------——<3+———

11422

(2)9/+6Jt+l9^+―+62x3+6

当且仅当9人2='时，等号成立

(3)|PQ「=34+25.生学+9.2—34+2125.生毕x9=64

1'9片25y；V9片25y；

当且仅当25•著=9・著时等号成立.

9%o25yo

(4)sC|T=["f2+8)lflxm2—m2+8

2

当且仅当苏=-1+8时，等号成立

2k2-+1+tn^

J(2/2—喈+1)喈

=4<472----------J-------=2忘

卷也1+2公l+2k2

当且仅当2左2+1=24时等号成立.

二、典型题型

题型一：三角形面积（定值问题）

1.（2024上•江西新余•高二统考期末）如图，椭圆C:三2+左2=1（。＞6＞0）和圆=〃，已知椭圆c

的离心率为述，直线缶-2y-#=0与圆。相切.

⑴求椭圆C的标准方程;

（2）椭圆C的上顶点为8,跖是圆。的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE、与椭圆C的另一个交

点分别为P、Q,求ABPQ的面积的最大值.

2.（2024上•浙江宁波•高二统考期末）已知椭圆（？：马+^=1（。＞万＞°）离心率等于正，长轴长为4.

a2b12

⑴求椭圆的标准方程C;

⑵若直线'=丘+机与轨迹C交于N两点，。为坐标原点，直线OM,ON的斜率之积等于-；，试探究

△OVW的面积是否为定值，并说明理由.

3.（2024上•四川宜宾•高二统考期末）已知点44,4）在抛物线C:y2=2px（p>0）上,斜率为的直线与C

交于P、。两点，记直线AP、A。的斜率分别为匕、h

⑴证明：勺+%为定值:

(2)若NPAQ=90°,求△FAQ的面积.

题型二：四边形面积（定值问题）

1.（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）已知椭圆C：二+卫=1（。>匕>0）的离心率为逅，点P（0,2）在椭圆C上,

ab3

过点P的两条直线B4,P8分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线上4,PB,A8的斜率满足

kpA+kpB=4kAs（%*0）.

⑴求椭圆C的方程；

⑵证明直线A8过定点；

⑶椭圆C的焦点分别为片，F2,求凸四边形耳AgB面积的取值范围.

22

2.（2024上•天津河北•高二统考期末）已知椭圆C:j+==l（a>b>0）的右焦点为尸（L0）,短轴长为2.

ab

过点厂且不平行于坐标轴的直线/与椭圆C交于A8两点，线段A3的中点为V.

⑴求椭圆C的方程；

⑵证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值；

⑶延长线段与椭圆C交于点尸，若四边形。4PB为平行四边形，求此时直线，的斜率及四边形Q4PB的

面积.

22

3.（2023上•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆£:左+}=1（。>6>0）的左、

右焦点为耳，F2,若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点L在E上.

⑴求椭圆E的方程；

⑵在（1）的条件下，若点A,8在E上，且%（广-白。为坐标原点），分别延长A。，BO交E于C,D

两点，则四边形ABCD的面积是否为定值？若为定值，求四边形ABCD的面积，若不为定值，请说明理由.

题型三：三角形面积（最值，范围问题）

1.（2024上•江西吉安•高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：：/=2px的焦点厂在x轴正半轴上，

过B的直线/交C于A,2两点，过尸与/垂直的直线交C于。，E两点，其中B,。在无轴上方，M,N分

别为A3,DE的中点.已知当/的斜率为2时，|AB|=5.

（1）求抛物线C的解析式；

（2）试判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

⑶设G为直线AE与直线BD的交点，求AGMN面积的最小值.

22

2.(2024上•江西新余•高二统考期末)如图，椭圆C：A+A=l(a>6>0)和圆。:/+/=凡已知椭圆c

ab

的离心率为述，直线-2k面=0与圆。相切.

3

B

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)椭圆C的上顶点为2,E尸是圆。的一条直径，斯不与坐标轴重合，直线3E、8尸与椭圆C的另一个交

点分别为尸、Q,求ABPQ的面积的最大值.

3.(2024上广东广州•高二华南师大附中校考期末)已知M(-2,0),N(2,0),圆M:0+方+/=48,尸是

圆M上任意一点，线段尸N的垂直平分线/和半径PM相交于点Q,当尸点在圆加上运动时，点Q的轨迹

是曲线E.

(1)求曲线E的方程；

⑵过N作一条不平行于坐标轴的直线交曲线E于两点，过8点作x轴的垂线交E于点。，求△AOD面

积的最大值.

22

4.(2024・吉林长春•东北师大附中校联考模拟预测)已知椭圆C:「+M=l(a>6>0)的两焦点

ab

月(—1,0),乙(1,0),且椭圆C过[-右,]-].

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为AB,直线/交椭圆C于",N两点与A,8均不重合)，记直线40的

斜率为尤，直线8N的斜率为右，且4-2&=0,设AAMN,ABMN的面积分别为工况，求国-$2|的取值

范围

题型四：四边形面积(最值，范围问题)

1.(2024•新疆乌鲁木齐•统考一模)已知椭圆C:±+£=1(。>6>0)的离心率为逅,点尸(0,2)在椭圆C上,

ab3

过点P的两条直线R1,，阳分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线9，PB,A2的斜率满足

kpA+卜演=4kAe(如20).

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明直线A3过定点；

⑶椭圆C的焦点分别为片，F2,求凸四边形々A88面积的取值范围.

2.(2024上•湖南娄底•高三统考期末)已知椭圆C：!+j=l(a>6>0)的右焦点为F，离心率e=g,椭

圆C上一动点D到F的距离的最小值为V6-2.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设斜率为左(上片°)的直线/过/点，交椭圆C于A8两点，记线段4B的中点为N,直线QV交直线x=3于

点、M,直线板交椭圆C于尸，。两点，求NME4的大小，并求四边形APBQ面积的最小值.

3.(2024上•山西大同•高二统考期末)已知椭圆E：5+r=l(〃>6>0)经过点，等］一个焦点在直线

y=gx-3上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设经过原点。的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A,8两点和C,。两点.求四边形AC3Q的

面积的最小值.

4.(2024上•贵州铜仁・高二统考期末)已知椭圆C的焦点坐标(。,士1),且过点

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)直线>=析+加与椭圆C交于尸，Q两点，且P,Q关于原点的对称点分别为N,若|PM「+|QN「是

一个与机无关的常数，求此时的常数及四边形尸QMN面积的最大值.

三、专项训练

22

1.(2024上•天津河北•高二统考期末)已知椭圆C:二+上=1(4>6>0)的右焦点为b(1,0),短轴长为2.

ab

过点/且不平行于坐标轴的直线/与椭圆C交于AB两点，线段A8的中点为V.

(1)求椭圆C的方程；

(2)证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值；

⑶延长线段31与椭圆C交于点P,若四边形。1P3为平行四边形，求此时直线/的斜率及四边形。47叩的

面积.

2.(2024上•辽宁•高三校联考期末)已知椭圆4+卫=1(a>6>0)的离心率为正，左、右焦点分别

a2b-3

为F、，F°.过F1的直线交椭圆于8,。两点，过居的直线交椭圆于A,C两点，且AC13。，垂足为P,\OP\^1.

■>

X

⑴求椭圆的标准方程；

⑵求四边形A3CD的面积的最小值.

3.(2024上,重庆九龙坡•高二统考期末)已知椭圆C:、+A=l(a>b>0)的离心率为焦距为2.

ab2

(1)求椭圆的标准方程；

⑵若直线/：y=-x+m(meR)与椭圆C相交于AB两点，且后屋《8=名.求”03的面积.

O

4.(2024上•河北沧州•高二泊头市第一中学校考阶段练习)已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在x轴

上，点均在椭圆0上.

⑴求椭圆C的离心率；

(2)过原点且经过第一、三象限的直线/与椭圆交于瓦尸两点，点A为椭圆右顶点，点8为椭圆上顶点，求四

边形AFBE面积的最大值.

5.(2024上•天津宁河•高二统考期末)已知椭圆5+3=1(。>6>0)的离心率为乎，右焦点为尸。,0).

⑴求椭圆的方程；

⑵设直线了=彳+；与椭圆交于A,B两点，求AE钻的面积.

22

8.(2024上•上海•高二上海市吴淞中学校考期末)如图，设p是椭圆q+A=l的下焦点，直线

y=foc-4(>>0)与椭圆相交于A、2两点，与V轴交于P点.

⑴求以厂为圆心，短轴长为半径的圆的标准方程；

⑵判断直线AF与环斜率之和是否为常数，若成立，求出常数值；否则说明理由;

⑶求△ABb面积的最大值.

45

9.(2024上・甘肃兰州•高二校考期末)在平面直角坐标系。孙中,圆M与圆Gx~+y~+2y——=0内切,

3

且与圆+9-2y+a=0外切，记动圆M的圆心的轨迹记为曲线C.直线/：y=履+〃2(机工0)与曲线C

相交于P,。两点.

(1)求曲线C的方程；

(2)若+|OQ「是一个与机无关的定值，求此时左的值及AOP。的面积的最大值.

22

10.(2024上•江苏无锡•高二无锡市第一中学校考期末)已知椭圆C：3+[=l(a>6>0)的左右焦点分别

ab

为居(-2,0),g(2,0),且椭圆过点(2,0),直线/：，=丘+加左片0)与椭圆。相交于人，8两点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若/不过原点且不平行于坐标轴，记线段A3的中点为V,求证：直线。”的斜率与/的斜率的乘积为定

值；

(3)若。求44OB面积的取值范围.

专题03圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

（含定值、最值、范围问题）

（典型题型归类训练）

一、必备秘籍

1、弦长公式

|=—％2）2+（%一%）2

22

\AB|=7(l+k)(xt-%2)

=J(l+k))［(尤］+%)2—4%］々］（最常用公式，使用频率最高）

2,三角形面积问题

直线方程：

ABy=kx+m11VT7F

\kx-+m\'TA|fct-y+m|

SMBP=扣斗d=JJl+4,000

乙乙IAI2^j

3、焦点三角形的面积

直线AB过焦点八,的面积为

s

^BFl=^lF2\-\yl-y2\=c\yl-y2\=^-

，4。%2(/42+尸62-。2)|C|

22

SMOB=^\AB\d=^A+B

a^+b^B27A2+B2

a久/(a2A2+ZAB2—。2解2

a2A2+b2B2

注意：4为联立消去左后关于y的一元二次方程的二次项系数

4、平行四边形的面积

直线9为〉=履+附，直线8为〉="+7”2

IAB\=J1+左2上]-%2|=+k2J(+]+入2)2—4%%2-V1+k2j(_~7)2_4.二=A/1+k2VA

YAAW

=1码八许落客四=咧”

aABCD11HI日方|A,|

注意：A1为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.

5、范围问题

首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式a2+b2>2ab(a,b^R)

变式：a+b>2y/ab(a,beR);ab<(Q+^)2(a,Z>eR+)

'■2

作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值;

当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值

注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”

圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：

、a=---2-t-=---2--

(1)r+6464(注意分t=0j>0j<0三种情况讨论)

IH-------

1242

⑵网2=3+=3+I：V3+^-

9/4+6?t2+l9严+记+62x3+6

当且仅当9^=亲时，等号成立

2

(3)IPQl=34+25-^-+9--^7>34+2j25.^-x9--^7=64

11比25y；V9x：25火

当且仅当25靠=9短时等号成立.

(4)S=-J12--m2排暴病(一病+8)C'+8二行

22

当且仅当“=-川+8时，等号成立

.________________________2女2—+1+

⑸S=2MF包口0.4里=4夜-喈：1）喈＜4应2=2近

1+2左,1+2左1+2%2

当且仅当2左2+1=2/时等号成立.

二、典型题型

题型一：三角形面积（定值问题）

22

1.（2024上•江西新余•高二统考期末）如图，椭圆C：・+2=1（。＞6＞0）和圆O:无之+产二兄已知椭圆C

ab

的离心率为处，直线缶-2尸而=0与圆。相切.

3

⑴求椭圆C的标准方程；

（2）椭圆C的上顶点为8,是圆。的一条直径，E/不与坐标轴重合，直线BE、8尸与椭圆C的另一个交

点分别为P、Q,求ABP。的面积的最大值.

【答案】（1审+丁=1

2

（）（\Bpe）mM=y

,|A/2X0-2X0-A/6|।

【分析】（1）首先根据题意得到匕=/厂22="再根据离心率得到4=9,即可得到答案.

V（A/2）2+（-2）2

（2）首先设直线族:〉=区+1,与椭圆联立得到尸,从而得到。福三，&Y，即可得到

9k+19k+1）k+9k+9）

椭圆的标准方程：y+r=i；

（2）由题意知直线3尸，BQ的斜率存在且不为0,BP1BQ,

不妨设直线BP的斜率为左伏＞0）,则直线砰:y=辰+1.

-18k

y=kx+l元二

9k2+1x=0

由t+y-,得v或

1-9左2y=i

19'y=

9V+1

-18%1-9左2]

所以尸

邰2+19V+1)

用-;代替火，得。'18%廿_9）

k&+9'/+9）

2

则叫。+烂19k「I

9r+1

2

218

iL9-k-y/l+k2

忸。M。-悬+k2+99+k2

AES岛

_162（女+左3）_162，+6

="4+82/+9=以+82+2'

k2

_162〃_162162_27

设上+：=〃，则一二=82+9（储—2）=9〃+舛M2f^二..

〃V〃

当且仅当9〃=里，即％+；=〃"，即左=左近时取等号,

Ak33

77

所以（S"L=T

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（埠乂）,（%,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或V）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为国+%、占/（或%+%、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

2.（2024上•浙江宁波•高二统考期末）已知椭圆C:£+^=l（。>6>0）离心率等于占，长轴长为4.

a2b22

（1）求椭圆的标准方程C；

⑵若直线、=%+%与轨迹C交于M,N两点，O为坐标原点，直线OM,ON的斜率之积等于-；，试探究

△OMN的面积是否为定值，并说明理由.

【答案】⑴三+丁=1

4'

⑵是定值1,理由见解析

【分析】（1）列出关于a,c,匕的方程组求解后可得标准方程；

（2）设”（芯,乂），N8,%）,直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得

*+%="筌’代入斜率乘积化简得出'”的关系’然后由弦长公式计算弦长|MN|，再

由点到直线距离公式求得三角形的高，从而计算三角形面积可得结论.

£=近

a2

【详解】⑴由题意得2〃=4,解得〃=2,c=0b=l,

a2+b2=c2

2

所以椭圆C的方程为工+y2=l.

4

y=kx+m

（2）设）国,%）,N（苍,为），联立直线和椭圆方程可得：X2.

匕+y2=r

消去y可得：(1+4左2)/+8初吠+4病一4=0,

所以A=64%2疗一4（1+4严）（4m2-4）＞0,即必2+1＞疗,

-8km4m2-4

贝lj再+%=—,X,.Xy~~

1+4/1-1+4/

•k（）M•k（）N—~~，

,2121=_!n（、+♦）.（如+〃z）k1xx+km+x）+m2

ix2。2J.

—=＞

x{x24石工24%工2

把韦达定理代入可得：k2+-8//+

4m2-44m2-44

而。点到直线MN的距离d=-jU=

yjl+k2

m2（64%2+16-16m2^

所以S0N=；4加2=；

（1+4左2J

]|（4F+1）（64^2+16-32^2-8）

把(*)代入，则

S-2]）（1+4阴2=1，可得S/^OMN是定值1.

【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中三角形面积为定值问题，一般设出交点坐标，直线方程与椭圆方程联

立方程组消元后应用韦达定理，并把此结论代入题设条件得出参数关系，由弦长公式求得弦长，由点到直

线距离公式求高，计算三角形面积，并根据参数关系化简得结论.

3.（2024上•四川宜宾•高二统考期末）已知点44,4）在抛物线C:y2=2px（p>0）上,斜率为的直线与C

交于P、。两点，记直线AP、AQ的斜率分别为尤、h

⑴证明:勺+%为定值：

（2）若NPAQ=90。，求△PA。的面积.

【答案】⑴证明见解析；

⑵48.

【分析】（1）求出抛物线C的方程，设出直线尸。的方程，与C的方程联立，借助韦达定理及斜率坐标公

式计算即得.

（2）由（1）的结论求出,进而求出直线尸。的方程，利用弦长公式及点到直线的距离公式求解即得.

【详解】（1）由点A（4,4）在抛物线C:y2=2px（p>0）上,得p=2,抛物线C：V=4x,

设直线PQ的方程为x=-2y+f,尸（玉,%）,。（尤2，%），显然办12,

所以左+七为定值.

(2)由NPAQ=90。，得AP_LAQ,贝由(1)知，yi+y2=-8,yty2=-At,

12%%+4(必+%)+16=_书—16=一'斛侍‘=°’

222

直线PQ的方程为无+2〉=0,\PQ\=Vl+2-A/(y1+y2)-4y1j2=8A/5,

一,|4+2x4|12

而点A（4,4）到直线PQ的距离d=：F+22=忑,

所以的面积巨…白叼仁兴后*48.

题型二：四边形面积（定值问题）

1.（2024•新疆乌鲁木齐•统考一模）已知椭圆C:二+《■=1（。>6>0）的离心率为逅，点P（0,2）在椭圆C上,

ab3

过点P的两条直线P4,P8分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线B4,PB,AB的斜率满足

kpA+kpB=4*（左.w0）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）证明直线AB过定点；

⑶椭圆C的焦点分别为耳，尸2,求凸四边形耳面积的取值范围.

22

【答案】⑴土+匕=1

124

⑵证明见解析

⑶］苧8后

【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；

（2）设直线:>=入+加（加工2）,联立直线和椭圆方程，消元后，利用%+晒=4勉（勉力°），建立方

程，解出后验证即可；

（3）设直线心：y=息-1,联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用

SFIAF2B=:闺工恒-进行计算,换元法求值域即可.

%=2

【详解】⑴由题设得£=坐，解得1=12,

a3

a2=b2+c2

y―2y_2

由瓦也+左PB=4心B得/二+二9^=4z%，

kxy+m-2kXr.+m-2”，

gp-......+--------=4k,

XX2

整理得2mk(m-2)=2(4-机?)左，

因为ZwO,Wm2—m—2=0,解得相=2或%=一1,

加=2时，直线A3过定点PQ2),不合题意，舍去；

加=一1时，满足A=36(4父+1)＞0,

所以直线A3过定点(0,-1).

(3))由(2)得直线&＜：＞=丘-1，所以x='(y+l),

k

1八

x=-(zy+l)

,k

整理得(1+3卜2+Wy+*—12=0,△=361J+，

由题意得，=；|耳耳||%-%|=2行|必_%|=12血斗----，

21।Q

因为"叫=白所以k2>:

,所以0<<8,

O

令%=小9+4,tG(2,2^3),

所以S*F/=12&一=12^—,在/£⑵2石)上单调递减，

I—

所以与伍B的范围是(学,8行

\/

22

2.(2024上•天津河北•高二统考期末)已知椭圆C:=+2=l(a>b>0)的右焦点为歹。,0),短轴长为2.

ab~

过点F且不平行于坐标轴的直线/与椭圆C交于A8两点，线段AB的中点为".

⑴求椭圆C的方程；

⑵证明：直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值；

⑶延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形。4P3为平行四边形，求此时直线，的斜率及四边形Q4pB的

面积.

【答案】①、+/=1

(2)证明见解析

⑶斜率为孝与

【分析】(1)根据椭圆的焦点、短轴长求出G6即可得解；

(2)设直线/的方程为>=左(％-1)(无片°)，联立椭圆方程，求出弦中点，得出加斜率即可得证；

(3)由题意M为线段OP的中点，表示出P点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三

角形面积，即可得解.

【详解】（1）由题意知c=l,26=2,

又a2=b2+c2>

解得b=1,a=五.

二椭圆C的方程为一+丁=1.

2

（2）由题意,设直线/的方程为y=Mx-l）（左NO）,

y=A:(x-l),

由方程组V1肖去y得(2左2+1)尤2—4%2彳+242—2=0.

一+V2=1,

I2'

显然△=（4左2『_4x（2左2+1）（2左2-2）=8左2+8>0,

故生”•勺=-三义左=-；为定直

如2k2

（3）如图，

若四边形。4ra为平行四边形，则以为线段0P的中点,

4左2—2k

即x=X左2+]，yp

p2M=2=2yM=2左2+1'

•・,点P在椭圆上,

圭力+2x[E[=2,解得左即左=±#;

结合⑵可得占+»丁4“2丁"=D乐k?—2

2

XJ一%2|=,1+左2X]+_-4二%2二-，

.-.|AB|=VI+^2|

设点。到直线A3的距离为d,则d=坐,

收+13

即S口OAPB=2sAOAB=|AB|d-

22

3.（2023上•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知椭圆E：=+；=l（a>6>0）的左、

ab

右焦点为月，F2,若E上任意一点到两焦点的距离之和为4,且点在E上.

（1）求椭圆£的方程；

（2）在（1）的条件下，若点A,B在E上,且右为坐标原点），分别延长40，B0交E于C,D

两点，则四边形A3co的面积是否为定值？若为定值，求四边形A3CD的面积，若不为定值，请说明理由.

丫2

【答案】⑴二+心=1

4'

⑵四边形ABCD的面积为定值，理由见解析.

【分析】（1）根据定义可求出。，利用点在椭圆上列方程即可求出b,进而得到椭圆方程；

（2）设直线的方程，4（巧，”）,B（X2,y2）,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合%=-；，

得到小与"的关系，由弦长公式和点到直线距离公式即可得到1.AB，根据图象对称性即可计算四边形A8CD

的面积.

【详解】（1）因为E上任意一点到两焦点的距离之和为4,

所以2a=4,即a=2.

又因为点1,更在E上,

13

所以/赤=1'则〃"

故椭圆E的方程为二+9=1.

4-

（2）四边形ABCD的面积为定值，理由如下:

当直线A3斜率为0时，因为%♦%=-；,

不妨设后人=；，则%=-；，

贝IJA叵¥［，B一①日

贝I七%2=(缈1+n)(^2+〃)=m2yly2+rrm{y\+%)+"2

222

2n-4(2mn\24n-4m

=mx------Fmnx\+n=----

m+4m+4Jm+4

因为初.koB=_：，

必必二1p1/—4根？+41

所以即n---------------=——即＞

222=2/_4,

xxx24m+44n-4m4

则即4・启=45・纥铲

\n\

又原点。到几的距离d=~^=

A/1+m

所以四边形至。的面积S3…心卷-4后•”手

yjln2-4-M2+4

=4,

-21-4+4

综上，所以四边形A3CD的面积为定值4.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（菁,乂）,（程为）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或V）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为国+%、为%（或M+%、的形式；

（5）代入韦达定理求解.

题型三：三角形面积（最值，范围问题）

1.（2024上•江西吉安•高二江西省峡江中学校考期末）已知抛物线C：y2=2px的焦点/在％轴正半轴上，

过P的直线/交C于A,B两点，过尸与/垂直的直线交C于。，E两点，其中8,。在无轴上方，M,N分

别为A8,DE的中点.已知当/的斜率为2时，|AB|=5.

（1）求抛物线C的解析式；

（2）试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

⑶设G为直线4E与直线BD的交点，求AGMN面积的最小值.

【答案】（1）/=4%

（2）过定点，定点为（3,0）

（3）8

【分析】（1）根据直线/的斜率为2时|筋|=5列方程，得到。即可得到抛物线方程；

（2）分别联立直线/与抛物线、直线OE与抛物线方程得到点叔，N的坐标，从而得到直线的方程，

即可得到直线过定点；

（3）联立直线AE与3。的方程得到％=T，根据点M，N的坐标和不等式得到|加-明|24,通过分析

3S

|4用=52+°=万0=5,贝1］『=2，

所以抛物线C的解析式为y2=4x.

（2）由（1）得R（1,0）,

设直线/的方程为x=»V+l,CD的方程为无=供＞+1,设£）（%,%），£（%乂），

因为直线/与直线CD垂直，所以叫〃％=T，

当2喈+豚2好+1时，U：尸配曹建可（尤一2喈一1）+2町，

即（x_2若—1）+2ml

2m2—2ml'/

12行+12ml（g+吗）

-XI

利+网网+町秋+叫

x+2m2ml+2若-2m^—1

利+叫m2+n\

x2m2ml—1

m2+m1m2+m1

x-5

因为叫牲=-1,所以直线MN的方程为“碎,

故当x=3时，尸呈肛止匕时MN过定点（3,。）,

当2喈+1=2欣+1时，由四%=-1得叫=±1,此时直线肱V的方程为x=3,同样经过点（3,0）,

所以直线MV过定点，该定点为（3,0）.

2

/21（

（3）由抛物线方程得A，召；叠v,为

4x4x

一Jy>,v_,%以

则：y—rlx一下+%--------------+7i---------+---------

1-AE2L_A<4)%+%%+%%+%M+

44

、一©

同理可得0。：y—1

%+为必+%

,一4x%%

y~1,

%+%%+%/4x,%%4x।

联立.得:一十:一

_4x%%%+%%+%%+%%+y

y—14

%+乂％+”

即4x(%+%)+%%(X+%)=4x(%+%)+XM(%+%)，

由%%=-4，同理为%=-4,

故尤=(%+%)-%%(%+%